联合分布与边缘分布PPT课件

《联合分布与边缘分布PPT课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《联合分布与边缘分布PPT课件（59页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、 到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述. 在打靶时,命中点的位置是由一对r .v (两个坐标)来确定的. 飞机的重心在空中的位置是由三个r .v (三个坐标)来确定的等等.第1页/共59页一般地, 设 是一个随机试验,E它的样本空间是 , 设 11,XX 22,XX ,nnXX 是定义在 上的随机变量, 由它们构成的一个 维向n量 12,nXXX叫做 维随机向量n或 维随机变n量. 以下重点讨论二维随机变量.请注意与一维情形的对照 .第2页/共59页)()(xXPxFxX的分布函数一维随机变量 ,F x yPXxYy

2、P Xx Yy, ,x y如果对于任意实数二元函数称为二维随机变量 的分布函数, ,X Y或者称为随机变量 和 的联合分布函数.YX定义1 ,X Y设 是二维随机变量,第3页/共59页xXOx Oxyy YX,YX yx,x 将二维随机变量 看成是平面上随机点的坐标, ,X Y 那么,分布函数 在点 处的函数值就是随机点 落在下面左图所示的,以点 为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率. ,X Y ,x y ,F x y ,x y分布函数的函数值的几何解释第4页/共59页 11211222,yxFyxFyxFyxF 2121,yYyxXxP 随机点 落在矩形域 ,X Y1212,xxxyy

3、y概率为xyO YX,2y1y1x2x第5页/共59页xyO YX,1x2xy yx ,1 yx ,2 :,的性质的性质分布函数分布函数yxF ;,.1的不减函数的不减函数和和是关于变量是关于变量yxyxF ;,212121yxFyxFxxRxxRy 时时当当及及对任意固定的对任意固定的 ;,212121yxFyxFyyRyyRx 时时当当及及对任意固定的对任意固定的 YX,第6页/共59页 ,0,1,0.2 yFRyyxF对任意固定的对任意固定的且且 .1,0,0, FFxFRx对任意固定的对任意固定的Oxyy YX,XY yx,x yx,x第7页/共59页即F(x, y) 关于x, y是右

4、连续的。 .0, 0,.3 yxFyxFyxFyxF11221212(,),(,),xyxyxxyy4. 对任意的 22211211,0F xyF xyF xyF xy 1212,P xXxyYy 第8页/共59页,),(ijjipyYxXP或随机变量X和Y 的联合分布律. ,)(kkpxXPk=1,2, 离散型一维随机变量XX 的分布律为 , 0kpkkp1k=1,2, 定义2限对或无限可列多对, 则称是离散型随机变量. ,X Y设二维离散型随机变量 ,X Y可能取的值是 ,ijx y,1,2,i j ,1,2,i j 记如果二维随机变量 ,X Y全部可能取到的值是有称之为二维离散型随机变量

5、 的分布律, ,X Y第9页/共59页12jyyyXY12ixxx11211 ippp12222 ippp12jjijppp也可用表格来表示随机变量X和Y 的联合分布律. 第10页/共59页ijijijpjip1, 2 , 1, 0二维离散型随机变量 的分布律具有性质 ,X Y二维离散型随机变量 的联合分布函数为： ,X Y( , )ijijxx yyF x yp. , ,求和求和的的其中和式是对一切满足其中和式是对一切满足jiyyxxji 第11页/共59页 例1把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数 ，而 Y 为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值 , 求 (X ,Y)

6、的分布律 .解 ( X, Y ) 可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3)PX=0, Y=3PX=1, Y=1 PX=2, Y=1PX=3, Y=3YX1301 83 8001233 8001 82131122C2231122C 31 2 1 8. =3/8=3/8 31 2 1 8 第12页/共59页.),(. 1 , 4 , 3 , 2 , 1 的分布律的分布律试求试求整数值整数值中等可能地取一中等可能地取一在在另一个随机变量另一个随机变量取值取值四个整数中等可能地四个整数中等可能地在在设随机变量设随机变量YXXYX解解:,的取值情况是的取值情况是jYiX , 4

