数学渐近法PPT课件

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1、 力矩分配法可以避免解联立方程组，其计算精度可按要求来控制。在工程中曾经广泛应用。9-1 引言第1页/共50页 力矩分配法的理论基础是位移法，力矩分配法中对杆端转角、杆端弯矩、固端弯矩的正负号规定，与位移法相同（顺时针旋转为正号）。9-1 引言第2页/共50页 转动刚度表示杆端抵抗转动的能力。它在数值上等于使杆端产生单位转角时需要施加的力矩。其值与杆件的线刚度i=EI/l及远端的支承情况有关。 一、力矩分配法中几个概念1. 转动刚度（劲度系数）lABEIM = iABM = iB A 4 21iSAB4转动刚度9-2 力矩分配法的基本原理 第3页/共50页lABEIM =BAM = iAB30

2、1iSAB3转动刚度iSAB转动刚度lABEIM =ABM =-iAB1ilABEIM =AB10转动刚度思考：BA0ABS?ABS9-2 力矩分配法的基本原理 第4页/共50页利用结点B的力矩平衡条件MB=0，得图示连续梁，力偶MB使结点B产生转角 B 。BBBABAiSM4BBBCBCiSM3(a)取结点B为隔离体0BCBaBMMMBBCBABCBABSSMMM)()(BBACM BM BM BCM BAB2分配系数杆端弯矩为9-2 力矩分配法的基本原理 第5页/共50页 S(B) 为汇交于结点B的各杆件在B端的转动刚度之和。 近端弯矩MBA、MBC为)(BBBCBABBSMSSM转角为:

3、BBBABBBABAMSSSMSM)()(BBBCBBBCBCMSSSMSM)()(可见：各杆B 端的弯矩与各杆B 端的转动刚度成正比。9-2 力矩分配法的基本原理 第6页/共50页BA、BC 分别称为各杆近端弯矩的分配系数。)(BBABASS)(BBCBCSS令 ,近端弯矩BBBABBBABAMSSSMSM)()(BBBCBBBCBCMSSSMSM)()(BBCBCBBABAMMMM称为分配 弯矩。可以写成9-2 力矩分配法的基本原理 第7页/共50页 思考：汇交于同一结点的各杆杆端的分配系数之和(B) 应等于多少？BAABBAABMCMM21BACBCBMCM 0ABBAABMMC3传递系

4、数远端弯矩（传递弯矩） 称为由A 端向B 端的传递系数。上述计算过程可归纳为： 结点B作用的力偶，按各杆的分配系数分配给各杆的近端；远端弯矩等于近端弯矩乘以传递系数。BBACM B9-2 力矩分配法的基本原理 第8页/共50页与远端支承情况有关ABi14i2iABi13iABi1i9-2 力矩分配法的基本原理 第9页/共50页 例9-1 结构的A端、B端，C端的支撑及各杆刚度如图所示，求SBA、SBC、SBD及CBA、CBC、CBD。 解:当结点B转动时，A支座只阻止A端发生线位移，相当于固定铰，故 0,3BABAClEIS21,4BCBCClEISC支座既阻止C 端的线位移，也可以阻止C 端

5、转动，其作用与固定端一样，因此(a)llAEIDlEIEIBC(b)ADBBCEIEIEI(a)llAEIDlEIEIBC(b)ADBBCEIEIEID支座不能阻止D点垂直BD轴的转动，所以 0,0BDBDCS9-2 力矩分配法的基本原理 第10页/共50页 例9-2 图示梁的AC为刚性杆段，CB杆段EI=常数，求SAB及CAB AB28C4B2SABS28108iiiiii=1ACEI=llB il/l= iBCil当666Aa)CEI=llB il/l= iBCi666当lc)AB28=1C4B2SABS28108iiiiii 解: 当A端转角=1时，截面C 有竖向位移 =l=l及转角=1

6、 。CB段的杆端弯矩为iMCB 10iMBC 8iMSABAB 28 72288ABC 梁AB弯矩图是直线变化的，按直线比例可得CEI= il/l= iBCil当666llAB9-2 力矩分配法的基本原理 第11页/共50页 解: 当A 转角=1时，因为AC 刚性转动，C 点向下的位移=l=l ，所以EI=lll=13 iCABBCASAB3 i/l=3 iACBiliSAB33133iiCAB 例9-3 图示梁的AC 杆为刚性杆段，CB 杆段EI=常数。求SAB ,CAB。EI=lll=1CAa)BBCASAB3 i/l=3 iACB3 i9-2 力矩分配法的基本原理 第12页/共50页 解

