高三数学高考二轮复习专题课件16：空间向量与立体几何

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1、1.1.空间向量及其运算空间向量及其运算: :了解空间向量的概念了解空间向量的概念, ,了解空了解空 间向量的基本定理及其意义间向量的基本定理及其意义, ,掌握空间向量的正交分掌握空间向量的正交分 解及其坐标表示解及其坐标表示. .掌握空间向量的线性运算及坐标掌握空间向量的线性运算及坐标 表示表示. .掌握空间向量的数量积及其坐标表示掌握空间向量的数量积及其坐标表示, ,能运能运 用向量的数量积判断向量的共线与垂直用向量的数量积判断向量的共线与垂直. .2.2.空间向量的应用空间向量的应用: :理解直线的方向向量与平面的理解直线的方向向量与平面的 法向量法向量, ,能运用向量语言表述直线与直线

2、能运用向量语言表述直线与直线, ,直线与平直线与平学案学案16 16 空间向量与立体几何空间向量与立体几何 面面, ,平面与平面的垂直关系与平行关系平面与平面的垂直关系与平行关系. .能运用向量能运用向量的方法证明有关直线与平面位置关系的一些定理的方法证明有关直线与平面位置关系的一些定理( (包包括三垂线定理括三垂线定理).).能运用向量的方法解决直线与直能运用向量的方法解决直线与直线线, ,直线与平面直线与平面, ,平面与平面的夹角的计算平面与平面的夹角的计算, ,了解向量了解向量方法在研究立体几何中的应用方法在研究立体几何中的应用. . 1.(20091.(2009北京北京) )若正四棱柱

3、若正四棱柱ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的底面的底面 边长为边长为1,1,ABAB1 1与底面与底面ABCDABCD成成6060角角, ,则则A A1 1C C1 1到底面到底面 ABCDABCD的距离为的距离为 ( )( ) A. B.1 C. D. A. B.1 C. D. 解析解析 如图所示如图所示, ,直线直线ABAB1 1与底面与底面 ABCDABCD所成的角为所成的角为B B1 1ABAB, ,而而A A1 1C C1 1到到 底面底面ABCDABCD的距离为的距离为AAAA1 1, ,在在RtRtABBABB1 1 中中, ,B B1 1B B=

4、 =ABABtan 60tan 60= ,= ,所以所以AAAA1 1 = =BBBB1 1= = 3332. 33D D2.(20092.(2009全国全国)已知正四棱柱已知正四棱柱ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, , AAAA1 1=2=2ABAB, ,E E为为AAAA1 1的中点，则异面直线的中点，则异面直线BEBE与与CDCD1 1所成所成 角的余弦值为角的余弦值为 ( )( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 如图如图, ,连结连结A A1 1B B, ,则则A A1 1B BCDCD1 1, , 故异面直线故异面直线

5、BEBE与与CDCD1 1所成的角即为所成的角即为 BEBE与与A A1 1B B所成的角所成的角. .设设ABAB= =a a, ,则则A A1 1E E= = a a, ,A A1 1B B= = BEBE= = A A1 1BEBE中中, ,由余弦定理得由余弦定理得 1010531010351,5a.2a.10103522522cos2221212121aaaaaBABEEABABEBEAC C3.(20093.(2009四川四川) )如图如图, ,已知正三棱柱已知正三棱柱 ABCABCA A1 1B B1 1C C1 1的各条棱长都相等的各条棱长都相等, , MM是侧棱是侧棱CCCC1

6、 1的中点的中点, ,则异面直线则异面直线 ABAB1 1和和BMBM所成的角的大小是所成的角的大小是_._. 解析解析 延长延长A A1 1B B1 1至至D D, ,使使A A1 1B B1 1= =B B1 1D D, , 则则ABAB1 1BDBD,MBDMBD就是直线就是直线ABAB1 1和和 BMBM所成的角所成的角. . 设三棱柱的各条棱长为设三棱柱的各条棱长为2 2， 则则BMBM= = BDBD= = = =16+4-216+4-24=12.4=12. ,5,2260cos21112112121CADACADADC DM DM2 2= =C C1 1D D2 2+ +C C1

7、 1MM2 2=13,=13, DBMDBM=90=90. . 答案答案 90904.4.若一个底面边长为若一个底面边长为 棱长为棱长为 的正六棱柱的所有的正六棱柱的所有 顶点都在一个球的面上顶点都在一个球的面上, ,则此球的体积为则此球的体积为_._. 解析解析 根据条件正六棱柱的最长的对角线为球的直根据条件正六棱柱的最长的对角线为球的直 径径, ,由由 球体积为球体积为, 02cos222BDBMDMBDBMDBM,26, 3,12)6()6()2(222RR得.34343R34,6题型一题型一 利用空间向量证明空间位置关系利用空间向量证明空间位置关系【例【例1 1】(2009(2009北

8、京北京) )如图如图, ,四棱锥四棱锥P P ABCDABCD的底面是正方形的底面是正方形, ,PDPD底面底面 ABCDABCD, ,点点E E在棱在棱PBPB上上. . (1) (1)求证求证: :平面平面AECAEC平面平面PDBPDB; ; (2) (2)当当PDPD= = ABAB且且E E为为PBPB的中点时的中点时, , 求求AEAE与平面与平面PDBPDB所成的角的大小所成的角的大小. .2方法一方法一 (1)(1)证明证明 四边形四边形ABCDABCD是正方形，是正方形，ACACBDBD. .PDPD平面平面ABCDABCD,PDPDACAC. .ACAC平面平面PDBPDB

9、.平面平面AECAEC平面平面PDBPDB. . (2)(2)解解 设设ACACBDBD= =O O, ,连结连结OEOE. .由由(2)(2)知知ACAC平面平面PDBPDB于于O O. .AEOAEO为为AEAE与平面与平面PDBPDB所成的角所成的角. .O O、E E分别为分别为DBDB、PBPB的中点，的中点，OEOEPDPD且且OEOE= = PDPD. .又又PDPD底面底面ABCDABCD，OEOE底面底面ABCDABCD, ,OEOEAOAO. .在在RtRtAOEAOE中中, ,AEOAEO=45=45, ,即即AEAE与平面与平面PDBPDB所成的角为所成的角为4545.