7、 , 3 , 2 , 1 i.的正整数的正整数取不大于取不大于ij且由乘法公式得,jYiXP iXPiXjYP ,411 i, 4 , 3 , 2 , 1 i. ij 的分布律为的分布律为于是于是),(YX例例2第13页/共59页XY12341234418112116108112116100121161000161第14页/共59页例例3 一个袋中有三个球,依次标有数字 1, 2, 2,从中任取一个, 不放回袋中 , 再任取一个, 设每次取球时,各球被取到的可能性相等,以 X, Y 分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字 ,求 ( X, Y ) 的分布律与分布函数. ( X, Y ) 的可能

8、取值为),2 , 1(,3122312, 1 YXP,3121321, 2 YXP.3121322, 2 YXP解解),1 , 2().2 , 2(122第15页/共59页故 ( X , Y ) 的分布律为XY21213103131,31, 022211211 pppp下面求分布函数.第16页/共59页2112oxy)2 , 2()2 , 1()1 , 1()1 , 2(,11)1(时时或或当当 yx),(yxF),(yxF,21 , 21)2(时时当当 yx,2, 21)3(时时当当 yx),(yxF,yYxXP ; 0 11p ; 0 1211pp ;31 第17页/共59页,21 , 2

9、)4(时时当当 yx;31),(2111 ppyxF,2, 2)5(时时当当 yx),(yxF22122111pppp . 1 2112oxy)2 , 2()2 , 1()1 , 1()1 , 2(第18页/共59页所以( X ,Y ) 的分布函数为, 21 , 2. 2, 2, 1, 2, 21,31, 11, 0),( yxyxyxyxyxF或或或或第19页/共59页连续型一维随机变量XX的概率密度函数1)(dxxf xtdtfxFx0)(xf Rxxf ,fx y函数 称为二维定义3对于二维随机变量 ,X Y的分布函数 ,F x y则称 是连续型的二维随 ,X Y机变量 ,（X,Y )的

10、概率密度 ,随机变量 ,yxF x yf u v dudv 存在非负的函数 ,fx y如果任意 有,x y使对于 称为随机变量 X 和 Y 的联合概 率密度.或第20页/共59页 ;0,.1 yxf 2,1 ;Rfx y dxdy 2 .,1;fx y dxdy 表示介于 f (x, y)和 xoy 平面之间的空间区域的全部体积等于1., 1dd),( yxyxf.),(,表表示示空空间间的的一一个个曲曲面面几几何何上上yxfz 注：第21页/共59页 ;,.3dxdyyxfGYXPxOyGG 则有则有平面上的区域平面上的区域是是设设yxyxFyxf),(),(2在 f (x,y)的连续点 ,

11、.4注：,dd),(),( GyxyxfGYXP.),(, ),(为顶面的柱体体积为顶面的柱体体积以曲面以曲面为底为底的值等于以的值等于以yxfzGGYXP 第22页/共59页例4 4 设( (X,Y) )的概率密度是(2) 求分布函数 (2),0,0,0,.其它xyAexyfx y ,;F x y P YX (3) 求概率 .(1) 求常数A; 解 (1) 由 ,1fx y dxdy 可得A=2.第23页/共59页Ouvy yx,xOuvy yx,x ,yxF x yf u v dudv ,Du vuxvy 积分区域区域 ,0f u v ,0,0u v uv解 (2)第24页/共59页Ouv

12、y yx,xOuvy yx,x第25页/共59页 211,0,0,0,.xyeexyF x y 其其它它00 xy或或当 时, ,yxF x yf u v dudv 0 故(2)002yxu vedudv 2002yxvue dvedu 211xyee0,0 xy当 时, ,yxF x yf u v dudv 第26页/共59页 2302xxeedx 1.3 (3) P YX ,y xfx y dxdy 2002xxydxedy 2002xxyedxedy yx xyo第27页/共59页例5 设随机变量(X ,Y )的联合分布函数为yxyCxBAyxF,2arctan2arctan),(其中A

