毕业设计（论文）基于传递函数模型的模型简化方法研究

《毕业设计（论文）基于传递函数模型的模型简化方法研究》由会员分享，可在线阅读，更多相关《毕业设计（论文）基于传递函数模型的模型简化方法研究（56页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、哈尔滨理工大学学士学位论文基于传递函数模型的模型简化方法研究摘要自动化技术高度发展的今天，需要设计、研究和控制的系统愈加复杂庞大。经典控制理论的发展，现代控制理论的崛起，状态空间方法的产生和微型计算机的广泛应用给工程技术人员设计高阶系统创造了条件。但是建造的模型阶数越来越高，维数越来越多，以至无穷，就是运用大型计算机要计算模拟这些模型的特性也存在着几乎是不能实现的困难。本文首先着重阐述了当今国内外从传递函数角度入手，简化线性定常高阶系统数学模型的几种逼近方法Pade逼近法、时间矩逼近法、连分式逼近法、Routh逼近法和可调参数逼近法。并且通过实例论述了如何具体运用这些方法来简化高阶模型，同时评

2、述了它们的优缺点和适用范围，接着介绍了国内外在工程实际中运用逼近法的部分情况，并以一个四阶RC梯形网络的方框图解耦为例进一步论证了简化方法在网络模拟和计算上的重要作用。然后介绍了设计PID参数的虚拟对象的方法和可调参数逼近法。Pade降阶具有计算简单和低频逼近精度高的优点，降阶的实质是把原系统高阶传函中的低频信息提取到虚拟对象的三个参数中来以便于设计。本设计最后对连分式法进行了分析和研究，该算法在各种频域降阶法中思路较清晰、设计较简单、降阶系统与高阶系统脉冲响应之间的拟合精度较高。关键词传递函数；Pade逼近法；Routh逼近法；PID参数降阶；连分式法；Research of model s

3、implification method based on transfer function modelAbstractRight now with the high development of automantion, system that is need to be designed. researched and control becomes more and more complicated.The development of the classic control theory, the rise of modern control theory,the appearant

4、 of statespace method and the wide application of micro-computer created condition for the egnieers and technicians to design high order system. But the order of model becomes higher and higher; the divention also becomes more and more,which even approaches infility and diffiantties which cant be ov

5、ercome exists even using micro-computer to caculate and analog the characteristies of these models.In this paper, several approaching methods-pade approaching methods time turque approaching method connection and dirision style approaching Routh approaching method,and adjustable paramenter approachi

6、ng method are, emphasized according to transfer function simplified linear constant high order system method model at the same time. Their advantages and disadvantages and the application range are elaborated. Next, some situation of the practical application of approaching methods. Are introduced,

7、and the significance of the simplified method in web anolog and calculation is further testified with the example of a square picture of a four orders R-C web.Then the meyhod of dedigning the virtual object of PID parameter and adjustable parameters approaching of simple calculation and high accural

8、y of low frequency approaching.The substance of the order is to put the low frequenly information of the original system function into the three parameters of the virtual objects in order to make it convenience for the design. In this paper, the digiral stimulation and the experiment of experiment d

9、evice are given. And the snperiority of the algorithm over traditional PID algorithm is shown, the results are satisfying. In the end, the analysis and researed of connection and division method are carned on in the design. Among the various frequency drain order reduction methods, this algorithm is

10、 comparable Keywordstransfer function; pade approaching; Routh approaching; PID parameter； conction and division method;不要删除行尾的分节符，此行不会被打印- II -目录摘要IAbstractII第1章 绪论11.1 模型简化课题的背景及发展11.2 模型简化问题的提出及意义1第2章 Pade逼近法52.1 一般意义下的Pade逼近52.2 基于Routh稳定判据的Pade逼近法92.3 时间矩拟合法112.4 连分式逼近法142.5 Routh逼近法182.6 模型简化技

11、术在实际工程中的应用222.7 本章小结27第3章 高阶系统的PID参数降阶设计283.1 高阶系统的PID参数降阶283.2 可调参数逼近的简化法293.3 可调参数的确定及误差估计333.4 本章小结35第4章 线性系统频域模型简化的连分式法364.1引言364.2动态系统的传递函数364.3连分式384.4展开和反演414.5多变量系统矩阵连分式降阶434.6 当今的发展情况444.7本章小结44结论45致谢46参考文献47附录英文原文48中文翻译54千万不要删除行尾的分节符，此行不会被打印。在目录上点右键“更新域”，然后“更新整个目录”。打印前，不要忘记把上面“Abstract”这一行

