高考数学二轮复习解题思维提升专题22数学思想方法专项训练手册

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1、专题22 数学思想方法专项【训练目标】1、 领会数形结合思想，函数与方程思想，转化与化归思想三种数学思想的本质，能灵活运用这三种数学思想解决问题；2、 掌握这三种数学思想的常见应用方式和方法；【温馨小提示】数学教学的最终目标，是要让学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界.数学素养就是指学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力，数学核心素养高于具体的数学知识技能，具有综合性、整体性和持久性，反映数学本质与数学思想，数学核心素养是数学思想方法在具体学习领域的表现.二轮复习中如果能自觉渗透数学思想，加强个人数学素养的培养，就会在复习中高屋建瓴，对整体复习起到引领和导向作用.【

2、名校试题荟萃】1、函数与方程思想一、函数与方程思想在不等式中的应用函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解.1.若0x1x2ln x2ln x1B.ln x2ln x1C.D.【答案】C【解析】设f(x)exln x(0x1)，则f(x)ex. 令f(x)0，得xex10.根据函数y1ex与y2的图象(图略)可知两函数图象的交点的横坐标x0(0，1)，因此函数f(x)在(0，1)上不是单调函数，故A，B选项不正确；设g(x)(0x1)，则g(x).又0x1，g(x)0，函

3、数g(x)在(0，1)上是减函数.又0x1x2g(x2)，故选C.2.已知定义在R上的函数g(x)的导函数为g(x)，满足g(x)g(x)1的解集为_.【答案】(，0)3.已知f(t)log2t，t，8，对于f(t)值域内的所有实数m，不等式x2mx42m4x恒成立，则x的取值范围是_.【答案】(，1)(2，)【解析】t，8，f(t).问题转化为m(x2)(x2)20恒成立，当x2时，不等式不成立，x2.令g(m)m(x2)(x2)2，m.问题转化为g(m)在上恒大于0，则即解得x2或x1.4.若x2，1时，不等式ax3x24x30恒成立，则实数a的取值范围是_.【答案】6，2故f(x)在2，

4、1上单调递减，在(1，0)上单调递增，此时有af(x)minf(1)2.当x0时，不等式恒成立.当0x1时，a，则f(x)在(0，1上单调递增，此时有af(x)maxf(1)6.综上，实数a的取值范围是6，2.二、函数与方程思想在数列中的应用数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数；等差数列或等比数列的基本量的计算一般化归为方程(组)来解决.5. 已知an是等差数列，a1010，其前10项和S1070，则其公差d等于()A. B. C. D.【答案】D【解析】设等差数列的首项为a1，公差为d，则即解得d.6.已知在

5、数列an中，前n项和为Sn，且Snan，则的最大值为()A.3 B.1 C.3 D.1【答案】C7.在等差数列an中，若a10， 设Snf(n)，则f(n)为二次函数，又由f(7)f(17)知，f(n)的图象开口向上，关于直线n12对称，故Sn取最小值时n的值为12.8.设等差数列an的前n项和为Sn，若S42，S63，则nSn的最小值为_.【答案】9【解析】由解得a12，d1，所以Sn ，故nSn.令f(x)，则f(x)x25x，令f(x)0，得x0或x， f(x)在上单调递减，在上单调递增. 又n是正整数，故当n3时，nSn取得最小值9.三、函数与方程思想在解析几何中的应用解析几何中求斜率

6、、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经常要用到方程(组)的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以通过转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；求变量的取值范围和最值问题常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答.9.(2016全国)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为()A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】不妨设抛物线C：y22px(p0)，圆的方程设为x2y2r2(r0)，如图，又可设A(x0，2)，D，点A(x0，2)在抛物线y22px上，82px0，点A(x0，2)在圆x2y2r2上，

