第九章----方差分析学习教案

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1、会计学1第九章第九章-方差分析方差分析第一页，共61页。 t 检验检验u 检验检验单样本单样本样本均数与样本均数与总体均数总体均数n较小较小已知，已知，未知但未知但n足够大足够大两样本两样本样本均数与样本均数与样本均数样本均数n1、n2均较均较小小n1、n2均较大均较大 适用于适用于 u 检验的资料都可以使用检验的资料都可以使用 t 检验检验多个样本均数比较多个样本均数比较 方差分析（方差分析（F检验）检验）第1页/共61页第二页，共61页。第2页/共61页第三页，共61页。 例6.1 随机抽取5059岁男性正常者、冠心病人、脂肪肝患者各11人，测定空腹血糖值，试推断(tudun)三类人群空腹

2、血糖值总体均数是否相同？第3页/共61页第四页，共61页。 第一节 方差分析的概述(i sh)第4页/共61页第五页，共61页。 在进行科研时,有时需要按实验设计将所研究的对象随机分为多个处理组,施加不同的干预措施,所施加的干预措施称为处理因素。 处理因素至少(zhsho)有两个水平。 第5页/共61页第六页，共61页。 一、多个样本均数间的比较能否(nn fu)用 t 检 验或 u 检验？为什么？ 第6页/共61页第七页，共61页。原因原因: 五个样本均数进行比较五个样本均数进行比较, 每次两个均每次两个均数作一次数作一次 t 检验检验, 共需作共需作10（C52=10）次次 t 检验。若每

3、次比较的检验水准检验。若每次比较的检验水准0.05, 则每次比较不犯则每次比较不犯型错误的概率型错误的概率为（为（1-）0.95。当这些检验独立进。当这些检验独立进行时行时, 则则10次比较均不犯次比较均不犯型错误的概型错误的概率为率为0.95100.5987, 此时犯此时犯型错误的型错误的概率概率, 即总的检验水准即总的检验水准变为变为1-0.59870.4013比比0.05大的多。犯大的多。犯型错误的概型错误的概率增大率增大, 可能将原本无差别的两个总体可能将原本无差别的两个总体(zngt)推断为有差别推断为有差别, 误判为有统计意误判为有统计意义。因此多重比较不宜用的义。因此多重比较不宜

4、用的 t 检验或检验或 u检验作两两比较。检验作两两比较。第7页/共61页第八页，共61页。 比较的次数为比较的次数为Ck2即即 次次 。若每次比较的检验。若每次比较的检验水准为水准为, 则每次比较不犯则每次比较不犯型错误的概率为（型错误的概率为（1-）。）。当这些当这些(zhxi)检验独立进行时检验独立进行时, 则则m次比较均不犯次比较均不犯型错误的概率为型错误的概率为(1-)m, 此时犯此时犯型错误的概率型错误的概率, 即即总的检验水准总的检验水准变为变为1-(1-)m。2( )k第8页/共61页第九页，共61页。 二、方差分析的目的 在无效假设成立的前提下, 通过(tnggu)分析各处理

5、组均数之间的差别, 以推断其各相应总体均数间有无差别, 从而说明处理因素的效果是否不同（或处理因素是否起作用）。第9页/共61页第十页，共61页。 三、方差分析的基本思想 根据实验设计的类型及研究目的,将全部观察值之间所表现出来的总变异(biny),分解为两个或多个部分。除随机误差作用外,其余每个部分的变异(biny)均可由某个因素的作用加以解释。通过比较不同变异(biny)来源的均方(MS),借助F分布做出统计推断,从而推断研究因素对试验结果有无影响。第10页/共61页第十一页，共61页。 四、方差分析的应用条件(tiojin) 1、各样本是相互独立的随机样本, 且来自 正态分布的总体; 2

6、、相互比较的各样本的总体方差相等, 即 具有方差齐性。 独立性、随机性、正态性、方差齐性第11页/共61页第十二页，共61页。第12页/共61页第十三页，共61页。第13页/共61页第十四页，共61页。 第二节 完全(wnqun)随机设计的方差分析 one-way ANOVA (单因素方差分析)第14页/共61页第十五页，共61页。完全随机设计完全随机设计(completely random design) 是将全部试验对象按随机化的方法是将全部试验对象按随机化的方法, 分配分配到各个处理到各个处理(chl)组中组中,各组对象分别接受各组对象分别接受不同水平的处理不同水平的处理(chl); 试

7、验或观察结束后试验或观察结束后, 比较各组均数之间的差别有无统计学意义比较各组均数之间的差别有无统计学意义, 推断处理推断处理(chl)因素的效应。因素的效应。第15页/共61页第十六页，共61页。 各组样本含量可以相等也可以不等，相等时各组样本含量可以相等也可以不等，相等时检验效率检验效率(xio l)较高。较高。 由于完全随机设计的方差分析只有一个研究由于完全随机设计的方差分析只有一个研究因素因素, 所以又称为单因素方差分析。所以又称为单因素方差分析。第16页/共61页第十七页，共61页。一、数据的基本(jbn)形式第17页/共61页第十八页，共61页。第第1组组第第2组组第第k组组X11

