曲面积分习题课PPT课件

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1、一、对面积的曲面积分的计算法一、对面积的曲面积分的计算法:;1),(,22dxdyzzyxzyxfxyDyx dSzyxf),(),(:. 1yxzz 若曲面若曲面则按照曲面的不同情况分为以下三种： 1),(,22dxdzyyzzxyxfxzDzx dSzyxf),(则 1,),(22dydzxxzyzyxfyzDzy dSzyxf),(),(. 3zyxx ：若曲面若曲面则),(. 2zxyy ：若曲面若曲面计算方法：一投、二代、三换计算方法：一投、二代、三换第1页/共52页说明：（1）这里积分曲面的方程必须是单值显函数，否则可利用可加性，分块计算，结果相加（2）把曲面投影到哪一个坐标面，取

2、决于曲面方程即方程的表达形式（3）将曲面的方程代入被积函数的目的和意义是把被积函数化为二元函数（4）切记任何时候都要换面积微元.第2页/共52页yxz3424: )21(30 , 20 :xyxDxy dxdyzzdSyx221 dxdy361 dxdydSyxzxyD3614)342( 解 6143614 dxdyxyD例例1xyzo234第3页/共52页例例2 2解解dxdyzzdSyx221 dxdy2)1(01 ,2dxdy dSzyx)(故故 xyDdxdyyyx)5(2第4页/共52页 dSzyx)(故故 xyDdxdyyyx)5(2 xyDdxdyx)5(2rdrrd 5020)

3、cos5(2.2125 fx, y,z dS的计算步骤的计算步骤: :1 1. .写写出出曲曲面面的的显显式式方方程程, ,确确定定投投影影坐坐标标面面, , 求求出出投投影影区区域域. .2.2.求出的表达式求出的表达式dS3.3.计算二重积分.计算二重积分.2522 yx第5页/共52页3 2 1 例例3：解：解：4321 , 0:1 x, 0:2 y, 0:3 z, 1:4 zyxyxz 1xyxDxy 10 , 10:dxdydxdyzzdSyx3)()(122 xyzdS13xyD=xy- x- ydxdy xdyyxxydx1010)1(3.1203 ,xyzdS 计算曲面积分计算

4、曲面积分1, 0, 0, 0: zyxzyx及及.所围立体的表面所围立体的表面xozy1114 说明：说明：当当S只取平只取平面面x+y+z=1时时,即为即为P.282 习题习题1(4).第6页/共52页222:yxz dxdyzzdSyx221 解 将 分解为12 其中D2 x2 y2 1 dxdydxdyyxyyxx21222222 1 z 1 D1 x2 y2 1 dS dxdy 例例4 (P.282 习题习题1 (2):xyzoD1 2 第7页/共52页dxdyyxD)(221 20103drrd 201032drrd 221222 dSyxdSyxdSyx)()()(22222221

5、 dxdyyxD)(2222 第8页/共52页利用对称性计算对面积的曲面积分D,fx, y,zI =f(x, y,z)dS设在闭区域 上连续设在闭区域 上连续11.0,0,x =x若曲面关于对称 是的 的部分若曲面关于对称 是的 的部分则则=,f -x, y,z-fx, y,z(1)(1)当时当时. 0 If -x, y,z = fx, y,z,(2)(2)当时当时21I =fx, y d. 00 y =z =, fyz若曲面关于或对称关于或有若曲面关于或对称关于或有奇偶性时,有类似的结论。奇偶性时,有类似的结论。第9页/共52页22 抛抛物物面面关关于于面面对对称称，z = x + yxoz

6、, yoz解解依对称性知：有有 14成立成立，(1 为为第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面)xyz其其中中1| ),(22 yxyxDxy, 0, 0 yx第10页/共52页原式原式dSxyz |dSxyz 14dxdyyxyxxyxyD2222)2()2(1)(4 利用极坐标利用极坐标 trxcos , trysin ,rdrrrttrdt 102222041sincos4 drrrtdt21050412sin22 令令241ru duuu251)41(41 .42015125 dxdyzzdSyx221 dxdyyx22)2()2(1 第11页/共52页,:22yxz dxdyzzdSyx2