7、x8r2，点D在圆x2y2r2上，52r2，联立，解得p4(负值舍去)，即C的焦点到准线的距离为p4，故选B.10.如图，已知双曲线C：1(a0，b0)的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，若PAQ60，且3，则双曲线C的离心率为()A. B. C. D. 【答案】B所以点A到直线yx的距离d，所以2(2R)2R23R2，即a2b23R2(a2b2)，在OQA中，由余弦定理得，|OA|2|OQ|2|QA|22|OQ|QA|cos 60(3R)2(2R)223R2R7R2a2.由得所以双曲线C的离心率为e.11.设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0

8、，1)是它的两个顶点，直线ykx(k0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点.若6，则k的值为_.【答案】或【解析】依题意得椭圆的方程为y21，直线AB，EF的方程分别为x2y2，ykx(k0).如图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1x2，且x1，x2满足方程(14k2)x24，故x2x1 .由6知，x0x16(x2x0)，得x0(6x2x1)x2 .由点D在AB上知x02kx02，得x0.所以，化简得24k225k60，解得k或k.12.已知直线l：yk(x1)与抛物线C：y24x交于不同的两点A，B，且以AB为直径的圆过抛物线C的焦点F，则k_.【

9、答案】或依题意知，x1，x2是的不相等的两个实根，则由以AB为直径的圆过F，得AFBF，即kAFkBF1，所以1，即x1x2y1y2(x1x2)10，所以x1x2k2(x11)(x21)(x1x2)10，所以(1k2)x1x2(k21)(x1x2)1k20，把x1x2，x1x21代入得2k210，解得k，经检验k适合式.综上所述，k.2、数形结合思想一、数形结合思想在解方程或函数零点问题中的应用讨论方程的解(或函数零点)的问题一般可以构造两个函数，将方程解的个数转化为两条曲线的交点个数.构造函数时，要先对方程进行变形，尽量构造两个比较熟悉的函数.1.(2018咸阳模拟)函数f(x)2x的零点个

10、数为()A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B2.若关于x的方程kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围为_.【答案】【解析】x0是方程的一个实数解；当x0时，方程kx2可化为(x4)|x|，x4，k0，设f(x)(x4)|x|(x4且x0)，y，则两函数图象有三个非零交点.f(x)(x4)|x|的大致图象如图所示，由图可得0.所以k的取值范围为.3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x1)f(x1)，当x1，0时，f(x)x3，则关于x的方程f(x)|cos x|在上的所有实数解之和为_.【答案】7【解析】因为函数f(x)为偶函数，所以f(x1)f(x1)f(x1)，所以函数f(

11、x)的周期为2.又当x1，0时，f(x)x3，由此在同一平面直角坐标系内作出函数y1f(x)与y2|cos x|的图象如图所示.由图象知关于x的方程f(x)|cos x|在上的实数解有7个. 不妨设x1x2x3x4x5x60，所以m1，故m的取值范围是1，).7.若不等式|x2a|xa1对xR恒成立，则实数a的取值范围是_.【答案】【解析】作出y1|x2a|和y2xa1的简图，如图所示.依题意得故a.8.已知函数f(x)若存在两个不相等的实数x1，x2，使得f(x1)f(x2)，则实数a的取值范围为_.【答案】0，)三、数形结合思想在解析几何中的应用在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，挖掘

12、题中所给的代数关系式和几何关系式，构建解析几何模型并应用模型的几何意义求最值或范围； 常见的几何结构的代数形式主要有：比值可考虑直线的斜率；二元一次式可考虑直线的截距；根式分式可考虑点到直线的距离；根式可考虑两点间的距离.9.已知圆C：(x3)2(y4)21和两点A(m，0)，B(m，0)(m0).若圆C上存在点P，使得APB90，则m的最大值为()A.7 B.6 C.5 D.4【答案】B10.设双曲线C：1(a0，b0)的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以A1A2为直径的圆与直线PF2相切，则双曲线C的离心率为()A.

