资本资产定价理论金融工程人民大学林清泉实用教案

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1、会计学1资本资产定价理论金融资本资产定价理论金融(jnrng)工程人民工程人民大学林清泉大学林清泉第一页，共30页。一、存在无风险资产金融市场的证券组合(zh)选择设 金融市场上有一种无风险证券，其收益率为R0， n种有风险资产（即有n种股票可以投资）， 投资的收益仍然用 表示， nxxx21,21),(nxxxx21),(nEx( )()()Var xE xEx xEx0Rini, 2 , 1式中 表示(biosh)矩阵的转置 第1页/共30页第二页，共30页。设投资(tu z)组合为 ),(),(010n若给定(i dn)收益为a，则 00) 1(RaR风险资产(zchn)组合的方差为：

2、)(Var0为在无风险证券上的投资份额。 其中第2页/共30页第三页，共30页。 投资者所要求的最优资产组合仍然必须满足下面(xi mian)两个条件之一： 在预期收益(shuy)水平确定的情况下,即 00) 1(RaR求 风险达到最小，即 )(Var 在风险(fngxin)水平确定的情况下，即 0)(Var求 使收益最大，即 ) 1(00RR达到最大。第3页/共30页第四页，共30页。将条件用数学(shxu)语言表达出来是：21min00) 1(RaR满足(mnz)约束条件 22*0200()(2)aaRCR BR A（由此得到的证券组合(zh)的方差：第4页/共30页第五页，共30页。 在

3、 平面上,上式可以表示为两条直线。显然向下倾斜的那条直线是无效的因为理性的投资者不可能选择同等风险条件下收益较小的组合。 ( ,)a上式可写成直线(zhxin)：ARBRCRa20002由于在这个条件下，最小方差的证券组合是存在的。 因而，反过来，如果 满足上式,则它对应的证券组合就是最小方差证券组合.( ,)a 这表示,如果金融市场存在无风险资产,且在证券组合 投资收益为a的条件下，若风险最小的投资组合的风险 为 ，则（a， ） 满足方程,直线如图所：第5页/共30页第六页，共30页。二、资本(zbn)市场线 在给定(i dn)了投资目标、证券组合的收益，我们讨论了寻找的最小方差的证券组合，

4、其方差及证券组合的收益必须满足一直线方程。 引入下面(xi mian)的定义： 定义5.1 称 )()(0aRa为夏普比(Sharpe Ratio),记为S. R.第6页/共30页第七页，共30页。如图所示,沿着双曲线上点不断上升,这个数值也越来越大，这表明投资者承担单位风险时获得的收益越大.容易看出在过点（0，R0）的直线与有效前沿相切时，夏普比 )()(0aRa达到最大值。第7页/共30页第八页，共30页。 理性的投资者必然会选择单位风险回报最大的投资 组合。所以理性人选择投资时，一部分投放在无风险债券(zhiqun)上（回报为R0），一部分投放在过点的（0，R0）的直线与有效前沿曲线相切

5、点所代表的资产组合。也就是在市场线上选择的投资组合是最佳的（在这条直线上每一点的斜率都一样。而与（0，R0），点和有效前沿曲线上任何点的连线的斜率相比，它的斜率最大，即夏普比最大）。 下面(xi mian)将说明直线 ARBRCRa20002就是(jish)与有效前沿相切并过点的（0，R0） 的直线。第8页/共30页第九页，共30页。命题5.1 ),(tta在直线 ARBRCRa20002上 命题5.2 ),(tta满足 AABaA1)(22即证券组合 t是给定收益为 ta，满足 a 的最小方差投资证券(zhngqun)组合 （说明该投资组合在有效前沿上）。 第9页/共30页第十页，共30页。

