数学的对称性及其在若干数学问题中的应用毕业论文

《数学的对称性及其在若干数学问题中的应用毕业论文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学的对称性及其在若干数学问题中的应用毕业论文（25页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、编号：本科毕业论文数学的对称性及其在若干数学问题中的应用系 院：数学科学系姓 名： 学 号：0831130103专 业：小学教育（数学方向）年 级：2008级完成日期：2012年5月22摘 要对称是自然界和人类社会中普遍存在的形式之一,是其运动、变化和发展的规律之一。人们在认识和解决具有对称或对等以及反对等性的问题过程中产生和形成的思想、方法,我们称之为对称思想方法;数学家们用数学的思想、方法解决这类问题所产生和形成的思想与方法,我们称之为数学对称思想方法。数学的对称性在数学解题与分析中具有重要的作用。本文将围绕着数学对称性的基本性质及其在实际的数学解题中的应用展开对数学对称性的全面分析，旨在

2、充分揭示对称性在数学中作为一种工具和方法的优势，加深对数学对称性的理解和认识，以求在数学教学或实际解题中充分发挥对称性的应用。关键字：数学对称；几何运用；对称思想；对称原理AbstractSymmetry is one of the common form in nature and human society, is one of the movement, change and development of the law. People understand and resolve with symmetric or opposition of the process and the f

3、ormation of ideas, methods, which we call a symmetric way of thinking; mathematicians use mathematical thinking, methods to solve such problems and the formation of ideas and methods, which we call the mathematical symmetry of thinking. Mathematical symmetry plays an important role in mathematical p

4、roblem solving and analysis. This article will focus on the basic nature of the mathematical symmetry and its actual mathematical problem solving to commence a comprehensive analysis of mathematical symmetry, to fully reveal the symmetry in mathematics as a tool and method of the advantages of deepe

5、n understanding and awareness of mathematical symmetry, in order to give full play to the application of symmetry in mathematics teaching, or practical problem solving.Keywords: mathematical symmetry; geometry use; symmetrical thinking; symmetry principle目 录摘 要IAbstractI1 引言22.关于对称性的概述22.1 对称的概念22.3

6、 对称性的作用32.2.1 对称性在数学发展中的作用32.2.2 对称性在促进我们全面发展中的作用43.数学对称性的表现形式43.1 图形的对称性43.2 公式的对称性53.3 定理的对称性63.4 解题方法的对称性64. 对称性的认知过程与数学解题74.1 联系具体实例,感知对称性74.2 提炼对称因素,发现对称性84.3 提高感知能力,欣赏对称性94.4 回归生活实际,创造(或应用)对称性105.对称性在数学解题的运用105.1 运用对称性,理解基础知识105.1.1 概念的理解105.1.2 公式的记忆115.2 运用对称性,掌握思想方法115.2.1 掌握对称思想方法125.2.2 掌

7、握其他思想方法135.3 运用对称性,寻求解题思路135.3.1 运用轴对称,寻求解题思路135.3.2 运用中心对称,寻求解题思路145.3.3 运用轴对称变换,寻求解思路155.3.4 运用对称思想,寻求直觉解题165.4 运用对称性,发展数学思维175.4.1 对称思想对思维灵活性的培养175.4.2 对称思想对思维独创性的培养185.4.3 对称思想对思维深刻性的培养195.5 运用对称性,提高审性素质205.6 运用对称性,开发非智力因素21参考文献221 引言数学是人类文明的结晶,数学的结构、图形、布局和形式无不体现数学中性的因素.然而在我们日常所遇到的问题当中中,令我最深切的感受

8、是如今的中我们越来越怕学数学.我们谈数色变,在我们的眼里数学就是一堆冷冰冰的数字和奇特的符号的组合,中学数学学习恐怕留给我们的也只是“枯燥、繁难”的回味了.我不禁反思,造成这种现象的原因何在?诚然,我们不否认这是现行应试教育制度作用下的不良结果,但在当前向素质教育转型的变革时期,我们更应由我们的数学学习现状,来反观自身的解题活动所存在的问题.我们的解题是否应该给我们呈现出数学知识的鲜活的的一面,让他们感受到数学不仅是真的,而且是美的,更是令人赏心悦目的.这就需要我们从新的视角看待在解题中一度被忽视了的反映数学本质的东西对称性.本文以新课程为背景,依托新教材,从对称性的概念入手,根据数学解题与我

9、们对对称性的认知规律,结合我们实际,较为深入地探讨如何在中学数学解题中运用对称性,较为全面、深入地探讨了“对称与中学数学解题”这个问题,对称反映了数学的形式美,它可以锻炼学生的思维,拓展学生的视野,丰富学生的想象,并给以美的享受.合理运用数学的对称性,能指导我们加深对数学基础知识的理解,加强数学思想方法的掌握,帮助我们寻求解题思路,较好地促进学生数学思维的发展.同时,认识、运用数学的对称性,有助于提高学生的数学综合素质,开发学生的非智力因素.这对于运用对称性的思想方法来改进中学数学解题、提高我们数学学习兴趣与学习效果等方面具有一定的参考价值.2.关于对称性的概述 2.1 对称的概念“对称”一词

