数理方程总结复习及练习要点

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1、1第二篇第二篇 数学物理方程数学物理方程2u基本知识基本知识u定解问题的确立及分析定解问题的确立及分析u定解问题求解之行波法定解问题求解之行波法u定解问题求解之分离变量法定解问题求解之分离变量法u定解问题求解之定解问题求解之Green函数法函数法u定解问题求解之积分变换法定解问题求解之积分变换法3数理方程基本知识数学物理方程主要是指数学物理所涉及的偏微分数学物理方程主要是指数学物理所涉及的偏微分方程，有时也包括相关的积分方程、微分积分方方程，有时也包括相关的积分方程、微分积分方程，或者说物理规律用数学语言描述出来的偏微程，或者说物理规律用数学语言描述出来的偏微分方程就是数学物理方程。分方程就是

2、数学物理方程。数学物理方程研究一些物理量在某些特定条件下数学物理方程研究一些物理量在某些特定条件下按照物理规律变化的情况。这些物理量所满足的按照物理规律变化的情况。这些物理量所满足的物理规律具有物理规律具有共性共性, ,它反映的是同一类物理现象的它反映的是同一类物理现象的共同规律。物理量受某些特定条件约束，所产生共同规律。物理量受某些特定条件约束，所产生的物理问题又各具有自身的特殊性，即的物理问题又各具有自身的特殊性，即个性个性。4具有共性的物理规律可以用偏微分方程的形式描述具有共性的物理规律可以用偏微分方程的形式描述，这些方程在不附加个性条件的情况下称为，这些方程在不附加个性条件的情况下称为

3、泛定方泛定方程程。约束物理量的特定条件可以使符合共性物理规律的约束物理量的特定条件可以使符合共性物理规律的物理量确定，或者说，也能够使满足泛定方程的解物理量确定，或者说，也能够使满足泛定方程的解确定下来，这些特定条件都可以称为确定下来，这些特定条件都可以称为定解条件定解条件。我。我们研究们研究数理方程的目的数理方程的目的就是为了确定方程的解，进就是为了确定方程的解，进而研究特定条件下物理量确定值或变化情况。而研究特定条件下物理量确定值或变化情况。数理方程基本知识5数理方程基本知识我们研究的这些定解条件或者约束物理量的特定条我们研究的这些定解条件或者约束物理量的特定条件大体可以分为两大类，一类关

4、乎于环境对物理量件大体可以分为两大类，一类关乎于环境对物理量发展过程的约束，这类约束主要体现于物理环境周发展过程的约束，这类约束主要体现于物理环境周围边界的物理状况，即围边界的物理状况，即边界条件边界条件。另一类关乎于物。另一类关乎于物理量发展的历史状况，或者说这个物理量之前是什理量发展的历史状况，或者说这个物理量之前是什么样的，这类约束主要体现于时间上我们人为定义么样的，这类约束主要体现于时间上我们人为定义从何时开始针对于物理量的研究，或者说这个物理从何时开始针对于物理量的研究，或者说这个物理量研究初始时的状况，即量研究初始时的状况，即初始条件初始条件。数学上数学上边界条件边界条件和和初始条

5、件初始条件也统称为也统称为定解条件定解条件。6数理方程基本知识由泛定方程、定解条件构成的研究数学物理方程的由泛定方程、定解条件构成的研究数学物理方程的问题称为问题称为数学物理定解问题数学物理定解问题，准确地说就是在给定，准确地说就是在给定定解条件下求解数学物理方程。定解条件下求解数学物理方程。偏微分方程的基本概念偏微分方程的基本概念偏微分方程的偏微分方程的阶数阶数 最高的求导次数最高的求导次数偏微分方程的偏微分方程的齐次与非齐次齐次与非齐次 不含有研究函数的非零项不含有研究函数的非零项偏微分方程的偏微分方程的线性与非线性线性与非线性 7数理方程基本知识 劈形算符符合矢量运算劈形算符符合矢量运算