13、 , B , C 为常数.(1) 确定常数确定常数A , B , C ；(2)求求P (X 2);(3)求求(X ,Y )的联合密度函数。的联合密度函数。第28页/共59页解解 (1)122),(CBAF(, )arctan022yFyA BC( ,)arctan022xF xA BC 21,2,2ACB第29页/共59页(2)(2)1(2)1(2,)1(2,)P XP XP XYF 22arctan1211.4/1(3)2222( , )14( , )(4)(4) ,F x yf x yx yxyxy 第30页/共59页设随机变量(X, Y)的概率密度是 6,02,24,0,.kxyxyfx

14、 y 其其它它(1) 确定常数 ;k 1,3P XY(2) 求概率第31页/共59页解 (1) xyo24 21,Rfx y dxdy 24026kdxxy dy 24026kdxxy dy 2023kx dx 8k 故1 8.k 2第32页/共59页xyo13242 1,3P XY(2) . 13,dxfx y dy 1302168dxxy dy101782x dx 38 第33页/共59页二维随机变量 (X,Y)作为一个整体, 具有分布函数 ,F x y而 和 都是随机变量 ,XY也有各自的分布函数,分别记为 ,XYFxFy XFxP Xx变量 (X,Y) 关于 X 和 Y的边缘分布函数.

15、依次称为二维随机 ,YFyP YyP XYyFy ,P Xx Y ,F x一、边缘分布函数一、边缘分布函数第34页/共59页一般地，对离散型 r.v ( X,Y )，则 (X,Y) 关于X 的边缘分布律为:X和Y 的联合分布律为, 2 , 1,),(jipyYxXPijji 11,ijijjjPXx Yyp,2,1iixXP二、离散型随机变量的边缘分布律二、离散型随机变量的边缘分布律. ip第35页/共59页(X,Y) 关于 Y 的边缘分布律为:jyYPjiijjiippyYxXP.11, 1,2,j ,),()(1 xxjijXipxFxF.),()(1 yyiijYjpyFyF离散型随机变

16、量关于X 和Y 的边缘分布函数分别为:第36页/共59页;,2, 1,1 ipxXPjiji., 2 , 1,1 jpyYPiijjXYixxx21jyyy2112111ippp22212ipppijjjppp21 我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词.第37页/共59页例例6 已知下列分布律求其边缘分布律.XY1049164912491249910第38页/共59页XY1042124212421242610iixXPp jjyYPp 注意注意联合分布联合分布边缘分布边缘分布解解 747317473第39页/共59页解解10987654321122324243

17、40111121112例例7., .)( , )( .10, 3, 2, 1并求边缘分布律并求边缘分布律的联合分布律的联合分布律和和试写出试写出的素数的个数的素数的个数是能整除是能整除的正整数的个数的正整数的个数是能整除是能整除设设一个值一个值十个值中取十个值中取等可能地在等可能地在一整数一整数FDNNFFNNDDN : 布律布律的联合分布律与边缘分的联合分布律与边缘分和和由此得由此得FD样本点DF第40页/共59页Dkp4321101104102103Fkp21010110710243211010000104102101000102DFjFP 101107102iDP 10110410210

18、31或将边缘分布律表示为或将边缘分布律表示为012第41页/共59页三、连续型随机变量的边缘分布三、连续型随机变量的边缘分布.),(,d),()(,dd),(),()(),(),(的边缘概率密度的边缘概率密度关于关于称其为随机变量称其为随机变量记记由于由于密度为密度为设它的概率设它的概率对于连续型随机变量对于连续型随机变量XYXyyxfxfxyyxfxFxFyxfYXXxX 定义定义第42页/共59页同理可得 Y 的边缘分布函数.d),()( xyxfyfYY 的边缘概率密度.,dd),(),()( yYyxyxfyFyF第43页/共59页. )(),(., 0, 6),(2yfxfxyxyx