10、 . 21,2221AOABPDOE方法二方法二 如图如图, ,以以D D为原点建立空间直为原点建立空间直角坐标系角坐标系D Dxyzxyz. .设设ABAB= =a a, ,PDPD= =h h, ,则则A A( (a a,0,0),0,0),B B( (a a, ,a a,0),0),C C(0,(0,a a,0),0),D D(0,0,0),(0,0,0),P P(0,0,(0,0,h h).).(1)(1)证明证明 =(-=(-a a, ,a a,0), =,0), =(0,0,(0,0,h h), =(), =(a a, ,a a,0),0),ACACDPDP, ,ACACBDBD.

11、 .又又BDBDDPDP= =D D, ,ACAC平面平面PDBPDB. .平面平面AECAEC平面平面PDBPDB. . ACDPDB. 0, 0DBACDPAC(2)(2)解解 当当PDPD= = ABAB且且E E为为PBPB的中点时的中点时, ,P P(0,0, ),(0,0, ),设设ACACBDBD= =O O, ,则则 连结连结OEOE. .由由(1)(1)知知ACAC平面平面PDBPDB于于O O. .AEOAEO为为AEAE与平面与平面PDBPDB所成的角所成的角. .AEOAEO=45=45, ,即即AEAE与平面与平面PDBPDB所成的角为所成的角为4545. .【探究拓

12、展探究拓展】本题主要考查直线和平面垂直、平面与】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力等间想象能力、运算能力和推理论证能力等. . 2a2).22,21,21(aaaE),0 ,21,21(aaO.22|cos),22, 0 , 0(),22,21,21(EOEAEOEAAEOaEOaaaEA变式训练变式训练1 1 如图所示，四棱锥如图所示，四棱锥P P ABCDABCD的底面的底面ABCDABCD是边长为是边长为1 1的菱的菱 形形,BCDBCD=60=60, ,E E是

13、是CDCD的中点的中点, , PAPA底面底面ABCDABCD, ,PAPA= = (1) (1)证明证明: :平面平面PBEPBE平面平面PABPAB； (2)(2)求二面角求二面角A ABEBEP P的大小的大小. .方法一方法一 (1)(1)证明证明 如图所示如图所示, ,连接连接BDBD, , 由由ABCDABCD是菱形且是菱形且BCDBCD=60=60知知, , BCDBCD是等边三角形是等边三角形. . 因为因为E E是是CDCD的中点的中点, ,所以所以BEBECDCD, ,. 3又又ABABCDCD, ,所以所以BEBEABAB. .又因为又因为PAPA平面平面ABCDABCD

14、, ,BEBE平面平面ABCDABCD, ,所以所以PAPABEBE. .而而PAPAABAB= =A A, ,因此因此BEBE平面平面PABPAB. .又又BEBE平面平面PBEPBE, ,所以平面所以平面PBEPBE平面平面PABPAB. .(2)(2)解解 由由(1)(1)知知, ,BEBE平面平面PABPAB, ,PBPB平面平面PABPAB, ,所以所以PBPBBEBE. .又又ABABBEBE, ,所以所以PBAPBA是二面角是二面角A ABEBEP P的平面角的平面角. .在在RtRtPABPAB中中,tan,tanPBAPBA= = PBAPBA=60=60. .故二面角故二面

15、角A ABEBEP P的大小是的大小是6060. . , 3ABPA方法二方法二 如图所示如图所示, ,以以A A为原点为原点, ,建建立空间直角坐标系立空间直角坐标系. .则相关各点的则相关各点的坐标分别是坐标分别是A A(0,0,0),(0,0,0),B B(1,0,0),(1,0,0),(1)(1)证明证明 因为因为 =(0, ,0),=(0, ,0),平面平面PABPAB的一个法向的一个法向量是量是n n0 0=(0,1,0),=(0,1,0),所以所以 和和n n0 0共线共线. .从而从而BEBE平面平面PABPAB. .又因为又因为BEBE平面平面PBEPBE, ,所以平面所以平

16、面PBEPBE平面平面PABPAB. . ).0 ,23, 1 (),3, 0 , 0(),0 ,23,21(),0 ,23,23(EPDCBE23BE(2)(2)解解 易知易知 =(1,0, ), =(0, ,0),=(1,0, ), =(0, ,0),设设n n1 1=(=(x x1 1, ,y y1 1, ,z z1 1) )是平面是平面PBEPBE的一个法向量，的一个法向量，所以所以y y1 1=0,=0,x x1 1= = z z1 1. .故可取故可取n n1 1=( ,0,1).=( ,0,1).而平面而平面ABEABE的一个法向量是的一个法向量是n n2 2=(0,0,1).=

17、(0,0,1).于是于是,cos,cosn n1 1, ,n n2 2故二面角故二面角A ABEBEP P的大小是的大小是6060. . 233PBBE. 00230, 030111111zyxzyx则有33.21|2121nnnn题型二题型二 利用空间向量求空间角利用空间向量求空间角【例【例2 2】如图所示】如图所示, ,在三棱锥在三棱锥S SABCABC 中中, ,侧面侧面SABSAB与侧面与侧面SACSAC均为等边三均为等边三 角形角形,BACBAC=90=90, ,O O为为BCBC中点中点. . (1) (1)证明证明: :SOSO平面平面ABCABC; ; (2) (2)求二面角求