8、X21Xk1X12X22Xk2X1jX2jXkjX1nX2nXknn1n2nkNS1S2SkS21X2XkXiniXijX2iSX第18页/共61页第十九页，共61页。 例 随机抽取5059岁男性正常者、冠心病人、脂肪肝患者各11人，测定空腹血糖值，试推断(tudun)三类人群空腹血糖值总体均数是否相同？第19页/共61页第二十页，共61页。正常组正常组冠心病组冠心病组脂肪肝组脂肪肝组4.756.265.784.754.366.684.625.595.72111111 334.610.28955.060.54495.710.42745.130.6207iniXijXiS第20页/共61页第二十

9、一页，共61页。二、变异(biny)分解第21页/共61页第二十二页，共61页。X第22页/共61页第二十三页，共61页。计算公式：计算公式：222111111()()1(:)iiinnnkkkijijijijijijSSXXXXNNNSSMS总总总总总总自由度:表示总例数第23页/共61页第二十四页，共61页。2211222112()(1)() /() /:iinkijijnkijijSSXXXCSNCXNXNS总表示全部观测值的方差第24页/共61页第二十五页，共61页。 2、组间变异: 各处理组的样本均数大小不等, 这种变异称为组间变异, 其大小可用各组均数 与总均数 的离均差平方和表示

10、。记作SS组间。 组间变异存在的原因: .随机误差(包括个体变异和测量误差); .处理因素的不同水平(shupng)可能对实验结果 有影响。XiX第25页/共61页第二十六页，共61页。 计算公式：计算公式：21221111211()()()()1/iiinijnkkkjiiijiiijinijkjiiXSSn XXXNnXCnkMSSS组间组间组间组间组间组间自由度组间均方第26页/共61页第二十七页，共61页。 3、组内变异、组内变异: 在同一处理组内在同一处理组内, 虽然各受试对象接受的虽然各受试对象接受的处理相同处理相同, 但测量值之间仍不同但测量值之间仍不同, 这种变异这种变异称为组

11、内变异称为组内变异(误差误差), 其大小其大小(dxio)可用组内可用组内各各测量值测量值Xij与其组均数与其组均数 差值的平方和表示差值的平方和表示, 记为记为SS组内组内, 反映了随机误差的影响。反映了随机误差的影响。iX第27页/共61页第二十八页，共61页。 计算公式：计算公式：221111()(1)(1)/inkkijiiiijikiiSSXXnSnNkMSSS组内组内组内组内组内组内自由度组内均方第28页/共61页第二十九页，共61页。SSSSSS总组间组内4、三种(sn zhn)变异的关系：总组间组内离均差(jn ch)平方和与自由度具有可加性第29页/共61页第三十页，共61页

12、。/FMSMS组间组内5、方差分析的检验(jinyn)统计量F值：组间组内分子的自由度=分母的自由度=第30页/共61页第三十一页，共61页。 检验统计量检验统计量F值的意义值的意义: 多个样本均数比较的方差分析多个样本均数比较的方差分析, 其无效假其无效假设设H0是各样本均数来自相同的总体是各样本均数来自相同的总体, 即处理因素即处理因素对研究对研究结果无影响结果无影响, 组间变异与组内变异均只反映组间变异与组内变异均只反映随机误随机误差作用的大小差作用的大小, 则则F值在理论上应等于值在理论上应等于1, 由由于于(yuy)抽样抽样的偶然性的偶然性, 得到的得到的F值不会恰好等于值不会恰好等

13、于1, 而是而是接近接近1。若处理因素对研究结果有影响若处理因素对研究结果有影响, 将出现将出现MS组组间明显间明显大于大于MS组内组内, F值也明显大于值也明显大于1。F值越大值越大, 拒绝拒绝H0的理由越充分。的理由越充分。第31页/共61页第三十二页，共61页。 若组间变异明显大于组内变异若组间变异明显大于组内变异, 则不能认为组间变异仅反映随机误则不能认为组间变异仅反映随机误差的大小差的大小, 处理因素也在起作用处理因素也在起作用(zuyng)。根据计算出的检验统计。根据计算出的检验统计量量F值值, 查界值表得到相应的查界值表得到相应的P值值, 按按所取检验水准所取检验水准作出统计推断