10、,译自希腊语,其含义是“和谐”、“性观”,原义指“在一些物品的布置时出现的般配与和谐”.我国老一辈数学家段学复教授也说过:“对称,照字面来讲,就是两个东西相对而又相称(或者说相仿、相等).因此,把这两个东西互换一下,好像没动一样”.在现实世界中,形式上和内容上的对称性,广泛地存在于客观事物之中,既有轴对称、中心对称、镜面对称等等的空间对称,又有周期、节奏和旋律的时间对称.对称性,作为数学性的主要表现形式之一,其数学的实质就是自然物的和谐性在量和量的关系上最直观的表现,是组元的一个构形在其自同构变换群作用下具有的不变性.数学就是它的根本,并且很难找到可以论证数学智慧作用的更好的主题。对称意味着均

11、势、对等、平衡、稳定、和谐、自然、美好;而“非对称”在当下世界、社会成为经常性语言,说明这个世界、社会还不够公道,不够和谐。我们可以用对称思想方法找到对称的基点,处理好世界、社会中的各种“非对称”矛盾,使其回归对称的自然和谐。对称性不仅能给人以性的感受,陶冶人的情操,而且它在科学研究和促进人的发展等方面也有着重要的作用.下面就对称性在科学发展、文学创作及促进我们全面发展等几方面所起到的作用作一些论述.2.2 对称性的作用 2.2.1 对称性在数学发展中的作用从数学发展的历史来看,对称性是数学发现中的重要的性学因素.对于对称性的追求,曾在一定程度上促进了数学的发展,成为人们试图用以领悟和创造秩序

12、、性和完善性的重要观念.由对称性因素和对称性的考虑而引出的新概念和新理论不胜枚举,如:奇数和偶数、质数与合数、正数与负数、左极限与右极限、“共轭”复数、“三角”中的正弦与余弦、正切与余切、正割与余割等等都可视为对称中的对偶概念.从运算关系角度看与、与、乘幂与开方、指数与对数、微分与积分、矩阵与逆矩阵,这些互逆运算可视为对称关系;从函数角度看函数与反函数可视为一种“对称”;从命题的角度去看定理与逆定理、命题与逆命题等也存在着对称关系.各种逆运算的建立,一系列数域的扩张均与对称性因素密切相关;由常量到变量,由确定性到随机性,由有限到无限,由精确到模糊等等,无不显示了对称性性学因素在数学发展中的重要

13、作用,显示了数学发现中追求对称性的重要意义. 2.2.2 对称性在促进我们全面发展中的作用 对称在数学中是普遍存在的,充分认识数学对称性的价值,能使我们学会从性学的角度去欣赏数学、学习数学、发展数学,从而把数学学习与研究活动变得充满情趣,富有魅力.性的形象易于培养我们的感知能力,在头脑里形成长时记忆,利用数学对称性的价值进行数学学习,有利于我们加深对数学基础知识的理解,帮助我们掌握数学思想方法,从而发展我们的数学思维,培养其数学能力.第六届国际数学教育会议提出:“数学教育还必须将数学中所固有的性展示给我们,使我们不仅获得知识,而且还受到性的熏陶.”从认识论的角度看,性学在数学解题中的渗透,可以

14、提高我们对性的鉴赏能力,增加他们的审性情趣.解题中通过对数学对称性的分析、揭示,使我们在感受、鉴赏、应用、创造对称性的过程中丰富其情感体验;引发其学习兴趣和热情;开发我们的非智力因素.用对称性充实我们的头脑,对促进我们全面发展有着较大的推动作用.3.数学对称性的表现形式数学作为研究现实世界的空间形式与数量关系的科学,渗透着圆满和自然的性,在公式、图形、结构等方面表现出来的对称、均衡性质的数学结果,在数学的形式性中称之为对称性. 3.1 图形的对称性图形的对称具有直观性,能给人带来性的感受,中学数学几何图形中的对称图形是典型的视觉对称性.平面或空间图形的中心对称、平面图形的轴对称、空间图形的平面

15、对称都是很好的体现.比如,圆既是中心对称而且所有过对称中心的直线都是对称轴:球一向被看作是简洁性丽的几何体,它是中心对称而且所有过对称中心的平面都是对称平面.在三角函数图象中,的图象关于原点对称,的图象关于轴对称,它们形似起伏的波浪,周而复始地向两方无限延伸; 与的图象均关于原点对称,它们分别是由被互相平行直线隔开的无穷多支相同的曲线所组成的,它们形似飞流的瀑布,上顶天下立地,引人遐思.正弦型函数的图象是正弦曲线的发展,它内含了一组组和谐有序的性丽图案,这些图案不仅让人赏心悦目,而且也使人浮想联翩,因为通过图象之间的观察比较,可使我们从形的角度进一步认识到不同三角函数之间的内在联系,而且也为弄

16、清一般函数图象的变换规律提供了依据.此外,函数的图象与反函数的图象关于直线对称,指数函数与的图象关于y轴对称,解析几何中的椭圆图形关于轴、轴、原点均对称. 3.2 公式的对称性公式的对称主要是指公式中不同运算符号的可易性,运算秩序的可交换性.公式的对称不像图形的对称那样直观,它表现得比较灵活,如：,这里、可以互换,公式仍然成立. 下面以三角函数为例,来谈谈公式中的对称性:两角和与差的三角函数公式,主要包括和、差、倍、半4组,还有和差化积的互化两组,其中两角和与差正弦公式是:两角和与差的余弦公式是:它们的展开式均给人一种对称性,读起来又给人一种节奏性.当我们将半角公式写成下面的形式时,也给人一种

