毕业论文面积法在中学数学解题中的巧用

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1、 毕业论文题 目： 面积法在中学数学解题中的巧用 学生姓名： 学生学号： 系 别： 数学与计算科学系 专 业： 数学与应用数学 届 别： 2012届 指导教师： 目 录摘要(1)Abstract(1)1、前言(2)2、预备知识(2) 2.1面积法的概念(2) 2.2面积法相关的公式(3) 2.3面积法相关的公理和定理(3)3、解题中的巧用(3)3.1面积法证明(3)3.2面积法求值(7) 3.3面积法求概率(12)致谢(14)参考文献(15)15淮南师范学院2012届本科毕业论文面积法在中学数学解题中的巧用学生：指导教师：淮南师范学院数学与计算科学系摘 要: 本文简述运用面积法解题的方法和技巧

2、。众所周知，面积法在中学数学解题中非常重要。因此，掌握面积法解题的方法和技巧也非常重要。文中首先讲述了面积法的一些概念，其次简单的介绍了和面积相关的一些常用的公式和定理。面积法不仅可用于计算面积，还可以用它来证明平面几何题,有时会收到事半功倍的效果。 最后，论述了面积法在解题中的方法，并对每一种方法进行分别论述，并举相关例子进行说明，对每一种方法进行深入的论述和探讨。本文从几个不同的方面介绍面积法在中学数学解题中的巧用。 关键词: 面积法；等边三角形；直角三角形；面积相等 On the application of Area method in the middle school mathem

3、atics Student: Wei LimingInstructor: Chen JinlinDepartment of Mathematics and Computational Science, Huainan Normal UniversityAbstract: This paper briefly describes the application of Area method, and the skills and techniques of solving problems by it. As we all know, in solving mathematic question

4、s in middle schools, Area method plays a very important role. Therefore, grasping the skills and techniques of using Area method is very important. This article illustrates some concepts about Area method, then briefly introduces some commonly used formulas and theorems related to the area. Area met

5、hod not only can be used to calculate the area, but also can be used to prove geometric problems., which sometimes can get a multiplier effect. Finally, this paper discusses the approaches of using Area method in solving problems, and illustrates each approach respectively and presents examples to g

6、ive us a in-depth discourse and discussion.This article describes the using of Area method from several different aspects in problem-solving in mathematics.Keywords: Area method; An equilateral triangle; A right triangle; Areas equal1前言 在中学数学和平面几何里，我们学习过面积与面积法在问题中的计算与证明。用面积法解几何问题是一种重要的数学方法，在初中数学中有着广

7、泛的应用，这种方法有时显得特别简捷，有出奇制胜、事半功倍之效。许多数学问题，表面上看来似与面积无关，但灵活运用面积法，往往能使问题顺利获解。面积是几何学研究的重要内容，也是研究几何问题的有力工具。利用同一图形的面积相等，可以列方程计算线段的值，或证明线段间的数量关系；利用图形面积的和、差关系列方程，将相等的高或底约去，可以计算或证明线段间的数量关系；利用等积变形，可以排除图形的干扰，实现“从形到数”的转化，从而从数量方面巧妙地解决问题。用面积法解题是根据题目给出的条件，利用等积变换原理和有关面积计算的公式、定理或图形的面积关系进行解题的方法。所谓高效解题是“走解题的直线距离” ，说白了，就是将

8、转化的环节减少一些，少走弯路。“高效解题”一方面是对“有效解题”、“ 低效解题”、“ 零效解题”、“ 负效解题”的减少和摈弃，另一方面更是对高效率解题、 高效果解题 、高效益解题的理念实践与理想实现。有时我们选用面积法进行问题转化。有时我们选用面积法将问题转化就能恰到好处地达到这一目的。涉及三角方面的数学问题,我们总习惯于利用三角知识中的定义、定理和繁多的公式, 然后实施一连串的变换,化简及整理,使其达到求解目的。当然这是基本和常规的处理模式,但有些习题若千篇一律地照搬方法,有时并不奏效.若考虑运用面积法,巧设未知元,可获“柳暗花明”的效果。2预备知识2.1 面积法的概念 所谓的面积法，就是通

9、过面积的相互转化或面积与边角关系的互相转化而使问题得到解决的方法。面积法是解决中学数学题的一种重要方法。面积法平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。 用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。 所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。2.2面积有关的公式（1）矩形的面积公式：S=长宽（2）三角形的面积公式：（3）平行四边形面

10、积公式: S=底高（4）梯形面积公式: S=(上底+下底)高2.3面积相关的公理和定理1面积公理（1）全等形的面积相等；（2）一个图形的面积等它各部分面积之和；2相关定理（1）等底等高的两个三角形面积相等；（2）等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形面积之比等于其高（或底）之比；（3）在两个三角形中，若两边对应相等，其夹角互补，则这两个三角形面积相等；（4）若在同一线段的同侧有底边相等面积相等的两个三角形，则连结两个三角形的顶点的直线与底边平行。（5）等角或补角的三角形面积的比，等于夹角或补角的两边的乘积的比；等角的平行四边形面积比等于夹等角的两边乘积的比；（6）相似三角形的面积的比等于相似

