6PUSUPS并联机床动力学性能分析与研究工学硕士学位论文

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1、国际图书分类号：621.3工学硕士学位论文6PUS-UPS并联机床动力学性能分析与研究Classified Index: TP212U.D.C.: 621.3Dissertation for the Master Degree in EngineeringANALYSIS AND INVESTIGATION ON DYNAMIC CHARACTERISTICS OF A 6PUS-UPS PARALLEL MACHINE TOOL Candidate: Supervisor: Academic Degree Applied for: Speciality: University: Li Con

2、g Prof. Zhao Yongsheng Master of Engineering Mechatronic Engineering Yanshan University燕山大学硕士学位论文原创性声明本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文6PUS-UPS并联机床动力学性能分析与研究，是本人在导师指导下，在燕山大学攻读硕士学位期间独立进行研究工作所取得的成果。据本人所知，论文中除已注明部分外不包含他人已发表或撰写过的研究成果。对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式注明。本声明的法律结果将完全由本人承担。作者签字： 日期： 年 月 日燕山大学硕士学位论文使用授权书6PU

3、S-UPS并联机床动力学性能分析与研究系本人在燕山大学攻读硕士学位期间在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归燕山大学所有，本论文的研究内容不得以其它单位的名义发表。本人完全了解燕山大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权燕山大学，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文，可以公布论文的全部或部分内容。 保密，在 年解密后适用本授权书。本学位论文属于 不保密。（请在以上相应方框内打“”） 作者签名： 日期： 年 月 日 导师签名： 日期： 年 月 日摘 要摘 要并联机床是现代并联机器人技术与机床结构技术结合的

4、高科技产品，具有高精度、高速度、高加速度、高刚性、高柔性、重量轻等优异性能。并联机床是当代科学技术研究发展最活跃的领域之一，具有良好的应用前景和较高的科研价值。本文针对6PUS-UPS并联机床进行了相关研究，主要做出的贡献如下： 简单叙述了并联机床在国内外的发展状况，并且详细阐述了并联机床的理论研究现状及目前的应用，提出了论文选题的意义。描述了6PUS-UPS并联机床的结构及其特点，推导了广义坐标系下各运动参数和笛卡尔坐标系下各运动参数之间的变换关系，为并联机床的动力学建模奠定了基础。采用拉格朗日法建立了6PUS-UPS并联机床的动力学方程，利用MATLAB软件通过典型的运动实例求解机床在不同

5、情况下所需的驱动力和驱动力矩，对机床进行动力学分析，总结了并联机床的动力学性能。应用动力学仿真分析软件ADAMS，建立了6PUS-UPS并联机床的虚拟样机模型，并依据真实情况添加了摩擦力和电机驱动，在ADAMS里完成了动力学仿真，将仿真结果与理论结果进行对比，验证了动力学模型的正确性。建立并联机床的有限元模型并进行模态分析，求得其固有频率和固有振型，进而分析出并联机床在结构上的薄弱之处，总结了并联机床的动态响应特性。关键词 并联机床；广义坐标；拉格朗日；动力学仿真；虚拟样机；模态分析IAbstractAbstractParallel Machine Tool (PMT) is the high

6、-tech product combined with robot technology and machine tools. PMT possesses the distinguished advantages of high precision, high acceleration, high velocity, high stiffness, high flexibility and low weight. PMT is one of the most active fields in contemporary science technology. It has bright futu

7、re and high scientific research value. This paper studies the correlated problems of the 6PUS-UPS PMT mainly. The main contents are shown as follows:In the beginning of this paper, the development of PMT domestic and abroad is introduced. The status of theory study about PMT and its application is m

8、entioned in detail. With that, the significance of the topic is presented at last.The paper introduces the composition and characteristics of 6PUS-UPS parallel manipulator. The transform relationship between motion parameters in generalized coordinate system and motion parameters in Cartesian coordi

9、nate system is got, which paves the way for the dynamic modeling of the PMT. The dynamic equation of 6PUS-UPS PMT is set up by Lagrange method. With the MATLAB software, the driving forces and driving torques required under different conditions through some typical motions are solved and the inverse

10、 dynamics of the PMT is analyzed.With the ADAMS software, the virtual prototype model of 6PUS-UPS PMT is created. The friction model is established and the dynamic simulation is carried out. Then compared the simulation results and theoretical results and ensured the validity of dynamics analysis. T

11、he finite element modal of the 6PUS-UPS PMT is established and the modal analysis is carried out. Then the nature frequency and vibration modes of the PMT are got. According to the results obtained from modal analysis, the weakest taches of the PMT structure is found and the dynamic characteristics

12、of the of the 6PUS-UPS PMT is got.Keywords Parallel Machine Tool; Generalized coordinate; Lagrange method; Dynamic simulation; Virtual prototype; Modal analysis73目 录目 录摘 要IAbstractII第1章 绪 论11.1 概述11.2 并联机床研究发展现状21.2.1 并联机床在国际上的发展现状21.2.2并联机床在国内的发展现状41.3 动力学理论研究现状综述61.4 课题研究意义和研究内容81.4.1 课题的研究意义81.4.

