信息计算科学实验报告

《信息计算科学实验报告》由会员分享，可在线阅读，更多相关《信息计算科学实验报告（8页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、实验报告专业：信息与计算科学年级：大三班级： ap08102学号： ap0810227姓名：庞锦芬一、 实验目的1、 了解 lagrange插值法 的基本原理和方法；2、了解多项式拟合的基本原理和方法；3、 了解数值积分的基本原理和方法；二、 实验题目 :实验三插值法与拟合实验1、插值效果比较：将区间【 -5,5】 10 等分，对下列函数分别计算插值节点xk 的值，进行不同类型的插值，作出插值函数的图形并与yf ( x) 的图形进行比较：1f ( x)a r c t axn；f ( x)x2f ( x)1 x2 ；1x4 .（ 1）做拉格朗日插值；2、拟合多项实验：给定数据如下表所示：分别对上

2、述数据作三次多项式和五次多项式拟合，并求平方误差，作出离散函数（xi , yi ）和拟合函数的图形。实验四数值微积分实验1、复化求积公式计算定积分:用复化梯形公式、复化辛普森公式、龙贝格公式求下列定积分，要求绝对误差为0.5 10 8，并将计算结果与精确解进行比较：（ 1） e42 2x3ex 2 dx ，（ 2） ln 632xdx1 32x23三、 实验原理(将实验所涉及的基础理论、算法原理详尽列出。)拉个朗日插值原理：,( xn , yn )经过n 1(x0 , y0 ), (x1 , y1 )n 次多项式，形个点，构造一个使得pn ( xk )yk (k0,1,2成立。, n)其中函数

3、。拟合多项式原理：npn (x)ykl k ( x)k0为插值基假设给定数据点 (xi , yi ) (i=0,1, ,m) ，为所有次数不超过 n(nm) 的多项式构成的函数nak xk类，现求一pn (x),使得k 0mmn2Ipn ( xi )yi2ak xikyimin(1)i0i 0k 0当拟合函数为多项式时， 称为多项式拟合，满足式（1）的 pn ( x) 称为最小二乘拟合多项式。特别地，当 n=1 时，称为线性拟合或直线拟合。显然为 a0 , a1 ,an 的多元函数，因此上述问题即为求II (a0 , a1 ,an ) 的极值 问题。由多元函数求极值的必要条件，得Imnak x

4、ikyi ) xij2(0,j0,1, na ji 0k0(2)即nmm(xi j k)akxi j yi,j0,1,n(3)k 0i0i 0（3）是关于 a0 , a1 ,an 的线性方程组，用矩阵表示为mmmm1xixina0yimi0i 0i 0mma1mxixi2xin 1xi yii0i0i0i 0mmmanmxinxin 1xi2 nxin yii0i0i 0i 0(4)式（ 3）或式（ 4）称为正规方程组或法方程组。可以证明，方程组（4）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。从式（4）中解出 ak(k=0,1, ， n) ，从而可得多项式nak x kpn (x)(5)k0

5、可以证明，式（ 5）中的 pn ( x) 满足式（ 1），即 pn (x) 为所求的拟合多项式。我们把m2pn ( xi )yipn ( x) 的平方误差，记作i 0称为最小二乘拟合多项式由式 (2) 可得mnm2yi2ak (xik yi )r 2i0k 0i 0(6)四、实验内容(列出实验的实施方案、步骤、数据准备、 算法流程图以及可能用到的实验设备（硬件和软件） 。)实验步骤 ：1、 先编写好matlabM 文件，然后在命令窗口编辑程序并运行；2、 运行，观察结果；3、 根据运行结果进行结果分析。实验三各个实验在matlab 窗口输进的主要程序如下：拉格朗日插值：x=-5:1:5;y1=

6、1./(1+x.2);y2=atan(x);y3=x.2./(1+x.4);L1=malagr(x,y1,x);L2=malagr(x,y2,x);L3=malagr(x,y3,x);plot(x,y1,r,x,y2,g,x,y3,b,x,L1,rp,x,L2,gd,x,L3,b*);xlabel(x);ylabel(y);legend(y1,y2,y3,L1,L2,L3)拟合多项式 ：作三次多项式拟合的程序：x=-1.5 -1.0 -0.5 0 0.5 1.0 1.5;y=-4.45 -0.45 0.55 0.05 -0.44 0.54 4.55;y1=mafit(x,y,3)作五次次多项式

