高等几何对初等几何相关指导作用分析毕业论文

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1、高等几何对初等几何相关指导作用分析摘要高等几何是利用克莱因的变换群的观点定义的几何学，其能从更高的角度探索初等几何，对初等几何的相关证明、理论依据和命题的构造方面具有很好的指导作用。本文分析了高等几何对初等几何相关指导作用，阐明了其之间的相互关系，并利用高等几何的思想方法对初等几何命题进行变换，通过实例从高等几何在点线结合、交比、反射变换和射影变换方面对初等几何的指导作用进行了探究，并阐述了高等几何对初等几何的作用在现代中学数学教学中的意义。【关键词】 高等几何；初等几何；变换AbstractHigher geometry is the use of the transformation of

2、 the view of klein, the definition of geometry Angle from higher primary geometry, to explore the relevant proof, elementary geometry theory and structure of proposition has very good guidance. Based on the analysis of higher geometry elementary geometric related guidance, illustrates the relationsh

3、ip between higher geometry, and using the method of elementary geometry proposition to transform from higher geometry, through examples in point, line, combined with reflection and projective transform, to transform the guiding role of elementary geometry.【Keyword】 higher geometry；elementary geometr

4、y；transform前言初等几何是一种可测量的几何，比较直观、易懂，而高等几何较抽象、难理解. 但高等几何是初等几何的延深课程，二者之间有很深的渊源.高等几何作为一门几何课程，有着自身的特殊作用，高等几何知识与初等几何知识的沟通，为我们提供了解决初等几何的一些方法.学好高等几何，就能在更高层面上认识几何学的基本特性，研究方法，内在联系，可以认识到几何学的本质，深化和发展几何空间概念，以便更深入地驾驭和掌握初等几何的内涵和外延。特别是在对初等几何的教学方面，有着很好的促进作用。“高等几何”告诉我们在中学几何之外，还有广阔的几何学新天地。这不仅开拓了读者的眼界，而且有助于读者站在新的高度上，深入

5、理解中学几何教材，提高处理中学教材的能力。一、 相关知识简介1、 几何学：学过数学的人，都知道它有一门分科叫作“几何学”，然而却不一定知道“几何”这个名称是怎么来的。在我国古代，这门数学分科并不叫“几何”，而是叫作“形学”。“几何”二字，在中文里原先也不是一个数学专有名词，而是个虚词，意思是“多少”。比如三国时曹操那首著名的短歌行诗，有这么两句：“对酒当歌，人生几何？”这里的“几何”就是多少的意思。明末时期，杰出的科学家徐光启首先把“几何”一词作为数学的专业名词来使用。几何学的现代化则归功于克莱因、希尔伯特等人。克莱因在普吕克的影响下，应用群论的观点将几何变换视为特定不变量约束下的变换群。而希

6、尔比特为几何奠定了真正的科学的公理化基础。应该指出几何学的公理化，影响是极其深远的，它对整个数学的严密化具有极其重要的先导作用。它对数理逻辑学家的启发也是相当深刻的。2、 高等几何高等几何是高师院校数学专业的专业课程之一，主要包括射影几何与几何基础两部分内容。这是大学数学专业必修的一门课程，这门课程对学生毕业后从事中学几何教学有着非常重要的指导意义 。 高等几何着力于培养学生的思维能力和对其知识的衔接和运用。并通过学习，使学生了解运用近代公理法建立几何逻辑体系的基本思想，理解中学几何教材的逻辑结构；掌握射影几何的基本内容和研究方法，并了解一些几何基础内容。在中学教师的教学方面，能很好的加深学生

7、对中学初等几何和解析几何的理论与方法的理解，能用较高的观点处理初等几何教材；扩大学生的知识领域，为进一步学习其它后续课程打好基础，从而提高学生的逻辑推理能力与空间想象能力。3、 初等几何初等几何指可用坐标、向量、方程描述的几何问题，即初等代数描述的几何问题。初等几何在中学阶段的教学中处于一个很重要的位置，他是学生从代数到几何过度的第一次跳跃，更是学生从一般思维到抽象思维、逻辑思维的过度。成功掌握一门初等几何将对数学的学习过程起到很大的促进作用。但对于中学数学来说，初等几何这一块既是一个重点，更是一个难点，因为学生对初等几何的学习认识和理解运用程度将直接关系的学生的成绩、思维拓展、高中阶段乃至本