13、2 课题的主要研究内容9第2章 并联机床运动和静力学基础102.1 6PUS-UPS并联机床简述102.2 笛卡儿坐标与广义坐标112.2.1 笛卡尔坐标系下速度与广义速度的关系112.2.2 笛卡尔坐标系下加速度与广义加速度的关系142.3 本章小结15第3章 并联机床动力学建模163.1 概述163.2 动力学建模163.2.1 Lagrange法建模163.2.2动平台的动力学计算173.2.3 驱动分支的动力学计算213.2.4 中间约束分支的动力学计算303.2.5 驱动力的计算373.2.6 6PUS-UPS并联机床的动力学方程413.3 6PUS-UPS并联机床动力学计算实例41

14、3.3.1 平动算例413.3.2 姿态变化算例423.4 本章小结44第4章 并联机床虚拟样机建模与动力学仿真454.1 概述454.2 6PUS-UPS并联机床虚拟样机建模464.2.1 创建实体模型464.2.2 创建约束和驱动464.2.3定义摩擦力484.36PUS-UPS并联机床虚拟样机动力学仿真494.3.1 机床的平动分析504.3.2 机床的姿态变化分析514.4 本章小结55第5章 并联机床的模态分析565.1 动态特性研究的意义565.2 模态分析的相关理论575.2.1 模态分析的定义575.2.2 模态分析基本分析原理575.2.3 ANSYS WORKBENCH软件

15、模态分析功能简介585.3 6PUS-UPS并联机床模态分析步骤585.3.1有限元模型的建立595.3.2 模态求解615.4 模态计算结果分析625.4.1 6PUS-UPS并联机床模态结果分析625.4.2 结论及建议645.5 本章小结64结 论65参考文献66攻读硕士学位期间承担的科研任务与主要成果71致 谢72作者简介73第1章 绪论第1章 绪 论1.1 概述为了满足日益发展的市场需求，适应不断变化的生产环境，新一代多功能的制造装备系统的探索和研制正受到全球机床制造业的高度重视，其中当属90年代中期问世的并联机床(Parallel Machine Tool)的开发最具有突破性进展。

16、并联机床刚问世时曾经被称为六条腿机床，六足虫，现在也叫做虚拟轴机床1-4。并联机床基于空间并联机构，充分利用机器人技术和计算机数字控制技术，部分硬件被软件取代，部分机械传动被新型电气装置和电子器件取代，是机器人技术在机床制造领域中的创造性应用5。并联机床是现代并联机器人技术与传统机床相结合的新型数控加工设备，具有很多优异性能如精度高、刚度高、速度快、柔性好、灵活性好、推力大、重量轻等。并联机床具有十分广泛的应用前景，其研究、开发对机床自身的发展具有很大的理论和现实意义，是目前国际上在并联机器人和先进加工设备领域的一个新的发展方向，被认为是“20世纪机床结构设计的重大革命突破”“21世纪新一代的

17、数控加工装备” 6-7。相比于传统串联机床，并联机床具有如下优点：(1)并联机床的并联机构可实现多自由度联动，执行机构的运动更加灵活,方便复杂曲面的精密加工；(2)执行构件的加工精度得到很大提高；(3)运动构件数少，结构简单，因此维修量小，维修更加方便，成本大大降低；(4)反解运算更加简单,便于控制系统的开发；(5)传动机构仅受拉压力，承载能力高，刚度重量比大；(6)模块化程度高，布局形式多种多样，便于可重组设计，具有很强的环境适用性；(7)移动部件质量小，响应速度快，动态性能得到有效的改善，适于各种高速数控作业；(8)硬件简单,软件复杂,技术附加值更高，经济回报更好8。因此，并联机床是新一代

18、机床结构的研究热点，具有很好的发展前景。1.2 并联机床研究发展现状1.2.1 并联机床在国际上的发展现状由于并联机床具备了上述优点和良好的应用前景，引起了世界各国的学术界和机床制造界的极大兴趣和高度重视，他们都非常看好并联机床的市场潜力和应用前景，纷纷竞相开始了并联机床的研究与开发。1994年在美国芝加哥IMTS94国际制造技术展览会上，美国的Gid-ding&Lewis公司推出了VARIAX型并联机床(图1-1)，这在当时的工程界引起了巨大的轰动，被称赞为“21世纪的新一代数控加工设备”，标志着并联机床的正式问世；还有美国Ingersoll公司的第一代八面体六足虫并联机床，即Octahed