6、222222=xyz Laplace算符算符222222=xyz8数理方程基本知识场的概念场的概念物理量在空间或一部分空间上的分布就称为物理量在空间或一部分空间上的分布就称为场场数量场和矢量场数量场和矢量场如果描写场的量是数量函数，也就是没有方向性如果描写场的量是数量函数，也就是没有方向性，只有大小之分，这个场就是，只有大小之分，这个场就是数量场数量场，如，如温度温度场，压力场场，压力场；如果描写场的量是矢量函数就称；如果描写场的量是矢量函数就称这个场为这个场为矢量场矢量场，如，如速度场、电磁场、引力场速度场、电磁场、引力场9数理方程基本知识场的表示场的表示除用点的函数来描写场的物理、力学性质

7、外，常在除用点的函数来描写场的物理、力学性质外，常在场中按一定规则绘出曲面或曲线来表示场中物理场中按一定规则绘出曲面或曲线来表示场中物理量分布；量分布；数量场数量场 矢量场矢量场 其中其中A中各个分量代表了场矢量在中各个分量代表了场矢量在x,y,z三个方向的三个方向的分量分量( , , ; )uu x y z t( , , ),( , , ), ( , , )AP x y z Q x y z R x y z10数理方程基本知识方向导数方向导数数量场函数数量场函数 沿射线沿射线的差商的极限存在，则称此极限为数量场在点的差商的极限存在，则称此极限为数量场在点沿方向沿方向 方向导数，记作方向导数，记

8、作如同一元函数导数反应的是函数变化率一样，方向导如同一元函数导数反应的是函数变化率一样，方向导数反应的是数量场在点数反应的是数量场在点 出沿方向出沿方向e对距离对距离的变化率。的变化率。( , , ; )uu x y z t000coscoscosxxyyzz000(,)xyzcos ,cos,cose( , , )eD u x y z000(,)xyz000000000( , , )(,)cos(,)cos(,)cosexyzD u x y zuxyzuxyzuxyz11数理方程基本知识梯度梯度gradu称为数量场称为数量场u的梯度，它的方向与的梯度，它的方向与u在在M点点上升上升的的最快的

9、方向同向最快的方向同向( , , )eD u x y zgardu euuugarduijkxyz12数理方程基本知识发散量发散量对于一般的矢量场对于一般的矢量场 和封闭曲面和封闭曲面 ，我们称，我们称 向着向着的外法矢量的外法矢量 方向流过方向流过 的流量为发散量的流量为发散量散度散度单位体积的发散量在点单位体积的发散量在点M0处的极限称为矢量场在点处的极限称为矢量场在点M0的散度，用于描述场发散或汇聚的快慢，记作的散度，用于描述场发散或汇聚的快慢，记作aana ds 0()diva M13数理方程基本知识Gauss定理定理对于一般的矢量场对于一般的矢量场 ()()()aP M iQ M j

10、R M k()()()()dVGP MQ MR Ma dsxyz14u基本知识基本知识u定解问题的确立及分析定解问题的确立及分析u定解问题求解之行波法定解问题求解之行波法u定解问题求解之分离变量法定解问题求解之分离变量法u定解问题求解之定解问题求解之Green函数法函数法u定解问题求解之积分变换法定解问题求解之积分变换法15泛定方程的建立如何获得给出问题的泛定方程？如何获得给出问题的泛定方程？将各类不均匀的非线性的物理问题以微分转化为均匀的将各类不均匀的非线性的物理问题以微分转化为均匀的线性的符合已知物理规律的问题；线性的符合已知物理规律的问题；例如：线的振荡问题通过分析线元受力获得；例如：线

11、的振荡问题通过分析线元受力获得； 杆的纵振动通过分析杆微元受力获得；杆的纵振动通过分析杆微元受力获得； 浓度扩散通过分析微小均匀体积内的扩散获得；浓度扩散通过分析微小均匀体积内的扩散获得； 温度扩散通过分析微小均匀体积内温度获得温度扩散通过分析微小均匀体积内温度获得16泛定方程的建立 17泛定方程的建立如何获得给出问题的泛定方程？如何获得给出问题的泛定方程？扩散方程结合高斯定律扩散方程结合高斯定律热传导定律结合高斯定律热传导定律结合高斯定律qD u qk u 18泛定方程的建立从物理角度看三大类泛定方程从物理角度看三大类泛定方程波动方程波动方程( (描述波的传播、杆振动、电路中电流传播等物描述