14、结论。作出统计推断结论。 检验统计量检验统计量F值服从值服从F分布。分布。 F , 不不拒绝拒绝H0, 还不能认为各样本所来自还不能认为各样本所来自的总体均数不同的总体均数不同; 当当FF,(组间组间, 组内组内),则则P, 拒拒绝绝H0, 接受接受H1, 可认为总体均数不可认为总体均数不等或不全相等。等或不全相等。第32页/共61页第三十三页，共61页。三、实例(shl)计算第33页/共61页第三十四页，共61页。 例6.1 随机抽取(chu q)5059岁男性正常者、冠心病人、脂肪肝患者各11人，测定空腹血糖值，试推断三类人群总体均值是否相同？第34页/共61页第三十五页，共61页。3组观

15、察对象组观察对象(duxing)空腹血糖测定结果空腹血糖测定结果(mmol/L)组组 别别 测量值测量值甲组甲组 4.75 4.75 4.77 4.61 4.49 4.02 5.03 4.57 4.21 4.88 4.62乙组乙组 6.26 4.36 5.24 4.67 4.55 5.18 4.61 5.12 5.26 4.83 5.59丙组丙组 5.78 6.68 5.44 5.86 5.67 5.24 5.42 5.14 6.09 5.74 5.72第35页/共61页第三十六页，共61页。组组 别别正常组正常组 11 4.61 0.2895冠心病组冠心病组 11 5.06 0.5449脂肪

16、肝组脂肪肝组 11 5.71 0.4274合合 计计 33 5.13 0.6207nXS第36页/共61页第三十七页，共61页。 1、变异的分解: 本资料是根据研究者所施加的干预措施(cush)不同进行分组的。 处理因素: 即干预措施(cush), 三个水平: 正常组 冠心病组 脂肪肝组第37页/共61页第三十八页，共61页。第38页/共61页第三十九页，共61页。221122()12.3286(1)0.6207(33 1)12.328633 132inkijijSSXXXCSN 总总第39页/共61页第四十页，共61页。够客观反映组内变异的是组内均方（即方差）,用MS组内表示。第40页/共6

17、1页第四十一页，共61页。211222222211()(4.754.61). (6.26 5.06).(5.78 5.71)5.6339(1)10 0.289510 0.544910 0.42745.6339(1)33 330/5.6339/300.1878inkijiijkiiikiiSSXXSSnSnMSSS 组内组内组内组内组内组内组内自由度第41页/共61页第四十二页，共61页。第42页/共61页第四十三页，共61页。2221()11 (4.61 5.13). 11 (5.71 5.13)6.72873 12/6.7287/23.3644=12.3286 5.63396.6947/6.

18、7287/23.3644/3.3644kiiiSSn XXMSSSSSSSSSMSSSFMSMS 组间组间组间组间组间总组间组内组间组间组间组间组内或利用离均差平方和的可加性进行计算：/0.187917.92第43页/共61页第四十四页，共61页。2、分析、分析(fnx)步骤步骤:0123H：10.05H：即三个组空腹(kngf)血糖值的总体均数相等三个组空腹血糖值的总体(zngt)均数不等或不全相等第44页/共61页第四十五页，共61页。变异来源变异来源SS自由度自由度均方均方MSFP总变异总变异12.328632组间组间 6.6947 2 3.364417.970.01组内组内5.6339

19、300.1878 查表得F0.05(2, 30) =2.89, F0.01(2, 30) =3.89, F 3.89 , P0.01, 按=0.05, 拒绝H0, 接受H1, 可以认为(rnwi) 三组人群的空腹血糖值总体均数不等或不全相等, 即不同人群空腹血糖值存在差异。第45页/共61页第四十六页，共61页。n注意注意: 方差分析的结果若拒绝方差分析的结果若拒绝H0, 接受接受H1,不能说明各组总体均数两两间都有差别。不能说明各组总体均数两两间都有差别。如果要分析哪两组之间有差别如果要分析哪两组之间有差别, 需要进行需要进行多个均数间的多重比较多个均数间的多重比较(bjio)。n当当k =

20、 2时时, 完全随机设计的方差分析结果完全随机设计的方差分析结果与完全随机设计的两样本均数比较与完全随机设计的两样本均数比较(bjio)的的 t 检验是等价的检验是等价的, 而且而且F = t 2。第46页/共61页第四十七页，共61页。 已知各组均数、标准差和样本已知各组均数、标准差和样本(yngbn)含量含量时时F值值的简便计算方法。的简便计算方法。 当原始数据未知当原始数据未知, 只知各组均数、标准差和样只知各组均数、标准差和样本本(yngbn)含量时含量时, 可进行如下计算可进行如下计算, 分两种分两种情况情况: 1、各组样本、各组样本(yngbn)含量含量ni相等相等; 2、各组样本