7、21 dxdyyxyxxydSzxyzxyxyD)(2)(22 dxdyyxyyxx2222221 解Dxy x2 y2 2ax dxdy2 例例6oxya2-2-1012x-2-1012y00.511.52z-2-1012x第12页/共52页 cos202222)sin(coscossin2ardrrrd da)cossincoscos(sin24422554 421564a dxdyyxxxyD222 dxdyyxyxxydSzxyzxyxyD)(2)(22 或或 cos20222cos2ardrrd421564a oxya2第13页/共52页二二、 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分决定了

8、决定了侧的曲面称为侧的曲面称为有向有向曲面曲面. .时时0cos 时时0cos ，曲面取，曲面取 下下 侧侧，曲面取，曲面取 上上 侧侧时时0cos 时时0cos ，曲面取，曲面取 左左 侧侧，曲面取，曲面取 右右 侧侧时时0cos 时时0cos ，曲面取，曲面取 后后 侧侧，曲面取，曲面取 前前 侧侧曲面曲面法向量的法向量的指向指向决定了曲面的决定了曲面的侧侧. .),( :yxzz ),( :zxyy ),( :zyxx 第14页/共52页 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(则有则有给出给出由由如果如果,),(zyxx yzDdydzzyzyxPdydzzyxP,),

9、(),(则有则有给出给出由由如果如果,),(xzyy zxDdzdxzxzyxQdzdxzyxQ),(,),(注意注意: :对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分, ,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧. .“一投一投, ,二代二代, ,三定号三定号”方法一：定义法方法一：定义法),( :yxzz 则有给出, ,由如果 第15页/共52页 (y z) Dyz (y z)|0 y 1 0 z 3 故 (1). 在xOy面的投影为零 故解0 zdxdy21yx dydzyxdyzyzD21 (2) 可表示为xzyo131 301021dyydz 10213dyy3=.4第16页/共52页21xy

10、dzdxxydzdxzxD21 30101022131dxxdxxdz (3) 可表示为：(z x) Dzx (z x)|0 z 3 0 x 1 故xzyo1213=.43=.2ydzdxxdydzzdxdy 所以第17页/共52页方法二：方法二：利用两类曲面积分之间的联系：利用两类曲面积分之间的联系：()Pdydz+Qdzdx+ Rdxdy =Pcos+Qcos+ Rcos dS方法三：方法三：将对三个坐标面的积分转化到一将对三个坐标面的积分转化到一个坐标面个坐标面.z = z x, y如如果果曲曲面面由由方方程程给给出出，当当取取上上侧侧说说明明：时时，有有：2222222211111 y

11、xxyxyxyxy-z-zcos =, cos=,+ z+ z+ z+ zcos =, dS =+ z+ z+ z+ z第18页/共52页R(x, y,z)dxdy =R(x, y,z)cosdSR x, y,z dydz =R x, y,z cosdSR x, y,z dzdx =R x, y,z cos dS=1xx-zdydzcosdS=dydz = -z dxdy.dxdycosdS从而从而=1yy-zdzdxcos dS=dzdx = -z dxdy.dxdycosdSxydydz = -z dxdy, dzdx = -z dxdy所以所以第19页/共52页Pdydz+Qdzdx+

12、Rdxdy=(Pcos+Qcos+ Rcos)dSxy=-z P - z Q+ R dxdy.方法：这就把三个坐标的积分转化为一个坐标面上的积分.xydydz = -z dxdy, dzdx = -z dxdy代入下式代入下式第20页/共52页设空间闭区域设空间闭区域 由分片光滑的由分片光滑的闭曲面闭曲面围成围成, ,函函数数),(zyxP、),(zyxQ、),(zyxR在在 上具有上具有一阶一阶 连续偏导数连续偏导数, , 则有公式：则有公式： RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)( 方法四：高方法四：高 斯斯 公公 式式dSRQPdvzRyQxP)coscoscos()( 或或