17、对称性: 此外,三倍角的正弦和余弦公式、正切公式(该公式高中阶段不要求掌握)都可写成具有对称性的形式： 这些都是两角和与差的公式中外在的对称性,从变换的角度来看,和、差、倍、半密切相联,这便是两角和与差的公式中内在结构的和谐性.在数学中,对称与和谐密不可分. 3.3 定理的对称性数学的对称性也表现为数学中各种概念和定理间的对称性.如正弦定理: 简洁地概括了三角形边、角及与外接圆半径之间的关系,结构精巧、对称.从更广泛的意义上讲,奇数与偶数(从奇偶性上区分),质数与合数(从可分解性区分)也可视为对称关系.从运算关系角度看:+与一、与、乘幕与开方、指数与对数、微分与积分、矩阵与逆矩阵等等,这些互逆

18、运算都可视为对称关系;从函数角度看:函数与反函数也可视为一种对称(更一般的,变换与反变换、映像与逆映像等也属于对称);从命题的角度去看:原定理与逆定理、否定理、逆否定理等也存在着对称关系(如下图) 等价逆命题原命题逆否命题否命题 图 1平行线的性质:“两直线平行,同位角相等;两角直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补.”与平行线的判定:“同位角相等,两直线平行:内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行.”就是数学定理间存在对称关系的最好例子.3.4 解题方法的对称性对称是人类审性的共同意向,不仅已经成为一种深刻的思想,而且还是一种探索性的发现方法解决问题的利器.在数学解题过程中

19、考虑对称性的因素,运用对称性的思考,可启发我们寻找到好的解题方法,起到事半功倍的作用.例. 在有理数范围内分解因式分析:对于中我们而言,这道题不太容易,因为用到的方法借助余式定理、“换元法”或“待定系数法”等都是超纲的.可是,如果用对称思想来分析,一切就迎刃而解了.如果三次齐次式可以分解,那么个因式因该是一个一次式一个二次式,或者三个一次式.由于这三个一次式中的任两个乘起来得一个二次式,所以可以认为,若原式能分解,必定是一个一次式与一个二次式相乘的形式,形如:.这里第一个括号内是一次式,它应该是什么样子呢?由于从原式看出、应该是对称的,即第一个括号内应该是,从还原角度看,第二个括号内应有“”,

20、而、是对称的,那么,就应该同时有“”,“”这时第二个括号内,就出现了但从还原角度,出不来一的“”号,因此,第2个括号前3项之后,应出现负项,先考虑这“负项”是二次项,写出了“”.那么,由于、的对称性,必须还有“”及“”这样便得到对不对呢?把它乘开,能还原回去,说明分解正确! 4. 对称性的认知过程与数学解题上面论述了对称性在科学发展和人的发展中的作用,既然对称性这么重要,那么如何才能认识解题中的数学性,并能灵活运用对称性呢?根据我们一般的心理认知规律,结合我积累多年的经验,我认为我们对对称性的认知过程一般可分为四个阶段: 感知对称性发现对称性欣赏对称性创造(或运用)对称性,为此,在数学解题中,

21、我们应注意做好以下几点. 4.1 联系具体实例,感知对称性“对称”在自然界、艺术、科学上的例子屡见不鲜,例如,动物形体与植物叶脉都呈现着对称规律,一座桥在水下的倒影又呈现出上下对称,雪花的对称是大自然的杰作,无论是北京人民大会堂,还是普通的民居、民宅无不蕴含着对称,微生物中如牛痘等病毒皆呈正20面体状,许多晶体的外形及内部构造也是对称的.紧密地联系生活,从身边的建筑、影像、事物开始,让我们感知、认识对称性,使我们获得对对称性的感性理解,进而形成对对称性的一般认识.对称性不仅存在于几何形态中,还大量存在于代数式中,如完全平方公式:在理解人教版教材(2008年10月第二版)高二下册(A)中的二项式

22、定理时,可以要求我们把的二项式展开式的系数列成下表: n=1 1 1 n=2 1 2 1 n=3 1 3 3 1 n=4 1 4 6 4 1 n=5 1 5 10 10 5 1 n=6 1 6 15 20 15 6 1 n=7 1 7 21 35 35 21 7 1 n=8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 图2我们会惊叹地发现该列表在形式上是如此的对称,原来数学数字的背后还蕴藏着具有如此规律的性;最后,我们指出这就是著名的杨辉三角,它反映的就是数学的对称性.在引导我们认识对称性时,我们要注意,生活实践中的对称一般是以几何形态出现,因此,我们认识具体形态和几何图形中的对称性是非常容

23、易的.但是对于代数式中的对称,我们理解起来却并不是那么容易.这就要求我们在引导我们认识对称时,首先自身就要重视代数对称,在一开始的引入中要有意识的引出代数对称,如,等等,避免我们形成对称仅仅存在于几何之中这种先入为主的错误概念. 4.2 提炼对称因素,发现对称性数学中蕴涵着丰富的对称性:轴对称、中心对称、对称多项式等,从奇偶性上或可分解性上区分数也可以视为对称,从运算关系角度看互逆运算也可看为对称关系等等,又如正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形但是我们未必能感受到这些对称性,这就要求我们在解题中能够把这些对称性因素充分挖掘出来,展示在我们面前,让我们真正体验到数学的对称性.在解题的过程中经