6、命题5.3 直线 与有效前沿 相切于点 ARBRCRa20002),(tta由于资本市场线同时过点 和 ), 0(0R),(tta因此其方程(fngchng)又可表示为：ttRaRa00在点 表示投资者将全部资金投资于无风险资产； ), 0(0R点 表示投资者将全部资金投资于风险资产组合；),(tta点 和 点之间的线段表示投资者在无风险资产和资产之间进行了适当的资金配置； ), 0(0R),(tta第10页/共30页第十一页，共30页。三、市场(shchng)组合我们称包含市场上所有风险资产的组合为市场组合，点 就是这样的市场组合， 用M来表示，相应地市场组合的期望收益和方差为 和 ，从而式

7、 可以改写为：),(ttaMaMttRaRa00MMRaRa00第11页/共30页第十二页，共30页。 四、证券市场(zhn qun sh chn)线t两者的协方差：风险资产组合x而言，它与 点相对应的证券组合 ),(tta)(),(xExExxExxCovttttExxExxE)(t第12页/共30页第十三页，共30页。100(1)( ,)()tRCov xxBAR 00AR-B) 1(R五、对证券市场(zhn qun sh chn)线的进一步说明（一）对于任意的风险(fngxin)资产xi)(00RaRMMii根据 式，我们可以得到：)(100RaRMM第13页/共30页第十四页，共30页

8、。威廉夏普将 0RaM看作投资者承担的风险,市场给予的报酬. ixMi代表风险资产 的风险大小，从而 Mi0()MaRix可以看作是风险资产 的风险溢价。值得注意的是，衡量风险的标准并不是风险资产的方差， 而是 Mi第14页/共30页第十五页，共30页。 当 时，我们称风险资产xi为进攻性的。 即市场价格上涨时，它的价格上涨得更快。1Mi 当 时，我们称风险资产xi为防御性的。 即当市场价格下跌时，它的价格下跌得更慢。1Mi 当 时，我们称风险资产xi为中性的。 即它的价格与市场价格同步变化，而且变化幅度一致。1Mi 还有一个很有意思的性质，它正好是风险资产xi的一元线性回归方程的回归系数 M

9、i第15页/共30页第十六页，共30页。（二）对于任意一种投资(tu z)组合p设该投资(tu z)组合的投资(tu z)权重为： 12pppnp00(1()pppppMMExExRaR 第16页/共30页第十七页，共30页。也就是该组合中每种资产 值的加权平均。 1( ,)()niMppMpiiMCov xxVarx )(00RaRMp00()pMMRaR 式中第17页/共30页第十八页，共30页。六、对传统CAPM模型(mxng)的评价和改进 在20世纪70年代,威廉夏普和法码等人先后对非一致预期的CAPM模型进行了研究，并取得了一些成果,证明了风险资产价格一般均衡解的存在性。但是，他们发

10、现无法(wf)找到可以在一般均衡条件下对风险资产进行定价的显函数。 解决这一问题的途径是对投资者的效用函数加以一定的约束，使得风险和收益之间的边际(binj)替代率不再是财富的函数，从而避免了循环关系。在这种情况下，对非同质预期CAPM模型进行研究后得出的结论是：尽管投资者的预期各不相同，但是他们面临的有效前沿仍然是一样的，传统CAPM模型依然有效。（一）非同质预期CAPM模型第18页/共30页第十九页，共30页。（二）零贝塔(bi t)值的CAPM模型零贝塔值的CAPM模型释放的假设(jish)条件是： 存在无风险资产，投资者可以以无风险利率无限制地借入或者贷出资金。在这里，无风险资产被零贝

11、塔值的资产组合所代替。因为贝塔值为零，所以零贝塔值资产组合的收益与市场组合的收益无关。()izMiMzRaR (三)存在(cnzi)个人所得税的CAPM税收调整后的CAPM模型可以表示为：000(1)()iMiMMiRTRRT DRTD证券市场线方程为:第19页/共30页第二十页，共30页。（四）时际CAPM 时际CAPM所引入的不同假设有： 投资者可以连续不断地进行资产交易；投资者根据 经济状态变量（如通货膨胀率、利率等）随时调整消费 和投资组合决策，投资目标是使其终身消费期望效用最 大化；资本市场处于瞬时出清的状况。另外，投资者在 其生命期内的消费效用函数可以分解为当前消费效用函 数以及以