19、ral Hexapod(图1-2)也是在同期推出的并联机床。此后，世界各国的研究机构和企业都掀起了研制并联机床的热潮，相继推出了大量的理论研究成果和样机产品9-12。在1997年的德国汉诺威欧洲机床展览会(EMO97)和1999年巴黎国际机床博览会(EMO99)上，展出了多种机床。主要有德国Mikromat公司制造的6X型高速立式加工中心(图1-3)，瑞典Neos Robotics公司制造的并联机床Tricept 845(图1-4)，俄罗斯Lapik公司生产的Stewart数控机床TM-750，美国Ingersoll公司研制的卧式并联加工中心HOH-600，英国Geodetic公司开发的两款并

20、联加工中心Evolution G500和G1000，瑞士联邦技术学院研制的并联机床HexaGlide (图1-5)，日本Toyoda公司生产的基于铣削加工线的六条腿机床(图1-6)。 图1-1 G & L公司的VARIAX 图1-2 Ingersoll公司的Hexapod Fig.1-1 VARIAX PMT Fig.1-2 Hexapod PMT 图1-3 Mikromat公司的6X 图1-4 NEOS Robotics公司的Tricept 845 Fig.1-3 6X PMT Fig.1-4 Tricept 845 PMT 图1-5 瑞士联邦技术学院的HexaGlide 图1-6 Toyo

21、da公司的并联机床Fig.1-5 HexaGlide PMT Fig.1-6 PMT of Toyoda co. 图1-7 Starrag-Heckert公司的SKM400 图1-8 西班牙Fatronic公司的UlysesFig.1-7 SKM400 PMT Fig.1-8 Ulyses PMT 图1-9 法国RA公司的Urane SX 图1-10 德国ZFS的Paralix Fig.1-9 Urane SX PMT Fig.1-10 Paralix PMT2000年前后，并联机床在很多方面都获得了重大的进展，主要有运动学、制造工艺学、数控编程、计算机控制技术、测量标定、动力学性能研究和工程

22、应用等，各种经过改进的结构原理和新产品都相继推出，意味着并联机床慢慢过渡到了实用阶段，产业化阶段4。2001年在德国汉诺威欧洲机床展览会上，有很多并联机床参与展出，展出的主要有三杆卧式加工中心SKM-400 (图1-7)，由德国Herkert机床公司制造；三杆卧式加工机床Ulyses (图1-8)，由西班牙FATRONIK技术中心研制开发；法国RA公司的三杆并联卧式机床URANE SX (图1-9)，五面加工并联机床Paralix(图1-10)，由德国斯图加特大学制造技术中心自主开发13-18。1.2.2 并联机床在国内的发展现状自从并联机床于1994年在国际机床展上首次亮相之后，国内的众多高

23、校和科研单位也都逐渐投入大量人力物力开始对并联机构装备的开发。燕山大学的黄真教授是国内最早开始从事并联机器人基础理论研究的人。燕山大学在1991年完成了六自由度并联机器人样机的成功研制(图1-10)，它是我国的第一台并联机器人样机。黄真教授在1997年出版了我国第一部关于并联机器人理论及技术的专著19。1998年在北京机床展览会上展出的大型镗铣类并联机床的原型样机VAMT1Y(图1-11)是由清华大学和天津大学于1997年合作成功研制的，是我国第一台基于Stewart平台机构的并联机床，受到了各界的广泛关注20。在1999年的机床展览会上展出的6坐标BJ系列并联机床(图1-12)是由哈尔滨工业

24、大学研制的21。2003年，燕山大学研制出了新型5-UPS/PRPU五自由度并联数控机床(图1-13) 22。同年在北京国际机床展上，哈尔滨工业大学与哈尔滨量具刃具厂合作推出了并联机床BXK-6027(图1-14)，它是一台新一代商品化六轴并联机床23。哈量集团与瑞典Execho公司于2008年联合开发了新一代并联机床LINKS-700(图1-15)，标志着我国的并联机床进入了研究开发的新时代24。总的来说，国内并联机床的各项性能指标与国外发达国家相比还有一定差距，还有许多问题需要深入研究。并联机床是一个国家技术力量和装备水平的重要标志，在提高我国装备制造业进程中必须加大研究力度，打造属于我国

25、自主知识产权的并联运动机床。 图1-10 燕山大学六自由度并联样机 图1-11 清华大学的VAMT1YFig.1-10 6-DOF PM of YSU Fig.1-11 VAMT1Y PMT 图1-12 哈工大的BJ-30 图1-13 燕山大学的5-UPS/PRPU Fig.1-12 BJ-30 PMT Fig.1-13 5-UPS/PRPU PMT 图1-14 哈工大与哈量具的BXK-6027 图1-15 哈量集团LINKS-700 Fig.1-14 BXK-6027 PMT Fig.1-15 LINKS-700 PMT1.3 动力学理论研究现状综述并联机床的动力学建模问题在并联机床性能分析

