数学人教A版选修22讲义：第一章导数及其应用1．1 1．1.3 Word版含答案

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1、11.3导数的几何意义1割线斜率与切线斜率设函数yf(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0)与点B(x0x，f(x0x)的一条割线，此割线的斜率是.当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A处的切线于是，当x0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即kf(x0) .2导数的几何意义函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率也就是说，曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率是f(x0)相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)3函数的导数当x

2、x0时，f(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f(x)是x的一个函数，称f(x)是f(x)的导函数(简称导数)f(x)也记作y，即f(x)y .“函数f(x)在点xx0处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系(1)函数在某一点处的导数：就是在该点处的函数值的改变量与自变量的改变量的比的极限，它是一个数值，不是变量(2)导函数：如果函数yf(x)在开区间(a，b)内每一点都可导，就说f(x)在开区间(a，b)内可导，这时对于区间(a，b)内每一个确定的值x0，都对应着一个导数f(x0)，这样就在开区间(a，b)内构成一个新的函数，我们把这一新函数叫做f(x)在开区间(a，b)内的导函数

3、，记作f(x)或y，即f(x)y .(3)导函数也简称导数(4)函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点xx0处的函数值，即f(x0)f(x)|xx0.所以求函数在某一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)导函数f(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同()(2)直线与曲线相切则直线与已知曲线只有一个公共点()(3)函数f(x)0没有导函数()答案(1)(2)(3)2做一做(1)已知函数f(x)在x0处的导数为f(x0)1，则函数f(x)在x0处切线的倾斜角为_(2)若函数f(x)在点A(1,2)处的导数是1

4、，那么过点A的切线方程是_(3)函数f(x)x21的导数f(x)_.答案(1)45(2)xy30(3)2x探究求切线方程例1求曲线yf(x)x32x1在点P(1,2)处的切线方程解易证得点P(1,2)在曲线上，由yx32x1得y(xx)32(xx)1x32x1(3x22)x3x(x)2(x)3.3x223xx(x)2.当x无限趋近于0时，3x223xx(x)2无限趋近于3x22，即f(x)3x22，所以f(1)5.故点P处的切线斜率为k5.所以点P处的切线方程为y25(x1)，即5xy30.条件探究将本例中的在点P(1,2)改为过点Q(0,1)，结果会怎样？解点Q不在曲线上，设切点坐标为(x0

5、，y0)由本例知kf(x0)3x2，切线方程为yy0(3x2)(xx0)又切线过点Q(0,1)，1y0(3x2)(0x0)又y0x2x01得x1，即x01，切线方程为5xy10.拓展提升利用导数的几何意义求切线方程的分类(1)当已知的点在曲线上且切于该点时，直接利用导数求切线的斜率，写出直线方程(2)当已知点不在曲线上，设出切点，利用导数表示出切线斜率，写出切线方程，代入点的坐标，求出切点坐标，写出直线方程【跟踪训练1】已知曲线C：f(x)x3.(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程；(2)求过点(1,1)与f(x)x3相切的直线解(1)f(x) (x)23x23xx3x2，f(1)31

6、23，又f(1)131，切线方程为y13(x1)，即3xy20.(2)设切点为P(x0，x)，由(1)知切线斜率为kf(x0)3x，故切线方程为yx3x(xx0)又点(1,1)在切线上，将其代入切线方程得1x3x(1x0)，即2x3x10，解得x01或x0.k3或k.故所求的切线方程为y13(x1)或y1(x1)，即3xy20或3x4y10.探究利用导数求切点坐标例2过曲线yf(x)x2上哪一点的切线(1)平行于直线y4x5；(2)垂直于直线2x6y50.解因为f(x)x2，所以f(x) 2x.设P(x0，y0)是满足条件的点(1)因为切线与直线y4x5平行，所以2x04，x02，y04，即P

7、(2,4)是满足条件的点(2)因为切线与直线2x6y50垂直，所以2x01，得x0，y0，即P是满足条件的点结论探究在本例中，过曲线上哪一点的切线倾斜角为135.解由例题解析过程知f(x)2x，因为倾斜角为135，所以其斜率为1.即2x01，得x0，y0，即P是满足条件的点拓展提升利用导数求切点坐标的解题步骤(1)先设切点坐标(x0，y0)；(2)求导函数f(x)；(3)求切线的斜率f(x0)；(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；(5)由于点(x0，y0)在曲线yf(x)上，将x0代入求y0得切点坐标【跟踪训练2】已知抛物线y2x21，求：(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为