12、后加一空行- III -绪论模型简化课题的背景及发展自动化技术高度发展的今天，需要设计、研究和控制的系统愈加复杂庞大。经典控制理论的发展，现代控制理论的崛起，状态空间方法的产生和微型计算机的广泛应用给工程技术人员设计高阶系统创造了条件。但是建造的模型阶数越来越高，维数越来越多，以至无穷，就是运用大型计算机要计算模拟这些模型的特性也存在着几乎是不能实现的困难。Bellman把这形容成“维数的灾难”。要把控制理论从“维数的灾难”中解救出来，发现和探求系统的简化模型是极其主要的方法之一。喜多村认为“大量的控制问题归于数值计算和极值探索上的问题，系统模型的低阶逼近在使问题的解决简单化上起着决定性的作用

13、” 。不仅如此，基于某种程度上的控制指标，尽可能简化本身也是最优化的必要条件之一。正因为这样，模型简化问题是那样的引人注目。近期，国外杂志上陆续发表了不少有关于模型简化问题的详细综述，力图进一步引起人们的重视，从其引用文献数目之多，涉及时间及范围之广，足以想象简化技术的重要性，也可见本领域的发展历史及正在发展的工作方兴未艾。模型简化问题的提出及意义简化意味着在一定条件下把状态空间的描述保持到最低的维数，把高阶系统的传递函数尽可能降到最低的阶数。在保证原系统不失去其原有的稳定性的条件下，抛掉系统中那些次要的可忽略的因素，保留那些主要的、支配的因素，进而用最少的因素去描述它们。接着就是建立一个逼近

14、度的标准的问题。概括起来就是简化要做的工作。把一个高阶系统简化到很低的阶数是完全可能的。在这从图1-1、图1-2所示的阶跃响应曲线对照图可以看出。图1-1是一个十阶的RC梯形网络及其二阶简化模型的阶跃响应曲线比较图，其最大误差不超过1.3%；图1-2是六阶多容惯性系统及其三阶简化模型阶跃响应曲线比较图，其最大误差不超过1.5%。这样建立起来的低阶系统无论从计算的简易性、控制的直观性和其电模型运行的可靠性上来说均有好处。如果从一种效率的角度来看简化，则一个能在所需要的工作范围内代表某一高阶系统的低阶模型结构，实质上就是一种优化设计的思想。这种思想正是近代控制及其工业系统力图实现的目标之一。图1-

15、1 10阶RC梯形网络传递函数及其(1、2)阶可调参数法简化模型的阶跃响应曲线对照程序：num=-3.3125,1;den=312.8125,51.6875,1;t=0:0.1:70;R=tf(num,den);y1=step(R,t);num=1;den=1,19,153,680,1820,3003,3003,1716,495,55,1;G=tf(num,den);y2=step(G,t);plot(t,y1,-,t,y2,-);xlabel(时间,FontSize,10);ylabel(输出,FontSize,10);图1-2 6阶多容惯性系统及其(2、3)阶可调参数法简化模型的阶跃响应曲

16、线对照程序：G=tf(1,conv(conv(1,2,1,1,1),conv(1,2,1,1,1);y1=step(G,t);t=0:0.1:15;R=tf(0.34914,1.01186,1,conv(2.2,1,3.14407,2.78814,1);y2=step(R,t);plot(t,y1,-,t,y2,-);xlabel(时间,FontSize,10);ylabel(输出,FontSize,10);多年来人们从各种不同的角度对简化技术进行了很多的研究，理论上也有很大的进展。其一是基于非奇异摄动理论和奇异摄动理论对状态方程进行等价线形变换使得系数矩阵的结构变得清楚，或者使矩阵对角化，再

17、适当化简。典型的方法有建立集约化模型，从可控性发出的降阶和保留代表根法等。从这种角度出发简化的缺点是改变了系统固有的物理意义，降阶系统和原系统的对应关系难于理解。其二是在已知高阶系统的时域响应曲线和频域响应曲线的情况下采用曲线拟合的方法。通过拟合计算，图解估计获得低阶模型。这种简化办法仅是数值分析方法的一个分枝，而包含与数值分析中的麻烦总是有的，响应曲线试验中的干扰更是难于避免的，何况必须先有高阶系统的响应曲线才能着手简化。其三是由实验取得输入输出数据，直接从数据出发建立低阶模型。例如所谓的一致逼近法和运用Kautz标准正交系的逼近法等。起四是建立在误差最小基础上的所谓最优简化。此法把简化模型

