高等数学：BIT3-4 曲率和复习

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1、曲曲 率率 前面讲了单调性、极值、最值、凹凸性。前面讲了单调性、极值、最值、凹凸性。我们知道凹凸性反映的是曲线的弯曲方向，但我们知道凹凸性反映的是曲线的弯曲方向，但是朝同一方向弯曲的两条曲线，其弯曲的程度是朝同一方向弯曲的两条曲线，其弯曲的程度也不尽相同。也不尽相同。曲率曲率就是表征弯曲程度的量就是表征弯曲程度的量.一、弧微分一、弧微分NRTA0 xMxxx .),()(内具有连续导数内具有连续导数在区间在区间设函数设函数baxfxyo,),(为任意一点为任意一点yxM规定：规定：;)1(增大的方向一致增大的方向一致曲线的正向与曲线的正向与x,)2(sAM .,取取负负号号相相反反时时取取正正

2、号号一一致致时时的的方方向向与与曲曲线线正正向向当当ssAM在曲线上取固定点（如在曲线上取固定点（如 A(x0,y0)作为度量弧长的基点作为度量弧长的基点 于是于是s(x)是是x的单调增加函数的单调增加函数 xs xMM MMMM xyx 22)()(MMMM 2)(1xy xsxsx 0lim)(2)(1y 1lim0 MMMMxxAB)(xfy abxoyxMxxMy问题：求问题：求s(x)的导数与微分的导数与微分MMMM xMM 则弧长微分公式为则弧长微分公式为ttytxsd)()(d22 )(xs2)(1y xysd)(1d2 或或22)(d)(ddyxs xxdxdxoyxMydT几

3、何意义几何意义: sdTM;cosdd sx sindd sy若曲线由参数方程表示若曲线由参数方程表示: )()(tyytxx弧微分公式弧微分公式).(xss 单调增函数单调增函数),(yyxxN 设设如图，如图，NTMTMNMN ,0时时当当 x22)()(yxMN xxy 2)(1,12dxy sMN ,ds22)()(dydxMT ,12dxy dyyNT , 0.12dxyds 故故,)(为单调增函数为单调增函数xss .12dxyds 故故弧微分公式弧微分公式NMTRA0 xxxx xyo .看同一条曲线看同一条曲线二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式问题问题: :曲线的弯曲程度

4、如何描述曲线的弯曲程度如何描述? ?曲率是描述曲线上各点处的弯曲程度曲率是描述曲线上各点处的弯曲程度.1.曲率的定义：曲率的定义：M1M2M3.M1M2M3 .M1M2M3 曲线弯曲的程度曲线弯曲的程度 .ABB S S故定义曲线故定义曲线AB A ) S S) .M .MC0Myxo.sKMM 的平均曲率为的平均曲率为弧段弧段（设曲线设曲线C是光滑的，是光滑的，.0是是基基点点M, sMM （. 切切线线转转角角为为MM定义定义sKs 0lim曲线曲线C在点在点M处的曲率处的曲率,lim0存在的条件下存在的条件下在在dsdss .dsdK 对曲率定义的解释对曲率定义的解释直线不弯曲直线不弯曲

5、MM00limlim ssKMMMM 圆的弯曲程度处处相同圆的弯曲程度处处相同rsrs1 rK1 MM s r圆的半径越小圆的半径越小, ,K K越大越大, ,圆弯曲圆弯曲得越厉害得越厉害. .,)(二阶可导二阶可导设设xfy ),(),(000yxMyxM),( yyxxM 2.2.曲率计算公式曲率计算公式xyo0M MMC曲线曲线s sxMxxxytany 由由arctan y xdd 21 yy .)(12dxxyds 又由弧微分公式又由弧微分公式dsdK 所以所以dxdsdxd .)1( 232yy 232)1 ( yyK ,),(),(二阶可导二阶可导设设 tytx ,)()(ddt

6、txy .)()()()()(dd322tttttxy 2322)()()()()()(ttttttK 解解例例1 1?2上哪一点的曲率最大上哪一点的曲率最大抛物线抛物线cbxaxy ,2baxy ,2ay .)2(12232baxak ,2时时当当abx .最大最大K,)44,2(2为抛物线的顶点为抛物线的顶点又因为又因为aacbab .曲率最大曲率最大所以抛物线在顶点处的所以抛物线在顶点处的232)1 ( yyK 曲率的近似计算公式曲率的近似计算公式 , 1 , 1 , yy可记为可记为比较是很小的比较是很小的同同在实际问题中在实际问题中 , 11 2 y则则232)1( yyK 所以曲率