26、和实际运动控制中占有非常重要的地位，并联机床的动力学模型描述了并联机床的运动和各个关节力矩之间的关系，是求解并联机床正动力学问题和逆动力学问题的基础，并联机床正动力学问题是在已知关节驱动力的情况下求解并联机床的运动，而逆动力学问题是在已知并联机床运动的情况下求解各个关节的驱动力。正动力学问题的求解是对并联机床的系统仿真实验有重要的意义，而逆动力学问题的求解则是并联机床整机动态设计、伺服电机选配动力学参数辨识和控制器设计的理论基础29。由于并联机床的正动力学问题分析比较复杂，涉及复杂方程组的求解，国内外对正动力学问题的研究很少。Khalil30建立了Gough-Stewart平台的正动力学的闭环

27、解。蔡胜利31基于达朗伯原理和等效力方法建立了3-TPS型并联机器人的动力学模型，写出了其正向动力学与反向动力学方程，讨论了两种方程的解法并给出了数值例。并联机床的逆动力学分析与正动力学分析相比相对简单，国内外对此展开了大量的研究。基于不同的力学原理，可以采用不同的方法建立动力学模型，例如Newton-Euler法、Lagrange法、虚功原理法和Kane法等。Newton-Euler法是一种基于牛顿运动定律，通过引入惯性力的概念，导出非自由质系刚体动力学模型的方法32。用Newton-Euler法建立动力学模型时，只涉及到牛顿运动定律、惯性力和受力分析等简单的力学内容，因而建模简单、概念清晰

28、、计算效率高，并且很容易求解各构件的支反力，在并联机床刚体动力学建模领域得到了广泛的应用。1987年Sugimoto33利用Newton-Euler法和旋量代数理论建立了Stewart平台的刚体动力学模型。1998年Dasgupta等人34考虑关节摩擦和阻尼因素影响，采用Newton-Euler法构造了Stewart平台的动力学方程。孔令富等人35在2004年以6-PUS并联机构为研究对象，利用Newton-Euler法推导出了并联机构的动力学模型，并给出了动平台做圆周平动时各驱动力的变化曲线，为该类机构的动力学分析奠定了基础。由于用Lagrange法得到的动力学方程形式相对比较简单整齐，并且

29、建模过程中不需要分析机构约束内力，因此在并联机床刚体动力学建模领域也得到了广泛的应用。Pang和Shahinpoor36以Lagrange方程为依据，构造了Stewart平台的刚体动力学模型，Lee和Shah37根据Lagrange法建立了三自由度新型并联机床的刚体动力学模型，Wang和Gosselin38采用Lagrange-DAlembert法建立了Stewart平台的刚体动力学模型。相对于Newton-Euler法，Lagrange法在求解模型时需要进行大量的矩阵运算和偏微分运算，建模过程比较复杂，模型的求解效率较低。虚功原理是将并联机构作为一个整体来考虑，通过计算操作空间与关节空间的速

30、度雅克比矩阵，能够得到形式相对简单整齐的动力学方程，虚功原理方法也是求解并联机构动力学建模常用的方法之一。Zhang和Song32,39通过将惯性力和外力等效至适当节点处，导出了表达形式简洁的速度公式，降低了偏角速度和偏角加速度矩阵计算的复杂性，使动力学建模过程得到简化。Tsai32,40基于虚功原理和连杆雅可比矩阵的概念，给出了Gough-Stewart平台的动力学建模方法。最终通过求解六个线性方程得到动力学逆解。Kane法是建立多自由度质点系统动力学方程的一种方法，它借助于偏速度、偏角速度、广义速率、广义主动力和广义惯性力等概念，直接应用DAlembert原理建立动力学方程。李兵、王知行等

31、41基于Kane方程建立了一种新型并联机床的动力学模型，并且是封闭形式的。该方程不使用动力学函数且不需求导运算，便于计算机实现，为并联机床进行动态分析与设计提供了基础。除此之外，哈尔滨工业大学的李兵等42基于有限元理论为一种六自由度并联机床建立了弹性动力学有限元模型，通过对有限元实例计算结果的分析得出机床固有频率随机床结构参数和刀头姿态变化的规律。姚建新43基于有限元分析学和弹性理论，从并联机器人的通用模型出发，建立了运动弹性动力学方程。徐礼矩、范守文44建立了一种新型并联机床刚度分析和弹性动力学分析的有限元模型，研究了参数变化对主进给机构刚度和固有频率的影响。韩清凯45等人对典型位姿下的六杆

32、并联机器人机械结构进行模态试验，并以实验模态结果为基础进行机器人机械结构的动力学分析。并联机床的动力学性能分析非常关键，但由于动力学建模问题异常复杂，到目前为止关于它的研究不多。研究动力学建模问题对机床行业具有重要的意义，因此应该引起我国的高度重视。1.4 课题研究意义和研究内容1.4.1 课题的研究意义目前，并联机构已逐渐成为机械制造领域的热门研究学科，受到了各国学者的高度重视，对并联机构展开了许多有价值的研究工作46-60，其中以运动学理论方面的研究工作最多，但相对来说对其动力学问题的研究略显薄弱，尚处于起步阶段，相关理论也不完善。而建立并联机床的弹性动力学模型，对理解并联机床的动态特性本

