高中数学：2.3 等差数列的前n项和课件新课标人教A版必修5

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1、2.3 2.3 等差数列的等差数列的 前前N N项和（一）项和（一）复习引入复习引入1. 等差数列定义：等差数列定义： 即即anan1 d (n2).2. 等差数列通项公式：等差数列通项公式： (1) ana1(n1)d (n1).(2) anam(nm)d .(3) anpnq (p、q是常数是常数)复习引入复习引入11 naadnmnaadmn 1 nnaad3. 几种计算公差几种计算公差d的方法的方法: 复习引入复习引入4. 等差中项等差中项bAabaA,2 成等差数列成等差数列. mnpq amanapaq. (m，n，p，qN)5. 等差数列的性质等差数列的性质6等差数列的性质：等差

2、数列的性质： 对于等差数列对于等差数列 ， 为递增数列，为递增数列， 为常数数列；为常数数列； 为递减数列，为递减数列， 等差数列中无先增后减或先减后增数列等差数列中无先增后减或先减后增数列,要么单调要么常数数列。要么单调要么常数数列。7. 等差数列等差数列 中中,间隔等距离取出的项组成的间隔等距离取出的项组成的 新数列仍为等差数列，即：新数列仍为等差数列，即：组成公差为组成公差为md的等差数列的等差数列. na nad 0 nad 0 nad 0 na,2mnmnnaaa 8.判断等差数列的方法:1）、）、(定义法定义法)利用利用an-an-1是否是一个与是否是一个与n无关的常数无关的常数2

3、）、）、(中项公式法中项公式法)判断判断an与与an+1+an-1的关系的关系3、(通项公式法通项公式法)判断判断an=pn+q(p、q为常数为常数)复习引入复习引入9. 数列的前数列的前n项项和：和： 称为数列称为数列aan n 的前的前n n项和，记作项和，记作S Sn n，那么，那么S Sn n1 1表示什么？表示什么？a an n，S Sn n，S Sn n1 1三者之间有什么关系？三者之间有什么关系？naaaa321 1)( 2)( 11nSnSSannn10.10.数列的通项公式能反映数列的数列的通项公式能反映数列的基本特性，在实际问题中常常需要基本特性，在实际问题中常常需要求数列

4、的前求数列的前n n项和项和. .对于等差数列，对于等差数列，为了方便运算，我们希望有一个求为了方便运算，我们希望有一个求和公式，这是一个有待研究的课题和公式，这是一个有待研究的课题. .复习引入复习引入高斯（高斯（Gauss,17771855），），德国著名数学家，他研究的内德国著名数学家，他研究的内容涉及数学的各个领域，被称容涉及数学的各个领域，被称为历史上最伟大的三位数学家为历史上最伟大的三位数学家之一，他与阿基米德、牛顿齐之一，他与阿基米德、牛顿齐名，是数学史上一颗光芒四射名，是数学史上一颗光芒四射的巨星，被誉为的巨星，被誉为“数学王子数学王子”. 有一次，老师与高斯去买铅笔，在商店发

5、有一次，老师与高斯去买铅笔，在商店发现了一个堆放铅笔的现了一个堆放铅笔的V形架，形架，V形架的最下面一层放形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一都比它下面一层多放一支，最上面一层放支，最上面一层放100支支.老师问：高斯，你知道这老师问：高斯，你知道这个个V形架上共放着多少支铅笔吗？形架上共放着多少支铅笔吗？创设情景创设情景问题就是：问题就是：计算计算1 2 3 99 100高斯的算法高斯的算法计算：计算： 1 2 3 99 100 高斯算法的高明之处在于他发现这高斯算法的高明之处在于他发现这100100个数可以分为个数可以分为5050组：组： 第一个数

6、与最后一个数一组；第一个数与最后一个数一组； 第二个数与倒数第二个数一组；第二个数与倒数第二个数一组； 第三个数与倒数第三个数一组，第三个数与倒数第三个数一组， 每组数的和均相等，都等于每组数的和均相等，都等于101101，5050个个101101就等于就等于50505050了。高斯算法将加法问题了。高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果转化为乘法运算，迅速准确得到了结果. .首尾首尾配对配对相加相加法法中间的一中间的一组数是什组数是什么呢？么呢？ 若若V形架的的最下面一层放一支铅笔，往上每形架的的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层一层都比它下面一层多放一支，最上面多

7、放一支，最上面一层有很多支铅笔，一层有很多支铅笔，老师说有老师说有n支。问：支。问：这个这个V形架上共放形架上共放着多少支铅笔？着多少支铅笔？ 创设情景创设情景问题就是：问题就是：1 2 3 (n-1) n若用首尾配对相加法，需要分类讨论若用首尾配对相加法，需要分类讨论.三角形三角形平行四平行四边形边形nn) 1(321计算：2) 1() 1(321nnnnn (n-1) (n-2) 2 1倒序相加法倒序相加法 那么，对一般的等差数列，如何求它的前前n项和项和呢？前前n项和项和) 1() 1(3212nnnn分析：这分析：这其实是求其实是求一个具体一个具体的等差数的等差数列前列前n项项和和.1

