一轮北师大版理数学教案:第2章 第4节 二次函数的再研究与幂函数 Word版含解析

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1、 第四节二次函数的再研究与幂函数考纲传真1.(1)了解幂函数的概念;(2)结合函数yx,yx2,yx3,y,yx的图像,了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图像和性质,能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题1二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式:f(x)ax2bxc(a0);顶点式:f(x)a(xh)2k(a0),顶点坐标为(h,k);零点式:f(x)a(xx1)(xx2)(a0),x1,x2为f(x)的零点(2)二次函数的图像与性质函数yax2bxc(a0)yax2bxc(a0)图像定义域R值域单调性在上减,在上增在上增,在上减对称性函数的图像关于x对称2.幂函数(1)定

2、义:如果一个函数,底数是自变量x,指数是常量,即yx,这样的函数称为幂函数(2)五种常见幂函数的图像与性质函数特征性质yxyx2yx3yxyx1图像定义域RRRx|x0x|x0值域Ry|y0Ry|y0y|y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(,0)减,(0,)增增增(,0)和(0,)减公共点(1,1)1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)二次函数yax2bxc,xR,不可能是偶函数()(2)二次函数yax2bxc,xa,b的最值一定是.()(3)幂函数的图像一定经过点(1,1)和点(0,0)()(4)当n0时,幂函数yxn在(0,)上是增函数()答案(1)(2)(3

3、)(4)2(教材改编)已知幂函数f(x)x的图像过点(4,2),若f(m)3,则实数m的值为()A.BCD9D由题意可知4222,所以.所以f(x)x,故f(m)3m9.3已知函数f(x)ax2x5的图像在x轴上方,则a的取值范围是() 【导学号:57962042】A.BC.DC由题意知即得a.4(20xx贵阳适应性考试(二)二次函数f(x)2x2bx3(bR)零点的个数是() 【导学号:57962043】A0 B1 C2D4C因为判别式b2240,所以原二次函数有2个零点,故选C.5若二次函数yax2bxc的图像与x轴交于A(2,0),B(4,0)且函数的最大值为9,则这个二次函数的表达式是

4、_. 【导学号:57962044】yx22x8设ya(x2)(x4),对称轴为x1,当x1时,ymax9a9,a1,y(x2)(x4)x22x8.求二次函数的解析式已知二次函数f(x)满足f(2)1,f(1)1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式解法一(利用一般式):设f(x)ax2bxc(a0).2分由题意得8分解得所求二次函数为f(x)4x24x7.12分法二(利用顶点式):设f(x)a(xm)2n.f(2)f(1),抛物线的图像的对称轴为x.3分m.又根据题意函数有最大值8,n8.yf(x)a28.8分f(2)1,a281,解得a4,f(x)4284x24x7.12分法三(

5、利用零点式):由已知f(x)10的两根为x12,x21,2分故可设f(x)1a(x2)(x1),即f(x)ax2ax2a1.6分又函数的最大值是8,即8,解得a4,所求函数的解析式为f(x)4x24x7.12分规律方法用待定系数法求二次函数的解析式,关键是灵活选取二次函数解析式的形式,选法如下变式训练1已知二次函数f(x)的图像经过点(4,3),它在x轴上截得的线段长为2,并且对任意xR,都有f(2x)f(2x),求f(x)的解析式解f(2x)f(2x)对xR恒成立,f(x)的对称轴为x2.2分又f(x)的图像被x轴截得的线段长为2,f(x)0的两根为1和3.6分设f(x)的解析式为f(x)a

6、(x1)(x3)(a0)又f(x)的图像过点(4,3),3a3,a1.10分所求f(x)的解析式为f(x)(x1)(x3),即f(x)x24x3.12分二次函数的图像与性质角度1二次函数图像的识别及应用(1)设abc0,则二次函数f(x)ax2bxc的图像可能是()A BCD(2)已知函数f(x)x2mx1,若对于任意xm,m1,都有f(x)0成立,则实数m的取值范围是_(1)D(2)(1)由A,C,D知,f(0)c0.abc0,ab0,对称轴x0,知A,C错误,D符合要求由B知f(0)c0,ab0,x0,B错误(2)作出二次函数f(x)的图像,对于任意xm,m1,都有f(x)0,则有即解得m