12、波的传播、杆振动、电路中电流传播等物理现象的泛定方程理现象的泛定方程) ) 其中齐次情况下其中齐次情况下f(M,t)=0f(M,t)=0输运方程输运方程( (描述温度传播、浓度扩散的泛定方程描述温度传播、浓度扩散的泛定方程) ) 其中齐次情况下其中齐次情况下f(M,t)=0f(M,t)=0稳态方程稳态方程( (描述静电场、稳定浓度分布的泛定方程描述静电场、稳定浓度分布的泛定方程) ) 其中齐次情况为拉普拉斯方程其中齐次情况为拉普拉斯方程2(, )ttuauf M t 2(, )tuauf M t (, )uf M t 19泛定方程的建立从数学角度看三大类泛定方程从数学角度看三大类泛定方程波动方

13、程波动方程 属于双曲型属于双曲型输运方程输运方程 属于抛物型属于抛物型稳态方程稳态方程 属于椭圆型属于椭圆型2(, )ttuauf M t 2(, )tuauf M t (, )uf M t 21211 1221211 1221211 12000aa aaa aaa a双曲型双曲型抛物型抛物型椭圆型椭圆型判定依据判定依据1112221220 xxxyyyxya ua ua ubub ucuf20定解条件的确定初始条件初始条件t=0t=0时刻物理量的状况，数学上可以是物理量本身的值时刻物理量的状况，数学上可以是物理量本身的值也可以是对时间变量的导数也可以是对时间变量的导数或者两者皆有或者两者皆有

14、( (视偏微分方程中对时间变量求导的阶数而定视偏微分方程中对时间变量求导的阶数而定) )注：注：1.1.初始条件描述物理量的状态为整个系统并非单个点初始条件描述物理量的状态为整个系统并非单个点; ; 2.2.稳定场问题没有初始状态；稳定场问题没有初始状态；0( , , )( , , )tu x y zx y z0( , , )( , , )ttu x y zx y z21定解条件的确定边界条件边界条件边界上物理量的状况，数学上可以是物理量本身的值也可以边界上物理量的状况，数学上可以是物理量本身的值也可以是物理量在边界外法线方向上方向导数的值，或上述两种情是物理量在边界外法线方向上方向导数的值，

15、或上述两种情况的线性组合，具体分为三种边界条件：况的线性组合，具体分为三种边界条件：第一类第一类 狄里希利问题狄里希利问题第二类第二类 诺依曼问题诺依曼问题第三类第三类 注：边界问题同样需要与阶数相同的条件个数来确定解注：边界问题同样需要与阶数相同的条件个数来确定解( , )(, )(, )( , )(, )u r tf M tuf M tnuu r tf M tn22定解问题的形成及分析200(M,t)( , )(, )( , )(M),( , )(M)tttttuauFuu r tf M tnu r tu r t 泛定方程的齐次与非齐次；边界条件的类型；是否有初泛定方程的齐次与非齐次；边界

16、条件的类型；是否有初始条件；始条件；可用的方法：可用的方法：行波法行波法( (达朗贝尔公式达朗贝尔公式) )，分离变量法，分离变量法+ +傅傅里叶级数法里叶级数法+ +冲量定理法冲量定理法+ +叠加原理，叠加原理，GreenGreen函数函数(+(+冲量冲量定理定理) )，积分变换法；，积分变换法；23u基本知识基本知识u定解问题的确立及分析定解问题的确立及分析u定解问题求解之行波法定解问题求解之行波法u定解问题求解之分离变量法定解问题求解之分离变量法u定解问题求解之定解问题求解之Green函数法函数法u定解问题求解之积分变换法定解问题求解之积分变换法24定解问题求解之一行波法无界一维波动问题

17、无界一维波动问题的特殊求解的特殊求解达朗贝尔公式达朗贝尔公式2000( ),( )ttxxtttua uux ux11( , ) ()()( )22x atx atu x txatxatda 25u基本知识基本知识u定解问题的确立及分析定解问题的确立及分析u定解问题求解之行波法定解问题求解之行波法u定解问题求解之分离变量法定解问题求解之分离变量法u定解问题求解之定解问题求解之Green函数法函数法u定解问题求解之积分变换法定解问题求解之积分变换法26定解问题求解之二分离变量法齐次齐次泛定方程泛定方程及及边界条件定解问题边界条件定解问题求解思路求解思路( (具有变量分离形式的试探解具有变量分离形