18、二面角A ASCSCB B的余弦值的余弦值. . (1)(1)证明证明 由题设由题设ABAB= =ACAC= =SBSB= =SCSC= =SASA. .ABCABC为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，连结连结OAOA, ,所以所以OAOA= =OBOB= =OCOC= = SASA, ,且且AOAOBCBC, ,又又SBCSBC为等腰三角形为等腰三角形, ,故故SOSOBCBC, ,且且SOSO= = SASA, ,从而从而OAOA2 2+ +SOSO2 2= =SASA2 2，所以所以SOASOA为直角三角形为直角三角形, ,SOSOAOAO. .又又AOAOBCBC= =O O, ,所以

19、所以SOSO平面平面ABCABC. . 2222(2)(2)解解 方法一方法一 取取SCSC中点中点MM, ,连结连结AMAM, ,OMOM, ,由由(1)(1)知知SOSO= =OCOC, ,SASA= =ACAC, ,得得OMOMSCSC, ,AMAMSCSC. .OMAOMA为二面角为二面角A ASCSCB B的平面角的平面角. .由由AOAOBCBC, ,AOAOSOSO, ,SOSOBCBC= =O O得得AOAO平面平面SBCSBC, ,所以所以AOAOOMOM, ,又又AMAM= = SASA, ,所以二面角所以二面角A ASCSCB B的余弦值为的余弦值为 23,3632sin

20、AMAOAMO故.33方法二方法二 以以O O为坐标原点为坐标原点, ,射线射线OBOB、OAOA、OSOS分别为分别为x x轴轴, ,y y轴轴, ,z z轴的正半轴的正半轴轴, ,建立如图所示的空间直角坐标建立如图所示的空间直角坐标系系O Oxyzxyz, ,设设B B(1,0,0),(1,0,0),则则C C(-1,0,0),(-1,0,0),A A(0,1,0),(0,1,0),S S(0,0,1).(0,0,1). 0, 0).1, 0 , 1(),21, 1 ,21(),21, 0 ,21(),21, 0 ,21(SCMASCMOSCMAMOMSC的中点 故故MOMOSCSC, ,

21、MAMASCSC, , 的大小等于二面角的大小等于二面角A ASCSCB B的平面角的平面角. . 所以二面角所以二面角A ASCSCB B的余弦值为的余弦值为 【探究拓展探究拓展】利用向量解决二面角的问题时】利用向量解决二面角的问题时, ,一定要一定要 注意法向量的方向注意法向量的方向, ,否则易求成其补角否则易求成其补角, ,再观察图形再观察图形 才能确定其具体值才能确定其具体值. . MAMO,33|,cosMAMOMAMOMAMO.33变式训练变式训练2 2 如图所示如图所示, ,正四棱柱正四棱柱AB-AB- CD CDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,AAAA

22、1 1=2=2ABAB=4,=4,点点E E在在 CCCC1 1上且上且C C1 1E E=3=3ECEC. . (1) (1)证明证明: :A A1 1C C平面平面BEDBED; ; (2) (2)求二面角求二面角A A1 1DEDEB B的余弦值的余弦值. . 方法一方法一 (1)(1)证明证明 依题设依题设, ,ABAB=2,=2,CECE=1.=1. 连接连接ACAC交交BDBD于点于点F F, ,则则BDBDACAC. . 由三垂线定理知由三垂线定理知, ,BDBDA A1 1C C. . 在平面在平面A A1 1CACA内内, ,连接连接EFEF交交A A1 1C C于点于点G

23、G, , 故故RtRtA A1 1ACACRtRtFCEFCE,AAAA1 1C C=CFECFE, ,221CEACFCAA由于CFECFE与与FCAFCA1 1互余互余. .于是于是A A1 1C CEFEF. . A A1 1C C与平面与平面BEDBED内两条相交直线内两条相交直线BDBD, ,EFEF都垂直都垂直, ,所以所以A A1 1C C平面平面BEDBED. .(2)(2)解解 作作GHGHDEDE, ,垂足为垂足为H H, ,连接连接A A1 1H H. .由三垂线定理知由三垂线定理知A A1 1H HDEDE, ,故故A A1 1HGHG是二面角是二面角A A1 1DED

24、EB B的平面角的平面角. .32, 322EFCFCECGCECFEF所以二面角所以二面角A A1 1DEDEB B的余弦值为的余弦值为 . 55tan.365,62.15231,31,331111221122HGGAHGACGCAGAACAACADEFDEFGHEFEGCGCEEG又.4214方法二方法二 以以D D为坐标原点为坐标原点, ,分别以分别以DADA、DCDC、DDDD1 1为为x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴轴, ,建立如图所示直角坐标系建立如图所示直角坐标系D Dxyzxyz. .依题设依题设, ,B B(2,2,0),(2,2,0),C C(0,2,0),(0,2,0

25、),E E(0,2,1),(0,2,1),A A1 1(2,0,4).(2,0,4). =(0,2,1), =(2,2,0), =(0,2,1), =(2,2,0), =(-2,2,-4), =(2,0,4). =(-2,2,-4), =(2,0,4).(1)(1)证明证明 因为因为故故A A1 1C CBDBD, ,A A1 1C CDEDE. .又又DBDBDEDE= =D D，所以，所以A A1 1C C平面平面DBEDBE. . DECA11DADB, 0, 011DECADBCA(2)(2)解解 设向量设向量n n=(=(x x, ,y y, ,z z) )是平面是平面DADA1 1