33、质、改善机床的动态性能、设计机床的控制系统以及提高机床加工精度等均具有重要的理论和现实意义，动力学性能作为工程应用领域最需要解决的关键技术之一，与机床工作性能紧密相关，有待于进一步研究和探索61。除此之外，作为金属切削机床，评价并联机床动态特性的优劣主要是考虑机床在加工和切削过程中产生的振动和变形，即机床的稳定性，较大的振动和变形会直接影响工件的加工质量和精度。要想让并联机床更可靠更安全地工作，必须提高机床的静态和动态特性，以达到提高加工精度和加工过程稳定性的目的，保证整个机床的性能达到最优。1.4.2 课题的主要研究内容本文对6PUS-UPS并联机床的运动学、动力学、虚拟样机建模与仿真、动态

34、特性等一系列问题进行了分析与研究，主要研究内容如下： (1)介绍了并联机床的发展状况和理论研究现状，目前的应用，阐述了论文选题的意义。 (2)描述了6PUS-UPS并联机床的结构及其特点，推导了笛卡尔坐标系下各运动参数和广义坐标系下各运动参数之间的变换关系，为接下来的并联机床动力学建模打下了基础。(3)采用拉格朗日法建立了6PUS-UPS并联机床的动力学方程，利用MATLAB软件通过典型的运动实例求解机床在不同情况下所需的驱动力和驱动力矩，对机床进行动力学分析。(4)应用动力学仿真分析软件ADAMS，建立了6PUS-UPS并联机床的虚拟样机模型，对并联机床进行动力学仿真，将仿真结果与理论结果进

35、行对比，验证了动力学模型的正确性。(5)建立并联机床的有限元模型并进行模态分析，求得其固有频率和固有振型。研究得到的计算结果，分析出并联机床在结构上比较薄弱的地方，总结了并联机床的动态响应特性。 最后是全文总结和对进一步工作的几点设想第2章 并联机床运动和静力学基础第2章 并联机床运动和静力学基础2.1 6PUS-UPS并联机床简述6PUS-UPS并联机床是新一代的并联机构，动平台可以实现三维移动和三维转动，其优点很多，如结构简单、刚度重量比大、灵活性好、精度高、结构刚度高、运动质量低等。机构结构对称，刚度大，可用于高速、高精度加工，也可用于视觉测量、力控制研究、冗余控制研究。其机床结构如图2

36、-1所示，该机构含有6个驱动分支和1个中间约束分支，6个驱动分支由1个移动副（P副），1个虎克铰（U副），1个球副（S副）依次连接而成，中间约束分支由1个虎克铰（U副）、1个移动副（P副）和一个球副（S副）组成。通过使用锁紧螺母，可以锁紧中间约束分支下端的S副上与动平台垂直的R副，实现S副与U副之间的转换。初始位姿时，6个驱动分支上的U副中心位于同一圆周上（即静平台），半径为R，6个U副两两一组均布在该圆周上，每组两个U副之间夹角为30度，6个S副中心位于同一圆周上（即动平台），半径为r，且均匀分布。图2-1 6PUS-UPS并联机床Fig.2-1 6PUS-UPS PMT2.2 笛卡儿坐标与

37、广义坐标6PUS-UPS并联机床自由度数为6，广义上来说，要想完全描述机床的运动，需要6个独立的参数，即广义坐标。广义坐标可以选择该并联机床中相互独立的6根杆长，也可以选择机床动坐标系在定坐标系下的6个位姿参数。选择不同的参数，描述问题的难易程度也不同。如果参数选为杆长，建模推导过程中将涉及到机构正解的运算，而求解并联机构的正解很复杂。本机床的广义坐标定为，用它来建模只需计算并联机床的反解，运算比较简便。 2.2.1 笛卡尔坐标系下速度与广义速度的关系设并联机床六根驱动杆的速度为，动平台在广义坐标系下的速度参数为，在笛卡尔坐标系下的速度为，简记为,如图2-2所示。图2-2 并联机床运动速度分析

38、Fig.2-2 Velocity of the PMT由杆长公式63可得 (2-1)其中将式(2-1)的两边分别对时间求导，得到驱动杆速度与广义速度的关系 (2-2)其中为广义速度变换矩阵 利用矢量法64可得驱动杆速度与笛卡尔坐标系下速度的关系 (2-3)其中 ，表示笛卡尔坐标系下的速度变换矩阵。 综合式(2-2)和式(2-3)，得到 即有 (2-4)其中 由于速度变换矩阵的前三列表示的是线速度，比较笛卡尔速度变换矩阵和广义速度变换矩阵，可知两者的前三列都一样，表明笛卡尔坐标系下的线速度与广义线速度具有相同的物理意义，即， (2-5)速度变换矩阵的后三列表示的是角速度。和后三列的不同说明同一角