24、常发掘教材中的数学性并引入适当实例,能大大提高我们感受性和鉴赏性的能力,逐步使我们达到运用数学中的性学方法去进行性的创造的初步能力.例如在椭圆标准方程的推导过程中,可推得.设两定点的距离为,定长为,则：上式进行适当地变形整理,化为由于椭圆具有对称性,反映出对称性的特征,那么它的方程在结构上也应具有对称性,给人以性感.为此,其中b0最终使方程化为我们所看到的标准形式,这个方程具有数学对称性的特征,称为椭圆的“标准”方程当之无愧.引进字母b纯粹是为了追求方程的对称性,但后来发现、正好分别是椭圆的长、短半轴的长,字母“”含有了鲜明的几何意义,人的内心世界感到性的东西,在外部世界得到了印证.这正体现了

25、性与真之间微妙的统一性,性妙极了.4.3 提高感知能力,欣赏对称性现实生活中有这样一种现象:有一定数学素养和性学修养的人去学习数学总会觉得兴趣盎然,并体味到其中的无穷魅力;而另外的许多人却总觉得数学索然无味,这是为什么呢?造成这种现象的重要原因就在于对数学性的感知能力有差异.从数学审性认知结构去分析,可以认为有数学性的知识、数学性的观念、数学性的经验的人,往往在数学的活动中能够用数学审性的眼光去观察数学对象,从数学审性的角度去思考数学问题,按数学审性标准去猜测和发现数学结论.或者可以认为,有一定数学性的感知能力的人,数学性感己经内化为其数学认知结构中的一个重要组成部分.以为例,这个本来枯燥的数

26、字,在现实生活的运用中却性妙无比.十六世纪意大利的帕乔里把它称为“神赐的比例”,文艺复兴时期的达芬奇称其为“神圣比例”,他认为“性感完全建立在各部分之间神圣的比例关系上”.通常认为对称是要各方均等,但这个数让人们意识到对称概念中的和谐匀称的涵义.科学家和艺术家普遍认为,黄金律是建筑艺术必须遵循的规律.在建筑造型上,人们在高塔的黄金分割点处布置腰线或装饰物,则可使整个楼群显得雄伟雅致.古代雅典的巴特农神殿,当今世界最高建筑之一的加拿大多伦多电视塔,举世闻名的法国巴黎埃菲尔铁塔,都是根据黄金分割的原则来建造的.在日常生活中,最和谐悦目的矩形,如电视屏幕、写字台面、书籍、衣服、门窗等,其短边与边长之

27、比为,你会因此比例协调而赏心悦目. 欣赏对称性是在实践中对上一层发现的对称性进行鉴赏评价过程,这一阶段可根据我们对对称性的认识和情感体验分为个层次:性观、性好、性妙. (l) 性观主要是指我们能认识到数学对象形式上的对称、和谐、简洁,体验到它们给人的感官带来的性丽、漂亮的感受.(2) 性好主要是指我们感受到数学对象的对称、和谐,进而领悟到数学世界的完整、对称、和谐,从而产生一种愉悦的情绪体验.如运用对称思想看待正、负整数指数幕,我们能体会到数学世界的完整、对称和谐,解答问题也就不费吹灰之力了.(3) 性妙主要指我们运用对称思想来指导解答原本棘手的难题,问题迎刃而解的时候,或运用对称性装点生活时

28、,能给人带来一种妙不可言的情绪体验.当然,我们对对称性的感知能力不是单靠数学我们在课堂解题中传授和训练就能形成和提高的,主要应由我们在数学实践活动中,通过与对称性对象相互作用,包括对其观察、感受和体验,然后在这一过程中将数学的对称性的形式及性学思想方法内化为自身的审性认识结构的成分.这样,在内在的认知结构“图式”中就形成了一种对对称性的敏锐选择能力和认同能力,最终提高对对称性的感知能力. 4.4 回归生活实际,创造(或应用)对称性有了前面认识、发现、欣赏对称性的一系列活动,我们形成了对对称性的规律性认识,再学习运用这些知识去猜想、探索、分析、解决数学问题,从而达到对称性的认知过程的最高要求应用

29、和创造对称性,形成稳固的数学的理性认知. 从素质教育的角度来看,数学解题的任务不仅是传授知识,更重要的是培养我们的综合素质,这其中就包括培养我们应用、创造数学性的能力.在解题中先引导我们感知、认识数学对象(如正多边形、圆形等对称图形)的对称性,再让我们走出课堂,深入社会生活,用眼观察、用心体会对称图形在建筑、园林、图案设计等方面的广泛应用,让我们寻找和欣赏生活中的对称性.认清对称性的认知过程可以把握对称性在解题中应遵循的认知规律,有利于我们利用对称性在中学数学解题中开展工作.对称性的认知过程体现出对称性的解题活动应是一个渐进的、活动的过程,是一个长时期、连续性的解题过程,而不是短期的解题行为.