13、这里这里 是是 的整个边界曲面的的整个边界曲面的外侧外侧，,cos ,cos cos是是 上点上点),(zyx处的法向量的方向余弦处的法向量的方向余弦. . 第21页/共52页使用使用Guass公式时应注意公式时应注意:1.1.RQP,是对什么变量求偏导数是对什么变量求偏导数; ;2.2.是否满足高斯公式的条件是否满足高斯公式的条件; ;3.3.是取闭曲面的外侧是取闭曲面的外侧. .Gauss公式的实质：公式的实质： 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系曲面上的曲面积分之间的关系. .Gauss公式的实质：公式的实质： 表达了空间闭

14、区域上的三重积分与其边界表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系曲面上的曲面积分之间的关系. .第22页/共52页对坐标的曲面积分的计算方法对坐标的曲面积分的计算方法 =Pdydz+Qdzdx+ Rdxdy 0PQR+xyz定义法或闭合0PQR+xyz闭合()PQRdvxyz补加曲面使得闭合利用高斯公式或用公式(coscoscos )PQRdS两类曲面积分之间的关系xy-z P - z Q+ R dxdy.z = z x, y第23页/共52页zyxo练习练习:P.296 题题1(5) ,ddddddyxzxzyzyx其中其中 为半球面为半球面222yxRz的上侧的上侧.

15、且取下侧且取下侧 , 提示提示: 以半球底面以半球底面0原式原式 =3323R032R0zyxddd30ddddddyxzxzyzyx记半球域为记半球域为 ,高斯公式有高斯公式有计算计算为辅助面为辅助面, 利用利用第24页/共52页例例 8. 求求dxdyyxdzdxxzdydzzy)()()(222 其中其中 为锥面为锥面22yxz (0 z h) 的外侧的外侧 0 zRyQxPdxdyyxdzdxxzdydzzy)()()(2221 P y2 z Q z2 x R x2 y 设 1为z h(x2 y2 h2)的上侧 解0)( dvzRyQxP 为由 与 1所围成的空间区域 则由高斯公式xy

16、zoh 第25页/共52页dxdyyxdzdxxzdydzzy)()()(2221 2224004hd(r cosr sin)dhdxdyyxdzdxxzdydzzy)()()(222 dxdyyx)(21 44h 从而11第26页/共52页例例 9 9. .计算计算zdxdydydzxz )(2, ,其中是旋转抛物面其中是旋转抛物面)(2122yxz 介于平面介于平面0 z及及2 z之间的部分的下侧之间的部分的下侧. . 解解 2222111xcos,xycos.xy22z + x dydz - zdxdy=z + x cos - zcos dS利用两类曲面积分之间的联系第27页/共52页

17、xyDdxdyyxx)(21222 2022220)21cos(rdrrrd.8 221其中是面积元素.其中是面积元素.dSxy dxdy,dxdyxoy222221142xyDxyx xxydxdy222222211421dSxyx xxyxy dSzxzcoscos)(2 原式原式第28页/共52页2zx dydzzdxdy2zxxz dxdy 222222142xyDxxyxxydxdy22212xyDxxydxdy 2022220)21cos(rdrrrd.8 方法二：)(2122yxz xy=-z P - z Q+ R dxdy.第29页/共52页所截部分的外侧所截部分的外侧被平面被

18、平面锥面锥面为为其中其中计算计算2, 1,222 zzyxzdxdyzxdzdxydydzI例例10解解xy2222xyz =, z =x + yx + yD 2Iydydzxdzdxz dxdyxy-z P - z Q+ R dxdy. dxdyz2 21220rdrrd.215 xyDdxdyyx)(2241:22 yxDxy第30页/共52页D 1 2 解：补上解：补上 方向如图方向如图 1 2 zdv221 21 2dzdxdyzzD 212 2dzzz 215 方法二方法二 12dxdyzxdzdxydydz 12dxdyz 121 Ddxdy 第31页/共52页 1 2 22dxd