39、速度，在笛卡尔坐标系下描述的参数与在广义坐标系下描述的参数意义不同，并非一一对应，它们之间存在着一定的转化关系。将广义角速度向笛卡尔坐标系中投影，可以得到它们的变换关系 (2-6)由式(2-5)和式(2-6)便可得到并联机床同一运动在两个坐标系下的关系 (2-7)其中 由式(2-7)可得： (2-8)这样可以看到，只要给出一定的，就可以得到与之相对应的，和。2.2.2 笛卡尔坐标系下加速度与广义加速度的关系式(2-5)表明机床在笛卡尔坐标系下的线速度与广义线速度具有相同的物理意义，所以，将它们各自对时间求导得到的移动加速度也具有相同的物理意义，即， (2-9)广义坐标下的角加速度和笛卡尔坐标系

40、下的角加速度可以由式(2-6)对时间求导得到，它们之间的关系式如式(2-10)所示。 (2-10)反过来，如果给出的是笛卡尔坐标系下的角加速度，则可以求出相对应的广义加速度，和，如式(2-11)所示。 (2-11)2.3 本章小结本章介绍了6PUS-UPS新型并联机床，从速度和角速度两方面出发，讨论了机床同一运动在笛卡尔坐标系下和广义坐标系下之间的变换关系，为并联机床的动力学建模打下了基础。第3章 并联机床动力学建模第3章 并联机床动力学建模3.1 概述并联机床的动力学建模问题在并联机床性能分析和实际运动控制中占有非常重要的地位，并联机床的动力学模型描述了并联机床的运动和各个关节力矩之间的关系

41、，是求解并联机床正动力学问题和逆动力学问题的基础，并联机床正动力学问题是在已知机构参数和关节驱动力的情况下求解并联机床的运动，而逆动力学问题是在已知并联机床末端执行器运动的情况下求解各个关节的驱动力。正动力学问题的求解是对并联机床的系统仿真实验有重要的意义，而逆动力学问题的求解则是并联机床整机动态设计、伺服电机选配动力学参数辨识和控制器设计的理论基础。动力学模型的建立是并联机构研究的一个重要方面，是并联机构进行动力学模拟、动态分析、动力学优化设计及控制的基础。 基于不同的力学原理，可以采用不同的方法建立动力学模型，例如Newton-Euler法、Lagrange法、虚功原理法和Kane法等，用

42、到较多的是Newton-Euler法和Lagrange法。Newton-Euler法是一种基于牛顿运动定律，通过引入惯性力的概念，导出非自由质系刚体动力学模型的方法。用Newton-Euler法建立动力学模型，很容易求解各构件的支反力，但求解的构件多，计算复杂，效率低；Lagrange法建立在系统的动能和势能的基础上，得到的动力学方程形式比较简单整齐，并且建模过程中不需要分析机构约束内力，在并联机床刚体动力学建模领域也得到了广泛的应用65。本章利用Lagrange法对6PUS-UPS六自由度并联机床进行动力学分析。3.2 动力学建模3.2.1 Lagrange法建模使用Lagrange法建立6

43、PUS-UPS并联机床的动力学模型。非保守系统的Lagrange方程可以写成 (3-1)式中 表示Lagrange函数，为系统动能，为系统势能广义坐标，在这里广义坐标的一阶导数，即对应于广义坐标的广义力划分整个机床系统为三个独立计算的部分：动平台、驱动分支和中间约束分支，其中驱动分支细分为滑块和连杆；中间约束分支则细分成转动杆和移动杆，分别求解各部分的动能、势能和广义力，建立整个机床的动力学方程。3.2.2 动平台的动力学计算3.2.2.1 动平台的动能计算 动平台可近似看成是一个对称的旋转体。在动平台质心处建立质心坐标系，并令动平台的质心与动坐标系的原点重合，的、轴与动坐标系的、轴分别平行，

44、即与重合。动平台质心的移动速度和转动速度分别为和其中 ，所以动平台的动能表达式为(3-2)其中 ，为动平台的质量为动平台相对于的惯量矩阵在第2章已经推导出同一速度在笛卡尔坐标系下与广义坐标系下的变换关系，即其中 将上述关系式代入式(3-3)可得到动平台的动能表达式(3-3)其中 下面来求解。矩阵由、构成，由于和已知，只需求出即可。根据求解惯量的公式， 惯性矩 ，且 惯性积由于机床动平台质心的速度是相对于定坐标系给出的，动平台上任一点到原点的距离，也是相对于表示的，所以要求解的惯量矩阵也应该是相对于在的原点处建立的姿态始终与定坐标系相同的坐标系来说的。在质心处建立坐标系，在动平台运动过程中姿态保