11、比的平方；（7）等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底的和相等）的面积相等；3解题中的巧用3.1面积法证明例 1. 如图1，矩形ABCD中ABa，BCb，M是BC的中点，E是垂足，求证： 图1 证明：连结DM，由勾股定理得： 例2. 如图2，AD是的角平分线，求证： 图2证明：过点D作于E，于F，过点A作于H 由，则有 即例3. 已知一直角三角形两直角边为a、b，斜边c上的高为h，求证： 证明： 由三角形面积关系有 即 整理后，即得例4. 如图4，在中已知，BD、CE分别为AC、AB边上的高，求证： 图4 证明： ，即 ，即例5.已知：如图5，AD是ABC的中线，CFAD于F

12、，BEAD交AD的延长线于E。求证：CF=BE 图5证明：连结EC，由BD=DC得，两式两边分别相加，得故所以BE=CF。注：直接由得更简洁。例6.如图6，C是线段AB上的一点，ACD、BCE都是等边三角形，AE、BD相交于O。求证：AOC=BOC 图6证明：过点C作CPAE，CQBD，垂足分别为P、Q。因为ACD、BCE都是等边三角形，所以AC=CD，CE=CB，ACD=BCE，所以ACE=DCB所以ACEDCB所以AE=BD，可得CP=CQ所以OC平分AOB即AOC=BOC例7.如图7，已知等边三角ABC，P为内一点，过P作的高为h.试说明 图7解析：连接PA、PB、PC，由题意得，所以，

13、又因为AB=AC=BC，所以 小结：用面积的可分性解题，一般要将图形分成若干个小三角形，利用其整体等于部分之和建立关于条件和结论的关系式，从而方便快捷地解决问题3.2面积法求值 用面积法解几何问题是一种重要的数学方法，在初中数学中有着广泛的 应用，这种方法有时显得特别简捷，有出奇制胜、事半功倍之效。例1. 如图1，AD是的斜边BC上的高，且，AB45，求AD。 解：由勾股定理得： 例2 .如图2，已知在中，BD：CD2：1，E为AD的中点，连结BE并延长交AC于F，求AF：FC 图2 解：连结CE，设 由AEDE，可知 由BD：CD2：1，可知 由AEDE， 设，则 （1） （2） 由（1）（

14、2）得： 代入（2）中，得例3 .如图3 ,把矩形OABC放置在直角坐标系中, OA6,OC8 ，若将矩形折叠，使点B与O重合得到折痕EF,求折痕EF的长。 图3 图3.1分析: 因为矩形折叠使点B与点O重合，所以折痕EF是线段OB的垂直平分线， 如图3.1，易证 ，得GFGE，从而得四边形BFOE是菱形 ，利用菱形的面积等于又等于 。列方程求出折痕EF的长.解: 如图3.1 ,连结OE、BF 矩形折叠使点B与点O重合 折痕EF是线段OB的垂直平分线 BE/FO GFGE 四边形BFOE是菱形设AE 则OEBE8根据勾股定理得,解得 , 8又由勾股定理得,OB10 10EF6 EF 图3.2点

15、评:解决本题的方法有很多，如图3.2，过点E作EHOC, 构造直角三角形,运用勾股定理解决,或在直角中, 先用勾股定理求出EG ,进而求出EF等方法解决例4 .如图4，已知点A(2,-4) 、B(4,0),连接AB,把AB所在的直线沿轴向上平移,使它经过原点O,得到直线,设P是直线上一动点，设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S,点P的横坐标为,求S与的函数关系式。 图4 图4.1分析:易求出直线AB的解析式为-8。 直线的解析式为 y。设点P(,2) 如图4, 则 ,如图4.1, 则。由于点P是直线上的一个动点，所以可正、可负，但不能为0，分情况讨论解决。解 :如图4 设直线AB的解析

16、式为kb 点A(2，-4)，B（4，0）在直线上 得方程组解得 直线AB的解析式为28 直线过原点且与直线AB平行 直线的解析为2。设点P（，2），则 = 点P是直线上的一个动点 当时,S8+4 当时,S=8-4点评:当P点在第三象限时， ， 想一想为什么？同学们，灵活运用面积法解题，需要靠平时知识的积淀。例5 .如图5，由图中已知的小三角形的面积的数据，求的面积？ 图5解析：由图可得，又 与具有公共顶点，且等高不等底，所以，又知，所以，得=120，所以的面积为 90+120=210 小结：我们知道等底等高的两三角形的面积相等，等底不等高的两三角形面积的比等于其对应高的比，等高而不等底的两三角