8、45；(2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4xy20；(3)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x8y30.解设点的坐标为(x0，y0)，则y2(x0x)212x14x0x2(x)2，4x02x.当x无限趋近于零时，无限趋近于4x0，即f(x0)4x0.(1)抛物线的切线的倾斜角为45，斜率为tan451，即f(x0)4x01得x0，该点为.(2)抛物线的切线平行于直线4xy20，斜率为4，即f(x0)4x04得x01，该点为(1,3)(3)抛物线的切线与直线x8y30垂直，斜率为8，即f(x0)4x08，得x02，该点为(2,9)探究导数几何意义的综合应用例3设函数f(x)x3ax29x1(a0)

9、，若曲线yf(x)的斜率最小的切线与直线12xy6平行，求a的值解因为yf(x0x)f(x0)(x0x)3a(x0x)29(x0x)1(xax9x01)(3x2ax09)x(3x0a)(x)2(x)3，所以3x2ax09(3x0a)x(x)2.所以f(x0)li 3x2ax09，所以f(x0)329.因为斜率最小的切线与直线12xy6平行，所以该切线斜率为12.所以912，解得a3，又a0，所以a3.拓展提升(1)导数几何意义的综合应用题的解题关键是对函数进行求导，利用题目所给的斜率的线性关系、斜率的最值、斜率的范围等已知条件求解题目此处常与函数、不等式等知识点结合(2)本题需要根据已知条件求

10、出原函数在x0处的导数f(x0)并求出其最小值，建立等量关系求出a的值，再根据a0这一条件对结果进行取舍【跟踪训练3】已知点M(0，1)，F(0,1)，过点M的直线l与曲线yx34x4在x2处的切线平行(1)求直线l的方程；(2)求以点F为焦点，直线l为准线的抛物线C的方程解(1)因为y x24，所以y|x20，所以直线l的斜率为0，其直线方程为y1.(2)因为抛物线以点F(0,1)为焦点，以直线y1为准线，所以设抛物线方程为x22py，则1，p2.故抛物线C的方程为x24y.1.利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤：第一步：求出函数yf(x)在点xx0处的导数f(x0)；第二步：根据直线

11、的点斜式方程，得切线方程为yy0f(x0)(xx0).注意：若在点(x0，f(x0)处切线l的倾斜角为，此时切线平行于y轴，导数不存在，不能用上述方法求切线的方程，可根据切线的定义直接得切线方程为xx0.2.函数的导数，是对某一区间内任意一点x而言的，就是函数f(x)的导数f(x)函数yf(x)在x0处的导数，就是导函数f(x)在点xx0处的函数值.1已知曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程为2xy10，那么()Af(x0)0 Bf(x0)0 Df(x0)不确定答案C解析因为曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的导数就是切线的斜率，又切线2xy10的斜率为2，所以f(x0)0.

12、2某堆雪在融化过程中，其体积V(单位：m3)与融化时间t(单位：h)近似满足函数关系：V(t)H3(H为常数)，其图象如图所示记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为(m3/h)，观察图象可知瞬时融化速度等于(m3/h)的时刻是图中的()At1 Bt2 Ct3 Dt4答案C解析如图所示，平均融化速度实际上是点A与点B连线的斜率k；瞬时融化速度的几何意义就是曲线V(t)在某时刻的切线斜率，通过对比，t3时刻曲线的切线斜率与k相等，故瞬时融化速度等于(m3/h)的时刻是t3.3曲线yx2在x0处的切线方程为_答案y0解析f(x) 2x，所以f(0)0，故切线方程为y0.4设函数f(x)ax3，若f(1)3，则a等于_答案3解析f(1) a，f(1)a3.5已知曲线y2x27，求曲线过点P(3,9)的切线方程解y (4x2x)4x.因为2327119，所以点P(3,9)不在曲线上设所求切线的切点为A (x0,2x7)，则切线的斜率k4x0.又因为点P(3,9)，A(x0,2x7)都是切线上的点，所以k4x0，解得x02或x04.当x02时，k8，切点为(2,1)，切线方程为y18(x2)，即8xy150；当x04时，k16，切点为(4,25)，切线方程为y2516(x4)，即16xy390.故所求的切线方程为8xy150或16xy390.