高二数学苏教版选修21讲义：第1部分 第2章 2.6 2.6.3 曲线的交点 Word版含解析

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1、26.3曲线的交点给出下列两组直线，回答问题(1)l1：x2y0，l2：2x4y30；(2)l1：2xy0，l2：3xy70.问题1：两组直线的位置关系提示：(1)平行；(2)相交问题2：如何判断它们的位置关系？能否用这种方法来判定两条曲线的位置关系？提示：两直线位置关系的判断可有两种方法：一是利用斜率；二是两方程联立，利用方程的解来判定第二种方法可以用来判定两曲线的位置关系问题3：如何求两曲线的交点坐标提示：把表示曲线的方程联立，解方程组，其解即为曲线交点的坐标已知曲线C1：f1(x，y)0和C2：f2(x，y)0.(1)P0(x0，y0)是C1和C2的公共点 (2)求两曲线的交点，就是求方

2、程组的实数解(3)方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有几个公共点；方程组没有实数解，两条曲线就没有公共点直线与圆锥曲线联立，消元得方程ax2bxc0方程特征交点个数位置关系直线与椭圆a0，02相交a0，01相切a0，02相交a0，01相切a0，02相交a0，01相切a0，0直线与圆锥曲线相交于两个点；0直线与圆锥曲线相交于一个点；0直线与圆锥曲线无交点1对不同的实数值m，讨论直线yxm与椭圆y21的位置关系解：由消去y得(xm)21，整理得5x28mx4m240.(8m)245(4m24)16(5m2)当m0，直线与椭圆相交；当m或m时，0，直线与椭圆相切；当m时，0，即1k且k0时，直线l

3、与抛物线相交，有两个公共点；当0，即k时，直线l与抛物线相离，没有公共点综上：当k1或或0时，直线l与抛物线只有一个公共点；当1k，且k0时，直线l与抛物线有两个公共点；当k时，直线l与抛物线没有公共点直线被圆锥曲线截得的弦长问题例2已知斜率为2的直线经过椭圆1的右焦点F1，与椭圆相交于A、B两点，求弦AB的长思路点拨先求出直线与椭圆的两个交点，再利用两点间的距离公式，也可以从公式上考查A、B坐标间的联系，进行整体运算精解详析法一：直线l过椭圆1的右焦点F1(1,0)，又直线的斜率为2.直线l的方程为y2(x1)，即2xy20.由方程组得交点A(0，2)，B.则AB .法二：设A(x1，y1)

4、，B(x2，y2)，则A、B的坐标为方程组的公共解对方程组消去y，得3x25x0.则x1x2，x1x20.AB .法三：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y，得3x25x0，则x1，x2是方程3x25x0的两根x1x2.由圆锥曲线的统一定义，得AF1(5x1)，F1B(5x2)，则ABAF1F1B10(x1x2).一点通弦长的求法：(1)求出端点坐标，利用两点间的距离公式求解(2)结合根与系数的关系，利用变形公式l或l求解(3)利用圆锥曲线的统一定义求解3过抛物线y28x的焦点作倾斜角为45的直线，则被抛物线截得的弦长为_解析：由抛物线y28x的焦点为(2,0)，得直线的方程为yx

5、2，代入y28x得(x2)28x，即x212x40.x1x212，弦长x1x2p12416.答案：164直线y2x3与双曲线y21相交于两点A、B，则AB_.解析：设直线y2x3与双曲线y21两交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)由得7x224x200，x1x2，x1x2，|AB|x1x2|.答案：5如图，椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，一条直线l经过F1与椭圆交于A，B两点，若直线l的倾斜角为45，求ABF2的面积解：由椭圆的方程1知，a4，b3，c.由c知F1(，0)，F2(，0)，又直线l的斜率ktan 451，直线l的方程为xy0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

6、则由消去x，整理得25y218 y810，y1y2，y1y2.|y1y2| ，SABF2|F1F2|y1y2|2 .两曲线相交的综合问题例3已知椭圆1，过点P(2,1)作一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线方程思路点拨设出直线的斜率，联立直线与椭圆方程，消去y，得关于x的方程，用根与系数的关系和弦中点坐标，得斜率的方程，求解即可，也可用“点差法”求解精解详析法一：设所求直线的方程为y1k(x2)，代入椭圆方程并整理，得(4k21)x28(2k2k)x4(2k1)2160.又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x1，x2是上面的方程的两个根，所以x1x2，因为P为弦AB的

7、中点，所以2，解得k，所以所求直线的方程为x2y40.法二：设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为P为弦AB的中点，所以x1x24，y1y22，又因为A，B在椭圆上，所以x4y16，x4y16，两式相减，得(xx)4(yy)0，即(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0，所以，即kAB.所以所求直线的方程为y1(x2)，即x2y40.一点通解决直线与圆锥曲线的位置关系时，一般采用“设而不求”的思想，将直线方程与圆锥曲线方程联成方程组，转化为一元二次方程，利用根与系数的关系，把已知条件转化为弦的端点坐标之间的关系求解，在涉及“中点弦”问题时，“点差法”是最常用的方

