福建师范大学21秋《复变函数》离线作业2-001答案_76

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1、福建师范大学21秋复变函数离线作业2-001答案1. 设(A，*)是一个半群，而且对于A中的元素a和b，如果ab必有a*bb*a，试证明：设(A，*)是一个半群，而且对于A中的元素a和b，如果ab必有a*bb*a，试证明：由题意可知，若a*b=b*a，则必有a=b 因为(a*a)*a=a*(a*a)，所以a*a=a$因为a*(a*b*a)=(a*a)*b*a=a*b*(a*a)=(a*b*a)*a，所以a*b*c=a$因为(a*c)*(a*b*c)=(a*c*a)*(b*c) =a*(b*c)=(a*b)*(c*a*c) =(a*b*c)*(a*c)，所以a*b*c=a*c 2. 设F(x)f

2、(-x)，且f(x)有n阶导数，求F(n)(x)； (2)设f(x)xe-x，求f(n)(x)设F(x)f(-x)，且f(x)有n阶导数，求F(n)(x)； (2)设f(x)xe-x，求f(n)(x)正确答案：解 (1)F(x)-f(-x) F(x)(1)2f(-x)F(k)(x)(-1)k fk(-x)rn F(k1)(x)(F(k)(x)(-1)kf(k)(-x)(-1)k+1fk+1(-x)rn由数学归纳法证明成立即F(n)(x)(-1)nfn(-x)rn(2)f(x)e-x+e-x(-1)x(1x)e-x-(x1)e-xrn f(x)-e-xxe-xe-x(-1)2(x2)e-xrn

3、f(x)(-1)3(x3)e-xrn f(k)(x)(-1)k(xk)e-xrn f(k1)(x)(-1)k(xk)e-x)(-1)ke-x+(xk)(-e-x)rn (-1)k+1(x(k+1)e-xrn由数学归纳法知f(n)(x)(-1)n(xn)e-x解(1)F(x)-f(-x)F(x)(1)2f(-x),F(k)(x)(-1)kfk(-x)F(k1)(x)(F(k)(x)(-1)kf(k)(-x)(-1)k+1fk+1(-x)由数学归纳法证明成立,即F(n)(x)(-1)nfn(-x)(2)f(x)e-x+e-x(-1)x(1x)e-x-(x1)e-xf(x)-e-xxe-xe-x(-

4、1)2(x2)e-xf(x)(-1)3(x3)e-xf(k)(x)(-1)k(xk)e-xf(k1)(x)(-1)k(xk)e-x)(-1)ke-x+(xk)(-e-x)(-1)k+1(x(k+1)e-x由数学归纳法知f(n)(x)(-1)n(xn)e-x3. 证明方程e3x-x=2在(0，1)内至少有一个实根证明方程e3x-x=2在(0，1)内至少有一个实根证明令f(x)=e3-x-2，f(x)在0，1上连续，且f(0)=-10，f(1)=e3-30，由零点存在定理知，至少存在一点(0，1)，使f()=0，即方程e3x-x=2在(0，1)内至少有一个实根4. 设布尔代数(0，1，)上的一个布

5、尔表达式为E(x1，x2，x3)=(x1x2)(x2x3)，求E(1，0，1)设布尔代数(0，1，)上的一个布尔表达式为E(x1，x2，x3)=(x1x2)(x2x3)，求E(1，0，1)E(1，0，1)=(10)(01)=11(10)=15. 欧几里得算法又称辗转相除法。( )欧几里得算法又称辗转相除法。( )正确答案：6. 求主y3y&39;2y=5，y|x=0=1，y&39;|x=0=2的特解求主y-3y+2y=5，y|x=0=1，y|x=0=2的特解7. 已知向量a=2，1，1)，若向量b与a平行，且ba=3，则b=_；已知向量a=2，1，-1)，若向量b与a平行，且ba=3，则b=_

6、；8. 从点(2，0)引两条直线与曲线y=x3相切，求由此两条切线与曲线y=x3所围图形的面积从点(2，0)引两条直线与曲线y=x3相切，求由此两条切线与曲线y=x3所围图形的面积如下图所示，设切点为(x0，)，则切线斜率为3，切线方程为y= 因为切线过(2，0)点，所以有 ，解得x0=0，x0=3 即切点坐标为：(0，0)，(3，27)，相应的两条切线方程为 y=0，y=27x-54 选积分变量为y，则所求面积为 = 9. 设随机变量X与Y相互独立，令函数U=|X|，Y=|Y|，求证：U与V相互独立设随机变量X与Y相互独立，令函数U=|X|，Y=|Y|，求证：U与V相互独立证 由变量独立，证

