任意频分方向滤波器组的设计与实现【推荐论文】

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1、精品论文任意频分方向滤波器组的设计与实现李永波，谢雪梅，梁莉莉（西安电子科技大学智能感知与图形理解教育部重点实验室,陕西西安,710071）5摘要：本文详述了一种任意频分方向滤波器组的设计思想及过程，这类方向滤波器组是通过 将一维滤波器组应用到图像的伪极傅里叶变换域得到的，根据这种设计方法可以实现均匀或 非均匀方向滤波器组。文中首先分析了该设计思想，并解决了设计中的关键问题，进而根据 这种思想得到了实现步骤；然后介绍了方向滤波器组在 MATLAB 中的实现函数；最后提供 了相关仿真实验用以验证方向滤波器组的性质，同时对这些仿真实验进行了说明。10关键词：方向滤波器组； 任意方向频分； 伪极傅里

2、叶变换中图分类号：TP37Design Principle and Procedure of Directional Filter Banks with Arbitrary Frequency Partitioning15LI Yongbo, XIE Xuemei, LIANG Lili(Key Laboratory of Intelligent Perception and Image Understanding of Ministry of Education, Xidian University, Xian, Shaanxi, 710071)Abstract: In this paper

3、, the design principle and procedure of the directional filter banks (DFB) with arbitrary frequency partitioning is introduced. This kind of DFB is obtained by employing20one-dimensional filter banks to pseudo-polar Fourier transform of the input image. By doing so, both uniform and nonuniform DFB c

4、an be obtained. This paper first analyzes the design principle, as well as some key problems being solved. Then the procedure of realizing this DFB, together with the implement functions of the DFB in MATLAB, is provided. Finally, some simulations with detailed explanation are given to verify the pe

5、rformance of the proposed DFBs.25Key words: directional filter bank; arbitrary frequency partitioning; pseudo-polar Fourier transform0引言方向滤波器组(Directional Filter Banks, DFB)最初是由 Bamberger 和 Smith1提出的，该 类滤波器组能够提取图像某些特定方向的纹理信息。我们知道，图像的边缘轮廓和纹理细节 在图像去噪、压缩、特征提取、分析和理解等应用中都是非常重要的。传统 DFB 如图 1(a)30 所示，该结构是基于

6、二叉树设计的，能够得到 2n 个子带和实现固定的方向频率分解，图 1(b) 和(c)是对传统 DFB 的改进结构2-4，经过改进，能实现相对灵活的方向频分。但是，自然图 像的轮廓边缘和纹理方向通常是复杂多变的，而现有的 DFB 都是均匀方向滤波器组，得到 的子带数目有限且方向固定，在图像的方向表示时必然有较大的局限性。尽管我们希望能够 根据图像的方向特性来实现对图像的任意方向频分，但是以现有结构还不能设计出所期望的35 滤波器组。基金项目：高等学校博士学科点专项科研基金(20090203110003)作者简介：李永波(1989-),男,学生,多速率滤波器组理论通信联系人：谢雪梅(1967-),

7、女,教授,多速率滤波器组理论. E-mail: xmxie- 7 -(a) 传统 DFB (b) curvelet 和非下采样 contourlet (c) shearlet图 1 DFB 频分图本文将根据56介绍一种易实现且能够有效提取图像方向信息的二维不可分离 DFB。这40 类 DFB 是基于伪极傅里叶变换(pseudo-polar Fourier transform, PPFT)7和一维滤波器组设计 的，不仅可以得到楔形子带，而且能够实现任意方向频分。本文介绍了该类 DFB 的设计思 想，并解决了设计过程中的两个关键问题：图像 PPFT 域的调整，基于一维滤波器组的方向 分解其中，前者

8、是根据一维滤波器组的特性来对图像的 PPFT 进行坐标重排，后者通过 将一维滤波器组应用于调整后的 PPFT 即可实现图像的方向分解。最后，本文提供了相关的45 仿真实验及其详细的解释，验证了该类 DFB 可以根据图像的方向纹理特征来对图像进行有 效表示的性质。本文按照以下思路展开：第二部分介绍了 DFB 的设计思想，解决了设计该类 DFB 时的 关键问题；第三部分介绍了 DFB 的具体设计步骤，该设计过程是由第二部分的设计思想得 到的；第四部分详述了 DFB 在 MATLAB 中的实现函数；第五部分利用第四部分中介绍的50 实现函数设计了相关的仿真实验，验证了 DFB 有效提取图像方向信息的