26、E E的法向量的法向量, ,则则n n , ,n n 故故2 2y y+ +z z=0,2=0,2x x+4+4z z=0,=0,令令y y=1,=1,则则z z=-2,=-2,x x=4,=4,n n=(4,1,-2).=(4,1,-2). 等于二面角等于二面角A A1 1DEDEB B的平面角的大小的平面角的大小, ,所以二面角所以二面角A A1 1DEDEB B的余弦值为的余弦值为 DE.1DACAn1,.4214|,cos111CAnCAnCAn.4214题型三题型三 利用空间向量求距离利用空间向量求距离【例【例3 3】(2009(2009江西江西) )在四棱锥在四棱锥 P PABCD

27、ABCD中中, ,底面底面ABCDABCD是矩形是矩形, , PAPA平面平面ABCDABCD, ,PAPA= =ADAD=4,=4,ABAB= = 2, 2,以以ACAC中点中点O O为球心为球心, ,ACAC为直径为直径 的球面交的球面交PDPD于点于点MM, ,交交PCPC于点于点N N. . (1) (1)求证求证: :平面平面ABMABM平面平面PCDPCD, , (2) (2)求直线求直线CDCD与平面与平面ACMACM所成的角的大小；所成的角的大小； (3)(3)求点求点N N到平面到平面ACMACM的距离的距离. . 方法一方法一 (1)(1)证明证明 依题设知依题设知, ,A

28、CAC是所作球面的直径是所作球面的直径, ,则则AMAMMCMC. .又因为又因为PAPA平面平面ABCDABCD, ,所以所以PAPACDCD. .又又CDCDADAD, ,ADADPAPA= =A A, ,所以所以CDCD平面平面PADPAD. .所以所以CDCDAMAM. .AMAMMCMC= =MM, ,所以所以AMAM平面平面PCDPCD, ,AMAM平面平面ABMABM, ,所以平面所以平面ABMABM平面平面PCDPCD. . (2)(2)解解 由由(1)(1)知知, ,AMAMPDPD, ,又又PAPA= =ADAD, ,则则MM是是PDPD的中的中点点, ,可得可得AMAM=

29、 = 且且MM到平面到平面ABCDABCD的距离为的距离为2.2.设设D D到平面到平面ACMACM的距离为的距离为h h, ,由由V VD DACMACM= =V VMMACDACD, ,设所求角为设所求角为 , ,则则22. 4,6221. 3222ACDACMSMCAMSCDMDMC则.362, 862hh可求得即.36arcsin,36sinCDh(3)(3)解解 由由(1)(1)可求得可求得PCPC=6,=6,因为因为ANANNCNC, ,由由得得PNPN= = 所以所以NCNC: :PCPC=5:9.=5:9.故点故点N N到平面到平面ACMACM的距离等于点的距离等于点P P到平

30、面到平面ACMACM距离的距离的又因为又因为MM是是PDPD的中点的中点, ,则则P P、D D到平面到平面ACMACM的距离相等的距离相等. .由由(2)(2)可知所求的距离为可知所求的距离为,PCPAPAPN,38.95.2761095h方法二方法二 (1)(1)同方法一同方法一; ;(2)(2)解解 如图所示如图所示, ,建立空间直角坐建立空间直角坐标系标系, ,则则A A(0,0,0),(0,0,0),P P(0,0,4),(0,0,4),B B(2,0,(2,0,0),0),C C(2,4,0),(2,4,0),D D(0,4,0),(0,4,0),MM(0,2,2).(0,2,2)

31、.设平面设平面ACMACM的一个法向量的一个法向量n n=(=(x x, ,y y, ,z z),),令令z z=1,=1,则则n n=(2,-1,1).=(2,-1,1).设所求角为设所求角为 , ,则则所求角的大小为所求角的大小为022, 042,zyyxAMnACn可得由.36|,cos|sinnCDnCDnCD.36arcsin(3)(3)解解 由条件可得由条件可得, ,ANANNCNC, ,在在RtRtPACPAC中中, ,PAPA2 2= =PNPNPCPC, ,所以所以PNPN= =所求距离等于点所求距离等于点P P到平面到平面ACMACM距离的距离的 设点设点P P到平面到平面

32、ACMACM的距离为的距离为h h, ,则则 所以所求距离为所以所求距离为 ,38.95,310PCNCPNPCNC则.95.2761095h,362|nnAPh【探究拓展探究拓展】在空间图形中】在空间图形中, ,如果线段较多如果线段较多, ,关系较为关系较为 复杂复杂( (如平行、垂直、角和距离等均有涉及如平行、垂直、角和距离等均有涉及),),常常需常常需 要多种方法灵活使用要多种方法灵活使用, ,合理结合合理结合, ,才能达到较为理想才能达到较为理想 的效果的效果, ,在建立坐标后在建立坐标后, ,应根据条件首先确定相应点应根据条件首先确定相应点 的坐标，然后通过向量的坐标计算解决相应问题

33、的坐标，然后通过向量的坐标计算解决相应问题. . 变式训练变式训练3 3 如图所示如图所示, ,在四棱锥在四棱锥P PABCDABCD中中, ,侧面侧面 PADPAD底面底面ABCDABCD, ,侧棱侧棱PAPA= =PDPD= = , ,底面底面ABCDABCD为直角梯形为直角梯形, ,其中其中 BCBCADAD, ,ABABADAD, ,ADAD=2=2ABAB= = 2 2BCBC=2,=2,O O为为ADAD中点中点. . (1) (1)求证求证: :POPO平面平面ABCDABCD; ; (2) (2)求异面直线求异面直线PBPB与与CDCD所成角的余弦值；所成角的余弦值； (3)(