7、所以曲率.y 三、曲率圆与曲率半径三、曲率圆与曲率半径定义定义.),(,.1,).0(),()(处的曲率圆处的曲率圆称此圆为曲线在点称此圆为曲线在点如图如图作圆作圆为半径为半径为圆心为圆心以以使使在凹的一侧取一点在凹的一侧取一点处的曲线的法线上处的曲线的法线上在点在点处的曲率为处的曲率为在点在点设曲线设曲线MDkDMDMkkyxMxfy ,曲曲率率中中心心 D.曲率半径曲率半径 曲率圆曲率半径曲率中心1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数曲率互为倒数.1,1 kk即即注意注意: :2.曲线上一点处的曲率半径越大曲线上一点处的曲率半径越大,曲

8、线在该点曲线在该点处的曲率越小处的曲率越小(曲线越平坦曲线越平坦);曲率半径越小曲率半径越小,曲曲率越大率越大(曲线越弯曲曲线越弯曲).3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似称为曲线在该点附近的二次近似).例例3 3xyoQP.,.70,/400,)(40002压力压力飞行员对座椅的飞行员对座椅的到原点时到原点时求俯冲求俯冲千克千克飞行员体重飞行员体重秒秒米米处速度为处速度为点点在原在原俯冲飞行俯冲飞行单位为米单位为米飞机沿抛物线飞机沿抛物线 vOxy视飞行员在点视飞行员在点o作匀速圆周运动作匀速圆周运动,

9、.2 mvF O点处抛物线轨道的曲率半径点处抛物线轨道的曲率半径解解 飞行员对座椅的压力由两部分构成，一部分是自身飞行员对座椅的压力由两部分构成，一部分是自身的重量，另一部分是飞行员在原点处做圆周运动时所需的的重量，另一部分是飞行员在原点处做圆周运动时所需的向心力向心力F002000 xxxy, 0 .200010 xy得曲率为得曲率为.200010 xxk曲率半径为曲率半径为.2000 米米 2000400702 F),(4 .571)(5600千克千克牛牛 ),(4 .571)(70千克力千克力千克力千克力 Q).(5 .641千克力千克力 即即:飞行员对座椅的压力为飞行员对座椅的压力为6

10、41.5千克力千克力.四、小结四、小结基本概念基本概念: 弧微分弧微分,曲率曲率,曲率圆曲率圆.曲线弯曲程度的描述曲线弯曲程度的描述曲率曲率;曲线弧的近似代替曲率圆曲线弧的近似代替曲率圆(弧弧).作作 业业 习题习题3-51 (3)2 (2)3 (3)6作业作业 习题习题 3-6 2（1） 4 6 9（2） 10 （3） 13复习课复习课洛必达法则洛必达法则Rolle定理定理LagrangeLagrange中值中值定理定理常用常用的的泰勒公式泰勒公式型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 CauchyCauchy中值定理中值定理TaylorTaylor中值定理中值定理xxF )()()

11、(bfaf 0 ngfgf1 fgfggf1111 取取对对数数令令gfy 单调性单调性, ,极值与最值极值与最值, ,凹凸性凹凸性, ,拐点拐点, ,函数函数图形的描绘图形的描绘; ;曲率曲率. .导数的应用导数的应用一、主要内容一、主要内容1 1、罗尔中值定理、罗尔中值定理罗尔罗尔（R Rolleolle）定理）定理 如果函数如果函数)(xf在闭区间在闭区间,ba上连续上连续, ,在开区间在开区间),(ba内可导内可导, ,且在区间端且在区间端点的函数值相等，即点的函数值相等，即)()(bfaf , ,那末在那末在),(ba内至少有一点内至少有一点)(ba , ,使得函数使得函数)(xf在