7、明函数独立 只须证明：对于任意实数u，v，有PUu，Vv=PUuPYv 当u0，或v0时，上式的两边都等于0，因此等式成立 设u10，且v0，由X与Y相互独立，有 PUu，Vv=P|X|u，|Y|v=P-uXu， -VYv=P-uXuP-vYv =P|X|uP|Y|v=PUuPVv 10. 在，2上，函数f(x)=sinx满足罗尔定理中的_。在，2上，函数f(x)=sinx满足罗尔定理中的_。11. 通过直线且与平面2x+y+z=0垂直的平面方程是_。通过直线且与平面2x+y+z=0垂直的平面方程是_。x-6y+4z=012. 一曲边梯形由曲线y=2x2+3，x轴及x=-1，x=2所围成，试列

8、出用定积分表示该曲边梯形的面积表达式一曲边梯形由曲线y=2x2+3，x轴及x=-1，x=2所围成，试列出用定积分表示该曲边梯形的面积表达式S=-12(2x2+3)dx13. 在直角坐标系中，求出把点(0，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)分别变成点(0，0，0)，(0，0，1)，(1，0，0)的正交变换公式。在直角坐标系中，求出把点(0，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)分别变成点(0，0，0)，(0，0，1)，(1，0，0)的正交变换公式。由于点(0，0，0)(0，00)，于是设正交变换公式为 把其他点的坐标代入得和且(i=1，2，3)，求出 a11=0，a21=1，a31=0，

9、因此，所求的正交变换公式为 14. 条件概率P(B|A)与概率P(AB)有何不同?条件概率P(B|A)与概率P(AB)有何不同?条件概率P(B|A)中A，B地位不同，且已知A已发生作为条件；在概率P(AB)中，A，B同时发生，地位相同，没有前提条件，在应用问题中必须区别是求P(B|A)还是求P(AB)例如从6个正品2个次品的袋中，不放回抽取2次，A=第一次为正品，B=第二次为次品，求(1)第二次才取到次品的概率；(2)已知第一次取到正品，B发生的概率那么，第一问是求P(AB)，而第二问是求JP(B|A)15. 已知，证明级数收敛，并求级数的和已知，证明级数收敛，并求级数的和 即有 因此 则 所

10、以，级数收敛，其和为 16. 求下列函数的极值： (1) yx55x1； (2) yxlnx； (3) yx2x1求下列函数的极值： (1) yx55x1； (2) yxlnx； (3) yx2x1正确答案：解 (1) D(f)()y5x45 令y0得驻点x11x21rn列表rn解(1)D(f)(,),y5x45令y0得驻点x11,x21列表17. 已知(2x)x2a(x1)b(x1)2(x1)，求a，b的值。已知(2x)x2a(x1)b(x1)2(x1)，求a，b的值。正确答案：解 令 x1tx1t0rn解令x1t,x1,t018. 证明：设A是n级矩阵，则AA=A2证明：设A是n级矩阵，则

11、AA=A2正确答案：根据课本定理3AB=A.B得AA=A.A而A=A故AA=A2。根据课本定理3,AB=A.B得AA=A.A,而A=A故AA=A2。19. 设函数f(x)=x.tanx.emin，则f(x)是( )A偶函数B无界函数C周期函数D单调函数设函数f(x)=x.tanx.emin，则f(x)是( )A偶函数B无界函数C周期函数D单调函数正确答案：B由于，故f(x)无界，或考察f(x)在xn=的函数值，有，可见f(x)是无界函数，故应选B20. 所有的微分方程都有通解吗？所有的微分方程都有通解吗？不是，所谓微分方程的通解，是指含有任意常数且任意常数的个数与方程的阶数相同的解，以下两个方

12、程： |y|2+1=0 (1) 与 y2+y2=0， (2) 显然方程(1)无解，方程(2)只有解y=0可见并非所有的微分方程都有通解 21. 设P(A)=P(B)=0.4，P(AB)=0.28，则P(AB)=_；P(B|A)=_设P(A)=P(B)=0.4，P(AB)=0.28，则P(AB)=_；P(B|A)=_0.52$0.722. 试证明： 设f(x)在0，)上非负可积，f(0)=0且f&39;(0)存在，则存在积分 试证明：设f(x)在0，)上非负可积，f(0)=0且f(0)存在，则存在积分证明 因为我们有，所以对任给0，存在0，使得 0f(x)/xf(0)+ (0x) 由此知f(x)