9、性质。1方向滤波器组的设计思想及两个关键问题本文提及的是一种基于 PPFT 和一维滤波器组的 DFB。这部分首先介绍了该类 DFB 的 设计思想，然后分别对 DFB 设计过程中的两个关键问题展开详述。1.1 设计思想55 PPFT 是在伪极栅格上计算傅里叶系数。伪极栅格由基本竖直（Basically Vertical, BV） 和基本水平（Basically Horizontal, BH）两个子集构成，其中实心圆表示 BV 子集，空心圆表 示 BH 子集，如图 2(a)所示。它们分别表示如下：BV = y = l / Nfor N l N ,x = y 2m / Nfor N / 2 m N

10、/ 2(1)BH = x = l / N60for N l N , y = x 2m / Nfor N / 2 m N / 2(2)设输入图像在 BV 和 BH 子集 的 PPFT 分别表示为 X BV (x , y ) = X BV ( m, l ) 和X BH (x ,y ) = X BH ( m, l ) 。由(1)式可得， X BV ( m, l ) 中的横坐标 m 表示斜率方向 x / y ，1 x / y 1 ，纵坐标l 表示具有不同斜率x / y 的射线方向；同理， X BH ( m, l ) 中的横坐标 m 表示 y / x ， 1 x / y 1 ，纵坐标 l 表示具有斜率

11、y / x 的射线方向。通过 PPFT的仿射特性，二维不可分离的方向射线就转化为可分离的沿着l 坐标排列的竖线，如图 2(b)65和图 2(c)所示。如果我们用 M 带一维滤波器组沿着 m 轴对 X BV ( m, l ) 或 X BH ( m, l ) 进行滤波，将得到具有矩形支撑域的子带，根据 PPFT 的特性，该子带对应于方向滤波器组中相应的楔形区域。这一系列操作可以实现方向滤波器的设计。(a) 伪极栅格 (b) BV 子集的 X BV (m, l ) 坐标 (c) BH 子集的 X BH (m, l ) 坐标70 图 2 伪极栅格在笛卡尔坐标和伪极坐标下的示意图根据上面的介绍，分析得到

12、 DFB 的分解原理图如图 3 所示， x(n) 为输入图像，由 x(n)到 y(n) 完成图像的方向分解。图 3 中，首先对输入图像进行 PPFT 变换，得到两个子集：X BV (k1 , k2 )和 X BH (k1 , k2 ) ；然后通过 System 得到 X (k1 , k2 ) ，System 实现的功能是对伪极坐标的重排，使之可以应用一维滤波器组；进而通过一维滤波器组得到 X k (k1 , k2 ) ，即75 为各个方向分量在 PPFT 域的形式；最后通过伪极傅里叶反变换(IPPFT)即可得到各个方向分 量的时域形式。按照相反的流程，即可实现 DFB 的重构。图 3 DFB

13、分解原理图以上的设计思路中，一维滤波器组是很重要的一部分，不过已有很多文献对其做了详解80 8-10，其详细设计过程参见附录。除此之外，还需要解决两个关键问题：一是伪极坐标的重 排，即图像 PPFT 域的调整；二是一维滤波器组在图像调整后的 PPFT 域上的应用。下面将 分别介绍这两个关键问题的解决思路。1.2 图像 PPFT 域的调整为了在图像的 PPFT 上应用一维滤波器组，需要对 PPFT 做两个方面的调整：一方面是85 BV 和 BH 子集的结合。极坐标系被分为 BV 和 BH 两个子集，如果两者被分开处理，就无法提取对角线的方向信息；另一方面是两个子集的结合在斜率方向上应满足周期为