12、该在该点的导数等于零，点的导数等于零， 即即0)( f 2 2、拉格朗日中值定理、拉格朗日中值定理拉格朗日拉格朗日（LagrangeLagrange）中值定理）中值定理 如果函数如果函数)(xf在闭区间在闭区间,ba上连续上连续, ,在开区间在开区间),(ba内可导内可导, ,那那末在末在),(ba内至少有一点内至少有一点)(ba ，使等式，使等式 )()()(abfafbf 成立成立. .).10()(0 xxxfy.的的精精确确表表达达式式增增量量 y 有限增量公式有限增量公式.3 3、柯西中值定理、柯西中值定理柯西（柯西（CauchyCauchy）中值定理）中值定理 如果函数如果函数)(

13、xf及及)(xF 在闭区间在闭区间,ba上连续上连续, ,在开区间在开区间),(ba内可导内可导, ,且且)(xF 在在),(ba内每一点处均不为零，那末在内每一点处均不为零，那末在),(ba内至少内至少 有一点有一点)(ba , ,使等式使等式 )()()()()()( FfaFbFafbf 成立成立. . 推论推论.)(,)(上是一个常数上是一个常数在区间在区间那末那末上的导数恒为零上的导数恒为零在区间在区间如果函数如果函数IxfIxf典型例题典型例题 定理的三个条件。定理的三个条件。【例【例1】若方程若方程 有一个正根有一个正根 ,01110 xaxaxannn0 xx 证明方程证明方程

14、 必有一个小于必有一个小于 的正根的正根. 0 x0) 1(12110 nnnaxnanxa分析：考虑利用罗尔定理证明。分析：考虑利用罗尔定理证明。的左端函数的左端函数, 其次其次 在题设的相应区间上满足罗尔在题设的相应区间上满足罗尔0)( xf)(xF首先构造一个函数首先构造一个函数 使使 ，其中，其中 是欲证方程是欲证方程 )()(xfxF )(xf),(xF证明证明: 设设,)(1110 xaxaxaxFnnn ).0(0)(0FxF 由罗尔定理，存在由罗尔定理，存在 使使), , 0(0 x , 0)( F 即即, 0)1(12110 nnnanana 这说明这说明 就是方程就是方程

15、0)1(12110 nnnaxnanxa的一个小于的一个小于 的正根的正根.0 x上连续且可导，由题设上连续且可导，由题设 易知多项式函数易知多项式函数 在在)(xF , 00 x 【例例2】 设设 在在 上连续上连续, 在在 内可导内可导, 且且 .)(xf , 0a) , 0(a0)( af证明存在一点证明存在一点 使使), , 0(a . 0)()( ff罗尔定理的条件，且从罗尔定理的条件，且从 中能得出中能得出 .0)( F0)()( ff由于结论是两项和，故由于结论是两项和，故 为两个函数乘积的形式。将为两个函数乘积的形式。将 )(xF 0)()( xfxfx分析分析 从结论从结论

16、看看等价于方程等价于方程0)()( ff有实根，但若利用零点定理，无法验证有实根，但若利用零点定理，无法验证 ，所以，所以0)()0( aff采用罗尔定理证明。采用罗尔定理证明。 关键是找关键是找 , 使使 在在 上满足上满足 , 0a)(xF)(xF换为换为 若令若令 则结论则结论 .)()()( : xxfxfxfxx),()(xxfxF . 0)( xxF为为证明证明: 令令),()(xxfxF 且且 , 故由罗尔定理知故由罗尔定理知,), , 0(a )(0)0(aFF 使使 即即, 0)( F. 0)()( ff由已知条件知由已知条件知 在在 上连续上连续, 在在 内可导，内可导，)

17、(xF , 0a) , 0(a4 4、洛必达法则、洛必达法则定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.型未定式型未定式型及型及 00.10型未定式型未定式000,1 ,0 ,0.2 关键关键: :将其它类型未定式化为洛必达法则可解决将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型的类型 .),00()( 注意：注意：洛必达法则的使用条件洛必达法则的使用条件.典型例题典型例题 xxxxxsin21lim20 xxxxsinlim2130 xxxcos13lim2120 【例

18、【例1】计算】计算 xxxxxxsincoslim0 解解:xxxxxsin)cos1(lim0 xxxxxxsincoslim0 221cos1xx 321lim23220 xxx（ 型）型）00分析分析 当当 分子分母均趋近于分子分母均趋近于0, 为为 型型, 用洛必达法则计算用洛必达法则计算.0 x00【例【例2】计算】计算 2120limxxex解：解： 2120limxxex( 型型) 02101lim2xexx ( 型型) 331022lim2xxexx .lim210 xxe分析分析 当当 时时, 函数式函数式为为 型型, 将其化为将其化为 或或 型型.0 x 0 00【例【例3