8、科阶段的学习。二、 高等几何对初等几何的指导作用探究1、 更加全面的认识初等几何我们知道初等几何是以欧氏几何为其学习内容的.用变换群的观点看，欧氏几何学就是研究正交变换下的图形不变性质和不变量的几何学.由于正交变换群是相似变换群的子群，相似变换群是仿射变换群的子群，而仿射变换群又是射影变换群的子群.因而所对应的几何学从研究的范围讲是:射影几何、仿射几何、相似度量几何、欧氏几何。而从研究的内容来看，欧氏几何研究的对象不仅包括度量性质和度量不变量，而且包括相似性质和相似不变量，仿射性质和仿射不变量，射影性质和射影不变量。即射影几何，仿射几何，相似度量几何，欧氏几何。我们了解了这些关系才能全面地正确

9、地掌握欧氏几何的内容，同时在研究欧氏几何许多具体问题时，我们才可以居高临下的看待这些问题.2、 为初等几何的部分内容提供了理论依据如立体几何直观图的画法、截面图的作法分别是以透视仿射对应性质及笛沙格定理的理论为依据的，著名的“九树十行”问题是以巴卜斯定理为基础的.还有些在中学难以讲透的问题在高等几何中得到彻底讲清楚，如:非退化二次曲线需每三点不共线的五点才能唯一确定，为什么圆只要不共线的三点就能确定，就是这样一个问题.九树十行问题：把九裸树栽成十行, 使得每行恰好有三裸树。巴布斯定理：（如图1）即中线定理，设三角形ABC的边BC的中点为P，则有图1笛沙格定理：如图2所示，,中，,三线交于一点O

10、，其充要条件是三点共线。图23、 简化初等几何的证明我们知道在高等几何中，经过适当的仿射变换，任意一个三角形(平行四边形、梯形、椭圆)可变为正三角形(正方形、等腰梯形、圆)，那么对有关仿射性质的一些命题，将命题中的一般图形用仿射变换变为特殊图形，如果所给命题在特殊图形中成立，则根据仿射变换保持同素性、结合性、平行性、共线三点的单比不变、封闭图形的面积之比不变等即可推出该命题在原图形中也成立.在证明一些共点或共线问题时，可以利用“投影到无穷远”的方法，把相交直线投影成平行直线，在投影后的图形中，容易证明共点或共线问题，再利用中心投影保持结合性不变的性质，使原命题得证。还有利用笛沙格定理及其逆定理

11、证明共线点和共点线的问题；利用交比证明有关圆的问题；利用调和比的性质证明有关平分线段、平分角以及比例线段的问题等等。4、 为初等几何构造新的命题许多初等几何的命题是以高等几何为背景的.掌握了高等几何相关知识并摸透它与初等几何知识之间的联系，就能构造出形式多样、内容丰富的初等几何新命题，如1978年全国中学数学竞赛第二试的第一题“四边形两组对边延长后分别相交，且交点的连线与四边形的一条对角线平行，证明:另一条对角线的延长线平分对边交点连成的线段”（具体证明详见例1）。此题就是以完全四点形的调和性质为背景的.三、 具体实例的应用与分析1、 完全四点形的调和性质在初等几何证明上的作用。完全四点形：平

12、面上无三点共线的四个点以及连结其中任意两点的六条直线所组成的图形称为完全四点形。性质1：完全四点形对应三点形的每一边上有一组调和共轭点, 其中两个点是对应点, 另外两个点是这条边与通过第三边点的一对对边的交点。性质2：在完全四点形的每一条边上有一组调和共轭点, 其中两个点是顶点, 另外一对对偶点里, 一个点是对边上的点, 另外一个点是这个边与对应三点形的边的交点。例1：（如图3）四边形两组对边延长后分别相交，且交点的连线与四边形的一条对角线平行，证明：另一条对角线的延长线平分对边交点连成的线段图3证明：设四边形ABCD的对边交点为E、F，并且BDEF，AC交BD于H，交EF于由于BDEF，所以