7、:当A 端转动=1时，因AB杆是刚性转动，所以B 产生向下的竖向位移=l=l ，弹簧反力FyB=k=EI/l2 。则 例9-4 图示梁AB为刚性，B支座为弹性支承，其弹性刚度 k=EI/l3 ,求SAB ,CAB。ilEIlFSyBAB 00iCABlk=3EI/lAB =kyBF AB=l=1BASABEI/lF yB9-2 力矩分配法的基本原理 第13页/共50页4不平衡力矩固定状态:ABm10EImkNq/12 Cm10EIABmkNq/12 CB uBM12/2qluBM-不平衡力矩，顺时针为正固端弯矩-荷载引起的单跨梁两端的杆端弯矩，绕杆端顺时针为正。mkNqlMFAB.10012/

8、2 mkNMFBA.100 0 FCBFBCMM9-2 力矩分配法的基本原理 第14页/共50页ABCuBMB 放松状态: 需借助分配系数, 传递系数等概念求解BuBMFBAMFBCMFBCFBAuBMMM mkN .100 9-2 力矩分配法的基本原理 第15页/共50页6060ABmkN.40CmkN /20mkNMuB.1004060 60mkN.40uBMABm4EImkN.40Cm6EImkN /20例.求不平衡力矩9-2 力矩分配法的基本原理 第16页/共50页二、力矩分配法基本思想以图示具体例子加以说明AB1l2l1EI2EICMMAB1l2l111/lEIi 222/lEIi

9、C211134iir 11rC14i23i01111pRZr9-2 力矩分配法的基本原理 第17页/共50页)34/(211iiMZ MR P1P1RCM)34/(4211iiiMMCA )34/(3212iiiMMCB 114/2iiMMCAAC 23/0iMMCBBC 0FM9-2 力矩分配法的基本原理 第18页/共50页uFF1)(CCBCApMMMRMFCACACAMMM FCBCBCBMMM FACCACAACMCMM FBCCBCBBCMCMM 固端弯矩分配弯矩CiM固端弯矩传递弯矩iCM9-2 力矩分配法的基本原理 第19页/共50页9-2 力矩分配法的基本原理 第20页/共50

10、页例. 计算图示刚架, 作弯矩图iSA41 解:2/13441 iiiiA AB1Clql2CEI qlliSB31 iSC 18/33431 iiiiB 8/1341 iiiiC 8/2qlql2q4/2ql4/2qlq确定分配系数确定固端弯矩9-2 力矩分配法的基本原理 第21页/共50页000 FM分配传递M结点杆端BA1CB1A11A1B1CC11/23/81/8-1/41/41/8163 649 643 323 064303211 161641 643 643AB1Clql2CEI qll6416433211161）图（2qlM9-2 力矩分配法的基本原理 第22页/共50页解 （1

11、）计算结点B处各杆端的分配系数由SBA=4i ， SBC=3i 有分配系数为ABC9 kN/m80 kN6 m3 m3 m74344iiiSS)B(BABA73343iiiSS)B(BCBC一、力矩分配法计算单刚结点的连续梁例：用力矩分配法计算图示的连续梁的内力。9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架第23页/共50页结点B的不平衡力矩为 （2）计算固端弯矩（查表8-1） mkN2712691222qlMFABmkN2712691222qlMFBAmkN90166803163FlMFBC0FBCMmkN63FBCFBAuBMMM（3）进行弯矩分配与传递 3 m3 m6 m80 kN9 kN

12、/mABC9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架第24页/共50页分配系数47 37 固端弯矩27 -27-900分配与传递36 27 最后弯矩180注意：结点B应满足平衡条件。06363BM80 kN9 kN/mABC将以上结果叠加，即得最后的杆端弯矩。-963-6309-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架第25页/共50页 根据各杆杆端的最后弯矩即可利用叠加法作出连续梁的弯矩图。 思考：用力矩分配法计算的只有一个刚结点结构的结果是精确解吗？12088.596340.5图(kN m)M3 m3 m6 m80 kN9 kN/mABCmkN9ABMmkN63BCMmkN63BAM9-3

13、用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架第26页/共50页 二、具有多个结点转角的多跨连续梁1.先将所有刚结点固定，计算各杆固端弯矩； 2.轮流放松各刚结点，每次只放松一个结点，其他结点仍暂时固定，这样把各刚结点的不平衡力矩轮流进行分配与传递，直到传递弯矩小到可略去时为止。这种计算杆端弯矩的方法属于渐近法。 只需依次对各结点使用上述方法便可求解。步骤:3. 最后累加固端、分配和传递得结果。9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架第27页/共50页6 m6 m12 m25 kN/m12 m0123400 kNEIEIEI21444) 1 (1010iiiSS21444) 1 (1212iiiSS74