13、 B. C.2 D.【答案】D【解析】如图所示，设以A1A2为直径的圆与直线PF2的切点为Q，连接OQ，则OQPF2.又PF1PF2，O为F1F2的中点，所以|PF1|2|OQ|2a.又|PF2|PF1|2a，所以|PF2|4a.在RtF1PF2中，由|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，得4a216a220a24c2，即e.11.已知抛物线的方程为x28y，F是其焦点，点A(2，4)，在此抛物线上求一点P，使APF的周长最小，此时点P的坐标为_.【答案】【解析】因为(2)21，设af(2)1，bef(3)1，则a，b的大小关系为()A.abC.ab D.无法确定【答案】A2.(2018宣城

14、调研)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，且在0，1上是减函数，则有()A.fffB.fffC.fffD.fff【答案】C【解析】因为f(x2)f(x)f(x)，所以函数f(x)的图象关于直线x1对称，又T4，作图，由图知ff0，b0)的右焦点F作直线yx的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若2，则该双曲线的离心率为()A. B.2 C. D.【答案】C5.记实数x1，x2，xn中最小数为minx1，x2，xn，则定义在区间0，)上的函数f(x)minx21，x3，13x的最大值为()A.5 B.6 C.8 D.10【答案】C【解析】在同一坐标系中作出三个函数y1x21，y2x

15、3，y313x的图象如图.由图可知，在实数集R上，minx21，x3，13x为y2x3上A点下方的射线，抛物线AB之间的部分，线段BC与直线y313x在点C下方的部分的组合体.显然，在区间0，)上，在C点时，yminx21，x3，13x取得最大值.解方程组得点C(5，8).所以f(x)max8.6.已知函数f(x)|lg(x1)|，若1ab且f(a)f(b)，则a2b的取值范围为()A.(32，) B.32，)C.(6，) D.6，)【答案】C由对勾函数的性质知，当b时，f(b)2(b1)3单调递增，b2，a2b2b6.7.(2018东莞模拟)已知函数f(x)若不等式f(x)mx恒成立，则实数

16、m的取值范围为()A.32，32B.32，0C.32，0D.(，3232，)【答案】C8.(2018德阳诊断)已知函数f(x)xsin x，若存在x2，1，使得f(x2x)f(xk)0在R上恒成立，即函数f(x)在R上单调递增.若x02，1，使得f(xx0)f(x0k)0成立，即f(xx0)f(x0k)，所以f(xx0)f(kx0)，即xx0x2x0，令g(x)x22x，x2，1.则kg(x)ming(1)1故实数k的取值范围是(1，).9.已知正四棱锥的体积为，则正四棱锥的侧棱长的最小值为_.【答案】2【解析】如图所示，设正四棱锥的底面边长为a，高为h.则该正四棱锥的体积Va2h，故a2h3

17、2，即a2.则其侧棱长为l.10.若函数f(x)|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是_.【答案】(0，2)【解析】由f(x)|2x2|b有两个零点，可得|2x2|b有两个不等的实根，从而可得函数y1|2x2|的图象与函数y2b的图象有两个交点，如图所示.结合函数的图象，可得0b0)，若两条曲线没有公共点，则r的取值范围是_.【答案】(0，1)因此，求使圆C2与椭圆C1有公共点的r的集合，等价于在定义域为y2，2的情况下，求函数r2f(y)y22y10的值域.由f(2)1，f(2)9，f，可得f(y)的值域为，即r，它的补集就是圆C2与椭圆C1没有公共点的r的集合，因此，两条曲线没有公共点的r的取值范围是(0，1).方法二联立C1和C2的方程消去x，得到关于y的方程y22y10r20.两条曲线没有公共点，等价于方程y22y10r20要么没有实数根，要么有两个根y1，y22，2.若没有实数根，则44(10r2)或r0，解得0r1.因此，两条曲线没有公共点的r的取值范围是(0，1).12.若关于x的不等式ex1x0在上恰成立，则实数a的取值集合为_.【答案】2【解析】关于x的不等式ex1x0在上恰成立函数g(x)在上的值域为.故g(x)在上单调递增，则g(x)g2，所以a2，解得a2，所以a的取值集合为2.