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1、第十四讲 面积问题我们已经学过的面积公式有： (2)S平行四边形=ah(其中h表示a边上的高)的长，h表示平行边之间的距离)由于多边形可以分割为若干个三角形，多边形的面积等于各三角形面积和，因此，三角形的面积是面积问题的基础等积变形是面积问题中富于思考性的有趣问题，它是数学课外活动的重要内容，这一讲中我们将花较多的篇幅来研究多边形的等积变形等积变形是指保持面积不变的多边形的变形三角形的等积变形是多边形等积变形的基础，关于三角形的等积变形有以下几个主要事实：(1)等底等高的两个三角形面积相等(2)两个三角形面积之比，等于它们的底高乘积之比(3)两个等底三角形面积之比，等于它们的高之比(4)两个等
2、高三角形面积之比等于它们的底之比例1 已知ABC中三边长分别为a，b，c，对应边上的高分别为ha=4，hb=5，hc=3求abc解 设ABC的面积为S，则所以说明 同一个三角形依面积公式可以有三种不同的表示法，由此获得三边之比例2 如图151，ABCD的面积为64平方厘米(cm2)，E，F分别为AB，AD的中点，求CEF的面积分析 由于CEF的底与高难以从平行四边行的面积中求出，因此，应设法将四边形分割为三角形，利用面积比与底(高)比来解决解 连接ACE为AB中点，所以同理可得ScDF=16(平方厘米)连接DE，DB，F为AD中点，所以从而ScEF=SaBCD-SaEF-SbCE-ScDF=6
3、4-16-16-8=24(平方厘米)说明 (1) E，F是所在边的中点启发我们添加辅助线BD，DE(2)平行四边形的对角线将平行四边形分成两个三角形的面积相等是由平行四边形对边相等及平行线间的距离处处相等，从而这两个三角形的底、高相等获知的分析 直接求DEF面积有困难，观察图形，发现DEF与DCF有共同的顶点D，其底边在同一条直线上，因而，高相同所以于是，求DEF的面积就转化为求DCF的面积用同样的办法可将DCF的面积转化为ADC的面积，进而转化为ABC的面积点D，且底边EF，CF在同一条直线上， EFCF=23，同理，DCF与DCA有共同的顶点C，且底边DF，DA在同一条直线上，由已知DFD
4、A=23，所以 例4 用面积方法证明：三角形两边中点连线平行于第三边分析与解 如图153所示设E，F分别是AB，AC的中点，可求得EBC与FBC的面积相等(均为ABC面积的一半)由于这两个三角形同底BC，因而这两个三角形的顶点E，F在一条与底边BC平行的直线上，所以EFBC说明 (1)从证题过程看出，条件“E，F是所在边的中点”可从而 ScBE=SbCF这两个三角形同底BC，因此，它们的顶点E，F的连线与底边平行(2)同样用面积的方法可以证明如下事实：三角形ABC中，若EFBC且AEEB=m，则AFFC=m(请同学们自己证明)例5 如图154在ABC中，E是AB的中点，D是AC上的一点，且AD
5、DC=23，BD与CE交于F， SABC=40，求SAEFD分析 四边形 AEFD可分割为AED与DEF从E是AB中点及D分AC为23的条件看，AED的面积不难推知，关键是如何推求DEF的面积为此，需通过添加辅助线的办法，寻求DEF的面积与已知面积的关系解 取AD的中点G，并连接EG，在ABD中，E是AB的中点，由例3知EGBD又CDDG=31，从而，在CEG中，CFFE=CDDG=31(例3说明(2)，所以 SDFCSDFE=31设SDEF=x，则SDFC=3x，SDEC=4x由于ADDC=23，所以SEADSECD=23，又因为E是AB中点，所以SaEFD=SaDE+SDEF=8+3=11
6、说明 在三角形中，利用平行线实行比的转移，再利用等积变形，得到相应的面积的比，从而将欲求的DEF的面积与已知的ABC的面积“挂上了钩”这里取AD的中点G，得到BD的平行线EG是关键 例6 如图1-55所示E，F分别是ABCD的边AD，AB上的点，且BE=DF，BE与DF交于O求证：C点到BE的距离等于它到DF的距离分析 过C作CGBE于G，CHFD于H，则CG，CH分别是C到BE，DF的距离，问题就是要证明CG=CH结合已知，BE=DF，可以断言，BCE的面积等于CDF的面积由于这两个三角形的面积都等于ABCD面积的一半，因此它们等积，问题获解解 连接CF，CE因为所以 SbCE=ScDF因为
7、BE=DF，所以CG=CH(CG，CH分别表示BE，DF上的高)，即C点到BE和DF的距离相等说明(1)BCE与CDF是两个形状及位置完全不同的三角形，它们面积相等正是通过等积变形都等于同一平行四边形的面积之半(2)通过等积变形可以证明线段的相等练习十四1如图156所示在ABC中，EFBC，且AEEB=m，求证：AFFC=m2如图 157所示在梯形 ABCD中， ABCD若DC的几分之几？ 3如图158所示已知P为ABC内一点，AP，BP，CP分别与对边交于D，E，F，把ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已在图中给出求ABC的面积4如图159所示P为ABC内任意一点，三边a，b，c的高分别为ha，hb，hc，且P到a，b，c的距离分别为ta，tb，tc求5如图160所示在梯形ABCD中，两腰BA，CD的延长线相交于O，OEDB，OFAC且分别交直线BC于E，F求证：BE=CF6如图161所示P是ABC的AC边的中点，PQAC交AB延长线于Q，BRAC于R求证：
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