34、3)求点求点A A到平面到平面PCDPCD的距离的距离. . 2方法一方法一 (1)(1)证明证明 在在PADPAD中中, ,PAPA= =PDPD, ,O O为为ADAD中点中点, ,所以所以POPOADAD. .又侧面又侧面PADPAD底面底面ABCDABCD, ,平面平面PADPAD平面平面ABCDABCD= =ADAD, ,POPO平面平面PADPAD, ,所以所以POPO平面平面ABCDABCD. .(2)(2)解解 连接连接BOBO, ,在直角梯形在直角梯形ABCDABCD中中, ,BCBCADAD, ,ADAD=2=2ABAB=2=2BCBC，又又ODODBCBC且且OD=BCO

35、D=BC，所以四边形所以四边形OBCDOBCD是平行四边形，是平行四边形，所以所以OBOBDCDC. . 由由(1)(1)知知, ,POPOOBOB,PBOPBO为锐角为锐角, ,所以所以PBOPBO是异面直线是异面直线PBPB与与CDCD所成的角所成的角. .因为因为ADAD=2=2ABAB=2=2BCBC=2=2，在在RtRtAOBAOB中中, ,ABAB=1,=1,AOAO=1,=1,所以所以OBOB= = 在在RtRtPOAPOA中中, ,因为因为APAP= = AOAO=1,=1,所以所以OPOP=1,=1,在在RtRtPBOPBO中中, ,所以异面直线所以异面直线PBPB与与CDC

36、D所成的角的余弦值为所成的角的余弦值为 ,2,2, 322OBOPPB,3632cosPBOBPBO.36(3)(3)解解 由由(2)(2)得得CDCD= =OBOB= = 在在RtRtPOCPOC中中, ,所以所以PCPC= =CDCD= =DPDP, ,S SPCDPCD= =又又S SACDACD= = ADADABAB=1,=1,设点设点A A到平面到平面PCDPCD的距离为的距离为h h, ,由由V VP PACDACD= =V VA APCDPCD, ,得得 S SACDACDOPOP= = S SPCDPCDh h, ,方法二方法二 (1)(1)同方法一同方法一. .2,222O

37、POCPC.23243213131.332,23311131hh 解得即(2)(2)解解 以以O O为坐标原点为坐标原点, , 的方向分别为的方向分别为x x 轴轴、y y轴轴、z z轴的正方向轴的正方向, ,建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系O Oxyzxyz. .则则A A(0,-1,0),(0,-1,0),B B(1,-1,0),(1,-1,0),C C(1,0,0),(1,0,0),D D(0,1,0),(0,1,0),P P(0,0,1).(0,0,1).所以异面直线所以异面直线PBPB与与CDCD所成的角的余弦值为所成的角的余弦值为 ,362311|,cos),1, 1, 1 (

38、),0 , 1 , 1(CDPBCDPBCDPBPBCD则所以.36OP、OD、OC(3)(3)解解 设平面设平面PCDPCD的法向量为的法向量为n n=(=(x x0 0, ,y y0 0, ,z z0 0),),由由(2)(2)知知 =(-1,0,1), =(-1,1,0),=(-1,0,1), =(-1,1,0),即即x x0 0= =y y0 0= =z z0 0, ,取取x x0 0=1,=1,得平面的一个法向量为得平面的一个法向量为n n=(1,1,1),=(1,1,1),又又 =(1,1,0).=(1,1,0).从而点从而点A A到平面到平面PCDPCD的距离的距离CPCD,00

39、,000000yxzxCDnCPn所以则AC.33232|nnACd题型四题型四 利用空间向量解决探索性问题利用空间向量解决探索性问题【例【例4 4】(2009(2009北京北京) )如图如图, ,在三棱锥在三棱锥 P PABCABC中中, ,PAPA底面底面ABCABC, ,PAPA= =ABAB, , ABCABC=60=60,BCABCA=90=90, ,点点D D、E E 分别在棱分别在棱PBPB、PCPC上上, ,且且DEDEBCBC. . (1) (1)求证求证: :BCBC平面平面PACPAC. . (2) (2)当当D D为为PBPB的中点时的中点时, ,求求ADAD与平面与平

40、面PACPAC所成的角的所成的角的 大小大小. . (3) (3)是否存在点是否存在点E E使得二面角使得二面角A ADEDEP P为直二面角？为直二面角？ 并说明理由并说明理由. . 方法一方法一 (1)(1)证明证明 PAPA底面底面ABCABC,PAPABCBC. .又又BCABCA=90=90,ACACBCBC. .又又ACACPAPA= =A A,BCBC平面平面PACPAC. .(2)(2)解解 D D为为PBPB的中点的中点, ,DEDEBCBC,DEDE= = BCBC. .又由又由(1)(1)知知, ,BCBC平面平面PACPAC, ,DEDE平面平面PACPAC, ,垂足为

41、点垂足为点E E. .DAEDAE是是ADAD与平面与平面PACPAC所成的角所成的角. .PAPA底面底面ABCABC,PAPAABAB. .又又PAPA= =ABAB,ABPABP为等腰直角三角形为等腰直角三角形. .ADAD= = ABAB. .在在RtRtABCABC中中,ABCABC=60=60, ,2122BCBC= = ABAB.DEDE= = ABAB. .在在RtRtADEADE中，中，sinsinDAEDAE= =ADAD与平面与平面PACPAC所成的角的大小为所成的角的大小为(3)(3)解解 DEDEBCBC, ,又由又由(1)(1)知知, ,BCBC平面平面PACPAC

42、, ,DEDE平面平面PACPAC. .又又AEAE平面平面PACPAC, ,PEPE平面平面PACPAC, ,DEDEAEAE, ,DEDEPEPE. .AEPAEP为二面角为二面角A ADEDEP P的平面角的平面角. .PAPA底面底面ABCABC,PAPAACAC,PACPAC=90=90. .在棱在棱PCPC上存在一点上存在一点E E, ,使得使得AEAEPCPC. .这时这时,AEPAEP=90=90, ,故存在点故存在点E E使得二面角使得二面角A ADEDEP P是直二面角是直二面角. . 2141.42ADDE.42arcsin方法二方法二 如图所示如图所示, ,以以A A为

