高等数学B：1.3 函数的极限

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1、1, )(xfy 对对0)1(xx 0)2(xx0)3(xxx)4(x)5(x)6(自变量变化过程的六种形式自变量变化过程的六种形式:本节内容本节内容 :1.3 函数的极限 1. 自变量趋于无穷大时函数的极限自变量趋于无穷大时函数的极限2.自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限3.左极限与右极限左极限与右极限4.函数极限的性质函数极限的性质5.函数极限的运算函数极限的运算6.两个重要极限两个重要极限21 1 x时时函函数数)(xf的的极极限限 定义定义：设设)(xf在在) ,( a内有定义，内有定义，A 是常数。是常数。 .)(lim.)(, , 0 , 0AxfAxfXxX

2、x 恒有恒有 1.3.1 1.3.1 函数在无穷远处的极限函数在无穷远处的极限 将将Axfx )(lim与与axnn lim列列表表对对比比如如下下： axnn limAxfx )(lim函函 数数 定义域定义域 自变量的变化趋势自变量的变化趋势 函数值的变化趋势函数值的变化趋势 nxy )(xfy N) ,( a n xaxnAxf)(lim0, , ,.nnnxaNNnNxa 有有.)(, , 0 , 0)(lim AxfXxXAxfx有有3Axfx )(lim的几何意义的几何意义： )(xfy A AAXo 对任意以二直线对任意以二直线为边界的带形区域，为边界的带形区域，0 X，轴轴在在

3、 x上总存在上总存在X一点一点，Xx 时，时，Xx位于点位于点当点当点 的右侧时，的右侧时，有有 Axf)(。相应的函数相应的函数)(xf的图象位于带形区域之内。的图象位于带形区域之内。 Ayxyo452 2 x时时函函数数)(xf的的极极限限 定定义义：设设)(xf在在) ,(a 内内有有定定义义，A 是是常常数数。 Axfx)(lim . )( , , 0 , AxfXxXo恒恒有有 6XXAAoxy)(xfy A定义定义1 . 设函数xxf当)(大于某一正数时有定义,若,0X,)(,AxfXx有时当则称常数时的极限,Axfx)(lim)()(xAxf当或几何解释几何解释:AxfA)(Xx

4、Xx或记作直线 y = A 为曲线)(xfy 的水平渐近线,0 xxf当)(A 为函数3 3 x时函数时函数)(xf的极限的极限 7例例1. 证明. 01limxx证证:01xx1取,1X,时当Xx 01x因此01limxx注注:就有故,0欲使,01x即,1xoxyxy1.10的水平渐近线为xyy8直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .两种特殊情况两种特殊情况 :Axfx)(lim,0,0X当Xx 时, 有 Axf)(Axfx)(lim,0,0X当Xx时, 有 Axf)(几何意义几何意义 : 例例 2 2讨讨论论函函数数xy arctan 当当 x时时的的极极限限。 yx

5、o2 2 xy arctan xxxxarctanlimarctanlim ， 解：解： 2arctanlim xx， 2arctanlim xx， xxarctanlim 不不存存在在。 910例例3 )0(0)(lim22常数常数证明证明 axaxx,x. 0 x不妨认为不妨认为022 xax证证xax 22xaxa 222xa 2故,0欲使,022 xax只要,2 xa 2ax 即，取,2 aX 当Xx时, 有,022 xax因此)0(0)(lim22常数常数 axaxx 当当时时无限接近于无限接近于 1 x， )1(21)1(2)(2 xxxxf无限接近于无限接近于 4 4。 yxo4

6、1下下面面讨讨论论如如何何用用精精确确的的定定量量化化的的语语言言来来描描述述这这种种现现象象。 1.3.2 1.3.2 函数在一点的极限函数在一点的极限 11 当当1 x时时，1241)1(24)(2 xxxxf， 任给任给存在存在使使 当当恒恒 有有10120120110 x1014)( xf10012001200110 x10014)( xf10001200012000110 x100014)( xf0 2 d dd d 10 x 4)(xf1213定义定义1 . 设函数)(xf在点0 x的某去心邻域内有定义 ,0,0d当d00 xx时, 有 Axf)(则称常数 A 为函数)(xf当0