30、对对称性的认知过程必须强调以我们为主体的思想,应以解题实践为基础,以渗透为主,从实践中来,到实践中去.性是实践的艺术,应在实践中择宜.在解题实际中,力求使我们从多层次认识对称性的内涵,让我们在自主的学习活动中感受数学的性,并通过具体的数学案例来挖掘和运用对称性的思想价值,培养我们对数学的学习兴趣和良好的学习态度、情感,从而促使我们更好地理解数学基础知识,领悟数学思想方法,提高解决数学问题的能力5.对称性在数学解题的运用 5.1 运用对称性,理解基础知识数学基础知识是贯穿数学解题内容的一条主线,直接以文字形式写在教材里,反映着知识的纵向联系.数学基础知识主要包括概念、公式、定理等,是数学学习的根

31、基,是进行数学活动的“基石”,是培养我们数学思维的“土壤”.引导我们认识、利用对称思想,可以在基础知识解题中以不同层次、形态和不同交接点揭示知识间的联系,从多方位将知识系统化. 5.1.1 概念的理解在解题中我们常常发现,有些我们往往满足于一知半解,对概念不求甚解,还有的我们对定理、公式等概念的学习容易忽略它们的特殊性和适用范围,忽略全局与局部的关系.在解题中,巧妙地利用数学问题的对称性,能帮助我们加深对概念的理解.如,平方根是初中数学中既抽象又重要的概念,定义是:若,则叫的平方根,怎样理解呢?一个数的平方是a,那么这个数是多少?而这个数就是的平方根,具体关系是:平方与平方根互为逆运算,呈现出

32、对称思想,将平方根直观地用平方表示了出来.这样,利用对称,能很轻松地将新知识、新概念同化到已有的概念和知识系统中去,而且能利用新知识、新概念去改造旧概念,从而加深对定义的理解. 5.1.2 公式的记忆公式是数学的重要内容之一,牢固、灵活地掌握数学公式,是学好数学,用好数学的重要前提.数学公式众多,初学者往往以死记硬背来应付公式的记忆,这样不仅起不到培养思维、发展能力的作用,还容易给我们造成“学数学就是死记硬背,套公式”的错误印象.充分挖掘、利用公式中的对称性,就可以较为轻松地克服上述问题.三角函数是中学数学的重要内容之一,其中包含同角三角函数关系式、诱导公式、两角和与差的三角函数关系式及其衍生

33、出来的倍、半角公式,和差与积的互化公式等等,初学者往往会有这部分内容繁杂、公式繁多、变幻莫测的感觉,更有甚者提出了“三角函数是数学学习终结者”的悲观口号.其实,只要抓住这些公式中蕴涵的丰富的对称性的规律,公式的记忆根本不在话下.如:同角三角函数关系式共有八个,分为以下三组 (i)倒数关系: (ii)商数关系: (iii)平方关系: 5.2 运用对称性,掌握思想方法数学思想是指从具体的数学内容中提炼出来的对数学知识的本质认识,它在数学认识活动中被普遍使用,是建立数学理论和解决数学问题的指导思想.比如:化归思想、极限思想、公理化思想、对称思想等等.数学方法是指研究数学问题过程中所采取的手段、途径、

34、方式等.数学思想和数学方法是紧密联系的,两者虽然层次不同,但它们之间没有绝对的界限,因此常统称为数学思想方法.一般来说,强调指导思想时称数学思想,强调操作过程时称数学方法. 5.2.1 掌握对称思想方法数学中的对称性无处不在:加法与减法,乘法与除法,乘方与开方,指数与对数,微分与积分等等,这些互逆的运算可以看成是对称关系;函数与反函数、变换与逆变换、映射与逆映射等是对称关系;命题中的原命题与逆命题、否命题与逆否命题也是对称关系.数学中的很多概念、定理、法则、公式都是历代数学家从对称性的角度研究得出的.求解方程和不等式的过程也是利用对称的过程,当条件式和求证式两者具有对称的形式,采取对称的手段会

35、使问题简洁地获证.在中国传统数学中,对称性更多地表现为数量之间的平衡关系和在意义上的相反相成关系.有关对称性的实例举不胜举:方程计算中的对称方法:九章算术中方程术讲到:“所谓方程实际上相当于现在所说的适定的线性方程组的增广矩阵.”而矩阵是数学性学方法的最典型的表现形式之一.这些都是数学性的对称性特征的典型实例.算法的对称性:九章算术中有关分数的四则运算、比例计算、乘方、开方等计算中很自然地用到了对称方法.虽然这些算法都是从生产实践中概括、归纳出来的,但都具有一般性,而且蕴含着对称性学方法.对称性还可以看成启迪思维、解决问题的方法:例5.已知,求函数取最大值时,的值.分析:通过观察变量,可知,它

36、们在题中的地位平等,且有对称性,有审性直觉可以猜测:函数能够取最大值.事实上,我们将原式两边平方,得到:整理可得：由此,我们可以联想到具有对称特征的均值不等式：可得因为在中,当且仅当x=y时,有则在f2中当且仅当,即时,.因为,所以最大时,有最大值,故当且仅当时,评析:具有相同结构特征的数式具有同等的地位,处理方法一般相同,从对称性的角度考虑,常能起到优化解题思路和简化解题过程的效果.正是运用了数学性的对称性思想方法,才使问题变得容易解决了,而且过程简捷明快. 5.2.2 掌握其他思想方法运用对称性,不仅可以使我们掌握对称这种数学思想方法,关注对称,还有利于我们掌握其他的数学思想方法.例6,解