8、法6已知过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点求证：(1)x1x2为定值；(2)为定值证明：(1)抛物线y22px的焦点为F，当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为yk(x)(k0)由消去y，得k2x2p(k22)x0.由根与系数的关系，得x1x2(定值)当ABx轴时，x1x2，x1x2也成立(2)由抛物线的定义知，FAx1，FBx2.(定值)7设双曲线C：y21(a0)与直线l：xy1相交于两个不同点A，B.(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；(2)设直线l与y轴的交点为P，若，求a的值解：(1)将yx1代入双曲线y21(a0)中得(1a

9、2)x22a2x2a20.所以解得0a，且a1.又双曲线的离心率e，所以e，且e.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)，因为，所以(x1，y11)(x2，y21)由此得x1x2.由于x1，x2是方程(1a2)x22a2x2a20的两根，且1a20，所以x2，x.消去x2，得.由a0，解得a.8(陕西高考)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是PBQ的角平分线，证明：直线l过定点解： (1)如图，设动圆圆心O1(x，y)，由题意得，O1AO

10、1M.当O1不在y轴上时，过O1作O1HMN交MN于H，则H是MN的中点，O1M ，又O1A ， ，化简得y28x(x0)当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y28x，动圆圆心的轨迹C的方程为y28x.(2)证明：如图，由题意，设直线l的方程为ykxb(k0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将ykxb代入y28x中，得k2x2(2bk8)xb20，其中32kb640.由根与系数的关系得，x1x2，x1x2，因为x轴是PBQ的角平分线，所以，即y1(x21)y2(x11)0，(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)0，2kx1x2(bk)(x1x2)2b0，

11、将代入，得2kb2(kb)(82bk)2k2b0，kb，此时0，直线l的方程为yk(x1)，直线l过定点(1,0)讨论直线与圆锥曲线的位置关系时，先联立方程，消去x或y，得出一个一元二次方程，通过研究判别式的情况，研究位置关系，值得注意的是，若是直线与圆或椭圆时，无需讨论二次项系数是否为零(一定不为零)，直接考察的情况即可若是直线与双曲线或抛物线时，则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况这是特别要注意的问题同时还要注意直线斜率不存在时的情形对应课时跟踪训练(十七) 1曲线x2xyy23x4y40与x轴的交点坐标是_解析：当y0时，得x23x40，解得x14或x21.所以交点坐标为(4,0)

12、和(1,0)答案：(4,0)，(1,0)2曲线x2y24与曲线x21的交点个数为_解析：由数形结合可知两曲线有4个交点答案：43设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_解析：由y28x，得准线方程为x2.则Q点坐标为(2,0)设直线yk(x2)由得k2x2(4k28)x4k20.若直线l与y28x有公共点，则(4k28)216k40.解得1k1.答案：1,14曲线yx2x2和yxm有两个不同的公共点，则实数m的范围是_解析：由消去y，得x22x2m0.若有两个不同的公共点，则44(2m)0，m1.答案：(1，)5如果椭圆1的一条弦被点

13、(4,2)平分，那么这条弦所在直线的方程是_解析：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)P(4,2)为AB中点，x1x28，y1y24.又A，B在椭圆上，x4y36，x4y36.两式相减得(xx)4(yy)0，即(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0，.即直线l的斜率为.所求直线方程为x2y80.答案：x2y806已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线l与该椭圆交于M、N两点，MN的中点为A(2，1)，求直线l的方程解：(1)由题意2a4，a2，又e，c.b2a2c2835.故所求椭圆的标准方程为1.(2)点A

14、在椭圆内部，过A点的直线必与椭圆有两交点当直线斜率不存在时，A点不可能为弦的中点，故可设直线方程为y1k(x2)，它与椭圆的交点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，则消去y得(8k25)x216k(2k1)x8(2k1)250，x1x2，又A(2，1)为弦MN的中点，x1x24，即4，k，从而直线方程为5x4y140.7已知椭圆C1与抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：x324y204(1)求C1，C2的标准方程；(2)请问是否存在直线l满足条件：过C2的焦点F；与C1交于不同两点M，N且满足？若存在，求出直线l的方程

15、；若不存在，说明理由解：(1)设抛物线C2：y22px(p0)，则有2p(x0)，据此验证4个点知(3，2)，(4，4)在抛物线上，易求C2：y24x.设C1：1(ab0)，把点(2,0)，代入得解得C1的方程为y21.(2)容易验证直线l的斜率不存在时，不满足题意；当直线l的斜率存在时，假设存在直线l过抛物线焦点F(1,0)，设其方程为yk(x1)，与C1的交点坐标为M(x1，y1)，N(x2，y2)由消去y得，(14k2)x28k2x4(k21)0，于是x1x2，x1x2.所以y1y2k(x11)k(x21)k2x1x2(x1x2)1k2. 由，即0，得x1x2y1y20. 将代入式得，0

16、，解得k2.所以存在直线l满足条件，且l的方程为：y2x2或y2x2.8已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：ykxm与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标解：(1)由题意设椭圆C的标准方程为1(ab0)由题意得ac3，ac1，a2，c1，b23.椭圆的标准方程为1.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得，(34k2)x28mkx4(m23)0，64m2k216(34k2)(m23)0，即34k2m20.x1x2，x1x2.y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2.以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0)，kADkBD1，1，化简得y1y2x1x22(x1x2)40，即40，化简得7m216mk4k20，解得m12k，m2，且满足34k2m20.当m2k时，l：yk(x2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾；当m时，l：yk，直线过定点.综上可知，直线l过定点，定点坐标为.