19、yzxdzdxydydz 22dxdyz 222Ddxdy 16 21215 I 215 第32页/共52页xyzo1111234 1 x 0 Dyz 0 y 1 0 z 1 y 2 y 0 Dzx 0 z 1 0 x 1 z 3 z 0 Dxy 0 x 1 0 y 1 x 4 z 1 x y Dxy 0 x 1 0 y 1 x 其中解 4321xzdxdyxzdxdy4000 dxdyyxxxyD)1( 1010241)1(xdyyxxdx第33页/共52页241 yzdzdxxydydz 812413yzdzdxxydydzxzdxdy 由积分变元的轮换对称性可知:xyzo111第34页/

20、共52页 yzdzdxxydydzxzdxdyyzdzdxxydydzxzdxdy 4dSxzyzxy)coscoscos(4 81)1)(3 dxdyyxyxxyxyD1 12 23 34 4 其中其中 1 1、 2 2、 3 3是位于坐标是位于坐标面上的三块面上的三块 解二： 4 z 1 x y Dxy 0 x 1 0 y 1 x 显然在显然在 1 1、 2 2、 3 3上的曲面积分均为零上的曲面积分均为零 xyzo111第35页/共52页 1y1yI =x dydz+fydzdx+f+ zdxdy.zzyzf uxy + z - x =x + y + z = ,x + y + z =33

21、3222222222014例例12.12.计计算算: :其其中中一一阶阶连连续续可可导导, , 为为的的锥锥面面与与球球面面所所围围立立体体表表面面得得外外侧侧. . 222240013=ddr r sindr 解：由高斯公式得：解：由高斯公式得：2222111333 原式原式yyy=x +f+y +f-+ zdvzzzyzz222333=x +y + z dv第36页/共52页222240013=ddrr sindr 222333=x +y + z dv93=2-2 .532405116|5= -cos |r第37页/共52页2 计算计算其中为连续函数, 其中为连续函数, 为平面1在第四卦限

22、部分的上侧为平面1在第四卦限部分的上侧I =fx, y,z + x dydz+fx, y,z + ydzdx+fx, y,z + z dxdy,fx, y,zx - y+ z =例例13xyoz111 解解利用两类曲面积分之间的关系,1 , 1, 1 n的法向量为的法向量为.31cos,31cos,31cos dSzzyxfyzyxfxzyxfI),(31),(231),(31 第38页/共52页 dSzyx)(31 xyDdxdy3131.21 xyoz111 dSzzyxfyzyxfxzyxfI),(31),(231),(31 第39页/共52页三三、 斯托克斯公式斯托克斯公式 定理定理1

23、. 设光滑曲面设光滑曲面 的边界的边界 是分段光滑曲线是分段光滑曲线, RQPRQPd yd zd zd xd xd yyzzxxy Pd xQd yRd z(斯托克斯公式斯托克斯公式)个空间域内具有连续一阶偏导数个空间域内具有连续一阶偏导数, 的的侧与侧与 的正向符合的正向符合右手法则右手法则, RQP,在包含在包含 在内的一在内的一则有则有简介 xyzd yd zd zd xd xd yPQRSRQPzyxdcoscoscos第40页/共52页zxy111Oyxzyxxzzyzyxdddddd例例18. 利用斯托克斯公式计算积利用斯托克斯公式计算积分分zyyxxzddd其中 为平面 x+

24、y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整解解: 记三角形域为 , 取上侧,则个边界, 方向如图所示. zyyxxzdddyxxzzydddddd利用对称性利用对称性yxDyxdd323yxD第41页/共52页z2xyO例例19. 为柱为柱面面与平面 y = z 的交线, 从 z 轴正向看为顺时针, .ddd2zxzyxyxyI解解: 设 为平面 z = y 上被 所围椭圆域 ,且取下侧,0cos利用斯托克斯公式得SIdSzyd)(210则其法线方向余弦,21cos21coscoscoscoszyxzxyxy2yyx222计算第42页/共52页zRyQxPudddd四、空间曲线积分与路径无关的