37、方程组: (1) (2)分析:本题若用代入消元法、加减消元法或因式分解法等等解方程的常用方法,操作起来非常困难,可行性不大.注意到将x与y互换,方程组不变,则方程组呈现出轮换对称性. 将原方程组可写成： (3) (4) 设 可得 (5) (6)至此,容易知道可先消去n,先求得m,再求得n,最后得到四组解为评析:以上两题在证明过程中,既使用了换元法,又使用了配方法(例6还使用了放缩法),而这些数学方法的使用是建立在从对称的角度来分析问题的基础之上的,可见,运用对称性,有利于我们对其他数学思想方法的掌握. 5.3 运用对称性,寻求解题思路 5.3.1 运用轴对称,寻求解题思路把一个图形沿着某一条直

38、线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫对称轴.两个图形关于某条直线对称称为轴对称.若将这两个图形看作一个整体,即看作一个图形的话,这个图形就是轴对称图形.轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.轴对称是数学研究的重要问题,也是解数学题的一个重要工具.抓住数学问题的轴对称性,有时往往就抓住了解题的关键.例7.已知抛物线与轴的两个交点分别为(l)求抛物线的解析式;(2)设点在抛物线上滑动,问满足条件的点有几个?并求出所有点的坐标;(3)设抛物线交轴于点,问抛物线对称轴上是否存在点,使得的周长最小?若存在,求出点的坐标;若不存在,试说明理

39、由.分析：对问题易求得抛物线的解析式为;满足条件的点有三个：,;对问题,因为定值,要的周长最小,只要最小值.注意到、关于抛物线的对称轴对称,有,故问题转化为要求最小.再由知,所求点为直线与抛物线对称轴的交点.评析:分清变量与不变量,利用抛物线的轴对称性进行转化,是解决问题的关键. 5.3.2 运用中心对称,寻求解题思路把一个图形绕某一点旋转,如果它能与另一个图形重合,那么这两个图形关于这个点对称,这个点叫做对称中心.两个图形关于点对称称为中心对称.若将这两个图形看作一个整体,即看作一个图形的话,这个图形就是中心对称图形.关于中心对称的两个图形是全等的.在成中心对称的两个图形中,连接对称点的线段

40、都经过对称中心,并且都被对称中心“平分”.把握数学问题的中心对称性,能巧妙地解决问题.例8.有个半径相等的圆,排成如图3所示,其中点是左下方这个圆的圆心,现要求过点作一条直线将5个圆的面积分为相等的两部分,你知道怎么做吗? 图3图4分析由于圆是对称图形,于是可以在右上角补作一个同样大小的圆,圆心为P,于是全部6个圆就整体而言便构成了一个中心对称图形,如图4,作直线OP,就把原来的5个圆的面积分为相等的两部分了.当然,我们也可以把原来的分割成两个中心对称图形,左边一个,右边四个.中心对称图形有一个性质:过中心对称图形的对称中心的每一条直线,都将这个中心对称图形分成面积相等的两部分,若图形不是中心

41、对称图形,我们可以采用割或补的方法将其分成两个中心对称图形.找出右边四个圆的对称中心,与O点连起来就可以了(如上图).评析:研究问题时,我们不应局限于一种思路,利用组图元素的中心对称性,可以多角度地寻求解决问题的方法 5.3.3 运用轴对称变换,寻求解思路由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经过轴对称变换得到.一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础,经轴对称变换扩展而成的.利用轴对称变换,可以设计出精性的图案,也可以解决数学问题.例9.设为内两点,试在上找一点,在上找一点,使为最小. 图4分析:如图,作关于的对称点,作关于的对称

42、点,线段与、的交点即为所求的点、.由对称性,从右图可知:(、为、上异于、的两点)评析:“两点之间,线段最短”,要使为最小,只要让这三条线段分别与某条线段上的三部分相等,即利用轴对称变换,将这条折线“抨平”、“拉直”成为一条线段,那它们的和就是最小的了.这也是解决此类问题的关键所在. 5.3.4 运用对称思想,寻求直觉解题直觉思维是指未经过一步步的逻辑分析或无清晰的逻辑步骤,而对问题直接的、突然间的领悟、理解或给出答案的思维.直觉思维在问题解决中具有重要的作用,许多数学问题,都是先从数与形的直觉感知中得到某种猜想,然后再进行逻辑证明的.例11.给定半径为的圆,求内接于圆的面积最大的三角形.分析:

43、在解题之前,如果我们能猜测出这个三角形的特征,这对我们解决问题是很有帮助的.如何猜测呢?这恐怕就需要性感的直觉了.我们己经知道,圆是最性、最对称的平面图形,最能填满圆的三角形,在完性性上就必须最接近圆,因而,这个三角形必须具有最多的对称性.而在三角形中,正三角形最为对称,它比其它的三角形具有更多的对称轴,故我们设想正三角形比其它三角形更能最大限度地“填充”圆.设圆的内接三角形的三边分别为,可得 为定值,根据, 当且仅当时,有最大值利用对称思想,我们还可以得出内接于圆的具有最大面积的边形必定是正边形.不但如此,我们还可以得出内接于球的具有最大体积的四面体必是正四面体等一些结论.评析:从这道题可以

44、看出,对称思想可以帮助我们进行猜测,为解题指出了方向.运用对称性解题是一种给人以自由感受的教育,有助于我们摆脱思维定势的影响,特别有助于学习者非逻辑思维活动的展开.我们可以根据我们的知识水平,有计划地训练我们从整体出发,根据数学的对称性的特征,用猜测、跳跃的方式直接而迅速地找到答案. 5.4 运用对称性,发展数学思维数学是思维的“体操”,我们学习数学知识、解决数学问题的过程,就是一个思维活动的过程,要培养我们的数学能力,就必须培养我们的思维能力.而培养我们数学思维能力的关键就在于培养我们良好的数学思维品质.数学思维品质是评价和衡量我们思维能力优劣的重要标志. 5.4.1 对称思想对思维灵活性的