13、故例2:求证三角形三中线共点已知: （如图4）在中，分别为的中线,求证:共点。图4证明:设BE交CF 于O, AO 交BC 于, 由EFBC, EF 交BC 于无穷远点.在完全四点形AFOE 中, 根据调和性质( BC, ) =-1故为BC的中点, 故D和重合。亦即AD,BE,CF 共点.例3:求证三角形的三条外角平分线和对边相交,所得三点共线.已知:（如图5）中,C外角平分线交AB于E,A外角平分线BC交于F,B 外角平分线交AC于G,求证E, F, G 三点共线。图5证明:设P为内角平分线的交点,AB与, BC与, AC与分别交于根据德萨格定理, 共线。又C 外角平分线交AB于E,A 外角

14、平分线交BC 于F,B 外角平分线交AC 于G.有.在完全四点形 中,根据调和性质有 故E 和重合.同理F和重合, 和重合.所以三点共线.例4：利用完全四点形的调和性质证明初等几何问题已知：（如图6）ABC中，ADBC，H是AD上任意一点。连接BH，CH，分别交对边于E，F，求证：AD平分EDF。图6证明：延长AC，FD交于点G，由完全四点形BFHD的调和性质，可得：（A,C;E,Q）=-1又因为DA,C,E,FA,C,E,G所以（DA,DC,DE,DF）=-1因为ADBC,所以AD平方EDF成立。2、 高等几何的点线接合命题对初等几何的指导作用。例5：（世界闻名的初等几何命题）如图7，在中角

15、平分线交于点，.试证明是等腰三角形。图 7分析：众所周知，一个三角形，如果它是等腰三角形，那么它两个底角的角平分线相等。一个数学真命题的提出，人们往往喜欢追问它的逆命题的真伪，现在问：一个三角形，它有两个角的平分线相等，它是否是等腰三角形呢？回答是肯定的，但是要证明它却不那么简单，最好的方法是用反证法。证明： 是和的角平分线 ，即是等腰三角形。例6：试证三角形的三条中线共点。（如图8）图8代沙格定理：平面上有两个三角形ABC、DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。代沙格定理的逆定理：平面上有两个三角形ABC、DEF，设

16、它们的对应边（AB和DE、BC和EF、CA和FD）的交点共线，则其对应顶点的连线共点。分析：证明此题若用初等几何的方法来证是相当费力的，现在用高等几何的方法来证明，有更深的认识。证明：如图8，AD，BE，CF分别为ABC的三边BC，CA，AB 上的中线所以EFBC，DEAB，DFAC设，在ABC 与DEF 中，对应边的交点共线于无穷远直线，则由代沙格定理的逆定理可知，对应定点的连线AD，BE，CF 共点。例7：如图9所示，直线交ABC 的三边或其延长线于L，M，N，若直线AM，BN，CL 交成一个三角形PQR，求证：AQ，BR，CP 三直线共点。 图9 图证明：利用中心射影将L，M，N 所在的

17、直线投射到无穷远直线并作图9的对应图形是无穷远点， 四边形与都是平行四边形是的中点同理， 是的中点，是的中点即，是三边上的中线。且可知，它们必交于一点。由于中心射影同素性和接合性，故 交于一点S。中心射影：（如图10）设与是同一平面内两条不同的直线，是在此平面内不在与上的一点。设是上任意一点，连接交直线于，点称为点从投影到上的中心射影，称为投影线，称为投影中心，6两组等 ，（见图显然也叫做在上的中心射影。图103、 交比在初等几何当中的作用例8：求证：“一个角的两边与这个角的内外角平分线调和共扼”。6两组等 ，（见图6两组等 ，（见图6两组等 ，（见图6两组等 ，（见图6两组等 ，（见图6两组

18、等 ，（见图6两组等 ，（见图6两组等 ，（见图6两组等 ，（见图6两组等 ，（见图6两组等 ，（见图6两组等 ，（见图6两组等 ，（见图6两组等 ，（见图6两组等 ，（见图6两组等 ，（见图图11图证明：在图11中，顺次为的内外角平分线，作直线与平行，则。若交于，于是为等腰三角形，因此,令与的无穷远点为故(AB，T) =-1所以(ab,cd)=-1。图所示，d，c顺次为(a，b)的内外角平分线，直线与a,b,c, d 分别交于A,B ,T ,P .由于(ab,cd)=(AB,TP)，而BP=-PB，所以AT PB= BTAP，即。于是可得初等几何中的角平分线性质定理。角平分线性质定理:在中，