45、持不变，始终与定坐标系相同。于是，所求解的即为每一瞬时动平台相对于坐标系的惯量矩阵，具体求解步骤如下。首先，求解动平台主惯性矩。由于是相对于而言的，可通过ADAMS软件测得动平台的主惯性矩为 (单位：kgmm2)第二步，进行转轴变换。根据转轴公式，可得所要求的惯量矩阵为： (3-4)由于与重合，姿态不变，始终与相同，所以，矩阵就是到的欧拉变换矩阵，即 这样就可以得到动平台的动能。把式(3-4)代入非保守系统的Lagrange方程左边，有(3-5) (3-6)由上面两式即得到与动平台动能相关的广义力 (3-7)同理，可得与动平台动能相关的其他五个广义坐标的广义力 (3-8)综合以上，即得到与动平

46、台动能相关的广义力 (3-9)3.2.2.2 动平台的势能计算 规定的xy平面为零势能面；重力加速度的方向为竖直向下，即的z轴正方向。则动平台的势能可写成： (3-10)其中为动平台的势能，为动平台的质量，为动平台的质心在z方向上的坐标。式(3-10)中，参数和都是常数，其中动平台的材料为铝，它的质量3.98 kg；是变量，因为动平台质心与动坐标系原点重合，所以有，将其代入式(3-10)得到 (3-11)将式(3-11)代入非保守系统的Lagrange方程则得到(3-12) ， (3-13)由式(3-12)和式(3-13)可得与势能函数相关的广义力，(3-14)综合以上，得到与动平台势能相关的

47、广义力 (3-15)3.2.2.3 动平台动力学分析综合 将式(3-9)和式(3-15)综合起来即得到动平台上的广义力 (3-16)3.2.3 驱动分支的动力学计算3.2.3.1 滑块的动力学计算(1)滑块的动能计算 滑块仅仅沿着定坐标系的z轴方向做平移，所以可以推出六个滑块的移动速度为其动能为 (3-17)其中 ，为滑块的质量。将六个滑块的速度用广义速度来表示。(3-18)其中所以有 (3-19)其中所以滑块的动能可以表示为(3-20)其中，可以看出。将上式代入到非保守系统的Lagrange方程有 (3-21)由上面两式即得到与滑块动能相关的广义力同理，可得与滑块相关的其他五个广义坐标的广义

48、力 (3-22)综合以上，即得到与滑块动能相关的广义力 (3-23)(2)滑块的势能计算 根据势能公式，可得到滑块的势能表达式为 (3-24)式(3-24)中，是滑块质心在定坐标系下z方向的坐标。可推出势能函数只与参数相关。(3-25) (3-26)由式(3-25)和式(3-26)可得与势能函数相关的广义力(3-27)由此得到六个滑块与势能函数相关的广义力进而可推得 (3-28)(3)滑块动力学分析综合 通过对滑块动能和势能的求解，得到了滑块上的广义力 (3-29)3.2.3.2 连杆的动力学计算(1)连杆的动能计算 连杆的动能可以表达为 (3-30)下面求解连杆速度 图3-1 机床运动速度分

49、析Fig.3-1 Velocity analysis of the PMT如图3-1所示，在定坐标系中，为动平台中心点的线速度；为动平台的角速度；为球铰相对于的矢径；为球铰的速度；为连杆的单位方向矢量，其中i=1,2,3,4,5,6球铰点的速度可以表示为 (3-31)其中也可以表示为 (3-32)其中可以近似认为，则并且用叉乘公式(3-32)可得： (3-33)将(3-32)代入上式，得 (3-34)其中，表示矢量的反对称算子矩阵，若，则则连杆质心处的线速度为(3-35)下面求每根连杆是绕着虎克铰中心点转动，但在每一瞬时，它的转轴方向都不相同。在虎克铰中心建立坐标系,它以虎克铰中心为原点，姿态

50、和定坐标系相同，的姿态在连杆的运动过程中保持不变，始终与定坐标系相同。可知连杆的惯量矩阵应该是相对于而言的，即惯量矩阵。因为在连杆的运动过程中其姿态保持不变，而连杆却在做空间运动，所以每一瞬时，连杆的质量相对于分布不同，在每一瞬时也不同。我们通过坐标变换来求解。如图3-2所示，求解惯量矩阵分下列几步：图3-2 各个坐标系的示意图Fig.3-2 The diagram of each coordinate system 首先，设LC为连杆的质心，连杆的主惯性矩可通过ADAMS软件测得为： (单位：kgmm2)第二步，利用平移定理，将质心LC处的主惯性矩转化到虎克铰中心Ci的坐标系中 (3-36)

51、其中相当于把连杆的质量集中到质心处，对坐标系的惯量矩阵。 连杆质心到坐标系的原点的距离在定坐标系A下为 (3-37)其中连杆质心坐标可表示为 (3-38)由于坐标系相对于的空间方位仅在的z轴方向上有距离的变化所以有，代入惯量矩阵，有所以有 (3-39)第三步，利用转轴公式，将变换到，即 (3-40)下面求解假设相对于具有如下形式其中，它是轴沿杆长方向的单位矢量。两个坐标系之间的姿态可以用X-Y-Z欧拉角表示成令，比较它们的第三列，即可确定出和，只需任意给定(计算中取)便可得到矩阵.可看到，令所以得到所以有 (3-41)所以有(3-42)令矩阵是仅与相关的对称矩阵，于是得到 (3-43)把式(3