13、/x在0，上可积，且从不等式 ， 可知f(x)/x在，)上可积，证毕 23. 某物体的运动轨迹可以用其位移和时间关系式s=s(t)： s=t3-6t2+7t，0t4 来刻画，其中s以米计，f以秒计，以起某物体的运动轨迹可以用其位移和时间关系式s=s(t)：s=t3-6t2+7t，0t4来刻画，其中s以米计，f以秒计，以起始方向为位移的正方向试回答以下关于物体的运动性态的问题：(1)物体何时处于静止状态？(2)何时运动方向为正或为负，何时改变运动方向？(3)何时运动加快、变慢？(4)何时运动最快、最慢？(5)何时离起始位置最远？位移：s=t3-6t2+7t，速度： 加速度： (1)我们知道当v变

14、为零，即 v=3t2-12t+7=0， 也即秒或秒时，物体瞬间处于静止状态 (2)由于起始速度v(0)=7米/秒，且v=v(t)为t的二次函数，故可知t内，物体运动方向为正；在内，运动方向为负，于是可知秒或秒时运动方向改变 (3)当a0，即t2，4时，运动速度加快； 当a0，即t0，2时j运动速度变慢 (4)由(2)的分析知，当秒时，速度v值最小；又根据二次函数的性质，可知当t=0秒或4秒时，速度v值最大 (5)我们可以根据s(t)的导数 s(t)=v(t)=3t2-12t+7 的取值来判断s的单调性，且易知s(t)即v(t)的零点 和 即为s(t)单调性发生改变的点，且知秒时取得最大位移，t

15、=2+秒时取得最小位移 24. 证明：两异面直线l1，l2公垂线段的长度就是l1，l2之间的距离。证明：两异面直线l1，l2公垂线段的长度就是l1，l2之间的距离。 (如图所示)设AB是l1与l2的公垂线段，长度为|AB|，在li上任取一点Qi(i=1，2)，作出由Qi，V1，V2决定的平面，于是AB，由Q2作的垂线，设垂足为N，因为l2，所以|AB|=|Q2N|，于是，在直角三角形Q1NQ2中，|Q1Q2|Q2N|=|AB|，所以，|AB|是l1与l2之间的最短距离，即两异面直线l1与l2线段的长度就是l1与l2之间的距离。 25. 一底面积为S=4000cm2，高为h=50mn的圆柱形木制

16、浮标浮于水面已知木制浮标的密度为0.8g/cm3求把浮标从水中托一底面积为S=4000cm2，高为h=50mn的圆柱形木制浮标浮于水面已知木制浮标的密度为0.8g/cm3求把浮标从水中托出水面所作的功(水的密度为103kg/m3)假设浮标处于平衡状态时露出水面部分的高度为x0cm，由于水的密度为1g/cm3，因此由Sh80=S(h-x0)1，得到x0=10(cm)，即浮标处于平衡状态时露出水面10cm如果设F(x)(10x50)为浮标露出水面xcm时所需的托力，则有 F(x)=0.8h-S(h-x)10-3g=4g(x-10)(N)， 其中g=9.8m/s2是重力加速度因此，将浮标托出水面需要

17、作功 26. 设随机变量X的分布函数求其概率密度，且求P(X1)设随机变量X的分布函数求其概率密度，且求P(X1) 27. 拟完美序列的周期自相关函数的的旁瓣值都等于多少?A、0.0B、2.0C、1.0D、2.0拟完美序列的周期自相关函数的的旁瓣值都等于多少?A、0.0B、2.0C、-1.0D、-2.0正确答案： C28. 8求平面被三坐标面所割出的有限部分的面积8求平面被三坐标面所割出的有限部分的面积平面方程改写为，所割部分在xOy面上的投影为区域D(如图9-107所示)，故 29. 设数量场，则div(gradu)=_设数量场，则div(gradu)=_ 30. 设A=a1，a2，a3，a