19、平分,交边于,则有有下列式子成立：例9：（蝴蝶定理）在图12中，过弦BC的中点A的任何两弦PQ、RS，设PS、RQ分别交BC于M、N。求证：AM=AN图12证明：连SB、SC、QB、QC，则S(BP,RC)=Q(BP,RC)，再由直线BC截这两组等交比的直线，则有（BM,AC）=(BA,NC).由此可知：由已知：BA=AC.得所以：又因为：所以：MA=AN总结：在上述论证中，应用了射影几何的交比方法，非常简便地解决了问题，而且计算交比的方法适用于所有的二阶曲线，这样就自然地将蝴蝶定理推广到椭圆、抛物线、双曲线上。综上所述，我们可以认识到高等几何对中学数学，特别是中学几何的教学具有重要的指导意义

20、和作用，特别对于即将从事中学数学教学的老师，不仅要懂中学数学，更要拓展视野，拓广思路，能应用高等几何原理去解决初等几何问题，这样才能更好地指导中学数学教学。4、 仿射几何对初等几何的相关指导作用因经适当的仿射变换，一个任意三角形可变成正三角形，一个任意平行四边形可变成正方形，一个椭圆可变成圆；同素性、平行性、共线三点的单比及封闭图形的面积比等都是仿射性质。所以在一个只涉及到几何图形的仿射性质的命题中，如果该命题在特殊图形中成立，此时可以采用将给定的一般图形用仿射变换变为特殊图形，在得出结论后又回到原图形的办法来完成命题的证明。例10：求证：“正方形ABCD的一组邻边上有两点，且EF/AC。则A

21、EB和CFB面积相等“（见图13）图13证明：将此命题作一仿射对应，若经仿射对应后的记号不变，使正方形ABCD对应平行四边形ABCD,E对应E,F 对应F。在正方形ABCD中(见图13)，显然有，由于两个多边形面积之比为仿射不变量，所以在平行四边形ABCD中，AED和CFD面积相等。于是可得另一命题“平行四边形ABCD的一组邻边上有E,F两点，且EF/AC，则AED和CFD面积相等”(见图13).例11：已知L、M、N分别为分ABC的三边AB、BC及CA成相同比例的两个线段的三等分点，求证：ABC和LMN有相同的重心。图14证明：经适当仿射变换将三角形ABC变成正三角形 (图14)。设三角形的

22、重心为、分别为L、M、N在仿射变换下的象。因反射变换保持分一线段成两线段的比不变，容易证明是正三角形,因此是的重心，即和有相同的重心，又仿射变换保持三角形重心不变，故ABC和LMN重心相同。例12. 命题:“从圆上一点E作EP垂直于直径AB,P 为垂足，圆在E处的切线与在A,B处切线分别交于C,D，则AD,BC,EP共点，且EP被交点平分，(见图15)图15图证明：此命题显然为真，令AD,BC交于T，因为BDTACT，于是，又CE = CA, BD = DE，所以，从而ET/BD/CA。又,所以EP / BD/CA，即共点得证明。EP被交点平分容易证。作一仿射对应，若经仿射对应后的记号不变，于

23、是可得另一命题：“从椭圆上一点E作直径AB的共扼弦EP与AB交于P，圆在E处的切线分别与在A,B处的切线分别交于C,D ，则AD,BC,EP共点，且EP被交点平分。(见图)根据仿射性质，此命题亦为真。5、 射影几何对初等几何教学的指导作用例13：命题 :“三平行直线分别交两平行的直线得三平行四边形，这三平行四边形的对角线交点共线且所在直线平行于一组对边”(见图16)。图16图证明：此命题显然为真。在图中，设过点S的三直线分别交过点T的二直线两与于。作一中心射影，使直线ST成为无穷远直线，若各点在中心射影后的记号不变经过中心射后/; /;这样O,P,Q成为三平行四边形的对角线交点，故有O,P,Q

24、共线且所在直线与,平行，即O,P,Q与,的无穷远点共线，(见图16)。由于射影对应保持结合不变，所以中心射影前的四点T,O,P,Q也共线。于是可得另一命题共点三直线分别交共点两直线得三四边形这三四边形的对角线交点与相交两直线交点共线(见图),例14：命题:“已知BE/ CF,BC交BE,CF分别于B,C，圆与BE,BC,CF分别相切于E,D ,F ，BF交EC于T，DT/BE/CF”(见图17)。图17图证明：此命题显然为真，因为BETFCT，于是，CD=CF,BD=BC,从而DT/BE/CF。即得证明。如图所示，ABC的旁切圆切边BC于D,切边AB和AC的延长线于E和F,BF交EC于T，作一