18、与原模型相比较，在某种误差准则上获得误差函数，例如：方差函数、均方差函数等，并对其求极值以决定简化模型参数。此法的缺点是计算量太复杂、稳态响应吻合差。再有就是在复域中对传递函数的降阶法，由于传递函数在经典理论和现代理论分析中占有重要地位，本章特着重评述这类方法在在当今国内外的发展情况。较为详细地给读者介绍这些方法的原理、用途、评价它们的使用价值。在用传递函数表示的线性定常高阶系统的低阶逼近方法中，具有代表性的几种是Pade逼近法、时间矩拟合法、连分式逼近法、Routh逼近法、可调参数法和高阶系统的PID参数降阶。Pade逼近法 一般意义下的Pade逼近Pade逼近法是用有理函数作逼近函数的逼近

19、方法。用有理函数可以逼近在有限点处其值为无穷的函数，或者在无穷远处趋于某一定数的函数，以及一些无理函数、超越函数(例如)等。对于诸如G(s)= (2-1)这样的高阶有理函数，Pade逼近法可以有效地以阶次低得多的有理函数逼近它。这这里运用逼近方法的运算过程及其某些限制加以讨论。 设高阶系统传递函数G(s)可在给定点S附近展开成Taylor级数： G(s)= c+c(s-s)+c(s-s)+ (2-2)其中(i=0,1,2)为常系统，且c=。为符号简明起见以下设s=0,则上式变为： G(s)=c+cs+cs+ (2-3)若设对应G(s)有一有理函数R(s)(j,k)。( (j,k)表示分子为j阶

20、多项式，分母为k阶多项式的有理函数的集合)R(s)= r+rs+rs+ (2-4)并约定c=r(i=0,1,2),则称R(s)为函数G(s)的Pade逼近。R(s)的分子、分母多项式P(s)、Q(s)de 系数d(p=0,1,j)、e(q=0,1,k)由下列线性方程组确定。注意其中还假设P(s)、Q(s)无公因子，且Q(0)0。还因P(s)、Q(s)是分子分母的关系，可设e=1:d=cd-ce=cd-ce-ce=cd-ce-ce-ce=c (2-5)-ce-ce-ce=c-ce-ce-ce=c其中当p0时c.=0。(p是(5)式中系数c的脚标)写成矩阵形式为 (2-6) = 0 0 0 0 -

21、c -c-c e c应注意的是，方程组不一定总是有解，其解存在唯一的条件是下列矩阵：H = (2-7)的行列式不为零，即矩阵H为非奇异矩阵。例1：现在看来用Pade逼近法简化一个四阶RC梯形网络所组成的传递函数G(s)= (2-8)我们先用长除法将(8)式展开成幂级数，则得=1-10s+85s-70s+ (2-9)由(5)式所得的方程组可分别求得(0,1)阶、(0,2)阶逼近式的分子、分母多项式系数。从而这些逼近式分别为R(s)= (2-10)R(s)= (2-11) (2-12)四条阶跃响应曲线绘于图3，各时刻的响应值列于表1。表1和图3清楚表明对于四阶RC网络来说(1,2)阶Pade逼近的

22、误差已经小到小数点三位以后，它们的阶跃响应曲线除起始段稍有差别外基本上完全一致。这说明Pade逼近具有相当高的精度。表(2-1)4阶RC梯形网络及其各阶Pade逼近阶跃响应值比较 分类012468101420y(t)00.01190.06890.24000.39890.52720.62850.77070.8888y(t)00.09520.18130.32970045120.55050.63210.75340.8647y(t)000.02690.08770.24230.39230.51940.62220.76790.8886y(t)00.00710.07220.24250.39920.52690

23、.62810.77050.8887图2-1 4阶RC梯形网络传递函数及其各阶Pade逼近模型的阶跃响应曲线对照。程序：G=tf(1,1,7,15,10,1);y1=step(G,t);t=0:0.1:25;R1=tf(1,10,1);y2=step(R1,t);R2=tf(1,15,10,1);y3=step(R2,t);R3=tf(-0.46667,1,10.33333,5.3333,1);y4=step(R3,t);plot(t,y1,-,t,y2,-,t,y3,-.,t,y4,:);但是Pade逼近存在着一个严重的缺点，极大地妨碍了它的应用。当高 阶模型传递函数的分子存在零点的时候，用P

24、ade逼近获得的模型不能保持原有系统的稳定性。我们看来一个四阶传递函数： (2-13)运用Pade逼近法求得其(1,2)阶逼近式为： (2-14)显然(12)式分母多项式的系数出现各系数符号不同的情况。由Routh稳定判据知其存在正实部的根，是一个不稳定的系统。这种现象产生的原因是原模型分子多项式系数和分母多项式系数共同影响简化模型中分母多项式的系数的结果。为了克服这一缺点，人们研究了许多改进的方案。其中较为典型的有保留支配极点的Pade逼近法，使用Cauchy内插的Pade逼近法，使用Hurwitz多项式的Pade逼近法和基于Routh稳定判据的Pade逼近法。它们的共同特点是对于渐进稳定的