18、4，a5，R是A上的二元关系，其关系矩阵 试判断R是否是传递关系。设A=a1，a2，a3，a4，a5，R是A上的二元关系，其关系矩阵试判断R是否是传递关系。R是传递关系31. 若f(x)为Lebesgue可积函数，则( )A.f可测B.|f|可积C.f2可积D.|f|.a.e.参考答案：ABC32. 证明：函数F(x，y，z)在点P0(x0，y0，z0)处的梯度向量是函数F(x，y，z)在点P0(x0，y0，z0)处的等位面的法证明：函数F(x，y，z)在点P0(x0，y0，z0)处的梯度向量是函数F(x，y，z)在点P0(x0，y0，z0)处的等位面的法向量正确答案：33. 人类的血型可粗分

19、成O，A，B，AB等四型，设已知某地区人群中这四种血型人数的百分比依次为0.4，0.3，0.25，0.05要人类的血型可粗分成O，A，B，AB等四型，设已知某地区人群中这四种血型人数的百分比依次为0.4，0.3，0.25，0.05要从该地区任意选出10人，考察血型为AB型的人数，试用n重伯努利试验描述之由于这里只关心AB型血的人数，其他血型可不予区分，故在此时每个人的血型只有两个可能结果：AB型或非AB型这样，p=0.05是任取一人，其血型为AB型的概率从而问题可以说成是成功率为p=0.05的10重伯努利试验，即B(10，0.05)34. 使用凑微分法的关键是什么?使用凑微分法的关键是什么?使

20、用凑微分法的关键是正确引入变换u=(x)如果在运算中不写出u=(x)，而把(x)看做一个整体，将所求积分转化为新的积分通常，可以在基本积分公式中找到积分 最常见的凑微分类型如下： (1) (2) (3)f(sinx)cosxdx=f(sinx)dsinx (4)f(cosx)sinxdx=-f(cosx)dcosx (5)exf(ex)dx=f(ex)dex (6) (7) (8) (9) (10) 35. 试证试证(sinh z)=cosh z；(cosh z)=sinh z试证(sinh z)=cosh z；(cosh z)=sinh z正确答案：36. 在R上定义f，当x为有理数时f(x

21、)=1，当x为无理数时f(x)=0，则( )A.f在R上处处不连续B.f在R上为可测函数C.f几乎处处连续D.f不是可测函数参考答案：AB37. 求解线性规划问题 min f=3x12x2x3, stx12x2x3=15， 2x15x3=18， 2x14x2x3x4=10, xj0(j=1，2，3求解线性规划问题minf=3x1+2x2+x3,stx1+2x2+x3=15，2x1+5x3=18，2x1+4x2+x3+x4=10,xj0(j=1，2，3，4)注意到，系数矩阵中含有一个单位向量p4，这时可以省去一个人工变量，即只引进两个人工变量x5，x6于是，第一阶段问题为 min z=x5+x6

22、， s.t.x1+2x2+x3+x5=15, 2x1+5x3+x6=18， 2x1+4x2+x3+x4=10， xj0(j=1，2，6).列出初始单纯形表(简化的)，如表2-33. 表2-33 x1 x2 x3f0-3-2-1z333 2 6x5 x6x41518101 2 12 0 5*2 4 1 注意表2-33中z行的元素只等于人工变量x5，x6所在行的对应元素之和，而不是同列其余各元素之和相继迭代两次，得表2-34和表2-35. 表2-34 x1 x2 x6ffrac185-frac135-2 frac15zfrac575frac35 2-frac65x5 x3x4frac575frac

23、185frac325frac35 2-frac15frac25 0 frac15frac85 4*-frac15 表2-35 x1 x4 x6ffrac345-frac95 frac12 frac110zfrac415-frac15-frac12-frac1110x5 x3x2frac415frac185frac85-frac15-frac12-frac110frac25 0 frac15frac25 frac14-frac120 表2-35是第一阶段问题的最优解表，但最优值由此判定原问题无可行解 38. 设随机变量XB(n，p)，EX=0.8，EX2=1.28则X取值为( )的概率最大；其概

24、率为( )设随机变量XB(n，p)，EX=0.8，EX2=1.28则X取值为()的概率最大；其概率为()0和1$0.8439. 设随机变量X的概率密度，则Y=( )N(0，1) A B C D设随机变量X的概率密度，则Y=()N(0，1)ABCDB40. 一元二次多项式可以直接用求根公式来求解。( )一元二次多项式可以直接用求根公式来求解。( )正确答案： 41. 设随机变量(，)在区域(x，y):axb，cyd内服从均匀分布，求：设随机变量(，)在区域(x，y):axb，cyd内服从均匀分布，求：区域D的面积A=(b-a)(d-c)，所以(，)的联合分布密度为 $ 42. 设有指标集I，f(