43、原点建立为原点建立空间直角坐标系空间直角坐标系A Axyzxyz, ,设设PAPA= =a a, ,由已知可得由已知可得A(A(0,0,0),0,0,0),P P(0,0,(0,0,a a).).(1)(1)证明证明 =(0,0, =(0,0,a a),), =( ,0,0), =( ,0,0), BCBCAPAP. .又又BCABCA=90=90,BCBCACAC, ,又又ACACAPAP= =A A,BCBC平面平面PACPAC. . ),0 ,23, 0(),0 ,23,21(aCaaB APBCa21, 0APBC(2)(2)解解 D D为为PBPB的中点的中点, ,DEDEBCBC,

44、E E为为PCPC的中点的中点, ,又由又由(1)(1)知知, ,BCBC平面平面PACPAC, ,DEDE平面平面PACPAC, ,垂足为点垂足为点E E. .DAEDAE是是ADAD与平面与平面PACPAC所成的角，所成的角，ADAD与平面与平面PACPAC所成的角的大小为所成的角的大小为),21,43, 0(),21,43,41(aaEaaaD .414|cos),21,43, 0(),21,43,41(AEADAEADDAEaaAEaaaAD.414arccos (3) (3)同方法一同方法一. .【探究拓展探究拓展】本题主要考查直线和平面垂直、直线与】本题主要考查直线和平面垂直、直线

45、与 平面所成的角、二面角等基础知识平面所成的角、二面角等基础知识, ,考查空间想象能考查空间想象能 力、运算能力和推理论证能力力、运算能力和推理论证能力. . 变式训练变式训练4 4 (2009 (2009福建福建) )如图所如图所 示示, ,四边形四边形ABCDABCD是边长为是边长为1 1的正方的正方 形形, ,MDMD平面平面ABCDABCD, ,NBNB平面平面 ABCDABCD, ,且且MDMD= =NBNB=1,=1,E E为为BCBC的中点的中点. . (1) (1)求异面直线求异面直线NENE与与AMAM所成角的余弦值；所成角的余弦值； (2)(2)在线段在线段ANAN上是否存

46、在点上是否存在点S S, ,使得使得ESES平面平面AMNAMN？ 若存在，求线段若存在，求线段ASAS的长；若不存在，请说明理由的长；若不存在，请说明理由. . 解解 (1)(1)如图如图, ,以以D D为坐标原点为坐标原点, ,建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系 D Dxyzxyz. . 依题意依题意, ,易得易得D D(0,0,0),(0,0,0),A A(1,0,0),(1,0,0), MM(0,0,1),(0,0,1),C C(0,1,0),(0,1,0),B B(1,1,0),(1,1,0), N N(1,1,1),(1,1,1),E E( ,1,0).( ,1,0). 异面直线

47、异面直线NENE与与AMAM所成角的余弦值为所成角的余弦值为 21.101022521|,cos).1 , 0 , 1(),1, 0 ,21(AMNEAMNEAMNEAMNE.1010(2)(2)假设在线段假设在线段ANAN上存在点上存在点S S, ,使得使得ESES平面平面AMNAMN. .由由ESES平面平面AMNAMN, ,得得经检验经检验, ,当当ASAS= = 时时, ,ESES平面平面AMNAMN. .故线段故线段ANAN上存在点上存在点S S, ,使得使得ESES平面平面AMNAMN, ,此时此时ASAS= = )., 1,21(),0 , 1,21(), 0(),1 , 1 ,

48、 0(ASEAESEAANASAN又可设, 0, 0ANESAMES.22|),21,21, 0(,21. 0) 1(, 021ASAS此时故即22.22【考题再现】【考题再现】(2009(2009四川四川) )如图如图, ,正方形正方形ABCDABCD所所 在平面与平面四边形在平面与平面四边形ABEFABEF所在平所在平 面互相垂直面互相垂直, ,ABEABE是等腰直角三是等腰直角三 角形角形, ,ABAB= =AEAE, ,FAFA= =FEFE,AEFAEF=45=45. . (1) (1)求证求证: :EFEF平面平面BCEBCE. . (2) (2)设线段设线段CDCD的中点为的中点

49、为P P, ,在直线在直线AEAE上是否存在一点上是否存在一点 MM, ,使得使得PMPM平面平面BCEBCE？若存在？若存在, ,请指出点请指出点MM的位置的位置, , 并证明你的结论并证明你的结论; ;若不存在若不存在, ,请说明理由请说明理由; ; (3) (3)求二面角求二面角F FBDBDA A的余弦值的余弦值. . 【解题示范解题示范】(1)(1)证明证明 因为因为ABEABE为等为等腰直角三角形腰直角三角形, ,ABAB= =AEAE, ,所以所以AEAEABAB. .又因为平面又因为平面ABEFABEF平面平面ABCDABCD, ,AEAE平面平面ABEFABEF, ,平面平面

50、ABEFABEF平面平面ABCDABCD= =ABAB, ,所以所以AEAE平面平面ABCDABCD. .所以所以AEAEADAD. .因此因此, ,ADAD, ,ABAB, ,AEAE两两垂直两两垂直, ,以以A A为坐标为坐标原点建立如图所示的直角坐标系原点建立如图所示的直角坐标系A Axyzxyz. .设设ABAB=1,=1,则则AEAE=1,=1,B B(0,1,0),(0,1,0),D D(1,0,0),(1,0,0),E E(0,0,1),(0,0,1),C C(1,1,0).(1,1,0).因为因为FAFA= =FEFE,AEFAEF=45=45, ,所以所以AFEAFE=90=