14、2 。通 过(1)(2)式可以看出， m 表示斜率x / y 和 y / x ，范围分别为-1,1)和(-1,1，而一维数字 滤波器组在直角坐标系下的傅里叶变换的周期为 2 ,为了对结合后的 BV 和 BH 子集在斜率 方向上划分，必须使得两个子集的结合在斜率方向上满足周期为 2 。90 同时，为了得到不同类型的 DFB，可以应用多带一维实系数或复系数滤波器组。如果该一维滤波器组系数为实数，则其分解滤波器的频率响应关于竖直轴对称，如图 4 所示；而 对于复系数滤波器组，其频率响应只有单边谱，如图 5 所示。下面分别对这两种情况介绍图 像 PPFT 域的调整。95100图 4 实系数分解滤波器组

15、的频率响应图 5 复系数分解滤波器组的频率响应1.2.1PPFT 针对一维实系数滤波器组的调整 实系数分解滤波器组的频率响应关于竖直轴轴对称，则需要 BV 和 BH 的合并结果应该在竖直轴的左边或右边。因此对 BV 和 BH 子集进行频谱搬移将 X BV (m, l ) 左移 3N / 2 个单位，然后将 X BH (m, l ) 左/右翻转再左移 N /2 个单位，最终将 X BV (m, l ) 和 X BH (m, l ) 合并 为 X PPFT (k1 , k2 ) ，如(3)式和图 6。 X BV (k1 + 3NX(k , k ) =2 , k2 ), 2 N k1 N , N k

16、2 N ,(3)PPFT1 2 X( N2 k , k ), N k 0, N k N. BH1 2 1 2105图 6 X PPFT (k1 ,k2 ) 的栅格110这样就可以沿 k1 方向对 X PPFT (k1 , k2 ) 进行滤波。同时，根据分析可知，必须满足X PPFT (k1 , k2 ) 在 k1 方向有 2 的周期。设某一图像时域表示为 x (n1 , n2 ) , n1 = 0,1, ., 4N 1 , n2 = 0,1,., 2N 1 ，并设其直角坐标系下的二维 DFT 为 X (k1 , k2 ) ，k1 = 2 N , 2N + 1,., 2N 1 , k2 = N

17、, N + 1,., N 1 ，令 X (k1 , k2 )在区域 , 0) ( , 上为 X PPFT (k1 , k2 ) ，在0, ) , ) 范围内为 0，见(4)式和(5)式。在y直角坐标系下二维 DFT 栅格中有x = 2 k1 / 4 N , = 2 k2/ 2N ，可以得到 X (k1 , k2 ) 的栅格如图 8(a)所示，其左边表示 X PPFT (k1 , k2 ) 而右边表示全 0。 X( k , k ) , 2 N k 0, N k N ,1 2X (k , k ) = PPFT1 2 12(4)0,0 k1 2N 1, N k2 N ,4 N 1 2 N 1()X

18、(x , y ) = X ( k1 , k2 ) = x (n1 , n2 ) exp i (n1x + n2 y )n1 = 0 n2 = 0(5)4 N 1 2 N 1 1 22 k 1 22 k =n1 =0 n2 =0x (n , n ) expi n1 + n4 N22 N 115通过对 X(k , k ) 做如上操作后得到 X ( ,) ，可以看出，后者已经实现了对 PPFTPPFT 1 2 x y两个方面的调整，对其在水平方向上应用一维实系数滤波器组，即可实现 DFB。1201.2.2PPFT 针对一维复系数滤波器组的调整复系数滤波器组的频谱为单边谱，因此为了合并 BV 和 BH

19、 子集，对两者作如下操作： X BV (m, l ) 在 m 轴上左移 N /2 个单位，然后将 X BH (m, l ) 左右翻转再右移 N /2 个单位，即可 得到两者的结合，如(6)式。 X BV (k1 + NX(k , k ) =2 , k2 ) , N k1 0, N k2 N ,(6)PPFT1 2 X(N2 k , k ),0 k N , N k N. BH1 2 1 2125为了满足两子集的合并结果在斜率方向周期为 2 ，令 X PPFT (k1 , k2 ) 为某一信号x (n1 , n2 ) , n1 , n2 = 0,1, ., 2 N 1 在直角坐标系下的二维 DFT