21、、各组样本(yngbn)含量含量ni不等。不等。第47页/共61页第四十八页，共61页。 1、各组样本含量、各组样本含量(hnling)ni相等时相等时, F值的计算值的计算: 2222/,/iiiiiFS NSSXXSMSSkS组内式中 为各组的标准差计算时,将各组输入计算器 键出 。式中为各组的方差第48页/共61页第四十九页，共61页。 本例计算结果本例计算结果: 同前。同前。 2222222222/0.553033/(0.28950.54490.4274 )17.91/(0.28950.54490.4274 )/30.1878iiFS NSMSSk组内第49页/共61页第五十页，共61

22、页。 2、各组样本含量、各组样本含量(hnling)ni不等时不等时, F值的计算值的计算: 222(1)()11(1),(1)/()iiiiiiSNNkFkSnSXnSMSSnNk组内式中 为组间标准差计算时,将各组输入计算器 键出 。第50页/共61页第五十一页，共61页。第三节多个第三节多个(du )(du )样本均数间的多样本均数间的多重比较重比较第51页/共61页第五十二页，共61页。 SNK (Student-Newman-Keuls)q 检验检验 适用于多个样本均数两两之间的全面适用于多个样本均数两两之间的全面(qunmin)比较。比较。统计量统计量q的公式：的公式：,112AB

23、ABABXXXXABXXqSMSSnn 误差误差注：在完全(wnqun)随机设计的方差分析中，MS误差为MS组内,误差为组内。第52页/共61页第五十三页，共61页。 SNK (Student-Newman-Keuls)q 检验检验(jinyn)第53页/共61页第五十四页，共61页。3组观察对象空腹血糖组观察对象空腹血糖(xutng)测量结果测量结果(mmol/L)组组 别别 测量值测量值正常组正常组 4.75 4.75 4.77 4.61 4.49 4.02 5.03 4.57 4.21 4.88 4.62冠心病组冠心病组 6.26 4.36 5.24 4.67 4.55 5.18 4.6

24、1 5.12 5.26 4.83 5.59脂肪肝组脂肪肝组 5.78 6.68 5.44 5.86 5.67 5.24 5.42 5.14 6.09 5.74 5.72变异来源变异来源SS自由度自由度均方均方MSFP总变异总变异12.328632组间组间 6.6947 2 3.364417.970.01组内组内5.6339300.1878第54页/共61页第五十五页，共61页。 例例: :三组观察对象空腹血糖值均数两两之间有无三组观察对象空腹血糖值均数两两之间有无(yu (yu w)w)差别？差别？H0 : H0 : A = A = B, B, 即任意两对比组的总体均数相等即任意两对比组的总体

25、均数相等H1 : H1 : A A B, B, 即任意两对比组的总体均数不等即任意两对比组的总体均数不等0.05 0.05 将将3 3个均数由大到小排队个均数由大到小排队, , 并编上秩次：并编上秩次：均数均数5.715.064.61组别组别脂肪肝组脂肪肝组冠心病组冠心病组正常组正常组秩次秩次123第55页/共61页第五十六页，共61页。 计算检验计算检验(jinyn)统计量统计量: 第第1组与第组与第3组比较组比较:13131120.18780.1307115.714.618.460.130730ABXXABiXXMSMSSnnnXXqS 误差误差误差 第56页/共61页第五十七页，共61页

26、。 以误差的自由度以误差的自由度误差误差=30和组数和组数a, 查查q界值表界值表, 确定确定(qudng)对应的对应的P值。值。对比组次对比组次1与与31.100.13078.46 3 3.494.450.011与与2 0.650.13075.00 2 2.893.890.012与与3 0.450.13073.46 2 2.893.890.050.050.01ABABXXXXSqaqqP多个(du )均数两两比较的q值 按0.05检验水准, 脂肪肝组与正常(zhngchng)组、脂肪肝组与冠心病组、冠心病组与正常(zhngchng)组之间比较均拒绝H0, 接受H1, 差异有统计学意义。第57

27、页/共61页第五十八页，共61页。 q界值表的特点界值表的特点: . q界值与界值与t界值类似界值类似, 即即q值越大值越大, p值越小值越小; . 随着随着a的扩大的扩大(kud), 界值水平不断扩大界值水平不断扩大(kud),当当a=2时时, 易得出有统计学意义的结果易得出有统计学意义的结果; . 误差的自由度在界值表中查不到时误差的自由度在界值表中查不到时,可通可通过内插法求得。过内插法求得。第58页/共61页第五十九页，共61页。 1. 多个实验组与一个对照组间两两比较的方法多个实验组与一个对照组间两两比较的方法: LSD t 检验检验 (最小显著差法最小显著差法) Dunnett- t 检验检验 Duncan检验检验 (新复极差法新复极差法) 2. 多个样本多个样本(yngbn)均数间两两比较的方法均数间两两比较的方法: SNK法法 Tukey法法 Bonferroni法法(修正最小显著差异法修正最小显著差异法)第59页/共61页第六十页，共61页。第60页/共61页第六十一页，共61页。