52、-43)代入非保守系统的Lagrange方程，有 (3-44) (3-45)由式(3-44)、式(3-45)得到与连杆速度相关的广义力 (3-46)同理，可得与连杆速度相关的其他五个广义坐标的广义力 (3-47)这样即得到与六根连杆速度相关的广义力 (3-48)(2)连杆的势能计算 连杆的势能可以表示为 (3-49)其中为连杆质心在下的z方向坐标，可知仅与相关，即也仅与相关。将势能函数代入到非保守系统的Lagrange方程可推得 (3-50)(3-51)由式(3-50)和式(3-51)可得与势能函数相关的广义力 (3-52)由此得到六根连杆与势能函数相关的广义力(3-53)(3)连杆的动力学分

53、析综合 通过对连杆动能和势能的求解，得到了连杆上的广义力 (3-54)3.2.3.3 驱动分支动力学分析综合 驱动分支由滑块和连杆构成，所以综合式(3-29)和式(3-54)可得到驱动分支上的广义力 (3-55)3.2.4 中间约束分支的动力学计算3.2.4.1 中间约束分支的动力学基础 用D-H法建立中间约束分支(UPS)的连杆坐标系如图3-3所示，基坐标系与定坐标系平行，坐标系分别对应各个运动副构件，其中虎克铰可看作为两个转动副，球铰可看作为三个转动副。基坐标系相对于机器人的定系的位移为，ZYX欧拉角为，动系相对于中间分支坐标系的位移为，ZYX欧拉角为。图3-3 中间分支坐标系示意图Fig

54、.3-3 The coordinate system of mid-limb根据D-H法建立坐标系后可得到连杆变换矩阵的一般表达式 (3-56)中间约束分支相应的D-H参数如表3-1所示，其中变量为。表3-1 6PUS-UPS中间分支的D-H参数Table 3-1 D-H parameter of UPS limb连杆i10 0020 90030 90040 -90050 90060 900将各参数带入式(3-56)得到各坐标系间的关系 (3-57)根据以上映射矩阵，可得： (3-58) 3.2.4.2 中间转动杆的动力学计算(1)中间转动杆的动能计算 首先要求出中间转动杆质心在定系下的速度。

55、由连杆速度、角速度递推公式64可知对转动关节来说，有 (3-59) (3-60)上式中，表示的原点在坐标系中的位置矢量。对移动关节来说，有 (3-61) (3-62)质心的速度为（不论转动关节还是移动关节同样适用） (3-63)由以上公式，可得到中间分支各构件在坐标系的速度及质心处的速度如下所示 则中间分支各构件质心处在定系中的速度可表示为 (3-64)(3-65)其中 在中间转动杆质心处建立坐标系，中间转动杆相对于质心处坐标系的惯量矩阵的求解过程与前面相同：设中间转动杆的主惯性矩为： (3-66)可在软件中测得：中间转动杆质心坐标系和坐标系的姿态相同，而坐标系在中间转动杆的运动过程中，其姿态

56、始终和定坐标系相同，所以，进行转轴变换的矩阵就是坐标系到定坐标系的变换矩阵，即根据转轴公式，即得到所要求的惯量矩阵 (3-67)可得中间转动杆的动能为 (3-68)将上式代入到非保守系统的Lagrange方程则得到(2)转动杆的势能计算 中间转动杆的势能可表示为 (3-69)在2中的表示为，可知质心在定坐标系下的坐标 (3-70)即在z方向上的坐标，所以中间转动杆的势能可表示为 (3-71)将上式代入到非保守系统的Lagrange方程可推得(3)转动杆的动力学分析综合 (3-72)3.2.4.3 移动杆的动力学计算(1)移动杆的动能计算 移动杆的速度已经由前面推得。在中间移动杆质心处建立坐标系

57、，中间移动杆相对于质心处坐标系的惯量矩阵的求解过程与前面相同。设中间移动杆的主惯性矩为： (3-73)可在软件中测得：中间移动杆质心坐标系和坐标系3的姿态相同，而坐标系在中间移动杆的运动过程中，其姿态始终和定坐标系相同，所以，进行转轴变换的矩阵就是坐标系3到定坐标系的变换矩阵，即根据转轴公式，即得到所要求的惯量矩阵 (3-74)可得中间移动杆的动能为 (3-75)将上式代入到非保守系统的Lagrange方程则得到(2)移动杆的势能计算 中间移动杆的势能可表示为 (3-76)在3中的表示为，可知质心在定坐标系下的坐标 (3-77)即在z方向上的坐标，所以中间移动杆的势能可表示为 (3-78)将上式代入到非保守系统的Lagrange方程可推得可推得(3)移动杆的动力学分析综合 (3-79)3.2.4