20、，同时满足，x = 2 k1 / 2 N 和 y = 2 k2 / 2N ，其调整如 (7) 式，图像见图 7，可以看出， X (x , y ) 在x y 坐标系中()有 2 的周期，其中 X (x , y ) 在x , 0) 和y , ) 范围内为 X BV (x , y ) ，而在x 0, ) 和y , ) 范围内为 X BH (x , y ) 。N 1 N 1X (x , y ) = X (k1 , k2 ) = X PPFT ( k1 , k2 ) = x (n1 , n2 ) exp i (i1x + i2y )i1 =0 i2 = 0(7)N 1 N 1 2 k2 k 1 2 1

21、2 =i1 = 0 i2 =0x (n , n ) expi i1 + i2 N22N 130图 7 调整后的 PPFT X ( x , y ) 在直角坐标系中的栅格以上操作完成了对 PPFT 两方面的调整，对 X (x , y ) 在水平方向上应用一维复系数滤波器组，即可实现 DFB。1.3 一维滤波器组在 PPFT 域上的应用将一维 M 带滤波器组应用于改进后的 PPFTX (k1 , k2 ) ，即 X (x , y ) ，对其在 k1 方向上进行滤波，就可以得到 M 个方向子带 X k (k1 , k2 ) ，k = 0,1,., M 1 ，该过程如 (8) 式所示：135X k (k

22、1 , k2 ) = X (k1 , k2 ) H k (k1 )(8)140145150H k (k1 ) 是一维分解滤波器组在笛卡尔坐标系中的 DFT。每个 X k (k1 , k2 ) 对应于极坐标系下的一个矩形支撑域，而该矩形支撑域对应于笛卡尔坐标系下的某个楔形区域。以一维实系 数非均匀滤波器组为例，图 8(a)中的每个矩形区域对应于图 8(b)中的一个楔形区域，可以 看出，通过以上操作，即可得到多带非均匀方向滤波器组。很明显，如果采取相同的操作而 选取其他一维滤波器，即可得到不同类型的 DFB。(a) 在 X (x , y ) 上应用一维非均匀滤波器组 (b) 分解得到非均匀方向频分

23、结果 图 8 用一维非均匀滤波器组实现非均匀方向频分在图 8(a)中，在 X (x , y ) 的水平方向上应用一维非均匀滤波器组，而图 8(b)显示了应用所提出的方法得到的各个频率分量，可以看出，通过以上操作可以得到任意频分的 DFB。同理，在 X (x , y ) 的水平方向上应用一维均匀滤波器组，即可得到均匀频分的 DFB。2方向滤波器组的实现步骤根据第二部分的分析，本段从分解和重构两部分详述了 DFB 的具体实现步骤。同时在 设计过程中，为了达到多尺度分解的效果，设计结构中应用了拉普拉斯金字塔(Laplace Pyramid, LP)结构，如图 9 所示。3.1分解过程图 9 LP 与

24、所提出的 DFB 的结合155160分解过程主要是一维滤波器组应用于改进后的 PPFT。假设图像被分解为 m 级，在第一 级分解中，根据设定参数获取 LP 分解滤波器组，将图像分解为低通和高通两部分。以后各 级分解中，输入图像被分解为低通和带通两部分，其中各级低通部分作为下一级的输入图像， 而高通或带通部分则根据该级要求的方向数进行方向分解。方向分解过程如下：z对带通或高通分量进行 PPFT 变换；z根据(3)(4)或(6)式对变换结果进行调整，实际完成了坐标的重排，方便应用一维滤- 12 -165170175180185190波器组；z根据参数选定的一维滤波器类型及其系数类型、方向数目选择对