25、条件四、空间曲线积分与路径无关的条件定理定理2. 设 G 是空间一维单连通域, 内在函数GRQP,具有连续一阶偏导数,则下列四个条件相互等价: (1) 对G内任一分段光滑闭曲线 , 有0dddzRyQxP(2) 对G内任一分段光滑曲线 , zRyQxPddd与路径无关(3) 在G内存在某一函数 u, 使(4) 在G内处处有zPxRyRzQxQyP,第43页/共52页zyxyxzxzyd)(d)(d)(与路径无关, zyxyxzxzyzyxuzyxd)(d)(d)(),(),()0 , 0 , 0(解解: 令yxRxzQzyP,1xQyP,1yRzQ1RPxz 积分与路径无关,),(zyxuzy

26、xxy)( yxyd0zyxzd)(0zxyzxyxzyO),(zyx)0 ,(yx)0 , 0 ,(xxxd00因此例例20. 验证曲线积验证曲线积分分并求函数第44页/共52页例例16. 计算曲面积分计算曲面积分yxrzxzryzyrxIdddddd333其中,222zyxr.:2222取外侧Rzyx解解:yxzxzyzyxRIdddddd13zyxRddd3134思考思考: 本题本题 改为椭球面改为椭球面1222222czbyax时时, 应如何应如何计算计算 ?提示提示: 在椭球面内作辅助小球面在椭球面内作辅助小球面取2222zyx内侧内侧, 然后用高斯公式然后用高斯公式 .第45页/共

27、52页2222221xyz+=abc32222xdydz+ ydzdx+ zdxdyI =x + y + z ,332222222232222xyP =, Q,x + y + zx + y + zz R =x + y + z0PQR+=xyz 解解0 作以原点为中心,为半径的小球面, 充分作以原点为中心,为半径的小球面, 充分小使得位于 所围的椭球内,记 与所围成的区小使得位于 所围的椭球内,记 与所围成的区域为,取的(即小球的外法线),在上域为,取的(即小球的外法线),在上用高斯用高斯内法线内法线公式得：公式得：第46页/共52页32222xdydz+ ydzdx+zdxdyI =x + y

28、 +z 所所以以 xyz22222222232222x+ y+ zx + y + zx + y + zx + y + zdSx + y + z 322220.=xdydz+ ydzdx+ zdxdyPQRdvxyzx + y + z 32222xcos+ ycos+ zcosdSx + y + z 1222dSx + y + z 22144 .21dS 第47页/共52页xyzoh 解解 空间曲面在 面上的投影域为xoyxyD)(:2221hyxhz 补充补充曲面 不是封闭曲面, 为利用高斯公式第48页/共52页取上侧，取上侧，1 xyDxyzoh 1 构成封闭曲面，构成封闭曲面，1 .1 围

29、成空间区域围成空间区域,上使用高斯公式上使用高斯公式在在 1)coscoscos(222dSzyx , 0)(dvyx根据对称性可知 dvzyx)(222221+x cos+ y cos+ z cos dS=zdv hrhzdzrdrd0202 .214h 第49页/共52页 1)coscoscos(222dSzyx xyDdxdyh2.4h 故所求积分为 dSzyx)coscoscos(222 421h 4h .214h 12dSz 1法向量为0,0,10,0,1第50页/共52页练习练习 (P.296 7).证明证明: 设(常向量常向量)则单外法向向量, 试证Sdcoscoscoscoscoscos0vzyxd)cos()cos()cos(zyddcosxzddcosyxddcos设 为简单闭曲面, a 为任意固定向量, n 为的 . 0d)cos(Sa,nSa ,nd)cos(Sand0)cos,cos,(cos0a)cos,cos,(cosn第51页/共52页感谢您的观看。第52页/共52页