曲线积分与曲面积分

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1、第十一章：曲线积分与曲面积分一、对弧长的曲线积分f ( x, y)dsf (x, y) d 2 x d 2 yLL解法：如图：B参数方程Axx(t )若L :tyy(t )则 原式 =f (x(t), y(t )x 2 (t )y 2 (t )dt对弧长的曲线积分xx(t )若 L : y y(t ) z z(t )则 原式=常见的参数方程为：f ( x ,y z, ds)222f x(t ( y)t, z( t ) , d( x) ) dyd zLLtf ( x(t), y(t), z(t)( x (t )2 x( y (t )2(z (t) 2 dtx2xxyyy y( x)y( x)yx

2、x( y)2xxx x( y)yyy22特别的：ex2 y2dse4 ds e4dse4 .2LLLL为上半圆周 x2y2 =4( y0)性质： L 1dsL 的弧长若 LL1L2f ( x, y) dsL1f (x, y)dsf ( x, y)dsLL2例：计算I=，其中：223( xy z)dsL x t , y t , z3t , 1 t 1L1(2 t )2(2t 2 )2 dt解：原式 = （ t +t 2 + 2 t3 ) 12-13ds(dx)2(dy )2(dz)2I=e x2y2ds, 其中 L 是 ya 2x2 , yx 与 y=0 所围扇形域的边界L解：曲线L 如图：BO

3、Aa原式 =e x2 y2 dse x2 y2 dse x2 y2 dsOAABBO其中 OA 的参数方程为：y00xae x2y2dsa e x2 0 1 0dxea1xxOA0AB 的方程为 x2y2a2e x2y2dse a2dsea 2aABAB8BO 的参数方程为：所以：原式 =。xx2 ae x2y22 a2a 1 1dx e2a a0 xds2 eyx2BO0二、对坐标的曲线积分p( x, y) dxq( x, y) dyLxx(t)，终点处 t计算方法一：若 L :起点处 t则yy(t)原式 =p( x(t), y(t) x (t )dt q( x(t), y(t ) y (t

4、 )dt对坐标的曲线积分P( x, y, z) d xQ( x, y, z) d y(R , x , y ) z d zLxx(t)L :yy(t)起点处 t，终点处 t则zz(t )原式 = P( x(t), y(t ), z(t ) x (t)dtQ( x(t ), y(t), z(t ) y (t )dtR( x(t), y(t ), z(t) z (t )dt计算方法二： 在计算曲线积分时， 通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式， 后者利用参数方程。p( x, y)dxq( x, y)dyp(x, y)dx

5、q(x, y)dyL L1L1qp()dxdyp(x, y) dx q(x, y) dyDxyL1如图：L B L1A例：计算(eyx) dx( xe y2 y)dy ，其中为从（，）沿曲线 y=sinxL2到点 B（，）的曲线弧。解：如图原式 =(eyx)dx (xe y2 y)dy(eyx)dx ( xey2y)dyL OABOA( eyx)dx (xey2y)dyAB=+QP11=。()dxdy(1x)dx02ydyDxy0例 1、计算曲线积分(ex y 2xy 2x) dx(2ex yx2 y x)dy ，其中 L 是由点 (6,0)到点L(0,0) 的上半圆周 y6xx2解：如图OA

6、原式 =(ex y 2xy 2x)dx(2 ex yx2 y x)dy(ex y 2xy2x)dx(2ex y x2 y x) dyL OAOA（前面用格林公式，后面用参数方程）= 1dxdy1xdx0D例 2、计算曲线积分L(ex y 2x22 y)dx(2ex y2xy2 )dy ，其中 L 是由点 A(4,0) 到点 O(0,0) 的上半圆周 y4x x2三、格林公式qp)dxdyp(x, y) dxq(x, y) dy其中 L 为 D 的正向边界(DxyL例：计算 exy ( xdxydy ) ，其中是正向圆周 x 2y 21 。L特别地：当qp 时，积分与路径无关，xy( x2 ,

7、y2 )p( x, y)dxq( x, y)dyx2p( x, y1 ) dxy2q( x2 , y)dy且x1y1( x1 , y1 )例： 已知曲线积分excos yyf ( x)dx( x 3ex sin y) dy 与路径无关，L则 f(x) =_例 1、 已知平面区域D( x, y) |0x,0 y ， L 为 D 的正向边界，试证：yesin xdxxe sin ydyLye sin x dxxesin y dy L全微分： P( x, y)dxQ ( x, y)dydU (x, y) 是某个函数的全微分QPxy且 u( x, y)( x, y )q(s,t )dtp( s, t