19、】计算】计算 )tan11(lim20 xxxx 解：解： )tan11(lim20 xxxx 3020tanlimtantanlimxxxxxxxxx ( 型型) （ 型）型）0022031seclimxxx 316tansecsec2lim0 xxxxx（ 型）型）00分析分析 当当 时时, 函数式函数式为为 型型, 将其化为将其化为 或或 型型.0 x 00 使用洛必达法则求极限应注意的问题使用洛必达法则求极限应注意的问题 洛必达法则可反复使用洛必达法则可反复使用, 但是要注意验证洛必达法则的条件但是要注意验证洛必达法则的条件. 单纯应用洛必达法则可能导致繁杂的计算，注意把求极限单纯应用

20、洛必达法则可能导致繁杂的计算，注意把求极限的多种方法综合运用（如等价无穷小代换、两个重要极限、的多种方法综合运用（如等价无穷小代换、两个重要极限、变量替换等），并利用极限运算法则及时化简非零因子，可变量替换等），并利用极限运算法则及时化简非零因子，可使计算简捷。使计算简捷。 5 5、导数的应用、导数的应用定理定理.,)(0)(),(2,)(0)(),(1.),(,)(00上单调减少上单调减少在在，那末函数，那末函数内内如果在如果在上单调增加；上单调增加；在在，那末函数，那末函数内内如果在如果在可导可导内内上连续，在上连续，在在在设函数设函数baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy (

21、1) 函数单调性的判定法函数单调性的判定法.)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(000000000的一个极小值的一个极小值是函数是函数就称就称均成立均成立外外除了点除了点任何点任何点对于这邻域内的对于这邻域内的的一个邻域的一个邻域如果存在着点如果存在着点的一个极大值的一个极大值是函数是函数就称就称均成立均成立外外除了点除了点任何点任何点对于这邻域内的对于这邻域内的的一个邻域的一个邻域如果存在着点如果存在着点的一个点的一个点内内是是内有定义内有定义在区间在区间设函数设函数xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf 定义定义(2) 函数的极值及其求法函数的极

22、值及其求法 设设)(xf在在点点0 x处处具具有有导导数数,且且在在0 x处处取取得得极极值值,那那末末必必定定0)(0 xf.定理定理( (必要条件必要条件) )定义定义.)()0)(的驻点的驻点做函数做函数叫叫的实根的实根即方程即方程使导数为零的点使导数为零的点xfxf 函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念: :极大值可能小于极小极大值可能小于极小值值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点. .(1)如果如

23、果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx, 有有0)( xf，则，则)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值.(2)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx 有有0)( xf，则，则)(xf在在0 x处取得极小值处取得极小值.(3)如果当如果当),(00 xxx 及及),(00 xxx时时, )(xf符符 号相同号相同,则则)(xf在在0 x处无极值处无极值.定理定理( (第一充分条件第一充分条件) ) 设设)(xf在在0 x处具有二阶导数处具有二阶导数,且且0)(0 xf, 0)(0 xf, 那末那末(1)当当0)(0 xf时时, 函数

24、函数)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值;(2)当当0)(0 xf时时, 函数函数)(xf在在0 x处取得极小值处取得极小值.定理定理( (第二充分条件第二充分条件) )求极值的步骤求极值的步骤: :);()1(xf 求导数求导数;0)()2(的根的根求驻点，即方程求驻点，即方程 xf;,)()()3(判断极值点判断极值点该点的符号该点的符号在在在驻点左右的正负号或在驻点左右的正负号或检查检查xfxf .)4(求极值求极值步骤步骤: :1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比比较大小较大小,那个大那个就是最大值那个

25、大那个就是最大值,那个小那个就那个小那个就是最小值是最小值;注意注意: :如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值就则这个极值就是最值是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)(3) 最大值、最小值问题最大值、最小值问题实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意: :1)建立目标函数建立目标函数;2)求最值求最值;（或最小）值（或最小）值函数值即为所求的最大函数值即为所求的最大点，则该点的点，则该点的若目标函数只有唯一驻若目标函数只有唯一驻(4) 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点定义定义;)(,2)()()2(,)(212121的的上的图形是（向上）凹上的图形是（向上）凹在在那末称