19、fYXYX求边缘概率密度求边缘概率密度其他其他具有联合概率密度具有联合概率密度和和设随机变量设随机变量 解解yyxfxfXd),()( ,10时时当当 xxy 2xy Oxy)1 , 1(yyxfxfXd),()( xxy2d6例例8).(62xx 第44页/共59页,10时时或或当当 xx. 0d),()( yyxfxfX ., 0, 10),(6)(2其他其他因而得因而得xxxxfXxy 2xy Oxy)1 , 1(第45页/共59页,10时时当当 yxyxfyfYd),()( ,10时时或或当当 yy. 0d),()( xyxfyfY ., 0, 10),(6)(其他其他得得yyyyfY

20、 yyxd6).(6yy xy 2xy Oxy)1 , 1(第46页/共59页=5c/24=1,c =24/5 dxdyyxf),(解：(1)100(2)xcyx dy dx dxxxc10222/ )(求 (1) c的值； （2）两个边缘密度。(2),01,0( , )0,cyxxyxf x y 其其它它例9 设(X,Y)的概率密度是第47页/共59页解: (2) xXdyxyxf0)2(524)(),2(5122xx10 xxy01y=x求 (1) c的值； （2）两个边缘密度。(2),01,0( , )0,cyxxyxf x y 其其它它例9 设(X,Y)的概率密度是第48页/共59页解

21、: (2) ),2223(5242yyy1)2(524)(yYdxxyyf10 yxy01y=x求 (1) c的值； （2）两个边缘密度。(2),01,0( , )0,cyxxyxf x y 其其它它例9 设(X,Y)的概率密度是第49页/共59页即212(2),01( )50,Xxxxfx 其其它它2243(2),01( )5220,Yyyyyfy 其其它它第50页/共59页练习练习 设(X,Y)的概率密度是 ,0,0,yexyxfx y 其其它它求( X,Y )关于 X 和 Y 的边缘概率密度.第51页/共59页xyx xy0 xx ,Xfxfx y dy 解当 时,0 x 当 时,0 x

22、 00Xfxdy yXxfxedy xe yxe 故 ,0,0,0.xXexfxx 第52页/共59页yx xy0 ,Yfyfx y dx yyy当 时,0y 当 时,0y 00Yfydx 0yyYfyedx yye 故 ,0,0,0.yYyeyfyy 第53页/共59页 设G是平面上的有界区域，其面积为A. 若二维随机变量（ X,Y）具有概率密度其它, 0),(,1),(GyxAyxf则称（X,Y）在G上服从均匀分布. 向平面上有界区域G上任投一质点，若质点落在G内任一小区域B的概率与小区域的面积成正比，而与B的形状及位置无关. 则质点的坐标 (X,Y)在G上服从均匀分布.第54页/共59页

23、 若二维随机变量（X,Y）具有概率密度 则称（ X,Y）服从参数为 的二维正态分布.,2121其中均为常数 , 且, 0, 021,21211. 记作（ X,Y） N( ).221212, ,x ,y 212221122122212211(),exp2 121()()()2xfx y xyy 第55页/共59页例10 试求二维正态随机变量的边缘概率密度. ,Xfxfx y dy 解22122212()()()2yxy 2222111211()yxx因为所以 22211222111()2 12212121y x x Xfxeedy 第56页/共59页212211,1yxt 令令则有 22121()22112x tXfxeedt 22211222111()2 12212121y x x Xfxeedy 2121()21122x e 2121()2112x e x 第57页/共59页 二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布 ,并且不依赖于参数 .同理 2222()2212y Yfye y 可见由边缘分布一般不能确定联合分布. 也就是说,对于给定的 不同的 对应1212, 不同的二维正态分布,但它们的边缘分布却都是一样的.此例表明第58页/共59页感谢您的观看！第59页/共59页