51、90. . 从而从而, , 所以所以 =(0,-1,1), =(1,0,0).=(0,-1,1), =(1,0,0).所以所以EFEFBEBE, ,EFEFBCBC. .因为因为BEBE平面平面BCEBCE, ,BCBC平面平面BCEBCE, ,BCBCBEBE= =B B, ,所以所以EFEF平面平面BCEBCE. . 4 4分分).21,21, 0( F),21,21, 0(EFBEBC. 0, 021210BCEFBEEF(2)(2)解解 存在点存在点MM, ,当当MM为为AEAE中点时中点时, ,PMPM平面平面BCEBCE. .所以所以PMPMFEFE, ,又又EFEF平面平面BCE

52、BCE, ,直线直线PMPM平面平面BCEBCE, ,故故PMPM平面平面BCEBCE. . 8 8分分(3)(3)解解 设平面设平面BDFBDF的一个法向量为的一个法向量为n n1 1, ,并设并设n n1 1=(=(x x, ,y y, ,z z) ). .0)21,21, 0()21,21, 1(),21,21, 1().0 ,21, 1 (),21, 0 , 0(EFPMPMPM于是从而. 02132. 0, 0, 0).21,23, 0(),0 , 1, 1 (11zyyxBFnBDnBFBD即取取y y=1,=1,则则x x=1,=1,z z=3.=3.从而从而n n1 1=(1,

53、1,3).=(1,1,3).取平面取平面ABDABD的一个法向量为的一个法向量为n n2 2=(0,0,1).=(0,0,1).故二面角故二面角F FBDBDA A的余弦值为的余弦值为 1212分分.111131113|,cos212121nnnnnn.11113从近几年的高考试题看，立体几何解答题大多为可用从近几年的高考试题看，立体几何解答题大多为可用向量向量( (坐标坐标) )法求解法求解, ,从而使解题更简捷有效从而使解题更简捷有效, ,对空间向对空间向量的考查主要集中于对向量概念和运算的考查，特别量的考查主要集中于对向量概念和运算的考查，特别是平行、垂直关系及夹角、距离的运算，要结合直

54、线是平行、垂直关系及夹角、距离的运算，要结合直线的方向向量及平面的法向量，这些方法比传统的空间的方向向量及平面的法向量，这些方法比传统的空间关系几何法具备明显的优越性关系几何法具备明显的优越性. .利用空间向量解决立体几何问题的策略：利用空间向量解决立体几何问题的策略：1.1.基向量法基向量法: :利用空间向量基本定理利用空间向量基本定理, ,用一组基底把有用一组基底把有 关空间向量表示出来，然后通过向量的有关运算解关空间向量表示出来，然后通过向量的有关运算解 决决. .2.2.坐标法坐标法: :通过建立适当的空间直角坐标系通过建立适当的空间直角坐标系, ,通过向量通过向量 的坐标运算解决问题

55、，其步骤为的坐标运算解决问题，其步骤为: :建立立体图形与建立立体图形与 空间向量的联系，首先建立适当的坐标系空间向量的联系，首先建立适当的坐标系, ,正确找到正确找到 相关点的坐标，用空间向量表示问题中涉及的直线相关点的坐标，用空间向量表示问题中涉及的直线 平面平面. .把立体几何问题转化为向量问题把立体几何问题转化为向量问题. .通过向量通过向量 运算运算, ,研究点研究点、直线直线、平面之间的位置关系平面之间的位置关系( (如平行如平行、 垂直、共面垂直、共面) )以及它们之间的距离和夹角等问题以及它们之间的距离和夹角等问题. . 把向量的运算结果把向量的运算结果“翻译翻译”成相应的几何

56、意义成相应的几何意义. . 一、选择题一、选择题 1.1.如图在平行六面体如图在平行六面体ABCDABCD A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,MM是面是面BCCBCC1 1B B1 1的中的中 心心, ,若若 给出以下结论：给出以下结论： a a+ +b b+ +c c=2;=2; a a=1;=1;a a=2=2c c; ;a a= =b b, , 其中正确结论的个数是其中正确结论的个数是 ( )( ) A.1 B.2 C.3 D.4 A.1 B.2 C.3 D.4 ;3231 b.1AAcADbABaAM解析解析 由题意知由题意知所以所以a a=1,=1,b b=

57、=c c= = 则则a a+ +b b+ +c c=2, =2, a a=1,=1,a a=2=2c c. .答案答案 D D 2.2.如图如图, ,在正方体在正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1 中中, ,E E、F F、G G分别为分别为CDCD、AAAA1 1、BBBB1 1 的中点，则异面直线的中点，则异面直线EFEF与与D D1 1G G所成所成 的角的余弦值等于的角的余弦值等于 ( )( ) A. B. C. D. A. B. C. D. ,2121)(2111AAADABBBBCABBMABAM;21,3231 b183186126123解析解析

58、 建立以建立以DADA为为x x轴轴, ,DCDC为为y y轴轴, ,DDDD1 1为为z z轴的空间坐标系轴的空间坐标系, ,设设ABAB=2=2a a, ,则则F F(2(2a a,0,0,a a),),E E(0,(0,a a,0),0),G G(2(2a a,2,2a a, ,a a),),D D1 1(0,0,2(0,0,2a a),),所以所以 =(2=(2a a,-,-a a, ,a a),), =(2=(2a a,2,2a a,-,-a a),),答案答案 B BEFGD1.18663|cos2211aaGDEFGDEF所以3.3.已知点已知点P P, ,A A, ,B B,