25、系统先采取一定办法得到稳定简化模型的分母多项式，然后用Pade逼近法确定分子多项式的系数。基于Routh稳定判据的Pade逼近法最具代表性，并将在下面进行较为详细的介绍。基于Routh稳定判据的Pade逼近法设渐进稳定的高阶系统得传递函数为： (2-15)运用Routh稳定判据于G(s)的分母多项式，将其写成下式，(这里不妨设n为偶数)则 并将其展开成连分式形式：Q(s)= (2-16)其中a(i=0,1,2n)常数的决定由Routh稳定判据阵列求得，具体求法见第5节的Routh逼近法中的系数a的求法。简化模型R(s)的分母可由下述截短连分式反演成有理函数后的分母给出。 (2-17) 获得了R

26、(s)的分母多项式Q(s)后其系数才c(q=0,2,k)已知。分子多项式P(s)的系数d(p=0,1,j)可以从(5)式所示的方程组中前j+1个方程 (2-18)求得。其中当p0时c=0。这样的简化模型保证了稳定性，计算方法较为简单。例4：对高阶传递函数用长除法求得其幂级数G(s)=c+cs+cs+cs+,其中c=10,c=7.5。 =因此： 令 应用(5)式前2个方程得：于是 (2-19)显然由此得到的简化模型保证了稳定性。时间矩拟合法设G(s)是渐近稳定的传递函数，g(t)为其冲量响应。定义其i阶时间矩为 i=0,1,2 (2-20)而简化模型R(s)的第i阶时间矩为： i=0,1,2 (

27、2-21)时间矩拟合法的中心思想就是高阶模型G(s)和其(j,k)阶逼近式R(s)的前j+k阶时间矩应完全吻合，即-=0,1,2j+k (2-22)由拉氏变换的微分定理知： L=式中G(s)=Lg(t)= ,当s=0时上式变成：=(-1)=又，G(s)本身在s=0点的Taylor展式为 G(s)=式中，由此可以看出系数c和M(g)之间满足关系： (2-23)实质上简化模型与原模型之间的时间矩匹配是两传递函数幂级数之间的匹配，这说明时间矩拟合也是一种Pade逼近。不过这种Pade逼近是在稳定条件下的Pade逼近，即G(s)、R(s)均是渐近稳定的时候，匹配式 i=0,1,才成立。用时间矩拟合求得

28、G(s)的渐近稳定的简化模型R(s)已有很多文献介绍，基本原理是：设原模型与简化模型分别为G(s)= m = i =按时间矩拟合要求 i=0,1,则由 =可得到方程组p=0,1, (2-24)并由此确定出简化模型R(s)的分子、分母多项式的系数d(p=0,1,j),e(q=0,1,k)。总的来说，此方法必须预先选定简化模型的格式，然后将原模型和含待定系数的简化模型都按幂级数展开，再按时间矩匹配求得待定系数。一般常使用的简化模型有(1,2)型和(2,3)型即(2-25)和(2-26)对于含有延迟的系数的系统也有用的简化模型 (2-27)和(2-28)的，但这时得到的方程组是非线性方程组，特别值得

29、指出的是在国内三种形式常被使用：(1,2)型(2-29)(2,2)型(2-30)(2,3)型(2-31)对热工系统中经常出现的传递函数、及等进行逼近取得了良好的效果。曾经用形为 (2-32)的简化模型对直流锅炉动态模型进行了近似，建立了一系列公式，也取得了很好的效果。时间矩拟合法，由于预先选定了简化模型的格式；实质上是给定了稳定条件的在s=0点附近的Pade逼近。它保证了与原模型稳态响应和低频特性的吻合，但对原模型的瞬态特性和高频特性的逼近情况不清，甚至较差，这是其弱点。连分式逼近法一个具有多层反馈通道和前向通道的闭环系统。影响系统特性的最主要因素是最外层的反馈通道。第二个因素是最外层的前向通

30、道。第三重要的是第二层反馈通道，第四是第二层前向通道。依此类推，愈往里面的内环对系统性态的影响就愈小。任何系统均可等效成这种多环反馈系统，低阶简化模型的建立可以从中消去一些影响较小的内环而获得。构造这种等效的多环反馈系统，数学上的有效方法就是将高阶系统的传递函数展开成连分式。连分式前面的项代表外面的环，后面的项代表内层的环，截断连分式的一些尾项，相当于消除系统最里面的一些内环，从而获得了简化模型。(2-15)式那样的高阶系统传递函数可以展开成如下连分式形式： (2-33)如需求得k简化模型，可将ay以后的项截去，再反演成有理分式，就得到G(s)的k 阶逼近式R(s)： = (2-34)正向展开