26、那末称恒有恒有两点两点上任意上任意如果对如果对上连续上连续在区间在区间设设IxfxfxfxxfxxIIxf ;)(,2)()()2(,212121的的上的图形是（向上）凸上的图形是（向上）凸在在那末称那末称恒有恒有上任意两点上任意两点如果对区间如果对区间IxfxfxfxxfxxI ;)(,)(,)(),(,)(的的或凸或凸内的图形是凹内的图形是凹在在那末称那末称的的或凸或凸内的图形是凹内的图形是凹且在且在内连续内连续在在如果如果baxfbabaxf定理定理1 1;,)(, 0)()2(;,)(, 0)()1(),(,),(,)(上的图形是凸的上的图形是凸的在在则则上的图形是凹的上的图形是凹的在

27、在则则内内若在若在导数导数内具有二阶内具有二阶在在上连续上连续在在如果如果baxfxfbaxfxfbababaxf 连续曲线上凹凸的分界点称为连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点曲线的拐点.定定理理 2 2 如如果果)(xf在在),(00 xx内内存存在在二二阶阶导导数数 , 则则 点点 )(,00 xfx是是 拐拐 点点 的的 必必 要要 条条 件件 是是0)(0 xf.方法方法1:1:, 0)(,)(00 xfxxf且且的邻域内二阶可导的邻域内二阶可导在在设函数设函数;)(,(,)()1(000即为拐点即为拐点点点变号变号两近旁两近旁xfxxfx .)(,(,)()2(000不是拐点不是拐

28、点点点不变号不变号两近旁两近旁xfxxfx 方法方法2:2:.)()(,(, 0)(, 0)(,)(00000的拐点的拐点曲线曲线是是那末那末而而且且的邻域内三阶可导的邻域内三阶可导在在设函数设函数xfyxfxxfxfxxf 典型例题典型例题 解解:232210(12186)(496 )xxyxxx 2221120()(1)2(496)xxxxx 【例【例1】确定函数】确定函数 的单调区间。的单调区间。 3210496yxxx 因为因为 ，故知，故知 的不可导点仅有的不可导点仅有 , 令令 2960 xx y10 x 0y ，得，得 ， 。从而有。从而有212x 31x 当当 时，时， ，故，

29、故 在在 内单调减少；内单调减少； (,0)x 0y y(,0) 当当 时，时， ，故，故 在在 内单调减少；内单调减少； 1(0, )2x 0y y(,0) 当当 时，时， ，故，故 在在 内单调增加；内单调增加； 0y y1(,1)2x 1 ,12当当 时，时， ，故，故 在在 内单调减少；内单调减少； 0y y(1,)x 1,) 【例【例2】 证明：当证明：当 时，有不等式时，有不等式 . 0 x)1ln()1(1xxex 证明：设证明：设 , 则则 ；)1ln()1(1)(xxexfx 0)0( f)1ln(1)(xexfx 从而从而 在在 内单调增加，即有内单调增加，即有 )(xf

30、) , 0 因此因此 在内单调增加，于是有在内单调增加，于是有 )(xf0)0()( fxf即即 0)1ln()1(1 xxex亦即亦即 )1ln()1(1xxex 0)0( f)0( x, 011)( xexfx0)0( f)(xf 【例【例3】 试确定函数试确定函数 中的中的 ，使得，使得 423 bxaxxyba ,为函数的驻点，点为函数的驻点，点 为函数的拐点，并求出拐点为函数的拐点，并求出拐点.1 x)1 ( , 1 (y解：解： ， 。由于点。由于点baxxy 232axy26 )1( , 1(y为拐点，必有为拐点，必有 ,即即 ， 。又点。又点 01 xy026 a3 a1 x为

31、驻点，必有为驻点，必有 ，即，即 ， 01 xy063 b9 b从而函数为从而函数为 ，注意到，注意到 49323 xxxy当当 时，时， ，图形是凸的；，图形是凸的； 1 x066 xy当当 时，时，图形是凹的；，图形是凹的； 1 x066 xy而而 。故曲线。故曲线 49323 xxxy的拐点为的拐点为 。)7 , 1( 71 xy【例【例4】 求函数求函数 的极值的极值.71862)(23 xxxxf解：（解：（1）函数的定义域为）函数的定义域为 ),( （2） 22( )612186(23)6(3)(1)fxxxxxxx （3）令）令 得驻点得驻点 ；( )0fx 123 , 1xx

