第10章弹性力学空间问题

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1、第十章 弹性力学空间问题知识点空间柱坐标系空间轴对称问题的基本方程空间球对称问题的基本方程布西内斯科解分布载荷作用区域外的沉陷弹性球体变形分析热应力的弹性力学分析方法坝体热应力质点的运动速度与瞬时应力膨胀波与畸变波柱坐标基本方程球坐标的基本方程位移表示的平衡微分方程乐普位移函数载荷作用区域内的沉陷球体接触压力分析受热厚壁管道弹性应力波及波动方程应力波的相向运动一、内容介绍对于弹性力学空间问题以及一些专门问题，其求解是相当复杂的。本章的主要任务是介绍弹性力学的一些专题问题。通过学习，一方面探讨弹性力学空间问题求解的方法，这对于引导大家今后解决某些复杂的空间问题，将会有所帮助。另一方面，介绍的弹性

2、力学专题均为目前工程上普遍应用的一些基本问题，这些专题的讨论有助于其它课程基本问题的学习，例如土建工程的地基基础沉陷、机械工程的齿轮接触应力等。本章首先介绍空间极坐标和球坐标问题的基本方程。然后讨论布希涅斯克问题，就是半无限空间作用集中力的应力和沉陷。通过布希涅斯克问题的求解，进一步推导半无限空间作用均匀分布力的应力和沉陷、以及弹性接触问题。另一方面，本章将介绍弹性波、热应力等问题的基本概念。二、重点1、空间极坐标和球坐标问题；2、布希涅斯克问题；3、半无限空间作用均匀分布力的应力和沉陷；弹性接触问题；4、弹性波；5、热应力。10.1 柱坐标表示的弹性力学基本方程学习思路:对于弹性力学问题，坐

3、标系的选择本身与问题的求解无关。但是，对于某些问题，特别是空间问题，不同的坐标系对于问题的基本方程、特别是边界条件的描述关系密切。某些坐标系可以使得一些特殊问题的边界条件描述简化。因此，坐标系的选取直接影响问题求解的难易程度。例如对于弹性力学的轴对称或者球对称问题，如果应用直角坐标问题可能得不到解答，而分别采用柱坐标和球坐标求解将更为方便。本节讨论有关空间柱坐标形式的基本方程。特别是关于空间轴对称问题的基本方程。学习要点：1、空间柱坐标系；2、柱坐标基本方程；3、空间轴对称问题的基本方程。1、空间柱坐标系在直角坐标系下，空间任意一点M的位置是用3个坐标（x，y，z）表示的，而在柱坐标系下，空间

4、一点M 的位置坐标用（r，j，z）表示。直角坐标与柱坐标的关系为：x =r cos j ， y =r sin j ， z = z柱坐标下的位移分量为： ur， uj ， w柱坐标下的应力分量为： sr， sj ，sz，trj，tj z，tzr柱坐标下的应变分量为： er， ej ，ez，grj，gj z，gzr以下讨论柱坐标系的弹性力学基本方程。2、柱坐标基本方程1、平衡微分方程2、几何方程3、物理方程其中3、空间轴对称问题的基本方程对于轴对称问题，即物体的几何形状，边界条件和约束条件等外界因素均对称于某一坐标轴，例如 z 轴时，则根据变形的对称性，有根据几何方程，则 ，而根据本构方程，则 。

5、其余应变分量和应力分量仅是坐标r ,z的函数，而与坐标j 无关。因此，基本方程可以简化为1、平衡微分方程2、几何方程3、本构方程10.2 球坐标表示的弹性力学基本方程学习思路:对于弹性力学问题，坐标系的选择本身与问题的求解无关，但是坐标系的选择与问题的基本方程、特别是边界条件的描述关系密切。因此，坐标系的选取直接影响问题求解的难易程度。对于球体、特别是球对称问题，采用球坐标求解将更为方便。这些问题如果应用直角坐标问题可能得不到解答。本节讨论空间球坐标系的基本方程表达形式。对于空间球对称问题的基本方程表达形式作专门的探讨。学习要点：1、球坐标的基本方程；2、空间球对称问题的基本方程1、球坐标的基