31、的a(i=1,2,2n)系数，可由Routh 阵列方便求得。为书写关系清楚将G(s)重新写成： (2-35)则存在系数阵列： (2-36)阵列中任一元素A满足递推关系式：/ j3 (2-37)而连分式中系数 (i=1,2,2n) (2-38)同样，连分式反演回有理函数式，也可由连分式反演阵列求得分子、分母多项式系数d(p=0,1,，k1)，c(q=0,1,k)。设简化模型R(s)可写成： (2-39)则存在反阵列： (2-40)其中第一列满足关系： i=1,2,2k阵列中其他任一元素满足递推关系 p1 i=2,3,2k (2-41)阵列中最后两行就为简化模型的分子和分母多项式的系数。例2、四阶

32、RC梯形网络传递函数 的Routh阵列为：从而得到反阵列为：从而获得二阶简化模型 =显然本结果与例1中pade 逼近法获得的结果(2-12)式完全一样。当设a0(i=1,2,，2n)时，可以使R(s)和G(s)在s=0点的Tylor展式的前2k项完全一致。自然当俩者都渐进稳定的时候，前2k阶时间矩也吻合。这说明连分式展开实质上也是Pade 法的一种特例，其特点是计算简单、收敛快，对应的物理意义较清楚。遗憾的是连分式展开不能保证简化模型有原模型的一样的稳定特性。连分式在s=0点展开逼近虽然保证了逼近式的稳态特性与原模型一致，但在过渡特性上的逼近轻快不清。特别当 时瞬态逼近精度较差。为了描述系统的

33、瞬态性能，定义了所谓的Markov参数，它简单就是G(s)在点展开幂级数的各个系数。众所周知,对应于时域中t=0，故Markov参数表征了G(s)的瞬态特征。为提高简化模型对原模型的瞬态响应上的逼近精度，有的学者提出了分段在多点展开连分式的办法。典型的例子就是将G(s)分开两段展开成连分式。前一段在点展开，后一段在s=0点展开。具体展开法如下：首先在点将G(s)展开到k项：然后在s=0点将余下的G(s)继续展开成连分式，则G(s)最后被展成： (2-42)简化模型R(s)可以由上式截去前(k+l)项以后获得： (2-43)把R(s)反演成有理式就得到阶数为(k+l)/2的简化模型传递函数。可以

34、看出，在(k+l)/2=常数的情况下可以得到一组简化模型。K大l小对原模型的瞬态逼近好，l大k小对原模型的稳态逼近好。但这一组模型中有的稳定有的不稳定，可能失去和原模型一样的稳定性。Routh逼近法Hutton提出了一种新颖的逼近方法，由于它具有一些优点，引起很多学者的重视，很多文献都提到了它。这里我们举例扼要介绍这种算法，指出它的优缺点和适用范围。若渐近线稳定的高阶系统模型的传递函数为 (2-44)则其总可以展开成下述典型形式 = 其中 (2-45)展开式中系数由表和表计算。表中前两行由G(s)的分母多项式系数给出，表中前两行由G(s)的分子多项式系数给出，表中最左侧第一列给出、(j=1,2

35、n)的值。表2-2： 系数表a=a a=a a=a a=a a= a/ aa= a/ aa= a/ aa= a/ aa= a/ a a= a- a a a= a- a a a= a- a a a= a- a a a= a- a a a= a- a a a= a- a a 表2-3： 系数表b=b b =b b= b b= b = b/ a=b/ a= b/ a=b/ a=b/ ab= b- a b= b- a b= b- a b= b- ab= b- a b= b- ab= b- a 下面我们以四阶模型的简化为扼要地说明。Routh逼近法大致分四步：把原模型G(s)变换成为G(s)逆排列式(s

36、)。(s)是按下述方法取得的：例如 G(s)= (2-46)在(2-46)式中，以取代每一个s值我们有G()= 定义： (s)= G()=推广到 (s)= G()= (2-47)用R(s)代表原模型的第k阶逼近式，则R(s)为： R(s)= () (2-48)其中(s)就是(s)的k阶Routh逼近模型。 把(s)展开成具有系数的展开式，这就是把(s)展开成为(s)=f(s,)的函数，其中，是由(s)展开的系数，它不同于展开G(s)得到的 、系数，其算法见表(2-2) 接着就是计算与(s)相对应的Routh第k阶模型(s)= f(s,),把这一连分式的第k项以后截去，然后整理成下列有理分式 (