18、式的试探解 ) )回代入方程探讨关于回代入方程探讨关于x x的特征值及特征函数的特征值及特征函数根据边界条件确定特征值及特征函数根据边界条件确定特征值及特征函数傅里叶级数确定含时间函数级数形式的系数傅里叶级数确定含时间函数级数形式的系数200000,0(0)( ),( )ttxxxx ltttua uuuxlux ux ( ) ( )uX x T t1( , )(cossin)sinnnnn atn atn xu x tABlll27定解问题求解之二分离变量法非齐次非齐次泛定方程，泛定方程，齐次齐次边界条件定解问题边界条件定解问题( (方案一方案一) )结合分离变量法与傅里叶级数法结合分离变量

19、法与傅里叶级数法确定泛定方程解的傅里叶级数形式确定泛定方程解的傅里叶级数形式( (通过齐次方程分离变通过齐次方程分离变量推导量推导) )，保证基函数不变，系数改变，保证基函数不变，系数改变， 通过分离变量确定通过分离变量确定回代非齐次方程利用待定系数法求解关于回代非齐次方程利用待定系数法求解关于 的级数解的级数解2000(, )0,0(0)( ),( )ttxxxx ltttua uF M tuuxlux ux 1( , )( )( )nnnu x tT t Xx( )nT t28定解问题求解之二分离变量法非齐次非齐次泛定方程，泛定方程，齐次齐次边界条件定解问题边界条件定解问题( (方案二方案

20、二) )通过叠加原理分解问题，再通过分离变量法与冲量定理法通过叠加原理分解问题，再通过分离变量法与冲量定理法求解求解(Page164(Page164页页) )2000(, )0,0(0)( ),( )ttxxxx ltttua uF M tuuxlux ux 29定解问题求解之二分离变量法齐次齐次泛定方程，泛定方程，非齐次非齐次边界条件定解问题边界条件定解问题构建函数取构建函数取 ，利用构建的函数，利用构建的函数 使使 在边界上变为齐次条件在边界上变为齐次条件(page173)(page173)20000( ),( )(0)( ),( )ttxxxx ltttua uut utxlux ux(

21、 , )( , )( , )u x tv x tw x t( , )v x t( , )w x t30定解问题求解之二分离变量法球坐标拉普拉斯方程的分离变量过程球坐标拉普拉斯方程的分离变量过程自然边界条件的概念及一般应用自然边界条件的概念及一般应用勒让德方程的形式勒让德方程的形式贝塞尔方程的形式贝塞尔方程的形式欧拉型方程的形式及求解方法欧拉型方程的形式及求解方法31定解问题求解之二分离变量法线性二阶常微分方程的级数解法线性二阶常微分方程的级数解法常点和奇点的定义及判别常点和奇点的定义及判别220001( )( )0()C ,()Cd wdwp zq z wdzdzw zw z32u基本知识基本

22、知识u定解问题的确立及分析定解问题的确立及分析u定解问题求解之行波法定解问题求解之行波法u定解问题求解之分离变量法定解问题求解之分离变量法u定解问题求解之定解问题求解之Green函数法函数法u定解问题求解之积分变换法定解问题求解之积分变换法33定解问题求解之三Green函数法定解问题转化为格林函数的定解形式定解问题转化为格林函数的定解形式泊松方程的基本积分公式泊松方程的基本积分公式各类边值条件下格林函数解的形式各类边值条件下格林函数解的形式第一类边值问题的积分表示式第一类边值问题的积分表示式第三类边值问题的积分表示第三类边值问题的积分表示格林函数的基本解格林函数的基本解34u基本知识基本知识u

23、定解问题的确立及分析定解问题的确立及分析u定解问题求解之行波法定解问题求解之行波法u定解问题求解之分离变量法定解问题求解之分离变量法u定解问题求解之定解问题求解之Green函数法函数法u定解问题求解之积分变换法定解问题求解之积分变换法35定解问题求解之四积分变换法傅里叶变换及逆变换的形式傅里叶变换及逆变换的形式(Page 78)(Page 78)傅里叶变换的特性傅里叶变换的特性无界问题的傅里叶变换求解无界问题的傅里叶变换求解(Page 329)(Page 329)拉普拉斯变换及逆变换的形式拉普拉斯变换及逆变换的形式拉普拉斯变换的特性拉普拉斯变换的特性限定源浓度扩散问题的求解限定源浓度扩散问题的求解