25、应的一维滤波器 组；z一维滤波器组与改进后的 PPFT 在某一方向进行卷积，然后进行伪极傅里叶反变换， 即可得到各个方向上的楔形滤波器组。通过以上操作，即可实现方向滤波器组的分解过程。3.2 重构过程重构过程主要是每一级方向分量之间以及低通和带通分量之间的重构。与以上分解过程 相反，将每一级分解所得各个方向分量重构得到带通分量，再与该级对应的低通分量合并， 所得结果作为下一级重构的低通分量。如此迭代，直到最后与高通分量合并，完成重构。重构过程如下：z根据参数设置取得 LP 综合滤波器；z在 LP 每一级的重构中，首先利用一维滤波器组的综合滤波器，对该级各个方向分 量重构；z对每一级方向分量的重

26、构结果进行与 (3)(4)或(6) 式相反的变换，然后进行伪极傅 里叶反变换，即得到该级的带通或高通分量；z将每一级带通和低通分量进行重构，所得结果作为上一级的低通分量，如此迭代， 直到最后与第一级高通分量重构得原始图像。低通分量与带通分量的重构过程是 LP 分解的反变换。由以上过程，即可对某一分解结果进行重构，得到重构图像。2方向滤波器组的 MATLAB 实现根据第三部分的 MATLAB 实现过程，我们设计出了 DFB 在 MATLAB 中的实现函数。 这一部分将主要介绍这些实现函数。与此类 DFB 对应的分解和重构函数分别为 nsnddec.m 和 nsndrec.m，这两个函数的实现 过

27、程完全依照分解及重构过程设计。为了实现多尺度分解效果，在原 DFB 的基础上应用 LP 滤波器，得到分解和重构函数分别为 nsnmddec.m 和 nsnmdrec.m，下面介绍这两个函数：y = nsnmddec(x, levels, pfilt, c_char), x = nsnmdrec(y, levels, pfilt, c_char).2.1 分解函数 nsnmddec.mx 为一个矩阵，表示输入图像；levels 表示分解级数和分解方向数，形式为1 m 的矩阵n , n , ., n ，其中 m 表示 LP1 2m195分解级数，ni (i = 1, 2,., m) 表示第i 级分

28、解的带通部分（第一级分解为高通部分）被分解的方向数；pfilt 表示 LP 滤波器类型，可选择的有“9-7”“maxflat”“pyr”“pyrexc”等几种类型；c_char 表示方向滤波器系数类型，可选择的有“c”和“m”,其中“c”表示复数系数， “m”表示实数系数；y 表示图像的方向分解结果。y 的结构为单元阵列结构，共包含 m + 1 个单元，其中第 m 次分解得低通部分存入第一个单元，其形式为一矩阵，带通部分存入第二个单元，第 m 1 次 分解得带通部分存入第三个，第 (m i) 次分解得带通部分（第一次分解得高通部分）200205210215存入第i + 2 个。第i(i = 2

29、, 3, ., m + 1) 个单元也是单元阵列结构，存有 ni 1 个矩阵，每个矩阵都 是第i 1 级分解所得到的对应方向分量。2.1 重构函数 nsnmdrec.mx 表示重构图像，参数 levels，pfilt 和 c_char 设置及意义与 nsnmddec.m 类似；y 表示分解结果，设 yi 是第 i(i = 1, 2,., m) 级分解结果，则 y = ym 。 ym 为单元阵列结构，其第一个子单元存储第 m 级分解得到的带通分量再进行方向分解所得到的各个方向分量，第二个子单元存储第 m 级分解所得到的低通分量。根据方向分解原理，将第二个单元各个 分量重构得到第 m 级分解的带通

30、分量，再与第一个单元重构得到 ym 1 的低通分量。然后重复 上述过程，最终可得到矩阵形式表示的重构图像 x 。以上过程中，一维滤波器组根据 levels 和 c_char 获取一维滤波器组的通道数取决于levels 对应该级的方向数，而 c_char 则决定一维滤波器组的系数类型。3方向滤波器组的仿真实验为了说明所提出的 DFB 具有提取图像任意方向的细节信息的特性，本部分提供了相关 的仿真实验，并对这些仿真进行了说明。为了实现多尺度分解，本文采用了非下采样 contourlet 结构，但不同于传统的 DFB，我 们用所提出的方法实现方向分解。将 LP 结构应用到所提出的 DFB 中，如图

