数学 文一轮教学案：第十一章第2讲　统计与统计案例 Word版含解析

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1、 第2讲统计与统计案例考纲展示命题探究1抽样方法(1)简单随机抽样的概念设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n(nN)个个体作为样本，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样(2)特点与方法(3)系统抽样的概念当总体中的个体数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样(也称为机械抽样或等距抽样)(4)系统抽样的特点适用于元素个数很多且均衡的总体各个个体被抽到的机会均等总体分组后，在起始部分采用的是简单随机抽样如果总体容量N能被样本容量n整除，则抽样间隔为k，如果

2、总体容量N不能被样本容量n整除，可随机地从总体中剔除余数，然后再按系统抽样的方法抽样(5)分层抽样的概念在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法就叫做分层抽样(6)分层抽样的步骤分层：按某种特征将总体分成若干部分按比例确定每层抽取个体的个数各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取个体综合每层抽样，组成样本2用样本估计总体(1)频率分布表与频率分布直方图频率分布表与频率分布直方图的绘制步骤如下：求极差，即求一组数据中最大值与最小值的差决定组距与组数将数据分组列频率分布表落在各小组内的数据的个数叫做频数，

3、每小组的频数与数据总数的比值叫做这一小组的频率计算各小组的频率，列出频率分布表画频率分布直方图依据频率分布表画频率分布直方图，其中纵坐标(小长方形的高)表示频率与组距的比值，其相应组距上的频率等于该组上的小长方形的面积，即每个小长方形的面积组距频率这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小，各个小长方形面积的总和等于1.(2)频率分布折线图和总体密度曲线频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图总体密度曲线：随着样本容量的增加，作频率分布直方图时所分的组数也在增加，相应的频率分布折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线

4、为总体密度曲线(3)茎叶图茎叶图是统计中用来表示数据的一种图，茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数对于样本数据较少，且分布较为集中的一组数据：若数据是两位整数，则将十位数字作茎，个位数字作叶；若数据是三位整数，则将百位、十位数字作茎，个位数字作叶样本数据为小数时做类似处理对于样本数据较少，且分布较为集中的两组数据，关键是找到两组数据共有的茎(4)众数、中位数、平均数定义特点众数在一组数据中出现次数最多的数据体现了样本数据的最大集中点，不受极端值的影响，而且不唯一中位数将一组数据按大小顺序依次排列，处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)中位数不受极端值的影响，仅利用了排

5、在中间数据的信息，只有一个平均数样本数据的算术平均数与每一个样本数据有关，只有一个(5)极差、标准差与方差定义特点极差一组数据中最大值与最小值的差反映一组数据的波动情况，一般情况下，极差大，则数据波动性大；极差小，则数据波动性小，但极差只考虑两个极端值，可靠性较差标准差标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，即s反映了各个样本数据聚集于样本平均数周围的程度标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数的两边越分散方差标准差的平方，即s2(x1)2(x2)2(xn)2同标准差一样用来衡量样本数据的离散程度，但是平方后夸大了偏差程度注意点众数、平均数、

6、中位数的关系(1)众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量(2)平均数反映的是样本个体的平均水平，众数和中位数则反映样本中个体的“重心”(3)实际问题中求得的平均数、众数和中位数应带上单位. 1思维辨析(1)系统抽样在第1段抽样时采用简单随机抽样()(2)若为了适合分段或分层而剔除几个个体后再抽样，则对剔除的个体来说是不公平的()(3)一组数据的平均数定大于这组数据中的每个数据()(4)一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大()(5)频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间内的频率越高()(6)茎叶图中的数据要按从小到大的顺序写，相同的数据可以

7、只记一次()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)2如图是容量为150的样本的频率分布直方图，则样本数据落在6,10)内的频数为()A12B48C60 D80答案B解析落在6,10)内的频率为0.0840.32，故频数为0.3215048.3为了检查某超市货架上的饮料是否含有塑化剂，要从编号依次为1到50的塑料瓶装饮料中抽取5瓶进行检验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5瓶饮料的编号可能是()A5,10,15,20,25 B2,4,8,16,32C1,2,3,4,5 D7,17,27,37,47答案D解析利用系统抽样，把编号分为5段，每段10个，每段抽取一个，号码间隔为1