32、（4）利用第一充分条件。）利用第一充分条件。当当 时，时， ；当；当 时，时， .13x ( )0fx 3x ( )0fx 同理在同理在 处取得极大值处取得极大值, 极大值为极大值为 .1x ( 1)17f 本题的第四步也可用第二充分条件来判别：本题的第四步也可用第二充分条件来判别：因而因而, 函数函数 在在 处取得极小值，极小值为处取得极小值，极小值为 .(3)47f 3x ( )f x（4）利用第二充分条件。）利用第二充分条件。( )121212(1)fxxx (3)240, ( 1)240ff 所以，所以， 在在 处取得极小值处取得极小值, 极小值为极小值为 ;( )f x3x (3)4

33、7f 在在 处取得极大值，且极大值为处取得极大值，且极大值为 .( 1)17f 1x 【例【例5】求函数】求函数 在区间在区间 上的上的xxxf33cossin)( 43 ,4 最大值与最小值。最大值与最小值。解解 :)sin(cos3cossin3)(22xxxxxf 令令 0)( xf得驻点得驻点 , 01 x,42 x.23 x将这些点处的函数值将这些点处的函数值 , 1)0( f,22)4( f1)2( f与区间端点处的函数值与区间端点处的函数值 , 0)4( f0)43( f进行比较得：进行比较得： ),cos(sin2sin23xxx 最大值为最大值为, 10 ,22 , 1max

34、 M. 00 ,22 , 1min m最小值为最小值为利用函数特性描绘函数图形利用函数特性描绘函数图形.第一步第一步第二步第二步 确定函数确定函数)(xfy 的定义域的定义域,对函数进行对函数进行奇偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨奇偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论论,求出函数的一阶导数求出函数的一阶导数)(xf和二阶导数和二阶导数)(xf; 求求出出方方程程0)( xf和和0)( xf 在在函函数数定定义义域域内内的的全全部部实实根根，用用这这些些根根同同函函数数的的间间断断点点或或导导数数不不存存在在的的点点把把函函数数的的定定义义域域划划分分成成几几个个部部分分区区间间.

35、(5) 函数图形的描绘函数图形的描绘第三步第三步 确定在这些部分区间内确定在这些部分区间内)(xf和和)(xf的符的符号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹凸与拐点凸与拐点（可列表进行讨论） ；可列表进行讨论） ；第四步第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势他变化趋势;第五步第五步 描描出出与与方方程程0)( xf和和0)( xf的的根根对对应应的的曲曲线线上上的的点点，有有时时还还需需要要补补充充一一些些点点，再再综综合合前前四四步步讨讨论论的的结结果果画画出出函函数数的的图图形形.解解：),(

36、:D无奇偶性及周期性无奇偶性及周期性.),1)(13()( xxxf).13(2)( xxf列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间, 凹凸区间及极值点与拐点凹凸区间及极值点与拐点:, 0)( xf. 1,31 xx得驻点得驻点令令, 0)( xf.31 x得特殊点得特殊点令令),0 , 1( A),1 , 0(B).85,23(C补充点补充点: 【例例6】 作函数作函数 的图形的图形.1)(23 xxxxfx)31,( ), 1( )31,31( 31 )1 ,31( 0311 极大值极大值2732拐点拐点)2716,31(0)(xf )(xf)(xf 极小值极小值0 xyo)0 , 1(

37、A)1 , 0(B)85,23(C11 3131 0 .1.120dxyds 弧微分弧微分.lim.200dsdKs 曲率曲率.)1(232yyk (6) 弧微分弧微分 曲率曲率 曲率圆曲率圆 曲率的计算公式曲率的计算公式.),(,.1,).0(),()(处的曲率圆处的曲率圆称此圆为曲线在点称此圆为曲线在点如图如图圆圆为半径作为半径作为圆心为圆心以以使使取一点取一点在凹的一侧在凹的一侧处的曲线的法线上处的曲线的法线上在点在点处的曲率为处的曲率为在点在点设曲线设曲线MDkDMDMkkyxMxfy 定义定义,是是曲曲率率中中心心D.是曲率半径是曲率半径 .1,1 kk曲率圆曲率圆.30泰勒泰勒(T