6、本方程在球坐标系下，空间一点M的位置是用3个坐标（R，q，j）表示。直角坐标与球坐标的关系为如果分别采用 表示柱坐标下的位移分量；采用 和 分别表示柱坐标下的应力和应变分量。则它们应该满足下列方程，有1、平衡微分方程2、几何方程3、物理方程2、空间球对称问题的基本方程对于球对称问题，也就是说物体的几何形状，约束条件，外力和其他外界因素都对称于某一点（例如坐标原点）。由于变形的对称性，则 。根据几何方程和本构方程，则 和 ，其余的应变分量和应力分量也仅是坐标R 的函数，而与坐标q，j 无关。而且 。因此基本方程可以简化为如果将球对称位移代入平衡微分方程，则球对称条件下的位移表示的平衡微分方程为1

7、0.3 半无限平面受法向力的作用学习思路:1885年，布西内斯科（Boussinesq.J.V）首先求解了半无限平面受法向集中力作用的问题，因此该问题称为布西内斯科问题。 这一问题的求解是弹性力学最有理论价值的结论之一。布西内斯科问题的求解对于地基应力、基础沉陷和弹性力学接触等领域的研究工作具有重要的应用价值，为相关学科的理论研究奠定了基础。根据结构分析，问题是空间轴对称问题，因此采用柱坐标求解。求解方法采用位移法，求解步骤为：1、建立位移表示的平衡微分方程。2、引入乐甫（love）位移函数简化问题分析。这一方面简化问题分析，使得基本方程成为双调和方程；另一方面，乐甫函数作为基本未知量可以表达

8、弹性体的位移和应力分量，因此减少了面力边界条件在位移解法中应用的困难。3、根据问题的性质假设乐甫位移函数，并且通过边界条件确定函数的待定系数。4、回代可以确定问题的位移，特别是半无限平面的沉陷等。学习要点：1、位移表示的平衡微分方程；2、乐甫位移函数与基本方程；3、乐甫位移函数的选择与基本未知量；4、边界条件与布西内斯科解。1、位移表示的平衡微分方程设半无限体的表面受法向集中力F的作用，选取坐标系如图所示在不计重力的条件下，求半无限体内的应力和位移分布情况。对于半无限平面受法向集中力F的作用问题。根据结构的受力分析，显然这是一个空间轴对称问题，因此采用柱坐标求解。问题的求解有多种方法，下面讨论

9、位移法求解。将轴对称问题的本构方程代入平衡微分方程则可以得到位移表示的平衡微分方程其中，空间轴对称问题的拉普拉斯算符为 。如果不计体力，则平衡微分方程可以简化为 2、乐甫位移函数与基本方程对于无体力的半无限平面受法向集中力作用问题，基本方程为在给定边界条件下求解位移表示的平衡微分方程。对于空间轴对称弹性体分析，可以引入乐甫（love）位移函数简化问题分析。设位移分量为将上述位移分量代入平衡微分方程，可以得到关于y (r，z)的双调和方程。y (r，z)称为乐甫函数。因此，问题就归结于在给定的边界条件下求解双调和函数y (r，z)。引入乐甫位移函数一方面可以简化问题，使得基本方程成为双调和方程；

10、另一方面由于乐甫函数作为基本未知量可以表达弹性体的位移和应力分量，因此减少了面力边界条件在位移解法中应用的困难。将乐甫函数表达的位移分量代入几何方程和本构方程，则问题求解的关键是建立双调和函数y (r，z)。3、乐甫位移函数的选择与基本未知量根据量纲分析，应力分量表达式应为 F 乘以r，z，R 等长度坐标的负二次幂，位移分量应为长度坐标的负一次幂函数。如果注意到应变分量和位移分量之间的关系，以及应变分量和应力分量之间的关系，可以知道，乐甫函数y(r，z) 为r，z，R的正一次幂的双调和函数。所以设乐甫位移函数为其中 ，而A和B为任意常数。将乐甫函数代入位移和应力分量表达式，则可以得到位移分量应