8、0.考法综述高考对随机抽样的考查常以实际应用为背景考查样本的抽取，特别是分层抽样与系统抽样的理解与计算利用样本频率分布估计总体分布是高考热点，会列频率分布表，会画频率分布直方图，小题一般较容易，大题往往结合概率考查，难度中等命题法1抽样方法典例1(1)已知某单位有40名职工，现要从中抽取5名职工，将全体职工随机按140编号，并按编号顺序平均分成5组按系统抽样方法在各组内抽取一个号码若第1组抽出的号码为2，则所有被抽出职工的号码为_(2)某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为_解析(1)由系统抽样知识知，第一组18

9、号；第二组为916号；第三组为1724号；第四组为2532号；第五组为3340号第一组抽出号码为2，则依次为10,18,26,34.(2)抽取比例为，所以样本中男生人数为560160.答案(1)2,10,18,26,34(2)160【解题法】三种抽样方法的比较类别共同点各自特点相互联系适用范围简单随机抽样是不放回抽样，抽样过程中，每个个体被抽到的机会(概率)相等从总体中逐个抽取总体中的个数较少系统抽样将总体均分成几部分，按事先确定的规则，在各部分抽取在起始部分抽样时，采用简单随机抽样总体中的个数比较多分层抽样将总体分成几层，分层进行抽取各层抽样时，采用简单随机抽样或者系统抽样总体由差异明显的几

10、部分组成命题法2用样本估计总体典例2(1)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100求图中a的值；根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在50,90)之外的人数分数段50,60)60,70)70,80)80,90)xy11213445(2)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后

11、，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)试验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：061.22.71.52.81.82.22.33.23.5252.61.22.71.52.93.03.12.32.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：321.71.90.80.92.41.22.61.31.4160.51.80.62.11.12.51.22.70.5分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？解(1)由频率分布直方图可知：(2a0.040.030.02)101，所以a0.005.根据频率分布直方图

12、，估计这100名学生语文成绩的平均分为550.05650.4750.3850.2950.052.752622.5174.7573(分)根据频率分布直方图及表中数据得：分数段xy50,60) 5 560,70) 40 2070,80) 30 4080,90) 20 25数学成绩在50,90)之外的人数为100520402510.(2)设A药观测数据的平均数为，B药观测数据的平均数为，由观测结果可得(0.61.21.21.51.51.82.22.32.32.42.52.62.72.72.82.93.03.13.23.5)2.3，(0.50.50.60.80.91.11.21.21.31.41.61

13、.71.81.92.12.42.52.62.73.2)1.6.由以上计算结果可知：，由此可看出A药的疗效更好由观测结果可绘制如下茎叶图：从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在“2.”，“3.”上，而B药疗效的试验结果有的叶集中在“0.”，“1.”上，由此可看出A药的疗效更好【解题法】用样本估计总体的解题策略(1)用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似实际应用中，当所得数据平均数不相等时，需先分析平均水平，再计算标准差(方差)分析稳定情况(2)若给出图形，一方面可以由图形得到相应的样本数据，再计算平均数、方差(标准差)；另一方面，可以从图形直观分析样本

14、数据的分布情况，大致判断平均数的范围，并利用数据的波动性大小反映方差(标准差)的大小1根据下面给出的2004年至我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是()A逐年比较，减少二氧化硫排放量的效果最显著B我国治理二氧化硫排放显现成效C以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关答案D解析根据柱形图可观察两个变量的相关性，易知A、B、C正确，以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，选项D错误故选D.2若样本数据x1，x2，x10的标准差为8，则数据2x11,2x21，2x101的标准差为()A8 B15C16 D32答案C解析由标准差的性质知，2x11

15、,2x21，2x101的标准差为2816，故选C.3重庆市各月的平均气温()数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是()A19 B20C21.5 D23答案B解析根据茎叶图及中位数的概念，由茎叶图知，该组数据的中位数为20.故选B.4.我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为()A134石 B169石C338石 D1365石答案B解析根据样本估计总体，可得这批米内夹谷约为1534169石故选B.5某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数

16、为()A167 B137C123 D93答案B解析初中部女教师的人数为11070%77，高中部女教师的人数为150(160%)60，则该校女教师的人数为7760137，故选B.6对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则()Ap1p2p3 Bp2p3p1Cp1p30时，表明两个变量正相关；当r3.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为_答案5%解析k3.841，查临界值表，得P(K23.841)0.05，故这种判断出错的可能性为5%.命题法1回归分析典例