14、344)2(2121iiiSS73343)2(2323iiiSS 例：用力矩分配法计算图示的三跨连续梁的内力。EI=常数 解: (1) 首先引用刚臂将两个刚结点1、2固定。(2)计算结点1、2处各杆端的分配系数。 结点1的分配系数为结点2的分配系数为9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架第28页/共50页mkN 300121225122201qlMFmkN 300121225122210qlMFmkN 600812400812FlMFmkN 600812400821FlMF03223FFMMmkN 300600)(300F12F10u1MMM(3) 计算固端弯矩(4) 计算结点的不平衡力矩

15、结点1的不平衡力矩为结点2的不平衡力矩为12 m25 kN/m400 kNEIEIEI21036 m12 m6 mmkN 600MMF23F212uM (5) 按轮流放松结点，进行弯矩分配与传递。9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架第29页/共50页1/2 1/24/7 3/72310-600-300-193+300+60000+150 +150-386 -2890+75+96.5+96.5+48.2+75+48.2-27.5 -20.7-13.8+6.9+6.9+3.4+3.4-1.5-1+0.5-1.9+0.5+0.2+0.2-0.1-0.1+553.9-553.9+311.3-31

16、1.3-173.20固 端 弯 矩MF结 点 1分 配 传 递结 点 2分 配 传 递结 点 1分 配 传 递结 点 2分 配 传 递结 点 1分 配 传 递结 点 2分 配 传 递结 点 2分 配 传 递结 点 1分 配 传 递最 后 弯 矩1/2 1/24/73/7固端弯矩MF -300+300 -600+60000结点分配传递结点分配传递结点分配传递结点分配传递结点分配传递结点分配传递结点分配传递结点分配传递最后弯矩+150 +150+75+75-386 -2890-193+96.5 +96.5+48.2+48.2-27.5 -20.7-13.8+6.9 +6.9+3.4+3.4-1.9

17、 -1.5-1.0+0.5 +0.5+0.2+0.2-0.1 -0.1-173.2+553.9 -553.9 +311.3 -311.309-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架第30页/共50页 (6) 计算杆端最后弯矩最后，将各杆端的固端弯矩和历次所得到的分配弯矩和传递弯矩总和加起来，便得到各杆端的最后弯矩，根据各杆杆端的最后弯矩作弯矩图(略)。本节叙述的方法同样可适用于无结点线位移的刚架。9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架第31页/共50页例： 用力矩分配法做图示结构的弯矩图。各杆EI=常数。4kN/m4m6m6kN/m8m6kN/m6m4kN/mBD 此结构有两个对称轴，根据

18、对称轴处的变形情况可简化为取1/4结构进行计算。原结构杆件DB的弯矩可由静力平衡方程求出。 解:9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架第32页/共50页6 m4 m2 m6 kN/mi=31.511DACi=i=4 . 05 . 7335 . 13333111111111iiiissscADDCADDDS2 . 05 . 7/5 . 111111sssCADAAS0.43/7.511CsssCADCS1111, 1, 0111CADCCCmkN 2786682F/21qlMD1. 计算结点“1”的分配系数 令EI=6 传递系数2. 求固端弯矩mkNF324363221qlMAmkNF164

19、666221qlMA9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架第33页/共50页 4. 将固端弯矩和分配弯矩、传递弯矩的结果相加得最后弯矩，根据各杆杆端的最后弯矩利用叠加法作出刚架的弯矩图。-17-21+27+20.4+29-32+1-31+2-20.40.2-1-160D1C1ADAC0+2(kN m )8313129172M291728312931293. 进行分配、传递 9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架第34页/共50页 (1) 思路一致。力矩分配法和位移法的思路是一致的，即都是先固定结点，只考虑除变形外的其他因素，然后再令结构发生变形，使结构达到最后的变形状态。 (2)实现最

20、后的内力和变形状态的方法不同。位移法的最后变形状态是一次性完成的，内力是由广义荷载和变形各自作用的结果相叠加来实现的；力矩分配法则是经循环运算、逐步修正，将各结点反复轮流地固定、放松，才使各结点的不平衡力矩逐渐趋近于零，杆端力矩也就逐步修正到精确值。力矩分配法与位移法的比较9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架第35页/共50页A(a)FBCFal/2ll/2FaMB(b)1M2M=FaF8FM （2）结点有外力偶的结构。当结点上有外力偶时，为正确计算该处不平衡力矩，宜取该结点为隔离体，画出集中力偶和固端弯矩的实际方向，则由结点的力矩平衡方程求出不平衡力矩，不平衡弯矩以逆时针旋转为正。几种

21、情形下约束力矩的计算 （1）带悬臂的结构。求图a 所示连续梁结点B 的不平衡力矩，可将悬臂端的F 等效平移到支座C上（图b），杆BC 的C 端弯矩为M，B 端的传递弯矩为M/2，得B 端的约束力矩MB=Fl/8+M/2。9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架第36页/共50页 例：求图a所示连续梁结点B的不平衡力矩。163122FlqlMMB解：由图b可得结点B的不平衡力矩为ll/2l/2(a)qACBMF12ql2MBM316 FlMB(b) Fl1632ql129-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架第37页/共50页本章作业：9-1， 9-49-6，9-7第38页/共50页一、力矩