11、力分量4、边界条件与布西内斯科解根据面力边界条件，有 。根据上述边界条件第二式，可得考虑距离表面为z 的水平面上的正应力的合力由平衡条件，有求解可以得到联立求解上述方程，可得。回代可得位移分量为应力分量为根据位移表达式，对于任何一条常数的直线上，位移与距坐标原点的距离成反比。在无穷远点，位移趋于零。在 z = 0的平面上，即半无限体表面上任一点的法向位移（即沉陷）为上式对于任意的 z =0，而r 0均成立。公式表明，半无限体表面的沉陷与该点到力的作用点的距离成反比。上述公式称为布西内斯科解。10.4 半无限平面作用法向分布载荷学习思路:通过布西内斯科问题解答的叠加，可以得到表面区域作用分布载荷

12、问题的解答。本节讨论半无限体，表面半径为a到圆形区域，作用均匀法向分布力问题。分析半无限弹性体的应力和位移分布等，特别是表面沉陷问题。问题分为三个部分讨论。一是载荷作用区域中心点下方的位移；二是载荷作用区域外的沉陷；三是载荷作用区域内的沉陷。由于分布载荷是连续的，因此问题的迭加工作可以通过积分完成。这里应该特别注意的是布西内斯科解的坐标在积分中的变换问题。由于坐标的变换，因此对于每一个问题都要建立积分的局部坐标。积分坐标变换是本节学习的难点。学习要点：1、载荷作用区域中心点下方的位移；2、载荷作用区域外的沉陷；3、载荷作用区域内的沉陷。1、载荷作用区域中心点下方的位移在半无限体的表面半径为a到

13、圆形区域作用法向分布力，其应力分量和位移分布情况可以通过半无限体受法向集中力的结果迭加得到。设圆形区域的半径为a，单位面积的压力为q，如图所示首先分析载荷作用圆形区域中心下面（即z轴上）任意一点的位移表达式。对于圆形区域中心下面任意一点M，由于对称性，有z方向的位移分量可以根据公式的第二式得到。引进变量b, 并且注意到则环形面积上的分布载荷q引起圆形区域中心下面任意一点M 的位移为所以令上式中z=0，则可得载荷圆域中心点的沉陷为2、载荷作用区域外的沉陷下面讨论半无限体表面的沉陷。对于半无限体表面上的点M，则必须首先区分它在载荷圆形区域之外，还是在圆形区域之内。如果点M 位于载荷圆形区域之外，则

14、由图可见变量s 和y作为描述圆形区域的局部坐标，则根据公式可得图中阴影部分的合力在M点产生的沉陷为因此，M点的总沉陷为对上式进行积分，注意到弦mn的长度，即 并且在积分时考虑对称性，可得积分上限y1是y的最大值，即圆的切线与OM之间的夹角，对于确定的点M，它是确定的值。为了简化运算，我们引进变量j ，由图可见，它与y 之间的关系为a sinj = r siny由此可得将上式代入积分公式，并且注意到当y从0变化到y1 时，j由0变化到p/2，于是上式右边的两个积分为椭圆积分，他们可以按照 a/r 的数值从函数表中查出。当r =a时，则3、载荷作用区域内的沉陷如果点M位于载荷圆域内部，考虑图中的阴

15、影部分（其面积为dA=sdyds）在点M 引起的沉陷，然后经积分，得到总沉陷为由于弦mn的长度，即 ，而y是由0变化到p/2的，所以利用关系式a sinj = r siny，则上式成为上式右边的椭圆积分，可以通过查表而得到。若令r =0，则可以得到公式 的结果，它是半无限体表面的最大沉陷。将公式 和公式 相比较，可见最大沉陷是载荷圆边界沉陷的p/2倍。由公式可以看到，最大沉陷不仅与载荷集度q成正比，而且还与载荷圆的半径成正比。半无限体表面作用分布载荷的应力分量同样可以使用叠加法求解。10.5 赫兹接触问题学习思路:1881年,赫兹（hertz,H.R）首先研究了弹性球体的接触问题。本节以弹性球