25、射影变换，若各点在射影变换后的记号不变，使射影变换后，ABC的旁切圆为一圆，EF变为圆的直径，A为垂直于直径EF的直线相对应的无穷远点。(见图17)。于是可得另一命题“ABC的旁切圆切边BC于D，切边AB和AC的延长线于E和F，设T是直线BF与CE的交点，则点A,D,T共线。”由原命题得此命题亦为真。 四、 通过对本文的撰写，本人所得到的收获1、 能很好将高等几何思想与初等几何思想相结合高等几何是数学专业的一门重要的基础理论课，其涵义较为广泛，在内容上以射影几何为主，兼顾其它，方法上采用代数法兼综合法而侧重代数法。从理论和实践的结合上学好高等几何，能在更高层面上认识几何学的基本特性，研究方法，

26、内在联系确认几何学的本质升华和发展几何空间概念。从而弄清高等几何与初等几何的内在联系，帮助我们对初等几何中的许多问题作透彻的理解，以至于更好的深入到数学的思想中去，很好的将其之间的思想融为一体。2、 对中学几何教材的相关观点有更强的认识几何学的研究，被分为静和动两种观点，公理法建立几何学是研究几何的静的观点；然而变换群下对应的几何学是研究几何的动的观点，这两种观点是贯串现行高等几何教材的两条主线。然而对于初等几何教材，我们可以通过了解高等几何在几何学中的位置，进而更加全面和深刻的来理解和分析初等几何。从而了解了欧氏几何、仿射几何、射影几何三者之间的关系，以及他们在初等几何当中所起到的作用。3、

27、 提高自己对中学教材体系的掌控能力在射影几何中，运用射影几何的理论来统一初等几何问题，从而提高推广问题的能力。在初等几何中有一些命题，他们的内容各不相同，其证法也有差异，但从射影几何观点来看，他们都是一致的。例如：由三角形的三垂足构成的三角形的三边与原三角形的对应边的交点共线；三角形三边中点连线所成的三角形与原三角形对应边分别平行等等。这些命题在初等几何中不仅内容不同，且证明方法也有差异。但在射影几何中来看，由于三角形的三条高线、三内角平分线、三中线分别共点，所以能够由笛沙格定理直接推出其结论。因为许多初等几何的命题是以射影几何为其背景的，所以只要掌握了射影几何知识，并熟知它与初等几何知识间的

28、联系，就能构造出形式多样、内容丰富的初等几何问题。故用射影几何的相关理论来构造初等几何问题，可以增强自己的创新能力。4、 在几何思维和分析能力上得到了升华通过对本文的撰写，使得我对于几何问题的思考方面更加灵活，更加全面。从而深一层理解到众所周知的对偶原则，就是相似、类比思维的产物，如综合法与代数法的类比、几何元素与数的类比、齐次坐标与向量的类比、点坐标与线坐标的类比等等。既而今后在从事相关的初等教学工作中，能够充分利用高等几何所体现出的思维，来培养学生相似类比和辩证思维的能力。另外，通过探索高等几何对初等几何的指导作用，使我认识到在教学中，不仅仅要结合基本理论进行讲解，更应该提出一些值得探索和

29、思维的问题，特别是与初等几何相关联的问题。虽然这些问题已经被前人所解决，但对于学生而言，仍然是新问题。只有大胆的引导他们，让他们去探讨、去研究，这样一来，不仅可以扩大学生的知识领域，还能培养学生钻研教材、分析问题和解决问题的能力。五、 结论高等几何是数学专业的一门重要的基础理论课。高等几何的涵义较为广泛。我国现在开设的高等几何课内容上以射影几何为主，兼顾其他，方法上采用代数法兼综合法而侧重代数法。目的旨在使学生系统接受射影几何而主要又是实射影平面几何的基本知识，认识射影空间的基本特性，研究方法和几何学的本质，深化几何空间的概念。从理论和实践的结合上学好高等几何，就能在更高层面上认识几何学的基本