7、xx 时的极限,Axfxx)(lim0或)()(0 xxAxf当即,0,0d当),(0dxx时, 有若记作 Axf)(Axfxx)(lim0几何解释几何解释:d0 xd0 xAAAx0 xy)(xfy 极限存在函数局部有界(P16性质2)这表明: 定义定义1 . 设函数)(xf在点0 x的某去心邻域内有定义 ,0,0d当d00 xx时, 有 Axf)()(xf当0 xx 时的极限,Axfxx)(lim0或)()(0 xxAxf当记作则称常数 A 为函数定义中的定义中的xx 0表明，当表明，当 )( xfxx时时有无有无 极限与极限与xxf在点在点)(是否有定义无关。是否有定义无关。 有关有关与

8、任意给定的正数与任意给定的正数 d d， d d依赖于依赖于。 注意注意:1415例例4. 证明)(lim0为常数CCCxx证证:Axf)(CC 0故,0对任意的,0d当d00 xx时 , 0CC因此CCxx0lim总有（常用结论）（常用结论）16) . 1 (处没有定义注意该函数在x. 6133lim 21 xxx证明证明例例5证证:Axf )(61332 xx13 x欲使,0,)( Axf只要,31 x取,3 d d 则当d10 x时 , 必有 6133)(2xxAxf因此6133lim21 xxx174lim 22 xx证证明明例例6证证:Axf )(2242 xxx, 2x12 x不妨

9、假设不妨假设5422 xxAxf )(2242 xxx25 x,0,)( Axf只要,52 x取 ,5, 1min d d 则当d d 20 x时 , 必有 4)(2xAxf因此4lim22 xx1833lim axax 证证明明例例7证证:Axf )(33ax axa 3243132313132aaxxax 322313143211aaxax ,0取 d d3243a 则当d d ax0时 , 必有 33)(axAxf因此33limaxax 证明证明： （1 1）0 ，要使，要使 xxxsin0sin， 只要只要 x0，故取，故取 d d， 0 ， d d ， d d 00 x时，时， 恒有

10、恒有 0sinx， 0sinlim0 xx 。 19（2 2）0 ，要使，要使 ax coscos，即要使，即要使 axaxaxaxax2122sin2sin2coscos， 只要只要 ax0，故取，故取 d d， 0 ， d d ， d d ax0时，时， 恒有恒有 ax coscos， axaxcoscoslim 。 特别地，有特别地，有 . 10coscoslim0 xx20定义：若定义：若 , 0 , 0 d d xxx d d 时，恒有时，恒有 Axf)(， 则称常数则称常数A A为函数为函数)(xf当当xx时的左极限，记作时的左极限，记作 Axfxx )(lim 或或 )0(Axf

11、 。 1 1左左极极限限 2 2右右极极限限 定定义义： , 0 , 0 d d d d xxx时时，恒恒有有 Axf)(， 则则称称常常数数A A为为函函数数)(xf当当xx时时的的右右极极限限，记记作作 Axfxx )(lim 或或Axf )0(。 1.3.3 1.3.3 左极限与右极限（单侧极限）左极限与右极限（单侧极限） 213 3极极限限存存在在的的充充分分必必要要条条件件 定理定理：设设)(xf在某一在某一)(xN有定义，则有定义，则 AxfxfAxfxx )0()0()(lim。 （证明从略，见（证明从略，见15P。 ） 注意注意: )0()0( )0()0( xfxfxfxf至

12、至少少有有一一个个不不存存在在和和. )(lim不不存存在在xfxx 1.判别函数极限的存在性判别函数极限的存在性; 2.求分段函数在分点处的极限求分段函数在分点处的极限作用作用:22xxsgnlim0不不存存在在。 1)00(f1)00( f， xyo1-1-1xy sgn 解解：1)00( f，1)00( f。 23解：解：1)1(lim)00(0 xfx， 0lim)00(20 xfx， )00()00( ff， 1lim)01(21 xfx，11lim)01(1 xf， )01()01( ff， 1)(lim0 xfx。 1yxo24 习习 题题 三三 （P P1515 ）3 3（2 2）；）；4 4（1 1）（）（5 5）；）；5 5；6 6；7 7（2 2）（）（3 3）。）。作作业业25