16、体的接触介绍接触问题的基本概念。由于球体的接触区域对于弹性球体是局部，因此，弹性球体的接触问题可以以半无限平面分布载荷解为基础，分析接触区域的局部变形。这里的问题是球体接触压力是未知函数，因此必须首先根据球体的变形确定未知接触压力。赫兹认为接触区域（半径为a的圆）的压力与接触区域半球面的纵坐标成正比。根据这一假设和球体变形分析，可以确定接触压力分布函数和接触区域。进一步的讨论可以确定球体的接触应力和变形。学习要点：1、弹性球体变形分析；2、球体接触压力分析。1、弹性球体变形分析设弹性球体的半径分别为A1和A2，变形前两球体在O点接触（相切）。两个球体在其中心均受集中力F的作用，变形后球体在半径

17、为 a 的圆形区域接触。接触区域内任意一点与中心的距离为r，并且球体在r的沉陷分别为z1， z2 ，则其中 。由于接触区域对于弹性球体是局部，因此r 远小球体的半径A1和A2, 因此可以采用半无限平面解答分析接触局部变形。对于两球体距离接触面足够远的任意两点A1和A2,由于相互压缩而相互接近的距离为d，相对位移分别为w1和w2，则如果将球体接触面看作弹性半无限体作用圆形区域分布载荷问题，A1和A2为球体接触面上的点，则位移为，其中, E1，n1和E2，n2分别为球体R1，R2的弹性模量和泊松比。则2、球体接触压力分析应该注意的是，这里接触压力q是未知函数，因此，首先必须确定圆形区域的接触分布载

18、荷。赫兹认为接触区域的接触压力与接触区域半球面的纵坐标成正比。根据这一假设和球体变形分析，可以确定接触压力分布函数和接触区域，有其中qmax为接触区域中心的压力， r siny 为接触区域内部任意一点与接触区域中心的距离。如图所示因为s长度mn为 。s长度mn中点的压力为q(r)，所以因此， ，回代可得，因此 。圆形接触区域的半径为。最大接触压力为。如果E1=E2=E，n1=n2=0.3，则圆形接触区域的半径为球体接触为。根据上述分析，也可以进一步求解球体的接触应力分布。10.6 弹性力学热应力问题学习思路:弹性体由于环境温度的变化而导致膨胀和收缩，并且伴随产生应力，这种由于温度改变出现的应力

19、称为温度应力，或者热应力。对于某些在温度变化环境下工作的工程结构，热应力是不容忽视的。本节将通过简例扼要说明热应力的弹性力学分析方法。对于热应力问题，平衡微分方程和几何方程是相同的，不同的是物理方程。通过受热厚壁管道和坝体热应力分析，介绍热应力问题分析和求解的基本方法。学习要点：1、热应力的弹性力学分析方法；2、受热厚壁管道；3、热弹性势函数和管道热应力；4、楔形体坝体；5、坝体热应力。1、热应力的弹性力学分析方法对于各向同性弹性体，在均匀温度下受热将发生膨胀，如果变形前的三个坐标方向尺寸相同，均为l，变形后各个方向的伸长均为al，a称为线膨胀系数。如果温度变化为T，则各个坐标方向的线应变为如

20、果弹性体所处的环境温度是随着时间和空间变化的，称为温度场。在直角坐标系，温度场是时间和坐标的函数，有 T= T (x，y，z，t)。如果温度场不随时间变化（ ），称为定常温度场，即热源强度W=0。否则均为非定常温度场。温度场是一种数量场。热量的传递引起温度的变化，也就是温度梯度的变化。如果单位时间、单位面积上传递的热量定义为热流密度，显然热流密度与温度梯度成正比，方向相反。这一规律称为傅立叶定律。以下给出平面热应力问题的基本方程。对于热应力问题，平衡微分方程和几何方程是相同的，不同的是物理方程。平面应力问题，本构方程为平面应变问题，本构关系为下面给出受热管道和坝体的热应力分析结果。2、受热厚壁

