一轮北师大版理数学教案：第2章 第4节　二次函数的再研究与幂函数 Word版含解析

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1、 第四节二次函数的再研究与幂函数考纲传真1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数yx，yx2，yx3，y，yx的图像，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图像和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题1二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)ax2bxc(a0)；顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)，顶点坐标为(h，k)；零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2为f(x)的零点(2)二次函数的图像与性质函数yax2bxc(a0)yax2bxc(a0)图像定义域R值域单调性在上减，在上增在上增，在上减对称性函数的图像关于x对称2.幂函数(1)定

2、义：如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量，即yx，这样的函数称为幂函数(2)五种常见幂函数的图像与性质函数特征性质yxyx2yx3yxyx1图像定义域RRRx|x0x|x0值域Ry|y0Ry|y0y|y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(，0)减，(0，)增增增(，0)和(0，)减公共点(1,1)1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)二次函数yax2bxc，xR，不可能是偶函数()(2)二次函数yax2bxc，xa，b的最值一定是.()(3)幂函数的图像一定经过点(1,1)和点(0,0)()(4)当n0时，幂函数yxn在(0，)上是增函数()答案(1)(2)(3

3、)(4)2(教材改编)已知幂函数f(x)x的图像过点(4,2)，若f(m)3，则实数m的值为()A.BCD9D由题意可知4222，所以.所以f(x)x，故f(m)3m9.3已知函数f(x)ax2x5的图像在x轴上方，则a的取值范围是() 【导学号：57962042】A.BC.DC由题意知即得a.4(20xx贵阳适应性考试(二)二次函数f(x)2x2bx3(bR)零点的个数是() 【导学号：57962043】A0 B1 C2D4C因为判别式b2240，所以原二次函数有2个零点，故选C.5若二次函数yax2bxc的图像与x轴交于A(2,0)，B(4,0)且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是

4、_. 【导学号：57962044】yx22x8设ya(x2)(x4)，对称轴为x1，当x1时，ymax9a9，a1，y(x2)(x4)x22x8.求二次函数的解析式已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式解法一(利用一般式)：设f(x)ax2bxc(a0).2分由题意得8分解得所求二次函数为f(x)4x24x7.12分法二(利用顶点式)：设f(x)a(xm)2n.f(2)f(1)，抛物线的图像的对称轴为x.3分m.又根据题意函数有最大值8，n8.yf(x)a28.8分f(2)1，a281，解得a4，f(x)4284x24x7.12分法三(

5、利用零点式)：由已知f(x)10的两根为x12，x21，2分故可设f(x)1a(x2)(x1)，即f(x)ax2ax2a1.6分又函数的最大值是8，即8，解得a4，所求函数的解析式为f(x)4x24x7.12分规律方法用待定系数法求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，选法如下变式训练1已知二次函数f(x)的图像经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意xR，都有f(2x)f(2x)，求f(x)的解析式解f(2x)f(2x)对xR恒成立，f(x)的对称轴为x2.2分又f(x)的图像被x轴截得的线段长为2，f(x)0的两根为1和3.6分设f(x)的解析式为f(x)a

6、(x1)(x3)(a0)又f(x)的图像过点(4,3)，3a3，a1.10分所求f(x)的解析式为f(x)(x1)(x3)，即f(x)x24x3.12分二次函数的图像与性质角度1二次函数图像的识别及应用(1)设abc0，则二次函数f(x)ax2bxc的图像可能是()A BCD(2)已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是_(1)D(2)(1)由A，C，D知，f(0)c0.abc0，ab0，对称轴x0，知A，C错误，D符合要求由B知f(0)c0，ab0，x0，B错误(2)作出二次函数f(x)的图像，对于任意xm，m1，都有f(x)0，则有即解得m

7、0.角度2二次函数的最值问题(1)(20xx广西一模)若xlog521，则函数f(x)4x2x13的最小值为() 【导学号：57962045】A4 B3C1D0(2)(20xx安徽皖北第一次联考)已知函数f(x)x22ax1a在区间0,1上的最大值为2，则a的值为()A2B1或3C2或3D1或2(1)A(2)D(1)xlog521log52xlog5512x，令t2x，则有yt22t3(t1)24，当t1，即x0时，f(x)取得最小值4.故选A.(2)函数f(x)(xa)2a2a1图像的对称轴为xa，且开口向下，分三种情况讨论如下：当a0时，函数f(x)x22ax1a在区间0,1上是减函数，f

8、(x)maxf(0)1a，由1a2，得a1.当0a1时，函数f(x)x22ax1a在区间0，a上是增函数，在a,1上是减函数，f(x)maxf(a)a22a21aa2a1，由a2a12，解得a或a.0a1，两个值都不满足，舍去当a1时，函数f(x)x22ax1a在区间0,1上是增函数，f(x)maxf(1)12a1a2，a2.综上可知，a1或a2.角度3二次函数中的恒成立问题已知a是实数，函数f(x)2ax22x3在x1,1上恒小于零，求实数a的取值范围解由题意知2ax22x30在1,1上恒成立当x0时，30，适合；当x0时，a2.4分因为(，11，)，当x1时，右边取最小值，所以a.10分综

9、上，实数a的取值范围是.12分规律方法1.二次函数最值问题应抓住“三点一轴”数形结合求解，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，用函数的单调性及分类讨论的思想即可完成2由不等式恒成立求参数的取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是af(x)af(x)max，af(x)af(x)min.幂函数的图像与性质 (1)幂函数yf(x)的图像过点(4,2)，则幂函数yf(x)的图像是()ABCD(2)已知幂函数f(x)xm22m3(mN*)的图像关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，则m的值为_(1)C(2)1(1)令f(x)x，则42，f(x)x.(2)f(x)在(

10、0，)上是减函数，m22m30，解得1m3.又mN*，m1或m2.由于f(x)的图像关于y轴对称m22m3的值应为偶数，又当m2时，m22m3为奇数，m2舍去因此m1.规律方法1.幂函数的形式是yx(R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式2若幂函数yx(R)是偶函数，则必为偶数当是分数时，一般将其先化为根式，再判断3若幂函数yx在(0，)上递增，则0，若在(0，)上递减，则0.变式训练2(1)设a0.5，b0.9，clog50.3，则a，b，c的大小关系是() 【导学号：57962046】AacbBcabCabcDbac(2)若(a1) (32a) ，则实数a的取值范围是_(

11、1)D(2)(1)a0.50.25，b0.9，所以根据幂函数的性质知ba0，而clog50.30，所以bac.(2)易知函数yx的定义域为0，)，在定义域内为增函数，所以解得1a.思想与方法1二次函数的三种形式的选法(1)已知三个点的坐标时，宜用一般式(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关的量时，常使用顶点式(3)已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便2研究二次函数的性质要注意(1)结合图像分析；(2)含参数的二次函数，要进行分类讨论3利用幂函数的单调性比较幂值大小的方法在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进行比较4幂函数yx(R)图像的特征0时，图像过原点和(1,1)，在第一象限的图像上升；0时，图像不过原点，在第一象限的图像下降，反之也成立易错与防范1对于函数yax2bxc，若是二次函数，就隐含着a0，当题目条件中未说明a0时，就要分a0，a0两种情况讨论2幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像最多能同时出现在两个象限内；如果幂函数图像与坐标轴相交，则交点一定是原点