8、23nnSaaaa12()nnSn aa 1213212nnnnnSaaaaaaaa121321nnnnaaaaaaaa又问题分析问题分析已知等差数列已知等差数列 an 的首项为的首项为a1，项数，项数是是n，第，第n项为项为如何才能将如何才能将等式的右边等式的右边化简？化简？121nnnnSaaaa1()2nnn aaS即求和公式求和公式1()2nnn aaS等差数列的前等差数列的前n项和的公式：项和的公式：思考：（思考：（1）公式的文字语言；）公式的文字语言；11 ,naand由于1(1)2nn nSnad故（2）公式的特点；）公式的特点；不含不含d可知三可知三求一求一1(1)2nn nS

9、nad等差数列的等差数列的前前n项和等项和等于于首末两项首末两项的和与项数的和与项数乘积的一半乘积的一半。 dnnnaSn2)11 （dnaan)1(1 公式的记忆公式的记忆我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前列前 n 项和公式项和公式.na1an1()2nnn aaS公式的记忆公式的记忆我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前列前 n 项和公式项和公式.a1(n-1)dna1an将图形分割成一个平行四边形和一个三角形将图形分割成一个平行四边形和一个三角形.1(1)2nn nSnad公式应用公式应用 根据下列各题中的条

10、件，求相应的等差数列an的Sn ： （1）a1=5，an=95，n=10 （2）a1=100，d=2，n=505002550 1()12nnn aaS解：10 (595)2500 1(1)22nn nSnad解：50 (50 1)50 100-222550例例1 1、计算、计算（1 1） 5+6+7+79+80（2 2） 1+3+5+1+3+5+ +（2 2n-1-1）（3 3）1-2+3-4+5-6+1-2+3-4+5-6+ +（2 2n-1-1）-2-2n-n例题讲解例题讲解n2 135+ 21n2 解：22nn2n 135+ 212+4+6+2nn3 解：原式21nn n1212nnn

11、3230提示：提示：n=76法二：法二：1212222nnnn 例例2 2 在等差数列在等差数列aan n 中，中， 已知已知 ，求求S S7.7.4053 aa1777()74014022aaS+=例题讲解例题讲解11()()22nkn knn aan aaS 1()2nnn aaS例题讲解例题讲解 例例3 3、20002000年年1111月月1414日教育部下发了日教育部下发了关于在中小关于在中小学实施学实施“校校通校校通”工程的通知工程的通知，某市据此提出了实，某市据此提出了实施施“校校通校校通”工程的总目标：从工程的总目标：从20012001年起用年起用1010年的时年的时间，在全市中

12、小学建成不同标准的校园网。据测算，间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，20012001年该市用于年该市用于“校校通校校通”工程的经费为工程的经费为500500万元。万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加上一年增加5050万元。那么，从万元。那么，从20012001年起的未来年起的未来1010年内，年内，该市在该市在“校校通校校通”工程中的总投入是多少？工程中的总投入是多少？分析：分析：找关键句；找关键句；求什么，如何求；求什么，如何求；解：由题意，该市在解：由题意，该市在“校校通校校通”工程中每年投入工程中每年投入

13、的资金构成等差数列的资金构成等差数列an，且，且a1=500,d=50,n=10.故，该市在未来故，该市在未来10年内的总投入为：年内的总投入为：101010 110 5005072502S万元答答变式练习变式练习 一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺瓦片上面一层铺瓦片21块，往下每一层多铺块，往下每一层多铺1块，斜面上铺了块，斜面上铺了19层，共铺瓦片多少块？层，共铺瓦片多少块？解：由题意，该屋顶斜面每层所铺的瓦解：由题意，该屋顶斜面每层所铺的瓦片数构成等差数列片数构成等差数列an，且，且a1=21，d=1，n=19.于是，屋顶斜面共铺瓦片：于是，屋顶斜

14、面共铺瓦片：191919 119 2115702S 块答：屋顶斜面共铺瓦片答：屋顶斜面共铺瓦片570块块.课堂练习课堂练习答案答案: 27练习练习1、练习练习2、等差数列10，6，2，2，的前_项的和为54？ na在等差数列中，120,54,999,.nnaaSn求答案答案: n=9，或，或n=-3（舍去）（舍去）14,541042n ndn 提示：20+549992n提示：仍是仍是知三知三求一求一练习练习3 已知一个共有已知一个共有n项的等差数项的等差数列前列前4项之和为项之和为26,末四项之和为末四项之和为110,且所有项的和为且所有项的和为187，求，求n.课堂练习课堂练习知识打包知识打

15、包 存放备用存放备用an=a1+(n-1)d对于对于Sn、an 、a1、n、d 五个量，五个量，“知三求二知三求二”.2)(1nnaanSdnnnaSn2) 1(1方程方程(组组)思想思想(待定系数法待定系数法)倒序求和法倒序求和法 掌握与应用掌握与应用课堂小结课堂小结 1 1等差数列前等差数列前n n项和的公式；项和的公式； 2 2等差数列前等差数列前n n项和公式的推导方法项和公式的推导方法倒序相加法；倒序相加法； 3.3.在两个求和公式中在两个求和公式中,各有五个元素各有五个元素,只要只要知道其中三个元素知道其中三个元素,结合通项公式就可求出另结合通项公式就可求出另两个元素两个元素.上页上页下页下页（两个）（两个）1()2nnn aaS1(1)2nn nSnad