30、特性，研究方法，内在联系，确认几何学的本质，深化和发展几何空间概念，以便更深入地驾驭和掌握初等几何的内涵和外延。,我们明白了高等几何与初等几何的内在联系，扩大了关于几何学的眼界，了解到初等几何在几何学中所处的地位，就有助于我们从几何学的全局与整体来理解和分析初等几何教材，就能对初等几何中的许多问题作透彻的理解，使我们获得驾驭教材的本领，减少教学中的盲目性，避免发生错误。掌握了高等几何，我们对处理初等几何问题的能力增强了，因而在我们备课、答疑和编造习题时就能以高等几何为背景，设计出多种多样的几何题.此外，我们的数学教学，不只是给学生传授书本上的知识，还要在传授知识的同时，注意培养学生的数学思维能

31、力和创新能力.在高等几何问题的研究中贯穿着相似、类比、变换思想和辩证唯物主义观点，大学生通过这门课的学习，增强了自己的数学思维能力和空间想象能力，那么在以后的教学中将可引导学生进行多层次思维，用现代数学思想和方法影响学生，从而达到培养能力，发展智力的目的.综上所述 ，高等几何对初等几何的作用非常大.特别对于我们立志成为人民教师的学子，要教好中学数学，不能只懂中学数学，要“站得更高，看得更远”，应拓宽视野，拓广思路，这样才能更好地把握中学数学.利用高等几何的观点和思想方法，将已知初等几何命题进行变换，获得相关的其他初等几何命题，是十分有效的解题方法。只要我们有心，积极开动脑筋，就会把高等几何的知

32、识很好的运用到中学数学教学中去.六、 总结与体会在对本文的撰写过程中，遇到了很多的困难，但同样也感受到了很多。从收集、查阅论文写作的相关资料文献到整理论文的相关理论，再到论文的撰写。这个过程真正让我感受到自己在短时间内焕然一新的感觉，真正取得了很大的进步。现对这段时间的论文设计情况总结一下，并分享一下自己的一些感受。总结1. 通过对本文的撰写，不仅让我更加熟悉了高等几何和初等几何的相关知识，更让我更进一步认识到高等几何对初等几何的相关指导作用。2. 通过对本文的撰写，让我对初等几何相关知识更加了解，并能从初等几何相关问题中看到更深的含义。3. 通过对本文的撰写，我更加急切地要成为一名人民教师，

33、将自己所知、所想、所感、所悟都传递给每一位学生；同时我也相信自己一定能通过自己的不断努力，变得越来越好。体会1 论文写作过程是辛苦的，但又能让自己感受到快乐，因为在里面有很多东西是我在任何地方都学不到的。那就是非凡的自学能力，严谨的思维能力，以及大胆尝试的能力和独立自主的能力。2 在完成论文时，真正感受到我们大学四年学习最大的收获就是个人各方面能力的培养，不仅仅要对理论知识进行了解，更应该加强理论联系实际，提升实际操作能力。3 做任何一件事情都不是随随便便就成功的，都需要我们不断的努力，不断的加油，但只要我们有恒心，坚持不懈，最后绝对能够获取成功的。4 学习无处不在，在任何一个时刻，任何一个地

34、方，和任何人一起交流，都能学到很多的知识，关键是看自己抓住学习的机会不断的学习。【参考文献】1罗崇善.高等几何M.北京:高等教育出版社 1999.2梅向明. 高等几何M. 高等教育出版社，1983.3赵宏量. 几何教学探索M. 西南师范大学出版社，1987.4姜树民等. 高等几何学M. 陕西人民教育出版社，2000.5黄良文，曾五一. 统计学原理M. 北京：中国统计出版社，1992.6黄虹. 算术平均数. 重庆高等专科学校学报，2000，1（3）：6061.7章岚. 几个统计平均数之间的数量关系J. 统计与信息论坛，1999，8钟集.高等几何.高等M教育出版社.1983.9罗祟善，邓纯江，周开瑞.高等几何讲义M.四川科学技 术出版社.198610沈纯理（等）.经典几何.北京科学出版社11郑崇友（等）.几何学引论.高等教育出版社。12朱德祥.初等几何研究 M .北京: 高等教育出版社, 1999.13李长明.初等数学研究 M .北京: 高等教育出版社, 1995.18