59、,C C共面共面, ,点点O O不在该平面内不在该平面内, ,S Sn n是等差是等差 数列数列 a an n 的前的前n n项和项和, ,且满足且满足: : 则则S S2 0092 009的值为的值为 ( )( ) A.2 007 B.2 008 A.2 007 B.2 008 C.2 009 D.2 010 C.2 009 D.2 010 解析解析 因点因点P P, ,A A, ,B B, ,C C共面共面, ,点点O O不在该面内不在该面内, , 所以所以a a1 1+ +a a2 0092 009= =a a5 5+ +a a2 0052 005=2,=2,410074OCaOBaOA

60、aOP532141, 1)(21, 141214100525007453aaaaa即则.00922)(0092009210092aaS则C C4.(20084.(2008北京北京) )如图所示如图所示, ,动点动点P P在正在正 方体方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的对角线的对角线BDBD1 1 上上, ,过点过点P P作垂直于平面作垂直于平面BBBB1 1D D1 1D D的直的直 线线, ,与正方体表面相交于与正方体表面相交于MM、N N两点两点, , 设设BPBP= =x x, ,MNMN= =y y, ,则函数则函数y y= =f f( (x x)

61、)的图象大致是的图象大致是 ( )( )解析解析 如图所示如图所示, ,由题意知由题意知MNMN始终始终与平面与平面BBBB1 1D D1 1D D垂直垂直, ,则则MNMN应在过应在过BDBD1 1且与平面且与平面BBBB1 1D D1 1D D垂直的平面内垂直的平面内, ,取取AAAA1 1的中点为的中点为O O, ,连结连结D D1 1O O、B B1 1O O, ,则平面则平面D D1 1OBOB即为过即为过BDBD1 1且与平面且与平面BBBB1 1D D1 1D D垂直的平面垂直的平面, ,则则MM的轨迹为线段的轨迹为线段OBOB或或ODOD1 1. .然后根据解三角形的知然后根据

62、解三角形的知识得识得y y关于关于x x的函数关系式的函数关系式, ,从而可知图象应为两条折从而可知图象应为两条折线段线段. .答案答案 B B 5.5.在正四面体在正四面体S SABCABC中中, ,E E为为SASA的的 中点中点, ,F F为为ABCABC的中心的中心, ,则异面直则异面直 线线EFEF与与ABAB所成的角是所成的角是 ( )( ) A.30 A.30 B.45 B.45 C.60 C.60 D.90 D.90 解析解析 过过F F作作FMFMABAB交交ACAC于点于点MM, , 连接连接EMEM, ,EFEF, ,SFSF, ,AFAF, ,则则EFMEFM是异是异

63、面直线面直线ABAB、EFEF所成的角或其补角所成的角或其补角, , 因为点因为点F F是底面的中心是底面的中心, , AFAF平分平分BACBAC, ,又又FMFMABAB, , AMAM= =FMFM, ,SFSF面面ABCABC,SFSFAFAF，E E是是SASA的中点的中点, , AEAE= =FEFE,MAEMAEMFEMFE, ,MAEMAE=MFEMFE,EFMEFM=60=60. .答案答案 C C 6.6.正方体正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为2,2,点点MM是棱是棱ABAB上上 异于点异于点A A的一定点的一定点, ,

64、点点P P是平面是平面ABCDABCD内的一动点内的一动点, ,且点且点 P P到直线到直线A A1 1D D1 1的距离的平方比到点的距离的平方比到点MM的距离的平方大的距离的平方大 4,4,则点则点P P的轨迹形状为的轨迹形状为 ( )( ) A. A.圆圆 B.B.椭圆椭圆 C.C.双曲线双曲线 D.D.抛物线抛物线 解析解析 如图如图, ,建立以建立以DADA为为x x轴轴, ,DCDC为为y y轴轴, ,DDDD1 1为为z z轴的空间直角坐标系轴的空间直角坐标系, ,设设MM(2,(2,a a,0) (,0) (a a(0,2(0,2且为常数且为常数),),P P( (x x, ,

65、y y,0).,0).由题意可知点由题意可知点P P到直线到直线A A1 1D D1 1的距离为的距离为则则| |PQPQ| |2 2=|=|PMPM| |2 2+4,+4,P P的轨迹应为一条抛物线的轨迹应为一条抛物线. .答案答案 D D ,4|2yPQ.)()2(|22ayxPM.2)2(212axay即二、填空题二、填空题7.7.已知球已知球O O的面上四点的面上四点A A、B B、C C、D D, ,DADA平面平面ABCABC, , ABABBCBC, ,DADA= =ABAB= =BCBC= ,= ,则球则球O O的体积等于的体积等于_._. 解析解析 以以CDCD为弦为弦, ,

66、连结两端点与球面上的点连结两端点与球面上的点A A、B B, ,均均 有有ACACADAD, ,BCBCBDBD, ,由此可判定由此可判定CDCD为该球的直径为该球的直径, , 由由DADA= =ABAB= =BCBC= = 得得 所以球所以球 的半径的半径 所以所以V V球球= =33, 3222BCABDACD,23R.29)23(343298.8.已知已知m m=(=(a a1 1, ,a a2 2, ,a a3 3),),n n=(=(b b1 1, ,b b2 2, ,b b3 3),),且且| |m m|=5,|=5,|n n|=6,|=6, m mn n=30,=30,则则 =_.=_. 解析解析 因因m mn n=|=|m m|n n|cos|cosm m, ,n n, , 又又| |m m|=5,|=5,|n n|=6,|=6, m mn n=30,=30,所以所以coscosm m, ,n n=1,=1, 即即m m与与n n同向共线同向共线, ,故可设故可设m m= =k kn n( (k k0),0), 即即a a1 1= =kbkb1 1, ,a a2 2=