25、x)：I是Rn上可测函数族，试问函数S(x)=supf(x):I在Rn上是可测的吗?设有指标集I，f(x)：I是Rn上可测函数族，试问函数S(x)=supf(x):I在Rn上是可测的吗?43. 有A、B两家生产小型电子计算器工厂，其中A厂研制出一种新型袖珍计算器。为推出这种新产品加强与B厂竞争，考虑了有A、B两家生产小型电子计算器工厂，其中A厂研制出一种新型袖珍计算器。为推出这种新产品加强与B厂竞争，考虑了3个竞争对策：(1)将新产品全面投入生产；(2)继续生产现有产品，新产品小批量试产试销；(3)维持原状，新产品只生产样品征求意见。B厂了解到A厂有新产品情况下也考虑了3个策略：(1)加速研制

26、新计算器；(2)对现有计算器革新；(3)改进产品外观和包装。由于受市场预测能力限制，表3-4只表明双方对策结果的大致的定性分析资料(对A厂而言)。若用打分办法，一般记为0分，较好打1分，好打2分，很好打3分，较差打-1分，差为-2分，很差为-3分。试通过对策分析，确定A、B两厂各应采取哪一种策略？表3-4A厂策略B厂策略1231较好好很好2一般较差较好3很差差一般A、B两厂均采取策略1。44. 关于函数的连续性、可微性的正确结论是( ) A除两个点是第一类间断点外处处连续可导 Bf(x)在(-，+)连关于函数的连续性、可微性的正确结论是()A除两个点是第一类间断点外处处连续可导Bf(x)在(-

27、，+)连续，仅有一个不可导点Cf(x)在(-，+)连续，仅有两个不可导点Df(x)处处可导C45. 求方程x2ydx=(1y2x2x2y2)dy的通解求方程x2ydx=(1-y2+x2-x2y2)dy的通解46. 在数集1，2，100中随机地取一个数，已知取到的数不能被2整除，求它能被3或5整除的概率在数集1，2，100中随机地取一个数，已知取到的数不能被2整除，求它能被3或5整除的概率提示：以A2，A3，A5分别表示取到的数能被2，3，5整除，所求的概率为： 47. 设f是上的实函数，(x，y)，每个截口fx是Borel可测的，每个截口fy是连续的证明f在上Borel可测设f是上的实函数，(

28、x，y)，每个截口fx是Borel可测的，每个截口fy是连续的证明f在上Borel可测证明注意两Borel函数的和、差、积、商以及Borel函数列的极限仍然是Borel函数现在对x所在的每个区间j，j+1(j)k等分，构作fk(x，y)以0，1为例，当时，令 按题设，每个fx是Borel可测的，又因为与显然是Borel函数，于是，fk(x，y)是上的Borel函数从而fk(x，y)是Borel函数以下证明fk(x，y)=f(x，y)只须证其在0，1上成立设0由于fy连续，0，当x1，x20，1，|x1-x2|时，有|f(x1,y)-f(x2,y)|/2；又因为，kk0，有|ai-ai-1|=1

29、/k(i=1，2，k)；故对xai-1，ai(i=1，2，k)有 |f(ai-1,y)-f(x,y)| +|f(ai，y)-f(x，y)|，这表明，由此可知f是上的Borel函数 48. 设，2元实二次型XAX的一个特征值是i，证明：Rn中存在非零向量=(1,2n)，使得A=(12,22n设，2元实二次型XAX的一个特征值是i，证明：Rn中存在非零向量=(1,2n)，使得A=(12,22n2)正确答案：因为i是A的一个特征值设为对应于的特征向量且=(12n)则A=i从而f(12n)一TA=Ti=T=i(1222n2)因为i是A的一个特征值,设为对应于的特征向量,且=(1,2n),则A=i从而f(1,2n)一TA=Ti=T=i(12,22n2)49. 描述系统状态变化时的热力学能变与功和热的关系式是_。系统从环境吸热时，Q_0；描述系统状态变化时的热力学能变与功和热的关系式是_。系统从环境吸热时，Q_0；系统对环境做功时W_0。正确答案：U=Q+W、50. 若矩阵A可逆，则(2A)-1=2A-1( )若矩阵A可逆，则(2A)-1=2A-1()参考答案：错误错误