7、0.角度2二次函数的最值问题(1)(20xx广西一模)若xlog521,则函数f(x)4x2x13的最小值为() 【导学号:57962045】A4 B3C1D0(2)(20xx安徽皖北第一次联考)已知函数f(x)x22ax1a在区间0,1上的最大值为2,则a的值为()A2B1或3C2或3D1或2(1)A(2)D(1)xlog521log52xlog5512x,令t2x,则有yt22t3(t1)24,当t1,即x0时,f(x)取得最小值4.故选A.(2)函数f(x)(xa)2a2a1图像的对称轴为xa,且开口向下,分三种情况讨论如下:当a0时,函数f(x)x22ax1a在区间0,1上是减函数,f

8、(x)maxf(0)1a,由1a2,得a1.当0a1时,函数f(x)x22ax1a在区间0,a上是增函数,在a,1上是减函数,f(x)maxf(a)a22a21aa2a1,由a2a12,解得a或a.0a1,两个值都不满足,舍去当a1时,函数f(x)x22ax1a在区间0,1上是增函数,f(x)maxf(1)12a1a2,a2.综上可知,a1或a2.角度3二次函数中的恒成立问题已知a是实数,函数f(x)2ax22x3在x1,1上恒小于零,求实数a的取值范围解由题意知2ax22x30在1,1上恒成立当x0时,30,适合;当x0时,a2.4分因为(,11,),当x1时,右边取最小值,所以a.10分综

9、上,实数a的取值范围是.12分规律方法1.二次函数最值问题应抓住“三点一轴”数形结合求解,三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,用函数的单调性及分类讨论的思想即可完成2由不等式恒成立求参数的取值范围,常用分离参数法,转化为求函数最值问题,其依据是af(x)af(x)max,af(x)af(x)min.幂函数的图像与性质 (1)幂函数yf(x)的图像过点(4,2),则幂函数yf(x)的图像是()ABCD(2)已知幂函数f(x)xm22m3(mN*)的图像关于y轴对称,且在(0,)上是减函数,则m的值为_(1)C(2)1(1)令f(x)x,则42,f(x)x.(2)f(x)在(

10、0,)上是减函数,m22m30,解得1m3.又mN*,m1或m2.由于f(x)的图像关于y轴对称m22m3的值应为偶数,又当m2时,m22m3为奇数,m2舍去因此m1.规律方法1.幂函数的形式是yx(R),其中只有一个参数,因此只需一个条件即可确定其解析式2若幂函数yx(R)是偶函数,则必为偶数当是分数时,一般将其先化为根式,再判断3若幂函数yx在(0,)上递增,则0,若在(0,)上递减,则0.变式训练2(1)设a0.5,b0.9,clog50.3,则a,b,c的大小关系是() 【导学号:57962046】AacbBcabCabcDbac(2)若(a1) (32a) ,则实数a的取值范围是_(

11、1)D(2)(1)a0.50.25,b0.9,所以根据幂函数的性质知ba0,而clog50.30,所以bac.(2)易知函数yx的定义域为0,),在定义域内为增函数,所以解得1a.思想与方法1二次函数的三种形式的选法(1)已知三个点的坐标时,宜用一般式(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关的量时,常使用顶点式(3)已知二次函数与x轴有两个交点,且横坐标已知时,选用零点式求f(x)更方便2研究二次函数的性质要注意(1)结合图像分析;(2)含参数的二次函数,要进行分类讨论3利用幂函数的单调性比较幂值大小的方法在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,转化为同指数幂,再选择适当的函数,借助其单调性进行比较4幂函数yx(R)图像的特征0时,图像过原点和(1,1),在第一象限的图像上升;0时,图像不过原点,在第一象限的图像下降,反之也成立易错与防范1对于函数yax2bxc,若是二次函数,就隐含着a0,当题目条件中未说明a0时,就要分a0,a0两种情况讨论2幂函数的图像一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限,至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性;幂函数的图像最多能同时出现在两个象限内;如果幂函数图像与坐标轴相交,则交点一定是原点

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