31、9 所示的结构。 在 LP 中，采用的是“9/7”双正交滤波器。本实验采用 house 图像作为实验图像，该图像包 含清晰的方向信息，原图像如图 10(a)。通过第一级分解，我们得到图像的低通分量 x1 和高通分量 x1 。然后根据 x1 的方向频率da d d220分布，如图 10(c)，我们设计了与之对应的 8 通道一维非下采样非均匀滤波器组8-10，并由 此得到 2 维 DFB。应用此 DFB，高通分量 x1 被分解为 8 个方向子分量，如图 10(e)所示。在dd第二级中，低通分量 x1 进一步被分解为低通分量 x2 和带通分量 x2 。由于带通分量 x2 与高通a a d d225分

32、量 x1 在特定方向的频率分布类似，因此，我们应用相同的一维滤波器组对其进行分解， 图 10(d)表示 x2 的频率分布和方向划分。对第二级方向分解所得的 8 个方向分量如图 10(f) 所示。采取与上述相反的操作，就可以实现对图像的重构，图 10(b)为重构图像。本实验中，所采用的一维滤波器组能够实现近似完全重构，得到重构图像与原始图像之间的 PSNR 约为87.30dB。 通过该实验结果可知，这种方向滤波器组中，不同的图像，根据其频率的方向分布，可以采用与之对应的一维滤波器组来实现对图像方向信息的提取，也就是可以实现二维 DFB方向划分的任意性。通过图 10(c)和(d)可已看出，所提出的

33、 DFB 对 x1 和 x2 的划分是根据其dd230本身的频率分布来进行分解的，因此特定方向上有效地频率信息可以很好的集中。如区域1,2,3,5,7 在本方向上含有较强的频率分量，通过 DFB 这些方向信息的可以被很好的提取出 来，见图 10(e)和(f)，图 10(e)和(f)中从上至下从左至右依次为 0-7，而这一性质正是那些基 于图 1(b)和(c)结构的变换所不具备的。235(a)原图像 (b) 重构图像x 1040 1 2 37 461800016000140001200001 237462.525 54 673 2 1 010000800060004000200055643210

34、71.510.5(c) 高通分量 x1 的频率响应及频率划分 (d) 带通分量 x2 的频率响应及频率划分a d12 3 45 6 7 8240(e) 第一级分解所得 8 个方向分量1 2 3 45 6 7 8245(f) 第二级分解所得 8 个方向分量图 10 对图像 Foreman 进行两级方向分解根据思路分析、仿真结果和对实验的分析可知，本文所提出的 DFB 可以实现对图像的 多带方向分解，同时能实现多分辨的效果，并且能够根据分解结果实现图像的重构。除此之 外，这类 DFB 还可以根据图像本身的频率分布特性，选择对应的一维滤波器组来实现任意 数目任意方向的频谱划分，从而能够有效地提取图像

35、任意方向的细节信息。2502552602654结论本文从设计思想、设计过程及在 MATLAB 中的实现介绍了 DFB。这种 DFB 基于 PPFT 和一维滤波器组，其实现结构不同于传统 DFB 的结构。本文解决了图像的 PPFT 域的调整 以及一维滤波器组在图像 PPFT 域中的应用问题，通过这些操作可以得到均匀和非均匀 DFB。同时，本文提供了 DFB 在 MATLAB 环境中的实现函数。最后，通过相关仿真实验 验证了所提出的 DFB 的性质，实验结果表明，所设计的 DFB 具有提取图像任意方向的细节 信息的特性。附录：一维滤波器组的设计根据上面的分析可知，二维 DFB 的设计问题可以转化为

36、一维滤波器组的设计和图像 PPFT 的调整问题，并且所得多带非均匀方向滤波器组的性能主要取决于所应用的一维滤波 器的性能。下面简要介绍一维均匀和非均匀滤波器组的设计方法。1一维均匀滤波器组的设计一维多带均匀滤波器组的各个通道的滤波器可以通过调制一个原型低通滤波器 H 0 ( z) 得到，这样可以降低了滤波器组的设计难度，假设其通道数为 M ，调制滤波器组可分别通 过复数调制和余弦调制实现复系数和实系数滤波器组。复调制滤波器组通过对一个基本低通滤波器进行均匀频移得到。实现过程中，首先选择低通滤波器 H 0 ( z) ，假设其截止频率为 / M ，则分析和综合滤波器可以通过 (9)(10)式得到：

