数理统计13PPT课件

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1、1. 1. 非重复试验双因素方差分析非重复试验双因素方差分析例例1 1 在某种橡胶的配方中，考虑了三种不同的促进剂，四种不同份量的氧化锌。各种配方试验一次，测得300%定强如下： 氧化锌B催化剂A1B2B3B4B1A2A3A323535.538.533.539.536.537.539.5433836问不同促进剂、不同份量氧化剂分别定强有无显著影响？第1页/共46页此例中有A，B 二个因素。123,A A A1234,B B B B因素A 有三种水平：ijAB在每种组合水平 上 做一次试验获得了试验值。因素B 有四种水平：问因素A,B分别对试验结果有无显著影响？因素 A 有r 种水平：一般情况，

2、一般情况，设有二个因素A，B12,rA AA因素 B 有s 种水平：12,sB BB第2页/共46页1B2BsBiX1X2XrXX1A2ArAjX11X21X22X2rX12X1X1rX2sX1sXrsX2XsX因素B因素A在每一种组合水平ijAB,1,2, ,1,2, ,ijXirjs上进行一次试验，结果为ijX相互独立。第3页/共46页假设总体 服从正态分布 。ijX2(,)ijN 令ijijijX20,ijN数学模型ij相互独立令111,rsijijrs11,siijjs11rjijir,iijj10,rii10sjj第4页/共46页,ijij1,2, ;ir1,2,js10,rii10

3、sij称为因素A在水平 的效应iiA检验假设检验假设0112:0rHjjB称为因素B在水平 的效应0212:0sHijijijijijX第5页/共46页令平均数11,siijjXXs11,rjijiXXr1,2,ir1,2,js111rsijijXXrs1111rsijijXXXrs第6页/共46页总离差平方和211()rsTijijQXX211()()()rsijijijijXXXXXXXX2211()()rsijijsXXrXX211rsijijijXXXX112rsijijiijXXXXXX112rsijijjijXXXXXX112rsijijXXXX第7页/共46页总离差平方和2211

4、()()rsTijijQsXXrXX211rsijijijXXXX21() ,rAiiQsXX21()sBjjQrXX211rsEijijijQXXXXTABEQQQQ第8页/共46页21()rAiiEQE sXX.11siijjXXsii11sijijjs11riiXXr 21rAiiiEQsE21riiisE第9页/共46页22111()2()rrriiiiiiissEsE 221(1)riisr21rAiiiEQsE11()()0rriiiiiiEE 222()2iiiEEEE 2221112srsrs211rrs第10页/共46页同理可得2(1)(1)EEQrs221(1),sBjjE

5、Qrs221(1)rAiiEQsr令21,1AASQr21,1BBSQs21(1)(1)EESQrs22211rAiisESr22211sBjjrESs22EES第11页/共46页22211rAiisESr22211sBjjrESs22EES=当 成立时，01H22AEESES22AEESES当 不成立时，01H 当 成立时，02H22BEESES22BEESES当 不成立时，02H0112:0rH0212:0sH第12页/共46页当 和 都成立时，01H02H0,1,2, ;1,2, ,ijirjsijijijijX21()sBjjQr211()rsEijijijQ21rAiiiQs21ri

6、is第13页/共46页2221111()rsrsijijijijrs211()rsTijABEijQQQQ2ABEQQQrs2222222111111rsijABEijrsQQQ222111,rsijijrs 2221rs第14页/共46页2AQ2BQ2EQ有一个约束条件：10rii2AQ的自由度为：1r 有一个约束条件：10rji2BQ的自由度为：1s有r+s-1个约束条件：10,rijiji10sijijj2EQ的自由度为：11rs第15页/共46页2211 ,AQr2211BQs22111EQrs且 相互独立。,ABEQ Q Q命题命题1 1 当H0101，H H0202成立时，第16页