38、aylor)(Taylor)中值定理中值定理 如果函数如果函数)(xf在含有在含有0 x的某个开区间的某个开区间),(ba内具有直到内具有直到)1( n阶的导数阶的导数, ,则则当当x在在),(ba内时内时, , )(xf可以表示为可以表示为)(0 xx 的一的一个个n次多项式与一个余项次多项式与一个余项)(xRn之和之和: :)()(!)()(!2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 5 5、泰勒中值定理、泰勒中值定理)()()!1()()(010)1(之间之间与与在在其中其中xxxxnfxRnnn 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式)

39、()!12()1(! 5! 3sin221253 nnnxonxxxxx)()!2()1(! 6! 4! 21cos22642nnnxonxxxxx )(1)1(32)1ln(1132 nnnxonxxxxx)(1112nnxoxxxx )(!)1()1(! 2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmmxx 例例2 2.)1(51lim520 xxxx 求极限求极限解解. 2的次数为的次数为分子关于分子关于 x515)51(51xx )()5()151(51! 21)5(51122xoxx )(2122xoxx )1()(21lim2220 xxoxxxx 原式原式.21 典型例题例例3

40、3.)()(,)1 , 0(,:, 1)1(, 0)0(,)1 , 0(,1 , 0)(bafbfabaffxf 使使内存在不同的内存在不同的在在对任意给定的正数对任意给定的正数试证试证且且内可导内可导在在上连续上连续在在设设证证,均为正数均为正数与与ba10 baa,1 , 0)(上连续上连续在在又又xf由介值定理由介值定理,)(baaf 使得使得),1 , 0( 存在存在有有上分别用拉氏中值定理上分别用拉氏中值定理在在,1 , 0)( xf), 0(),()0()0()( fff)1 ,(),()1()()1( fff, 1)1(, 0)0( ff注意到注意到由由, 有有)()(1bafb

41、bafa )( fbaa )()(11 ff )( fbab + ,得得)()( ff .)()(bafbfa 例例4 4)., 0, 0( ,2ln)(lnlnyxyxyxyxyyxx 证明不等式证明不等式证证),0(ln)( ttttf令令, 1ln)( ttf则则, 01)( ttf.0, 0),(),(ln)(是凹的是凹的或或在在 yxxyyxtttf)2()()(21yxfyfxf 于是于是,2ln2lnln21yxyxyyxx 即即.2ln)(lnlnyxyxyyxx 即即例例6 6.,)1 ,2(sin2程程两曲线的公共曲率圆方两曲线的公共曲率圆方点处点处并写出并写出向向点具有相

42、同的曲率和凹点具有相同的曲率和凹在在使抛物线与正弦曲线使抛物线与正弦曲线一抛物线一抛物线求作求作处处上点上点过正弦曲线过正弦曲线MMcbxaxyMxy 解解为为曲率圆的圆心坐标分别曲率圆的圆心坐标分别曲率半径和曲率半径和处的曲率处的曲率在点在点曲线曲线,),()(yxxfy ,)(1 232yyk ,1k yyyyyyyxx2020)(1)(1 ,sin)(xxfy 对于曲线对于曲线, 1)2( f有有 )2(f. 1 ,2cbxaxy 对于曲线对于曲线 )2(f有有,242cba )2(f, ba )2(f.2a若两曲线满足题设条件若两曲线满足题设条件,必在该点处具有相同的一阶导必在该点处具

43、有相同的一阶导数和二阶导数数和二阶导数,于是有于是有, 1242 cba, 0 ba. 12 a )2(f, 0解此方程组得解此方程组得,21 a,2 b.812 c故所求作抛物线的方程为故所求作抛物线的方程为.8122122 xxy),0 ,2( , 1 曲率半径曲率半径曲率圆的方程为曲率圆的方程为. 1)2(22 yx两曲线在点处的曲率圆的圆心为两曲线在点处的曲率圆的圆心为测测 验验 题题一、求极限：一、求极限： 1 122limaxaxaxax （0 a）；）； 2 2、310)sin1tan1(limxxxx ； 、若、若0 x, ,试证试证xxxx )1ln(1. . 、确定、确定cba,的值，使抛物线的值，使抛物线cbxaxy 2 与正弦曲线在点与正弦曲线在点)1 ,2( 相切，并有相同的曲率相切，并有相同的曲率. .