22、分配法的基本思路 力矩分配法适用于连续梁和无结点线位移的刚架。力矩分配法与位移法的基本理论是一致的，即认为结构最后的内力状态是由荷载单独作用（此时不考虑结点位移，即把结点位移约束住）和结点位移单独作用下 （放松约束，使结构产生变形）产生的内力相叠加的结果。 但二者的不同之处在于用位移法计算时，我们把结构的最后变形看作是由初始状态一次性完成的；力矩分配法则是每次只完成一部分变形，经过几次循环之后才逐渐达到最后的变形值，因而结构在总变形下产生的总内力也应当是由这几次变形各自产生的内力相叠加。 本章总结第39页/共50页例：图示结构中各杆EI 相同，求分配系数BA 。 BCAD3m4m4m解：43E

23、ISBD54EISBA0BCS3116BA注意：本题需正确求解SBC 。，所以本章总结第40页/共50页A(a)FBCFal/2ll/2FaMB(b)1M2M=FaF8FM （2）结点有外力偶的结构。当结点上有外力偶时，为正确计算该处不平衡力矩，宜取该结点为隔离体，画出集中力偶和固端弯矩的实际方向，则由结点的力矩平衡方程求出不平衡力矩，不平衡弯矩以逆时针旋转为正。1. 几种情形下约束力矩的计算 （1）带悬臂的结构。求图a 所示连续梁结点B 的不平衡力矩，可将悬臂端的F 等效平移到支座C上（图b），杆BC 的C 端弯矩为M，B 端的传递弯矩为M/2，得B 端的约束力矩MB=Fl/8+M/2。本章

24、总结第41页/共50页 例：求图a所示连续梁结点B的不平衡力矩。163122FlqlMMB解：由图b可得结点B的不平衡力矩为ll/2l/2(a)qACBMF12ql2MBM316 FlMB(b) Fl1632ql12本章总结第42页/共50页（3）支座沉降 例：求图a所示连续梁有支座沉降时，结点C 的约束力矩。 =13DCEIl3l22BEI(a)A36CMEI33l22l22(b)EI23322236lEIlEIMC解：本章总结第43页/共50页 (1) 思路一致。力矩分配法和位移法的思路是一致的，即都是先固定结点，只考虑除变形外的其他因素，然后再令结构发生变形，使结构达到最后的变形状态。

25、(2)实现最后的内力和变形状态的方法不同。位移法的最后变形状态是一次性完成的，内力是由广义荷载和变形各自作用的结果相叠加来实现的；力矩分配法则是经循环运算、逐步修正，将各结点反复轮流地固定、放松，才使各结点的不平衡力矩逐渐趋近于零，杆端力矩也就逐步修正到精确值。二、力矩分配法与位移法的比较本章总结第44页/共50页例：已知各杆EI=常数，作图a 所示结构的M图。EFDABC(a)3m6m3m3m10kN/m5kN3m(b)1266243015M 图(kN.m) 解: ABCD为静定部分，先求出该部分M 图，再把MAB反作用于基本部分EABF，用位移法或力矩分配法求解，答案见图b。本章总结第45

26、页/共50页 例：写出图a 所示结构的解题方法（用计算简图表示，并作简要说明）。(a)FHGEIDCBAqllllll 解：易知，CIE为静定的附属部分，取CIE为隔离体，即可求出E、C的支座反力。再将支座反力分别反作用于两个基本部分（如图b、c）。2ql/CqlDBAl(b)2(c)ql/ql本章总结第46页/共50页2ql/CqlDBAl(b)2(c)ql/ql 由于图b、c中竖向反力ql不产生弯矩，故可不考虑。再分别将图b、c取半结构，如图d、e所示，二者均极易求解（图d用力法，只有一个未知量，而图e为静定结构）。ql/(d)(e)44ql/ql/(d)(e)44ql/本章总结第47页/共50页 例：用力矩分配法计算图a所示刚架，作M图。EI =常数。EABCDM36.51137.54058.522404m4m10kN4m12kN/m(a)12kN/m10kN40kN.m图(kN.m)(b)(c) 解：先直接画出CD部分的弯矩图，再将图a化成图b，用力矩分配法极易求出M 图（图c）。本章总结第48页/共50页三、思考题提示: 单结点结构的力矩分配法计算结果是精确的。 力矩分配法是以位移法为基础的渐近法， 这种计算 方法是否只能获得近似解？本章总结第49页/共50页感谢您的观看。第50页/共50页