45、培养数学思维的灵活性,指思考问题和解决问题时,思路灵活不固执己见,不拘泥于习惯程序,思维发散,解决问题能足智多谋,随机应变.其主要表现形式为:(l)思维方向灵活,能从不同的角度、不同的方向,用多种方法来演算各类数学习题;(2)运用法则的自觉性高,即熟悉公式、法则并能运用自如;(3)综合分析程度的灵活,不限于过滤式分析问题,善于综合性分析,适应于多变习题的演算.我们知道,抛物线是轴对称图形,它的对称轴是直线,其顶点在对称轴上.解决有关抛物线的问题时,若能巧用抛物线的对称性,就能得到新的解题思路,灵活地给出简捷的解法.例12.解方程组分析:这是一个三元三次方程组,如果按照常规的代入消元法来解方程,

46、它的运算量是非常大的,而且正确率不能保证.很显然,本题不能套用常规做法.经过仔细观察可以发现:这是一个轮换对称式方程组.认识到这一点,便可利用具有对称形式的韦达定理来解决.由 得 (4) 由 、表明、的是方程 (5) 即 的三个根 于是 可以直接利用轮换对称关系写出方程组的所有解 ： 评析:对称思想指导我们从问题的另一个方面去思考,灵活地选择具有对称形式的公式,自如地运用公式解答问题.利用数学问题的对称性,有助于我们迅速地引起联想,建立正确的思路,对培养我们思维的灵活性有着积极的促进作用. “因地制宜”,“量体裁衣”是思维灵活性的表现.在数学解题中,合理适宜地使用对称思想,有利于我们加深理解各

47、部分知识间的纵、横方向的联系,掌握各部分知识之间相互转化的方法,对称性能指导我们从不同的认识层次、观察角度、知识角度去分析问题特点,探讨解决问题的新途径;能指导我们多方面地分析问题的特点,抓住问题的特殊性,从而有效地培养了我们思维的灵活性. 5.4.2 对称思想对思维独创性的培养思维的独创性是指思维活动的方式不仅善于求同,更善于求异.这种创造性思维的特点,表现在概念的掌握与理解上,不仅能将新知识、新概念同化到己有的概念和知识系统中去,而且能利用新知识、新概念去改造旧概念;表现在解决问题时,不死套公式,而是融会贯通多渠道的,善于用简捷的方法解决问题;表现在创造活动中,不因循守旧、不墨守成规、不安

48、于现状、有创新意识、有丰富的创造想象力.创造性思维的实质就是思维活动中选择、突破和重新建构这三者的有机统一.有人说创造是从无到有、引出一个新的对象世界.在数学解题中,引导我们认识、利用对称思想,无疑是交给了我们一把选择的钥匙.我们能利用对称思想去发现已有知识之间的新关系,从另一个方面去立体地思考问题;综合灵活地运用数学知识,从而培养其思维的创造性.例13.、三个村庄在一条东西走向的公路沿线,在村的正北方有一个村,测得.今将区域规划为开发区,除其中 的水塘外,均作为建筑或绿化用地.试求这个开发区的建筑和陆地面积. 图5分析:作点关于的对称点,作点关于的对称点.连接,连接并延长,连接并延长,交的延

49、长线于点.所以四边形为正方形设正方形边长为,因为,所以在中, 有,解得,所以,所以这个开发区的建筑和陆地面积为.评析:在思考本题证法的过程中,至始至终受到一种对称性因素的驱动,为作辅助线提供了“生长素”,才能使此题获得圆满的解答.用对称的观点处理问题,往往可以从问题的一部分自然联想起与之对称的另一部分,从而采取补全的办法,使其构成一种完整的对称性,从而找到问题的解法,这对于培养我们思维的独创性有积极的促进作用. 5.4.3 对称思想对思维深刻性的培养思维的深刻性指思路广泛,善于把握事物各方面的联系和关系,善于全面地思考和分析问题,善于深入地钻研和思考问题,不满足表面的认识,善于区分本质的特征,

50、能抓住事物的主要矛盾,正确认识与揭示事物的规律,并能预测事物发展的趋势与后果.简单地说,思维的深刻性就是对问题能够全面、细致、深入地思考.数学解题不仅要求培养我们的智力深刻性,而且也要求促进他们智力的逻辑性和抽象程度的发展.数学能力的个体差异,实际上就是数学学习中思维的智力品质的深刻性的个体差异.例14.己知函数的图象关于直线对称,求的值.分析:这个函数的表达式可以化为的形式,然后利用函数图象的对称轴必过图象的最高点或最低点这一性质,得到当时函数达到最大值或最小值这一结论.从而有,化简得,从而.这是一种解法,但不是最优解法.其实审题时只要在关键条件“对称”上认真思考,就不难发现下述简便解法:

