版广西高考人教A版数学文一轮复习考点规范练：45 椭圆 Word版含解析

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1、考点规范练45椭圆考点规范练A册第34页一、基础巩固1.已知椭圆的焦点坐标为(-5,0)和(5,0),椭圆上一点与两焦点的距离和是26,则椭圆的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1答案A解析由题意知a=13,c=5,则b2=a2-c2=144.又椭圆的焦点在x轴上,椭圆方程为=1.2.已知椭圆=1的离心率为,则k的值为()A.-B.21C.-或21D.或21答案C解析若a2=9,b2=4+k,则c=,由,即,得k=-;若a2=4+k,b2=9,则c=,由,即,解得k=21.3.若曲线ax2+by2=1是焦点在x轴上的椭圆,则实数a,b满足()A.a2b2B.C.0abD.0b0,所以0a

2、b0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A.B.C.D.答案A解析以线段A1A2为直径的圆的方程是x2+y2=a2.因为直线bx-ay+2ab=0与圆x2+y2=a2相切,所以圆心到该直线的距离d=a,整理,得a2=3b2,即a2=3(a2-c2),所以,从而e=.故选A.6.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.答案B解析设椭圆的一个顶点坐标为(0,b),一个焦点坐标为(c,0),则直线l的方程为=1,即bx+cy-bc=0,短轴长为2b,由题意得2

3、b,与b2+c2=a2联立得a=2c,故e=.7.如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆=1(ab0)的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且BFC=90,则该椭圆的离心率是.答案解析由题意得B,C,F(c,0),所以.因为BFC=90,所以=0.所以c2-=0.又a2-b2=c2,所以3c2=2a2,即,所以e=.8.已知F1,F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点,过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A,B,连接AF2和BF2.(1)求ABF2的周长;(2)若AF2BF2,求ABF2的面积.解(1)F1,F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点,过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A,B,连接A

4、F2和BF2.ABF2的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4.(2)设直线l的方程为x=my-1,由得(m2+2)y2-2my-1=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=-.AF2BF2,=0,=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(my1-2)(my2-2)+y1y2=(m2+1)y1y2-2m(y1+y2)+4=-2m+4=0.m2=7.ABF2的面积S=|F1F2|.9.(2018北京,文20)已知椭圆M:=1(ab0)的离心率为,焦距为2,斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A,B.(1)求椭圆M的方程;(2)若k=1,求|A

5、B|的最大值;(3)设P(-2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D,若C,D和点Q共线,求k.解(1)由题意得解得a=,b=1.所以椭圆M的方程为+y2=1.(2)设直线l的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2).由得4x2+6mx+3m2-3=0,所以x1+x2=-,x1x2=.所以|AB|=.当m=0,即直线l过原点时,|AB|最大,最大值为.(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得+3=3,+3=3.直线PA的方程为y=(x+2).由得(x1+2)2+3x2+12x+12-3(x1+2)2=0.设C(xC,yC),所以xC+

6、x1=.所以xC=-x1=.所以yC=(xC+2)=.设D(xD,yD),同理得xD=,yD=.记直线CQ,DQ的斜率分别为kCQ,kDQ,则kCQ-kDQ=4(y1-y2-x1+x2).因为C,D,Q三点共线,所以kCQ-kDQ=0.故y1-y2=x1-x2.所以直线l的斜率k=1.二、能力提升10.已知F1,F2是椭圆=1(ab0)的左、右两个焦点,若椭圆上存在点P使得PF1PF2,则该椭圆的离心率的取值范围是()A.B.C.D.答案B解析F1,F2是椭圆=1(ab0)的左、右两个焦点,离心率0e1,F1(-c,0),F2(c,0),c2=a2-b2.设点P(x,y),由PF1PF2,得(

7、x-c,y)(x+c,y)=0,化简得x2+y2=c2,联立方程组整理,得x2=(2c2-a2)0,解得e,又0e1,eb0)与双曲线=1(m0,n0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),若c是a,m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率为()A.B.C.D.答案C解析因为椭圆=1(ab0)与双曲线=1(m0,n0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),所以c2=a2-b2=m2+n2.因为c是a,m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,所以c2=am,2n2=2m2+c2,所以m2=,n2=,所以=c2,化为,所以e=.12.已知椭圆=1(ab0)的右焦点F(c,0)

8、关于直线y=x的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是.答案解析设Q(x0,y0),则解得因为点Q在椭圆上,所以=1,化简得a4c2+4c6-a6=0,即4e6+e2-1=0.即4e6-2e4+2e4+e2-1=0,即(2e2-1)(2e4+e2+1)=0.所以e=.13.已知椭圆C:=1过A(2,0),B(0,1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率;(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:四边形ABNM的面积为定值.(1)解由题意,得a=2,b=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.又c=,所以离心率e=.(2)证明设P(x0,y0)(x00,y

9、0b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作垂直于x轴的直线l与椭圆E在第一象限交于点P,若|PF1|=5,且3a=b2.(1)求椭圆E的方程;(2)A,B是椭圆C上位于直线l两侧的两点.若直线AB过点(1,-1),且APF2=BPF2,求直线AB的方程.解(1)由题意可得|PF2|=3,因为|PF1|=5,由椭圆的定义得a=4,所以b2=12,故椭圆E方程为=1.(2)易知点P的坐标为(2,3).因为APF2=BPF2,所以直线PA,PB的斜率之和为0.设直线PA的斜率为k,则直线PB的斜率为-k,设A(x1,y1),B(x2,y2),则直线PA的方程为y-3=k(x-2),由可得(3+4k2)x2+8k(3-2k)x+4(3-2k)2-48=0,所以x1+2=,同理直线PB的方程为y-3=-k(x-2),可得x2+2=,所以x1+x2=,x1-x2=,kAB=,所以满足条件的直线AB的方程为y+1=(x-1),即为x-2y-3=0.