21、管道对于受热厚壁管道，设管道的内径为a，外径为b。管道内温度增量为Ta，管道外温度增量为0，管道内无热源时管道内热应力为0。由于管道为定常温度场，根据热传导方程可以得到作为轴对称温度场，有 。积分可得 。根据边界条件 ，可以得到 。则。对于轴对称问题，有 。平衡微分方程为 。几何方程 。本构方程将上述应力分量代入平衡微分方程，有。3、热弹性势函数和管道热应力引入热弹性势函数F (r)，使得 。注意到 ，将F (r)代入平衡微分方程，可得求解可得 。其中 。令则注意到上述应力分量在边界r = a 和r = b分别等于常数q1和q2，这与命题边界条件不符。对这一问题，可以借助平面轴对称问题的解，叠

22、加可以得到管道热应力4、楔形体坝体对于顶角为2b的楔形体坝体，坝体内部的热应力是一个重要的工程实际问题。这个问题比较复杂，引起温度变化的原因也是多方面的。这里仅讨论楔形体坝体中心线的温度变化为T0，坝体两侧面温度变化为零的情况。设坝体内部的温度变化为坝体问题属于平面应变问题，但是为了使得问题简化，先按照平面应力问题分析。对于弹性力学平面应力问题的位移解法，热弹性势函数F 满足即取热弹性势函数 ，代入上式，可得所以回代可得根据上述热弹性势函数，可以得到应力分量的特解其中5、坝体热应力上述应力分量特解在边界的值为为了消除与原命题不符的上述应力场，类似地叠加一个相反的应力场。为此考虑应力函数因为F

23、为双调和函数，所以根据平面问题的极坐标解，可以求解应力场 ，叠加可以得到楔形体坝体的热应力计算公式根据上述应力表达式，最大拉应力在坝体边界，有10.7 弹性波初等理论学习思路:变形物体受突加载荷作用后，将产生变形。这种变形和与之伴随而生的应力并不能立即传递到物体的其它部分。在开始时刻，物体的变形仅仅在加载区域的临近区域产生，而这个邻域以外的部分则仍处于未扰动状态。其后，物体的变形和应力便以波的形式向远处传播。由于载荷作用时间与波的传播过程相比要短的多，因此，物体运动方式主要表现为波的传播。根据介质的物理性质，边界条件和载荷的作用方式，波的传播过程将呈现各种不同的特性。本节主要介绍弹性波的基本理

24、论，主要介绍概念为：1、讨论弹性波和波动方程。这个问题通过半无限长弹性杆件说明，因此不存在波的反射问题的；2、根据波动方程分析质点的运动速度与瞬时应力的关系；3、讨论弹性波的相向运动。由于有限长杆件的弹性波问题必然存在波的反射；4、介绍部分常见弹性应力波。弹性波问题是一个相当复杂的问题。根据扰动源、介质性质和物体形态的不同，将使得问题出现各种复杂，但是有趣的现象。此外还有其它形式传播的弹性波，非弹性波。这些弹性波问题对应一定的工程技术应用问题。本节介绍的仅仅是弹性波理论的初等理论。学习要点：1、弹性应力波及波动方程；2、质点的运动速度与瞬时应力；3、应力波的相向运动；4、膨胀波与畸变波。1、弹

25、性应力波及波动方程首先以半无限长弹性细杆为例研究弹性应力波在杆内向远处传播的规律。设材料的弹性模量为E，密度为r。设杆件所受载荷比较小，使得杆端应力s ssd，ssd为材料的动屈服极限。同时设载荷为压力，则杆件传播的是弹性压缩波。因此设压缩应力为正，则运动方程（波动方程）为其中 是一个与应力大小无关的常数，为杆件中弹性纵波的波速。对于金属材料而言，其数量级为每秒几千米（弹性横波的波速一般是纵波的一半）。一般材料的C0值可以查表得到。应该指出，波的传播速度u 和在波传播中材料质点的运动速度v 是两个不同的物理量，不能相互混淆。材料的质点受到扰动后，只能在平衡位置附近运动，其运动速度称为质点的速度