51、在x轴上取关于对称的两点,由图像对称可知,它们对应的函数值相等,即,立即得评析:在数学解题过程中考虑对称性的因素,运用对称性的思考,可启迪人的思维,起到事半功倍的效果,有助于培养我们思维的深刻性. 5.5 运用对称性,提高审性素质审性教育简称性育,它是通过一定方式、设施,培养人们正确、健康的审性观点、审性情趣,提高人们欣赏和创造性的能力的教育. 1993年,国务院颁布的中国教育改革和发展纲要指出:性育对于培养我们健康的审性观点和审性能力,陶冶高尚的道德情操,培养全面发展的人才具有重要作用.审性教育正日益广泛地渗透到社会的各个领域中,人们不仅通过音乐、绘画、艺术得到性的熏陶,而且也通过自然、社会

52、科学来性化、愉悦精神.数学学科凝聚了人们在长期实践活动中对数学性的追求和情感体验,蕴涵着丰富的数学性.教育中重视数学性的教育是素质教育的要求,也就是在创造发展我们智力的良好环境.数学教育与解题的目的之一,应当让我们获得对数学性的审性能力,从而既有利于激发他们对数学科学的爱好,也有助于增长他们的创造发明能力.数学中的对称性比比皆是,在几何图形中有点对称、线对称、面对称等,在数学表达式中也有许多具有对称性质的式子.如:122=144,把数字顺序一换,其结果也变了:212=441;这样的数字还可以写出:1022=10404,2012=10404 ;1122=12544,2112=44521,又如:我

53、们列出这样一组等式:l+2=34+5+6=7+89+10+11+12=13+14+1516+17+18+19+20=21+22+23+24引导我们从组合形式上看这组等式,很像一个优性的金字塔,从实质上看,又充满了对称性与规律性,在我们性感正浓时,鼓励我们以此为例,可列出类似的一组等式:11=l1111=121111111=1232111111111=1234321运用数学对称性,可以使我们形成“以性激情”为特点的审性观,即通过对数学对称性的认识,感悟到数学性的真谛,激发对性的欣赏和追求,从而形成学习数学知识的积极良好的情感行为.正如德国教育家第斯多惠所说:“解题的艺术不在于传授本领,而在于激励

54、、唤醒、鼓舞.” 5.6 运用对称性,开发非智力因素人的心理结构是由智力因素和非智力因素构成的.智力因素直接参与我们的学习过程,是一个人智慧高低的重要表现,是学习活动的“硬件”.非智力因素是指人在活动时除智力因素之外的一切心理活动因素,主要指动机、兴趣、情感、意志和性格,它不直接介入学习过程,但能引导和激发智力因素,发挥着动力、定向、引导、维持和强化等一系列相互联系着的作用,推动着学习过程的顺利进行,从而提高我们的学习效率,是学习活动的动力机制,是软件我们在解题活动中不仅要注重对我们智力因素的开发与培养,同时要注意充分发掘、引导、调动与开发我们非智力因素,使我们的非智力因素得到最大限度的发挥.

55、正确的学习目的,良好的学习习惯和态度,积极、稳定、持久的学习兴趣,充分的自信心和坚强的意志和毅力,良好的学习方法和学习策略对促进我们的学习、成长、成才等方面都发挥着重大作用.性国数学家G波利亚曾经说过:“我们作为一个知识的推销员,他的责任就是使我们相信数学是有趣的,使他们感到讨论的题目是有趣的,值得努力去做.为了有效地学习,我们应该对所学的材料感到兴趣,并在学习中找到乐趣,这是最佳的动机”.在数学教育中,通过对数学对称性的揭示,加强数学审性教育,不仅可使我们对数学产生一种积极而强烈的认识情绪,激发和增强我们的数学学习兴趣,而且也使我们的情感受到陶冶,意志得到锻炼,从而对学习动机起到强化作用.参

56、考文献1吴振奎,刘舒强.数学中的性M.天津:天津教育出版社, 1997.2许兴华.对数学性育的初步认识与实践J.数学通报,2001(10)：（5-7）3徐利治,徐本顺.数学性与数学解题中的审性J.山东教育,1997(11):(30-35)4张雄.数学性的根源、本质和特征J.陕西师大学报(自然科学版),1991(l)：（17-19）5田星,刘云章.数学性的哲学思考J.中学数学解题参考,1999(8)6李继阂.九章算术及其刘徽注研究M.西安:陕西人民教育出版社,1990.7人民教育出版社中学数学室.全日制普通高级中学教科书数学(实验修订本) M.北京:人民教育出版社,2008.8田鹏.数学的对称性

57、及其作用J.南阳师范学院学报,2004(3)：（65-67）9吴宪芳,郭熙汉.数学教育学M.湖北:华中师范大学出版社,2000.10张奠宙,木振武.数学性与课堂解题J.数学教育学报,2001(4)：（1-3）11唐绍友.例说用数学性指导初中数学解题J.数学解题通迅,2000(2)：（20-21）12何荣炎.在学习中领悟数学的对称性J.中我们数理化,2004(4):(19-20)13刘正峰.趣谈中心对称的妙用J.中我们数理化,2006(4）：（6-8）14夏桂云.利用圆的轴对称性解题两得J.数理天地,2005(7):(10-11)15胡元明.巧用中心对称解趣题J.时代数学学习(八年级),2006(10):(10-11)16余明芳.对称性在中学数学中J.高中语数外,2006(2)：（33-37）17王仲春等编著，数学思维与数学方法论,高等教育出版社，1989.1118姜玉武主编，初等代数教材教法，延边大学出版社，1995.719刘桦，证明不等式要有辩证意识J，中学数学，1995.（1）