8、)ds（也可以用积分做）( x0 , y0 )例 、已知 du (2xy) dx( 2 yx)dy ，则 u(1,1)（）1A 0B 1C 2D 3注：在计算曲线积分时， 通过适当的添加线段或曲线， 是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式。四、对面积的曲面积分1、 当曲面为zf (x, y)( x, y, z) ds(x, y, f ( x, y)1f x2f y2 dxdyDxy例：设为部分抛物面： x 2y24z ， 1z 2 ，则曲面积分dS（）1zA B 2C 4D 82、 当曲面为3、 当曲面为yf (x, z)( x, y, z)

9、 ds(x, f ( x, z), z) 1f x2fz2 dxdzD xzxf ( y, z)(x, y, z) ds( f ( y, z), y, z) 1f y2f z2 dydzD yz特别的：ds面积。222例：e xyzdse 2 dse 2dse 2 2 r 2为上半球面 x2y2z22 (z 0)五、对坐标的曲面积分1、R( x, y, z)dxdy 中，只能为 zf ( x, y) ，它在 xoy 面的投影为 D xy ，且外法向量与 Z 轴正向的夹角为锐角，则原式 =R( x, y, f (x, y) dxdy ，否则为负；D2、Q ( x, y, z)dzdx 中，只能为

10、 yf ( x, z) ，它在 xoz面的投影为 D xz ，且外法向量与 Y 轴正向的夹角为锐角，则原式 =R( x, f ( x, z), z) dxdz ，否则为负；D3、P( x, y, z)dydz 中，只能为 xf ( y, z) ，它在 yoz 面的投影为 D yz ，且外法向量与 X 轴正向的夹角为锐角，则原式 =R( f ( y, z), y, z) dydz ，否则为负；D例：计算xdydzydzdxzdxdy为 : xyz 1 第一卦限部分， 方向为上侧。计算xdydzydzdxzdxdy为: z1，方向为上侧。常用的计算方法：P(x, y, z)dydzQ ( x, y

11、, z)dzdx R(x, y, z)dxdy P( x, y, z) dydz Q( x, y, z)dzdx R(x, y, z)dxdyP( x, y, z)dydz Q(x, y, z)dzdx R( x, y, z)dxdy11=PQRP(x, y, z)dydz Q( x, y, z)dzdx R(x, y, z)dxdy(y)dvxz1注：在计算曲面积分时， 通过适当的添加平面或曲面， 是之变成一个封闭曲面上的曲面积分与所添加平面或曲面上的曲面积分之差，从而对前者利用高斯公式。例 1、计算( x2y3z4)dydz(2 y3z4)dzdx(3z4)dxdy ，其中是上半球面 z

12、1 x2 y2 的上侧解：如图：1 : z0 (x2y21)方向为下侧原式 =( x 2 y3z4) dydz (2 y3z4)dzdx (3 z4)dxdy1( x2y3z 4)dydz(2 y3z 4) dzdx(3z 4)dxdy1=(123)dxdydz(04)dxdy)=D例2、计算( xyz1)dydz( yz1)dzdx(z1)dxdy，其中是上半球面z 1 x2 y 2 的上侧六、高斯公式PdydzQdzdx Rdxdy(PQR)dvxyz其中是的边界曲面的外侧。注：在计算曲面积分时， 通过适当的添加平面或曲面，是之变成一个封闭曲面上的曲面积分与所添加平面或曲面上的曲面积分之差

13、，从而对前者利用高斯公式。例如：计算( z2x)dydzzdxdy ，其中是旋转抛物面 z1 ( x2y2 ) (0 z2) 的2部分曲面。练习1、 求ex2 y22y21ds, L : xL2、 求xds, L : yx2 ,0x1L3、求IL(ex sin yb(xy)dx ( ex cos y ax)dy ，其中 a, b 为正常数， L 从点 A(2a,0)沿曲线 y2axx2 到点 O(0,0) 的弧。4、计算IL(ex sin ymy)dx (ex cos ym )dy , 其中 L 为由点 ( a,0) 到点 ( 0,0)的上半圆周22,0xyax y( x 22xy)dy ，其中 L 是由 A( a,0) 沿 x2y25、 计算22 1( y 0) 到 B(a,0) 的曲线段。Lab6、 计算ex2y2 z2ds ，其中为球面 x2y2z2a27、 计算( x2yz) dydz( y 2zx)dzdx2zdxdy，是 z1x2y 2被 z=0 所截部分的外侧。、 计算( x2yz)dydz( y2zx)dzdx2zdxdy，是zx2y20z 2 方向8为外侧。