17、1假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)，有如下表的统计资料：使用年限x(年)23456维修费用y(万元)2.23.85.56.57.0若由资料可知y对x呈线性相关关系，试求：(1)线性回归直线方程；(2)根据回归直线方程，估计使用年限为12年时，维修费用是多少？解(1)列表i12345合计xi2345620yi2.23.85.56.57.025xiyi4.411.422.032.542.0112.3x49162536904，5；x90；xiyi112.31.23，于是51.2340.08.所以线性回归直线方程为1.23x0.08.(2)当x12时，1.23120.081

18、4.84(万元)，即估计使用12年时，维修费用是14.84万元【解题法】求线性回归直线方程的步骤(1)用散点图或进行相关性检验判断两个变量是否具有线性相关关系(2)列表求出，x，y，xiyi(可用计算器进行计算)(3)利用公式，求得回归系数(4)写出回归直线方程命题法2独立性检验典例2某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：50,60

19、)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成22列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：2P(2k)0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828(注：此公式也可以写成K2)解(1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人

20、中，25周岁以上组工人有600.053(人)，记为A1，A2，A3；25周岁以下组工人有400.052(人)，记为B1，B2.从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是：(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1，)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，故所求的概率P.(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以

21、上组”中的生产能手600.2515(人)，“25周岁以下组”中的生产能手400.37515(人)，据此可得22列联表如下：生产能手非生产能手合计25周岁以上组15456025周岁以下组152540合计3070100所以得K21.79.因为1.790，b0 Ba0，b0Ca0 Da0，b0答案B解析由样本数据可知y值总体上是随x值的增大而减少的故b0.故选B.3已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数3，3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是()A.0.4x2.3 B.2x2.4C.2x9.5 D.0.3x4.4答案A解析由变量x与y正相关，可知x的系数为正，排除C、D.而所有的

22、回归直线必经过点(，)，由此排除B，故选A.4某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i1,2，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值表中wi，wi.(1)根据散点图判断，yabx与ycd哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z0.2yx.根据(2)的结果回答下列问题：年宣传费x49时，年销售量及年利润的预

23、报值是多少？年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回归直线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为， .解(1)由散点图可以判断，ycd适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型(2)令w，先建立y关于w的线性回归方程由于 68， 563686.8100.6，所以y关于w的线性回归方程为100.668w，因此y关于x的回归方程为100.668.(3)由(2)知，当x49时，年销售量y的预报值100.668576.6，年利润z的预报值576.60.24966.32.根据(2)的结果知，年利润z的预报值0.2(100.668)xx

24、13.620.12.所以当6.8，即x46.24时，取得最大值故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大5某地区至农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：年份20xx20xx20xx20xx20xx20xx20xx年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y关于t的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，分析至该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区农村居民家庭人均纯收入附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.解(1)由所给数据计算得(1234567)4，(2.93.33.64.44.85.25.9)4

25、.3，(ti)2941014928，(ti)(yi)(3)(1.4)(2)(1)(1)(0.7)00.110.520.931.614，0.5，4.30.542.3，所求回归方程为0.5t2.3.(2)由(1)知，0.50，故至该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元将的年份代号t9代入(1)中的回归方程，得0.592.36.8，故预测该地区农村居民家庭人均纯收入为6.8千元67月18日15时，超强台风“威马逊”登陆海南省据统计，本次台风造成全省直接经济损失119.52亿元适逢暑假，小明调查住在自己小区的50户居民由于台风造成的经济损失，作出如下频率分布直方图：(1)根据频率

26、分布直方图估计小区每户居民的平均损失；(2)台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如上表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？附：临界值表k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828P(K2k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001参考公式：K2，nabcd.解(1)记每户居民的平均损失为元，则：(10000.0001530000.0002050000.0000970000.0000390000.00003)2000

27、3360.(2)如下表：K24.0463.841.所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关7气象部门提供了某地区今年六月份(30天)的日最高气温的统计表如下：日最高气温t(单位：)t2222t282832天数612YZ由于工作疏忽，统计表被墨水污染，Y和Z数据不清楚，但气象部门提供的资料显示，六月份的日最高气温不高于32 的频率为0.9.(1)若把频率看作概率，求Y，Z的值；(2)把日最高气温高于32 称为本地区的“高温天气”，根据已知条件完成下面22列联表，并据此推测是否有95%的把握认为本地区的“高温天气”与西瓜“旺销”有关？说明理由高温天