37、s)= (2-49)令(s)及(s)分别表示第k阶Routh逼近式的分母和分子多项式 (s)= s+1 (s)= (s)= s+s+1 (s)= s+(s)=s+s+(+)s+1(s)= s+s+(+)+一般可表示为：由、值不同而不同，但这些简化模型同样可能稳定，可能不稳定。模型简化技术在实际工程中的应用“简化”和“近似”的概念早就伴随控制系统设计的出现而产生了。每一个从事控制工程设计的工程技术人员有意无意都运用着“简化”和“近似”的思想和准则。工程设计中常用到的典型的二阶、三阶设计方法就是基于简化思想的。事实上，无数的控制系统设计都是建立在三阶近似基础上的。不论系统的过程多少，阶数多少，这样

38、近似往往获得良好的效果。例如一个运算放大器，就其内部电路来说就是一个高达数十阶的系统，而在实际应用时往往在外部连线上进行一定处理，使其可以作为一个二阶系统来应用。有关这类似的设计方法在许多自控原理及其设计的著作中已有详细论述。 简化的目的是为了更好、更方便地应用系统工程理论于实际。随着模型简化理论的发展，其在工程实际中的应用日趋广泛。过去从一些文献中已经看到不少可喜的成果。早在五十年代人们就用各阶Pade 逼近式近拟一个实际上具有无穷除数的纯时滞函数,并把它用在惯性系统中收到了良好的效果。国内过年来对纯时滞函数的逼近的研究也开始受到重视。(1-2)，(2-3)阶有理函数逼近含有纯时滞的各种系统

39、和多容惯性系统，在热工控制系统的模拟上取的了成效。运用Pade逼近式对纯时滞元件进行研究并用于水电热工调节系统，也取得了很大进展。运用多容惯性模型于直流锅炉高阶动态系统的近似模拟，将原有高达50-80阶的大延迟系统简化到十多阶进行动态模拟也取得了成果。降价法还被应用于对一个不完善的高阶系统的补偿设计。成功地将连分式逼近法运用到对复制器类型控制系统的补偿设计，获得了成功的经验，建立了一套代数设计方法。其设计程序大致分为四阶段： 1 根据实际控制所要求的技术指标，例如一个二阶系统的速度误差、截止频率、阻尼系数等拟合出一个合乎控制要求的传递函数。 2 按照所控制系统的特性，假设一定的补偿器。例如：小

40、回路补偿、相位超前补偿、相位滞后补偿、相位超前滞后补偿及反馈补偿等。 3 把待求系数的补偿器的传递函数同原系统传递函数合成更高阶的传递函数并运用连分方法简成含有补偿器未知系数又与第一步中按按拟合的传递函数同阶的简化模型。4 求解由这两个传递函数比较而产生的方程组求得未知补偿器的系数。 Routh逼近法的创造人Hutton在谈及他的方法的应用时指出：“一个重要的潜在用途就是对一个本来是高阶的动态系统，合理设计一个低阶控制系统来代替它。”此外，还可以利用得到的低阶模型设计一个近似同阶的控制器。 模型简化技术的应用领域极为广泛，但它的潜力尚未引起人们足够的重视。值的注意的是，大部分电路均可用状态方程

41、和传递函数予以描述。降价法的应用必将为网络计算和网络结构的简化带来极大的好处。大家都知道，梯形网络在动态模拟中是一种非常有用的网络。在系统工程中，梯形网络可以用来模拟范围极广的工程系统，声学系统、流控系统、传热过程、管路传输线等。因为有了计算机，即使是大型的梯形网络其计算工作也可以在短时间内完成。但是使用大型计算机是要花钱的。而且计算机不能代替人的思维，因此建立简化的数学模型的工作需要人去作。例如在许多物理系统的电模型上，人们不但想看到输入输出之间的变化关系，而且还想了解在过渡过程中或在稳定状态下，电模型上的各节点的电流或电压量以便了解对于原模型中各对应点相应的物理量。在这种情况下如果直接采用

42、原模型，初步设计的计算工作量可能是非常之大的。显然简化技术在这里可以起很好的作用。为简便起见，我们用一个四级梯形网络为例来说明简化技术如何发挥它的作用： 图2-2 四阶R-C四级梯形网络图为了简化起见，我们定义下列符号g,g,g,g,与R,R,R,R相应的电导；C，C，C，C电容；我们在图9中的节点V,V,V,V上应用KCL定律，可以得到：V=V=V=V=即V(s)=W(s)V(s)+W(s)V(s) (2-67)V(s)=W(s)V(s)+W(s)V(s) (2-68)V(s)=W(s)V(s)+W(s)V(s) (2-69)V(s)=W(s)V(s) (2-70)现在用图2-3(a)来表示