17、形面积的比等于其对应底的比 3.3面积法求概率 一些简单随机事件发生的概率除了常用列表或画树状图帮助分析求解外，有时还可用面积法计算。例1. 如图1，转动转盘，求转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率。图1 分析:观察图1，显然有阴影部分的面积占整个圆面积的一半，故P（阴影部分）=。例2. 如图2，在正方形ABCD内任取一点O，连接OA、OB，得ABO，如果正方形ABCD内每一点被取到的可能性都相同，则ABO是钝角三角形的概率是（ ）图2 （A）。（B）。 （C）。（D）无法确定的。 分析：以AB为直径作圆，根据直径所对的圆周角是直角可知，正方形ABCD内圆周上的每一点与点A、点B构成的三角形都

18、是直角三角形，易知半圆内的每一点都与点A、点B构成的三角形都是钝角三角形，故只要求出半圆面积与整个正方形ABCD的面积比即可。解：设正方形ABCD的边长为a，则以AB为直径的半圆面积为，所以 P（ABO是钝角三角形）=。故选C。例3. 如图3，小红和小明在操场上做游戏，他们先在地上画了半径分别为2m和3m的同心圆，然后蒙上眼睛，并在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影小红胜，否则小明胜，未掷入圈内（半径为3m的圆内）不算。 图3（1） 你认为游戏公平吗？为什么？（2） 游戏结束，小明边走边想：“反过来，能否用频率估计概率的方法，来估算不规则图形的面积呢？”请你设计一个方案，解决这一问题。（要求画

19、出图形，说明设计步骤、原理，并给出计算公式。） 解:（1）不公平。 因为P（阴影部分）= 即小红胜的概率为，小明胜的概率为，所以游戏不公平。 （2）可以利用频率估计概率的实验方法估算不规则图形的面积。 方案：设计一个可测量面积的规则图形将不规则图形围起来（如面积为S的正方形），如图4所示； 图4向图形中掷点（如蒙上眼向图形中随意掷小石子，掷在图外不记录）；当掷点数充分大（如1万次），记录并统计结果，假设掷入正方形内m次，其中n次掷入不规则图形内；设不规则图形的面积为S1，用频率估计概率，即 频率（掷入非规则图形内） 概率P（掷入非规则图形内）=， 故从而得。致谢在本论文完成之际，首先感谢我的导

20、师，在撰写论文的过程中陈老师注入了大量的心血和汗水，从开题报告的修改到论文的架构，再到最终定稿，他给予了诸多建设性的建议，并在百忙之中三阅其稿，恩师严谨的治学态度，渊博的知识，诲人不倦的精神和平易近人的工作作风令我景仰和敬慕，并将使我终生受益，在此表示真诚地感谢和深深地敬意。感谢母校内所有教过我的老师和使我受教的老师们，他们无私的传道授业解惑，让我在人生的道路上受益匪浅。还要感谢长期以来给我诸多帮助的同学们，他们的友情将是我一生最值得珍惜的财富和最值得怀念的感情。最后要感谢的是我的父母，他们不仅哺育我长大成人，教会了我诸多做人的道理，还给予我无私的支持，为我能够顺利的完成毕业论文提供了强大的支

21、持与动力，在未来的日子里，我会更加努力地学习和工作，不辜负父母对我的殷切期望，我一定会好好孝敬和报答他们。再次向以上众人表示诚挚地谢意！参考文献：1刘书妹.面积法J.数学教学通讯,2011年01期.2刘天学.面积法在几何证题中的应用J.四川教育学院学报,2003年12期. 3 黄勇,曹卫红.巧用面积法解几何题J.语数外学习(初中版八年级),2007年08期. 4黄海涛.四边形中面积法的运用J.中学生数理化(初一版),2004年11期. 5诸国美.中考复习之面积计算与应用J.中学数学杂志,2006年06期. 6玉炳图.用面积法解一道中考题J.时代数学学习(七年级),1996年03期. 7袁朴.用

22、面积法解几何问题J.初中数学教与学,2004年09期. 8宋毓彬,宋义彬.不可忽视的面积法J.数理化学习(初中版),2005年09期. 9王多谢.利用“面积法”证题举例J.初中生辅导,2008年30期. 10张兆凯.运用面积法证明几何题J.濮阳教育学院学报,1998年04期. 11黄启林. 面积问题与面积方法J. 数学通讯,1996(12). 12陈国树. 面积方法的应用探讨J. 川北教育学院学报,1996(02). 13王小勇,李一兵. 关于过三角形中任意一点作线段平分三角形面积问题J.长沙电力学院学报(自然科学版),1988(03). 14邢进喜.一个面积问题的作图法求解J. 高等数学研究,2008(06). 15杨存远.例说“割补法”在解题中的应用J. 时代数学学习(七年级),2007(Z1). 16朱家海.用共底或等高三角形面积比的性质解有关面积问题J. 数学教学通讯, 2004(S7). 17顾方东.浅淡阴影部分面积的解法J. 中学生数学,2008(12). 18徐建国.初中数学竞赛中的面积问题J. 中等数学,1989(04). 19常广平.面积问题中的割补法、极限法与微元法J. 数学通报,2005(10). 20高俊元.阴影面积问题中的常用思想方法J. 数理化学习(初中版),2006(09).