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1、一、多元复合(fh)函数求导的链式法则定理(dngl). 若函数处偏导连续(linx), 在点 t 可导, 则复合函数证: 设 t 取增量t ,则相应中间变量且有链式法则vut有增量u ,v ,t第1页/共21页第一页，共22页。( 全导数(do sh)公式 )zvutt(t0 时,根式(gnsh)前加“”号)tvvztuuztzdddddd第2页/共21页第二页，共22页。若定理(dngl)中 说明(shumng): 例如(lr):易知:但复合函数偏导数连续减弱为偏导数存在, 则定理结论不一定成立.第3页/共21页第三页，共22页。推广(tugung):1) 中间变量多于两个(lin )的情
2、形. 例如,设下面所涉及(shj)的函数都可微 .2) 中间变量是多元函数的情形.例如,z第4页/共21页第四页，共22页。又如,当它们都具有(jyu)可微条件时, 有注意(zh y):这里(zhl)xzxz表示固定 y 对 x 求导,xf表示固定 v 对 x 求导与不同,口诀 :分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导第5页/共21页第五页，共22页。例1. 设解:xzyzveusinxvvzyvvzveucosz第6页/共21页第六页，共22页。例2. 设.,yzxz求解:xzyzxuuzxvvzyuuzyvvzzvuyxyx令则提示(tsh)：也可看成(kn chn)幂指函数ez )
3、3ln(3432yxyx第7页/共21页第七页，共22页。例3.解:口诀(kuju) :分段用乘, 分叉(fn ch)用加, 单路全导, 叉路偏导第8页/共21页第八页，共22页。例4. 设 zt求全(qiqun)导数解:注意：多元抽象复合函数求导是一类(y li)重要的典型求导问题下列两个(lin )例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.第9页/共21页第九页，共22页。例5. .设可导，求解：)(22xyyxf题目(tm)改为，则令vuxz第10页/共21页第十页，共22页。为简便(jinbin)起见 , 引入记号例6. 设 f 具有(jyu)二阶连续偏导数,求解: 令zyx则
4、第11页/共21页第十一页，共22页。二、多元复合函数(hnsh)的全微分设函数(hnsh)的全微分(wi fn)为这说明无论 u , v 是自变量还是中间变量, 则复合函数都可微, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性.第12页/共21页第十二页，共22页。例1 .,sinyxvyxuvezu.,yzxz求例 8.利用(lyng)全微分形式不变性再解例1. 解:所以(suy),sinyxvyxuvezu第13页/共21页第十三页，共22页。解解 例9. 已知第14页/共21页第十四页，共22页。例10. 计算(j sun)函数的全微分(wi fn). 解: 注意: x ,
5、y , 具有(jyu) 轮换对称性 第15页/共21页第十五页，共22页。内容(nirng)小结1. 复合(fh)函数求导的链式法则“分段(fn dun)用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”例如, 3f2. 全微分形式不变性不论 u , v 是自变量还是因变量,第16页/共21页第十六页，共22页。思考(sko)与练习xz1.第17页/共21页第十七页，共22页。2. 已知求解: 由两边(lingbin)对 x 求导, 得第18页/共21页第十八页，共22页。3. 求),(yxfz 在点)1 , 1(处可微 , 且设函数解: 由题设(考研(ko yn)第19页/共21页第十九页，共22页。4:
6、 已知解:221fygx21第20页/共21页第二十页，共22页。感谢您的观看(gunkn)！第21页/共21页第二十一页，共22页。NoImage内容(nirng)总结一、多元复合函数求导的链式法则。在点 t 可导,。证: 设 t 取增量(zn lin)t ,。有增量(zn lin)u ,v ,。( 全导数公式 )。1) 中间变量多于两个的情形. 例如,。表示固定 y 对 x 求导,。表示固定 v 对 x 求导。例4. 设。注意：多元抽象复合函数求导是一类重要的典型求导问题。为简便起见 , 引入记号。解: 令。这说明无论 u , v 是自变量还是中间变量,。两边对 x 求导, 得。处可微 , 且。4: 已知第二十二页，共22页。
D多元函数复合函数求导法则实用教案