43、(67)(70)式 图2-3(a)方框图在V与 V之间有：，V=V= (2-71)于是图2-3(a)变成2-3(b) 图2-3(b)方框图解耦全过程又V=， (2-72)由此将图2-3(b)变成2-3(c)。 图2-3(c)方框图解耦全过程由图2-3(c)有： = (2-73)最后得到完全解耦的方框图，见图2-4WV 图2-4图2-4 完全解耦得方框图由上面的分析可见，经解耦之后的四阶RC网络可以归纳为由四个有方向性串联的环节所组成。这样处理的结果带来了一些重要的效应：(1)无论梯形网络的结点间的传递函数W 是何种形式，任一级网络的传递函数可由下式表达： (2-74)其中n=1,2q=梯形网络

44、最后一级的序号(把第一节点列为1算起)V=第n个节点上的电压；V=在第n个节点前一个节点上的电压。例如四阶RC网络的第一级：也就是说整个网络的传递函数可以通过每一级的传递函数相乘求出。(2)通过解耦四级系统已被隔离为四个方向性环节，从第一级到任何一级之间的传递函数其分母都一样，如果采用基于Routh稳定判据的Pade逼近方法对分母进行单独的降阶，这相当于从第一阶起到第任意级间的传递函数的分母已简化为低阶。如果要求任意阶网络的传递函数，下一步只是求分子的Pade逼近问题。这种计算比Routh法简单很多。如果采用有可调参数的逼近法，则精度可以提高而计算工作并不应此成比例地增加。这种方法在梯形网络较

45、高时更显出它的优越性。(3)如果所建立的模型阶数较高，则经解耦以后的环节可以用隔离放大器以提高模型的响应精度。此时对每一级传递函数应用降阶逼近式以后可以确切地反映院物理模型相应的级数的响应过程。(4)如果我们建立梯形网络的模型是为了建造一个模拟的控制对象。那么通过系统传递函数综合以及模型简化技术，我们终于能够得到一个比原模型阶数低得多的等效对象。如果此时采用一种有可调参数的低阶模型，就可以在低频段或者在高频段重现元模型的特性。以上初步可见模型简化在实际中的一些作用。本章小结以上综述了当今国内外从传递函数角度对高阶系统进行简化的各种方法，这些方法各有特点，但又紧密相连。无论那种方法都与Pade逼

46、近有着密切的关系，都归于Pade逼近，也都是部分的Pade逼近。Pade逼近是这类方法的数学基础。数学上Pade逼近式一个有理函数逼近。有理函数逼近由于分子分母函数都同时起作用，比起Taylor级数展开逼近方法具有较高的精度和随阶数增加的快速收敛性。而控制理论上决定系统的阶数仅是传递函数分母的阶数。这两点说明了Pade逼近在系统简化理论上的价值。但是系统的简化不单是一个数值逼近问题，还涉及到简化模型能否实现的问题以及简化系统必须尽可能保持原系统的物理特性(稳定性、稳态响应、过渡响应、频率特性等)的问题。当然为适用于工程设计还有一个计算快慢和难易的问题。它们构成了时间矩拟合法、连分式法、Rout

47、h逼近法和其它改进的Pade逼近法必然出现的背景。Pade逼近精度高，可以选择逼近的频带，但是不能保证稳定性，计算较为复杂。时间矩拟合是在零点展开的附加了稳定条件的Pade逼近，保证了稳定性、稳态特性和低频特性的吻合，但过渡特性和高中频特性拟合程度不清且精度低，计算量太大。连分式逼近由于计算正反系数阵列的存在，计算特别简单，且能兼顾稳态与瞬态特性，还从反馈理论上表明了简化模型与原模型之间的物理关系。但不能保证稳定性是其一弱点。Routh逼近也是一个部分的Pade逼近。其特点是保证了稳定性，且可以保持低频特性，还存在选择逼近阶数的判据，特别适用于迟滞小的大系统降阶。高阶系统的PID参数降阶设计高

48、阶系统的PID参数降阶用PID控制来控制一个高阶系统时，由于可以配置的极点有两个，不可能配置所有的极点，而使可能实现的性能指标受到限制，为使系统能稳定工作，实际的选择只能是首先确保系统的低频特性，为防止高频特性影响系统的稳定运行，系统的频宽必须予以限制，这意味着系统的快速性受到对象本身的制约，因而高级系统的PID参数设计首先要解决的是找出这种制约的条件。具体地说，在二阶系统PID的参数设计中，极点是任意配置的，而对高阶系统，必须限制闭环主导极点的模。我们的方法是采用降阶设计的途径实现的，即用高阶系统的二阶模型来代替原高阶系统来进行PID参数设定，这种讲解模型可称为虚拟对象，整个设计分四部进行：