37、kMH ( z) = H ( zW k )k = 1, 2,., M 1(9)k MM j 2G (z ) = G(zW k ) = MH (zW k )k = 1, 2,., M 1(10)式中WM eM ，即(9)(10)式实现了对 H 0( z) 等间隔频移的复调制。通过这种方法得到270的是一维复系数均匀滤波器组，被称为复调制滤波器组。 对于分解滤波器，由(9)式得jH k (e) = H0 (ej ( 2 k / M ), 0 k M 1(11)图 9 表示一维滤波器组中原型滤波器和各通道滤波器的幅频特性。从图 9 及(11)式可以看出，滤波器 H k (z )(k = 1, 2,

38、., M 1) 都可以通过 H 0 ( z) 沿频率轴平移 k 2 / M 得到。275(a) 原型低通滤波器 (b) 各通道滤波器 图 9 均匀滤波器组中各滤波器的幅频特性余弦调制滤波器组中分析和综合滤波器组都有 2M 个通道，各通道带宽为 / M ，第 k 通 道通过对低通滤波器 H 0 ( z) 作频移 (2k + 1) / 2M 得到，该操作实现的是复数调制，则得到滤波器的频率响应为复数。280设两边第 k 通道分别为+2k +12k 1在时域上可以得到H k = H ( zW2M )H k = H ( zW2 M )(12)k k kh (n) = h+ (n) + h (n) =

39、h(n)ejn (2 k +1)2 M+ h(n)ejn (2 k +1)2 M(13)= 2h(n) cosn (2k + 1) 2M+285因此，将 H k 和 H k 结合就实现了实数调制，而该操作实现了余弦调制。余弦调制滤波器组的频率响应如图 10 所示。(a) 原型低通滤波器 (b) 各通道滤波器图 10 余弦调制滤波器组频率响应0设计余弦调制滤波器组时，首先得到一个原型低通原型滤波器 H( z) 。通过对 H 0( z) 进290行如上的余弦调制即可得到分析和综合滤波器组如 (14)(15) 式所示：h (n) = 2h(n) cos(2m + 1) mMg (n) = 2h(n)

40、 cos(2m + 1) mM(n N ) + (1)m 24(n N ) (1)m 24(14)(15)295式中， n = 0,., N ， m = 0,., M 1 。通过这种方法得到的是一维实系数均匀滤波器组，被称为余弦调制滤波器组。2一维非均匀滤波器组的设计一维非均匀滤波器组可采用直接设计和间接设计两种方法。间接结构的设计是通过多个 不同的多路复用器（transmultiplexers）将 M 带一维均匀滤波器组的某些相邻子带合并在一 起而构成。本文中采用直接结构的设计方法，直接结构的 M 通道一维非均匀滤波器组如图11 所示。 H k (z ) 和 Fk ( z) 分别是分析和综合

41、滤波器组， nk 为采样因子， k = 0,1,., M 1 。x(n)H 0 ( z) n0 n0F0 (z )H k (z ) nk nkFk ( z)300H M 1 ( z) nM 1 nM 1FM 1 ( z)x(n)图 11 直接结构非均匀滤波器组该结构只能设计采样因子满足一定条件的非均匀滤波器组，我们称之为可行性情况。可行性情况就是：每个分解滤波器的截止频率必须是 / nk 的整数倍。反之，该滤波器组就被称为不可行性情况。对于可行性情况，一种直接设计线性相位非均匀滤波器组的简单方法可精品论文305以参考89；而一种设计线性相位不可行性情况的方法可以参考10。31031532032

42、5330参考文献：1 R. H. Bamberger and M. J. T. Smith. A filter bank for the directional decomposition of images: Theory and designJ. IEEE Transactions on Signal Processing, 1992, 40(4): 882-893.2 J. L. Starck, E. J. Candes, and D. L. Donoho. The curvelet transform for image denoisingJ. IEEE Transactions on

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