7、/共46页22/(1)/(1)(1)AAEQrFQrs22/(1)/(1)(1)BBEQsFQrs221,(1)(1)AESF rrsS221,(1)(1)BESF srsS21AAQSr21BBQSs2(1)(1)EEQSrs称为均方误差均方误差称为因素因素A引起的均方离差引起的均方离差称为因素因素B引起的均方离差引起的均方离差第17页/共46页= 给定显著水平，H01 的拒绝域为(1,(1)(1)AFF rrs(1,(1)(1)BFF rrsH02 的拒绝域为第18页/共46页来源来源离差平方和离差平方和自由度自由度均方离差均方离差F值值因素因素A因素因素B误误 差差总总 和和21()rA

8、iiQsXX21()sBjjQrXX112rsEijiijjQXXXX211()rsTijijQXX1r 1s11rs1rs21AAQSr21BBQSs2(1)(1)EESQrs22AAESFS22BBESFS第19页/共46页 记记1,siijjSx1rjijiSx21,siijjSSx21rjijiSSx1111rsrsijijijijSSSx21111rsrsijijijijSSSSSSx22111,rAiiQSSsrs22111sBjjQSSrrsETABQQQQ21,TQSSSrs第20页/共46页例例1 1 在某种橡胶的配方中，考虑了三种不同的促进剂，四种不同份量的氧化锌。各种配方

9、试验一次，测得300%定强如下： 氧化锌B催化剂A1B2B3B4B1A2A3A323535.538.533.539.536.537.539.5433836问不同促进剂、不同份量氧化剂分别定强有无显著影响？第21页/共46页解解3,4,rs,ABF F可利用方差分析表得214.15361122.030.3966.128.396.752.3556.5BF 36.3AF 来源因子A因子B误差总和离差自由度均方离差值F查表得 5%,0.05(2.6)5.14,F5.14,4.76ABFF所以不同催化剂、氧化锌的不同份量对橡胶定强都有显著影响。0.05(3,6)4.76F第22页/共46页例例2 2 在

10、一个农业试验中，考虑四种不同的种子品种1234,A A A A和三种不同的施肥方法 得到产123,B B B量数据表如下。试分析种子和施肥对产量有无显著影响。（=0.05）农业试验表农业试验表（单位：kg）1A2A3A4A2B3B1B310317325330292310320370365318318316第23页/共46页解 本题是双因素不考虑交互效应的方差分析问题，其中 。计算出方差分析表中相应的数据：4,3rs211()1463.50rsEijijijQxxxx21()3824.25rAiiQsxx21()162.50sBjjQrxx/(1)3824.25/35.226/(1)(1)146

11、3.50/6AAEQrFQrs/(1)162.50/20.3331/(1)(1)1463.50/6BBEQsFQrs第24页/共46页来源来源离差平方和离差平方和自由度自由度均方离差均方离差F值值因素因素A3824.2531274.755.226因素因素B162.50281.250.3331误误 差差1463.506243.58总总 和和5430.2511方差分析表方差分析表第25页/共46页0.053, 64.76,F=不同的种子品种对产量有显著影响 施肥方法对产量没有显著影响0.05(2.6)5.14F0.055.2264.763,6AFF0.050.33315.142,6BFF第26页/

12、共46页2.2.重复试验双因素方差分析重复试验双因素方差分析 在非重复实验情形，仅考虑二个因素中各个因素的单独作用，即仅有因素A的效应与因素B的效应。 一般情形，不仅各个因素在起作用，而且因素之间的组合有时会影响试验结果，这种就是交互效应。第27页/共46页因素 A 有r 种水平：设有二个因素A，B12,rA AA因素 B 有s 种水平：12,sB BB在每一种组合水平ijAB,1,2, ,1,2, ,1,2,ijkXirjskc上进行一次试验，结果为假设 相互独立。ijkX第28页/共46页1BsBiX1X2XrXX1A2ArAjX 11111211, ,cXXX1X 11121, ,rrr