28、气非高温天气合计旺销1不旺销6合计附：K2P(K2k)0.100.0500.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828解(1)由已知得：P(t32)0.9，由概率知识得：P(t32)1P(t32)0.1，Z300.13，Y30(6123)9.(2)由独立性检验知识得到如下22列联表：高温天气非高温天气合计旺销12122不旺销268合计32730K22.727.2.7273.841，没有95%的把握认为本地区的“高温天气”与西瓜“旺销”有关从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示

29、(1)直方图中x的值为_；(2)在这些用户中，用电量落在区间100,250)内的户数为_错解错因分析在频率分布直方图中，小矩形的面积表示频率，纵坐标表示，解本题时，易把频率0.22误认为x值而出错，x的值应由频率0.22除以组距50求得正解(1)由频率分布直方图知200,250)小组的频率为1(0.00240.00360.00600.00240.0012)500.22，于是x0.0044.(2)数据落在100,250)内的频率为(0.00360.00600.0044)500.7，所求户数为0.710070.答案(1)0.0044(2)70心得体会时间：60分钟基础组1.20xx冀州中学期中某市

30、共有400所学校，现要用系统抽样的方法抽取20所学校作为样本，调查学生课外阅读的情况把这400所学校编上1400的号码，再从120中随机抽取一个号码，如果此时抽得的号码是6，则在编号为21到40的学校中，应抽取的学校的编号为()A25 B26C27 D以上都不是答案B解析系统抽样是把个体编号后，先抽取第一个，然后每次间隔相同的数依次抽取，本题中每次间隔20，第一个抽取的是6号，接下来应该抽取的是第26号，故选B.220xx衡水中学仿真在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下

31、列数字特征对应相同的是()A众数 B平均数C中位数 D标准差答案D解析由题原来众数88变为90，中位数由86变为88，平均数增加2，所以每个数与平均数的差不变，即标准差不变故选D.320xx枣强中学预测对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据(xi，yi)(i1,2，8)，其回归直线方程是x，且x1x2x3x82(y1y2y8)6，则实数的值是()A. B.C. D.答案B解析依题意可知，样本中心点为，则，解得.4. 20xx冀州中学一轮检测为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为mo，平均值为，则(

32、)Amemo BmemoCmemo Dmome答案D解析由图可知，30名学生的得分情况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分中位数为第15个数和第16个数(分别为5,6)的平均数，即me5.5,5出现次数最多，故mo5，5.97.于是得mome乙；甲比乙成绩稳定B.甲乙；乙比甲成绩稳定C.甲乙；甲比乙成绩稳定D.甲乙；乙比甲成绩稳定答案D解析由茎叶图可知甲25，乙26，甲s，乙比甲成绩稳定7. 20xx衡水中学热身将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本

33、，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第营区，从301到495在第营区，从496到600在第营区，三个营区被抽中的人数依次为()A26,16,8 B25,17,8C25,16,9 D24,17,9答案B解析依题意及系统抽样可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k(kN*)组抽中的号码是312(k1)令312(k1)300得k，因此第营区被抽中的人数是25；令300312(k1)495得s，故甲更稳定，故填甲1020xx衡水二中预测某中学共91人参加高考，统计数据如下：城镇考生农村考生录取3124未录取1917则考生的户口形式和

34、高考录取的关系是_(填无关、多大把握有关)答案无关解析22列联表如下：城镇考生农村考生合计录取312455未录取191736合计504191统计假设H0：考生的户口形式对高考录取没有影响，计算K20.11.我们接受统计假设，故考生的户口形式对高考录取没有影响1120xx枣强中学月考某市统计局就本地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示月收入在1000,1500)(单位：元)(1)估计居民月收入在1500,2000)的概率；(2)根据频率分布直方图估计样本数据的中位数解(1)由题意知，居民月收入在1500,2000)

35、的概率约为1(0.00020.00010.00030.00052)50010.0016500 10.80.2.(2)由频率分布直方图知，中位数在2000,2500)中，设中位数为x，则0.00025000.20.0005(x2000)0.5，解得x2400.12. 20xx衡水二中猜题以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中用X表示(1)如果X8，求乙组同学植树棵树的平均数与方差；(2)如果X9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学植树总棵数为19的概率解(1)当X8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵树是8,8,9,10，所以平均数为，方差为s2.(2)当X9时，记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为9,9,11,11；乙组四名同学为B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A3，B4)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，