49、根据高阶模型用Pade讲解确定一个二阶的虚拟对象R(s)。根据虚拟对象确定闭环虚拟极点的模。选择虚设阻尼比，计算PID参数。由于虚拟对象与原系统间的误差，还需对原系统实施控制的仿真计算调整，最后确定满意的PID参数。我们需要一个与原高阶系统有较好的低频逼近特性的一个无零点的二阶模型，作为设计PID参数的虚拟对象，Pade降阶具有计算简单和低频逼近精度高的优点，对我们来讲，降阶的实质是把原系统高阶传函中的低频信息提取到虚拟对象的三个参数中来以便与设计。前面介绍过Pade降阶的一般算法，下面给出高阶系统的0，2的Pade模型的计算公式。设(m,n)的系统传函为：G(s)=(a0+a1s+amsm)

50、/(b0+b1s+bnsn)=c0+c1s+若存在一个(j,k)阶系统(j小于等于m,k小于等于n)R(s)=(d0+d1s+djsj)/1+e1s+eksk)=r0+r1s+rj+ksj+k+且又ci=ri(I=0,1,j+k)则称G(s)的(j,k)阶Pade逼近位R(s)比较上面的G(s)与R(s)的展开式，比较其系数可得：d0=c0=a0/b0(3-1)e1=(b1/b0-a1/a0)(3-2)e2=(b2/b0-a2/a0)-a1e1/a0(3-3)从而方便的以一个高阶系统传递函数求出我们所需的Pade(0，2)阶逼近函数模型。大量的计算实践证明，对有较好的阻尼的高阶系统，如果它(0

51、，2)的逼近模型中较大的极点是a1那么在它的是分贝频程w1内，虚拟对象有较好的逼近模型。W1= |3.16a1|这一经验是我们提出的方法基础。当对象是二阶，在不考虑限幅的前提下，其极点可通过PD控制任意设定，性能指标可达到满意的好。设二阶对象为 G(s)=k0/(s-a1)(s-a2)当选定的闭环极点参数为：1,2=-wn+(-)jwn(1-2)则PD参数为：KP=(Wn2-a1a2) (3-4) Td=(2wne+a1+a2)/(wn2-a1a2) (3-5)在积分分离式PID控制中，为了能使加入积分控制的时候不产生被动，在加入积分控制时，保持PD参数不变。则实际上是闭环极点发生了变化，是变

52、化后的主导极点阻尼比为Ei,极点模为wni,非主导极点取为3且3=-miwni 根据Ti的计算公式可额定这是的积分时间常数：Ti=kpk0(m+2)/m(Tdkpk0-a1-a2)kpk0+a1a2-2m(Tdkpk0-a1-a2)2/(m+2)2 (3-6)若取m=3，对减小系统超调和尽快进入稳态是恰当的，以上的三式给出了积分分离式PID参数设计公式。另外，用极点配置的方法决定PID参数，变量的变化范围是受到约束的，由于PID参数Ti,Td必须是正值，因此限制了变量变化的范围。要使Td为正必须满足：2ewn大于-(a1+a2)(3-7)要使Ti为正必须满足：wn-2m(2ewn)2/(m+2

53、)2(3-8)所得的值要大于零用配置虚拟对象闭环极点设计高阶系统PID参数。因为Pade降阶模型忽略了高频极点的影响，频率越高存在的误差越大，因此，一个高阶系统使用上述方法确定PID参数控制，成功的关键在于有效的限制频宽。可调参数逼近的简化法模型简化肯定都要抛弃原系统的一些信息，保留一些信息，但是简化过程中哪些因素可以抛弃，哪些因素可以保留，哪些又可以部分保留，进而能否作到按设计者要求有选择地抛弃和保留，概括起来，就是简化模型与高阶系统之见应有哪些对应关系。高阶传递函数总可以写成： (3-9)其中系数是实数，为复数，广义的时间常数。如果从反映系统动态特性的主要因素以及它们在系统的时域和频域响应上的表现来分析传递函数中系数的含义，则基本上可以视为有四个主要因素：总增益：它反映了系统对直流输入信号的即零输入信号的放大能力，决定了系统时域响应的稳定值。即。等效滞后时间：它表征了系统对输入信号的滞后特性，由下述积分定义； (3-10)其中为单位阶跃函数，为的单位阶跃函数。是系统中所有滞后(积分)因素和所有超前(微分)因素之差，其与传递函数有以下关系： (3-11) 支配极点(主要特征值)：它反映了系统对输入信号响应的基本性状(单调，振荡，渐近稳定，不稳定等)，主要由系统传递