12、后各期的衍生(yn shn)效用函数，其中衍生(yn shn)效用函数定义在财富水平和用于描述未来投资和消费机会的状态变量集上。时际CAPM可表示为:第20页/共30页第二十一页，共30页。当存在着s个经济(jngj)状态变量，并且其风险可以由第 nsn, 1 种资产(zchn)完全冲抵时，我们可以得到(d do)多状态变量的CAPM模型，表示如下：)()(000aaaaaanniMMii001,100()()iMiMn sin sninaaaaaaaa ）第21页/共30页第二十二页，共30页。其中，ac表示消费(xiofi)的瞬时期望增长率。)var(),cov(CdCaCdCiCi)(0

13、0aaaaCCii 当最优消费流遵从扩散过程(guchng)时，根据伊藤引理，可以将多贝塔的CAPM简化为单贝塔的消费导向CAPM，表示为： （五）消费(xiofi)导向的CAPM第22页/共30页第二十三页，共30页。第二节 套利(to l)定价模型一、套利定价模型的分析(fnx)思路 套利定价模型与资本资产定价模型相同的假设有： 资本市场是完全竞争和有效的，不存在交易成本； 投资者的目标是实现期望效用最大化； 所有的投资者对于资产的收益分布具有一致的预 期。 但是与资本资产定价模型不同的是，套利定价模型 并不要求投资者能以无风险的利率借入和贷出资金， 也不要求投资者以资产组合(zh)的收益

14、和方差为基础进行 投资决策。套利定价模型最重要的一点是假设风险资 产的收益受到市场上几种不同风险因子的影响。 第23页/共30页第二十四页，共30页。 设 市场上风险资产的收益一共(ygng)受到k个风险因素的 影响，可表示如下： ikikiiiiFbFbFbERR2211用矩阵形式表示(biosh)就是：RERBF 上式还同时满足下列两个(lin )条件：01,2,iEincov( ,)0,1,2, ()iji jn ij 第24页/共30页第二十五页，共30页。 二、套利(to l)和套利(to l)定价模型 设xi为投资组合中资产的投资权重(qun zhn)，则由自融资 的 特点 (在整

15、个投资过程中不注资也不撤资)，我们可以得到： niix1010niilixb 零风险套利组合的期望收益(shuy)也将为零，用数学公式表示为：niiiERx10第25页/共30页第二十六页，共30页。因此存在常数 以及 使得：012(,)k 01ERB对于(duy)任意的风险资产i而言，ikkiiibbbER22110若存在无风险资产，令 表示某一资产对其他所有风险因子的敏感度均为零，而对第j个风险因子的敏感度为1时的期望收益率，则j0jjR第26页/共30页第二十七页，共30页。上式代入 ，得到：ikkiiibbbER22110式中的 可以解释为 ijb)var(),cov(jjiijRb三

16、、套利定价模型和资本(zbn)资产定价模型的比较 01012020()()()iiikikERRR bR bR b上式变化(binhu)为：0110()iiERRbR01012020()()()iiikikERRR bR bR b第27页/共30页第二十八页，共30页。 上式实际上就是CAPM模型的标准形式。也就是说，CAPM模型实际上是APT模型的一个(y )特例 。 APT模型与CAPM模型最大的区别(qbi)就在于前者采用的是无套利的分析方法，而后者采用的风险/收益分析方法。 与CAPM模型相比，APT模型是在更弱的假设条件下推导出的更为(n wi)一般的资本市场定价模型。 第28页/共30页第二十九页，共30页。 APT模型的主要局限性主要表现在两个方面： 首先，APT模型没有说明决定资产定价的风险因子的数目和类型，也没有说明各个因子风险溢价的符号和大小，这就使得模型在实际应用中有着一定的困难(kn nn)； 其次，由于APT模型中包含了残差风险，而残差风险只有在组合中存在大量的分散化资产时才能被忽略，因此APT模型实际上是一种极限意义上的资产定价理论，对于实际生活中资产数目有限的资产组合而言，其指导意义受到一定的限制。第29页/共30页第三十页，共30页。