13、 cXXX1 11 21,ssscXXXsX 因素B因素A21121221, ,cXXX2 12 22,ssscXXX12,rsrsrscXXX第29页/共46页假设总体2,ijkijXN 令ijkijijkX20,ijkN数学模型ijk相互独立令111,rsijijrs11,siijjs11,rjijir,ii,jjijijij第30页/共46页10,rii10,sjj10,riji10sijj称为因素A在水平 的效应iiAjjB称为因素B在水平 的效应ijijAB称为因素A,B在组合水平 的交互效应0112:0rH0212:0sH03:0,1,2, ,1,2,ijHirjs检验假设检验假设

14、第31页/共46页平均数111,sciijkjkXXsc111,rcjijkikXXrc 1,2,ir1,2,js1111rscijkijkXXrsc1111rsijijXXXrs 11,cijijkkXXc1,2, ,ir1,2,js第32页/共46页1B2BsBiX1X2XrXX1A2ArAjX 11X21X22X2rX12X1X 1rX2sX1sXrsX2X sX 因素B因素A第33页/共46页总离差平方和总离差平方和2111()rscTijkijkQXX22112112.111()()()rsijijrsijijijrscijkijijkscXXrcXXcXXXXXX ABIEQQQQ

15、第34页/共46页21()rAiiQscXX211()rsIijijijQcXXXX 21()sBjjQrcXX 因素A的离差平方和因素B的离差平方和2.111rscEijkijijkQXX因素A,B交互作用引起的离差平方和误差平方和TABIEQQQQQ第35页/共46页221(1)rAiiEQrsc221(1)sBjjEQsrc22111 (1)rsIijijEQrsc21EEQrs c命题命题2 2第36页/共46页令21,1AASQr21,1BBSQs21,(1)(1)IISQrs22211rAiiscESr22211sBjjrcESs22EES211EESQrs c2221111rsI

16、ijijcESrs第37页/共46页=当 成立时，01H22AEESES22AEESES当 不成立时，01H 当 成立时，02H22BEESES22BEESES当 不成立时，02H0112:0rH0212:0sH22IEESES22IEESES当 不成立时，03H03:0,1,2, ,1,2,ijHirjs 当 成立时，03H第38页/共46页当 都成立时，010203,HHH0,1,2, ;1,2, ,ijijirjsijkijijijkijkX命题命题3 3 当 都成立时，010203,HHH221,1AAEFSSF rrs c221,1BBEFSSF srs c2211 ,1IIEFSS

17、Frsrs c第39页/共46页= 给定显著水平，H01 的拒绝域为1,1AFFrrs c1,1BFFsrs cH02 的拒绝域为11 ,1IFFrsrs cH03 的拒绝域为第40页/共46页例例3 3 研究树种与地理位置对松树生长的影响，对四个地区的三种同龄松树的直径进行测量得到数据表如下所示。1234,B B B B表示四个不同地区。对每一种水平组合，进行了5次测量，对此试验结果进行方差分析。23 15 2613 2125 20 2116 2121 17 1624 2714 11 1920 2428 22 25 16 2630 26 26 20 2823 15 26 13 2117 21

18、 18 26 2323 15 26 13 2115 21 22 14 1223 15 1913 22 18 12 26 22 191A2A3A1B2B3B4B第41页/共46页解 本题是双因素考虑交互效应的方差分析问题，其中3,4,5.rsc计算出方差分析表中的数据；2111()926.00rscEijkijijkQxx21()352.53rAiiQscxx21()58.05sBjjQrcxx 211()119.60rsIijijijQcxxxx 第42页/共46页/(1)58.05/31.0030/(1)926.00/48BBEQsFQrs t/(1)(1)119.60/61.0333/(1)1463.50/6IIEQrsFQrs t5%取，/(1)352.53/29.1369/(1)926.00/48AAEQrFQrs t0.052,483.23,F0.053,482.84F0.056,482.34F第43页/共46页而位置效应及交互效应并不显著。所以在显著水平 下树种效应是高度显著的，5%0.053,48BFF0.056,48IFF0.059.13692,48AFF第44页/共46页Thank you1.8 1.10 1.13 Thank you第45页/共46页感谢您的观看。第46页/共46页