26、v。而质点将所受到的干扰相继传播到相邻质点的速度，称为波的传播速度u。对于波动方程这个二阶微分方程可以改写作与之等价的一阶偏微分方程组，如果令 ，则 ，所以 。波动方程可以写作上述方程写作矩阵形式，有即。其中2、质点的运动速度与瞬时应力进一步分析可以看到，质点的运动速度与瞬时应力s 成正比，它比较波速要小的多，并且可以根据波动方程直接求解得到。实际上，对于现在讨论的半无限长弹性细杆在端部受动力作用，而且没有反向波，则波动方程的解可以简化为因此，可以得到上式根据本构方程和几何方程得到的应力s是拉伸为正，而弹性波问题中规定压应力为正，所以应力相差一个符号，考虑这一因素，比较s 和v的表达式，可以得

27、到 或者 s r C0v=Zs。上述分析中规定压应力为正，常数Zs=r C0。上述公式表明：1、质点的运动速度v与瞬时应力s 成正比，比例常数Zs=r C0 称为声阻抗率，其单位为Pas/m。2、如果杆件端部受到压力，则波的传播方向u与质点的运动速度v方向和应力方向s 一致。反之，如果杆件端部受到拉力作用，则波的传播方向与质点的运动v速度方向和应力s方向相反。3、 可以解释或者推导为：在t时刻，假设杆件端部的应力是不变的，因而杆件的受压缩长度为 ，在x 的杆件内，没有受到扰动。在扰动段内， 。因此，杆件端部的总位移为 。在这个时间内，杆件端部的位移同时应该为vt，令二者相等，则可以得到质点的运

28、动速度v与瞬时应力s 的关系。3、应力波的相向运动对于有限长杆件，干扰作用的弹性应力波将在杆件端部产生反射，因此需要考虑两个相向运动的应力波的作用。假如两个相向运动的应力波的应力分别为s1和s2，符号相同。由于弹性波的控制方程是线性的，所以当两个波相遇时，其重叠部分的应力和速度可以使用叠加法计算。但是应该注意，这里是代数值叠加，应该注意符号。对于相同符号的应力波相遇之后，在波形重合部分的应力为两应力波应力之和，符号不变，而速度则为二者之差，符号与二者中绝对值最大的相同。两弹性波分离后，则各自按照原来的波形传播。如果两个相向运动的应力波应力符号相反，则两波相遇之后，其波形重合部分的应力为两应力波

29、应力之差，符号与二者中绝对值最大的相同，而速度则为二者之和。两弹性波分离后，仍然各自按照原来的波形传播。显然，如果两个应力值相等，波的长度相同，但应力符号相同的波相遇之后，应力加倍，而质点速度相互抵消。即波重叠部分的应力加倍，而质点速度变为零。而两个应力值相等，波的长度相同，但应力符号相反的波相遇之后，应力相互抵消，即其重叠部分的应力变为零，而质点速度加倍。对于有限长杆件的任意B 截面，如果同号应力波在截面相遇，则应力加倍，而速度为零，这个现象相当于有限长杆件的固定端。而对于异号应力波在截面相遇，则B 截面应力为零，而速度加倍为零，这相当于有限长杆件的自由端。因此，对于有限长杆件，当波由扰动端

30、向远端传播时，必然发生波的反射，生成反射波。这个反射波相当于从远端传来的相向运动的波。根据上述分析可以得到：1、波由固定端反射后，应力增加至入射波的两倍，质点速度减小为零，波的性质不变（即拉伸波仍为拉伸波，压缩波仍为压缩波）。2、波由自由端反射后，应力减少为零，质点速度增加至入射波质点速度的两倍，波的性质改变（即拉伸波变为压缩波，压缩波变为拉伸波）。4、膨胀波与畸变波在弹性介质中传播的应力波的研究无疑属于空间问题，根据介质的性质将出现各种复杂情况。其中影响最大的是膨胀波（又称为无旋波）和畸变波。膨胀波的波速为 。畸变波的波速为 。显然膨胀波波速大于畸变波波速。另外沿弹性体表面传播的波称为表面波，又称为瑞利波，这种波在物体表面以倒转的椭圆形轨迹向远处传播，而且沿深度衰减很快。当材料的泊松比为0.25时，其传播速度为此外还有其它形式传播的弹性波，非弹性波。根据扰动源、介质性质和物体形态的不同，将使得问题出现各种复杂，但是有趣的现象。这些在工程技术和科学研究等方面都有广泛的应用。25