7、拟合的程序：x=-1.5 -1.0 -0.5 0 0.5 1.0 1.5;y=-4.45 -0.45 0.55 0.05 -0.44 0.54 4.55;y2=mafit(x,y,5)求平方误差，作出离散函数(xi , yi ) 和拟合函数的图形，程序为：% san ci ni he duo xiang shi de xi shu x=-1.5 -1.0 -0.5 0 0.5 1.0 1.5;y2=-4.45 -0.45 0.55 0.05 -0.44 0.54 4.55;y=mafit(x,y,3);% san ci ni he duo xiang shi de xi shu x=-1.5

8、-1.0 -0.5 0 0.5 1.0 1.5; y=-4.45 -0.45 0.55 0.05 -0.44 0.54 4.55; y2=mafit(x,y,5);norm(p2-y)plot(x,y,s,x,p1,d,x,p2,p )xlabel(x);ylabel(y);legend(y,p1 ,p2)% s fangxing; d lingxing; p wujiaoxing实验四复化求积公式计算定积分用复化梯形公式相关的程序和相关的注释如下：(1)% numericalintegrateformulation1(1) f2=diff(2/3*x3*exp(x2), x ,2) %求对变

9、量 x 的二阶偏导数%f2=4*x*exp(x2)+28/3*x3*exp(x2)+8/3*x5*exp(x2)=exp(x2)*8/3*x(2*x+1)(x+3)x=2;a=4*x*exp(x2)+28/3*x3*exp(x2)+8/3*x5*exp(x2)%求 2 的函数值f=inline(1/12*h2*(9.1725e+003)-0.5e-008, h ); %复化梯形余项减去误差h=fzero(f,0)%求满足精度的 h 值n=abs(1/h);%求满足精度的 n 值fun=inline(2/3.*x.3*exp(x.2)T=matrap(fun,1,2,n)% T= 54.5979

10、b=exp(4)% exp(4)= 54.5982（2 ）f2=diff(2*x/(x2-3), x,2)% f2 =-12/(x2-3)2*x+16*x3/(x2-3)3x=2;a=-12/(x2-3)2*x+16*x3/(x2-3)3f=inline(1/12*h2*104-0.5e-008h=fzero(f,0)%求满足精度的h值n=abs(1/h);%求满足精度的n 值fun=inline(2*x/(x2-3)T=matrap(fun,2,3,n)% T= 1.7918b=log(6)% log(6)= 1.7918% 求对变量 x 的二阶偏导数%求 f2 的函数值, h);% 复化梯

11、形余项减去误差用复化辛普公式相关的程序和相关的注释如下：（1 ）% 用复化辛普公式f2=diff(2/3*x3*exp(x2), x,4)%求对变量 x 的 4 阶偏导数%f2=80*x*exp(x2)+200*x3*exp(x2)+96*x5*exp(x2)+32/3*x7*exp(x2)x=4;a=80*x*exp(x2)+200*x3*exp(x2)+96*x5*exp(x2)+32/3*x7*exp(x2)%求 f2的函数值f=inline(1/2880*h4*(2.5431e+012)-0.5e-008, h);% 复化辛普余项减去误差h=fzero(f,0)%求满足精度的h值n=a

12、bs(1/h);%求满足精度的n 值fun=inline(2/3.*x.3*exp(x.2)T=masimp(fun,1,2,n)% T= 54.5864b=exp(4)% exp(4)= 54.5982)（2 ）%用复化辛普公式(2)f2=diff(2*x/(x2-3), x,4)%求对变量 x 的 4阶偏导数% f2 =-960/(x2-3)4*x3+240/(x2-3)3*x+768*x5/(x2-3)5x=4;a=-960/(x2-3)4*x3+240/(x2-3)3*x+768*x5/(x2-3)5f=inline(1/12*h2* 0.4039-0.5e-008, h);% 复化辛

13、普余项减去误差%求 f2的函数值h=fzero(f,0)%求满足精度的h值n=abs(1/h);%求满足精度的n 值fun=inline(2*x/(x2-3)T=matrap(fun,2,3,n)% T= 1.7915b=log(6)%log(6)= 1.7918用龙贝格公式相关的程序和相关的注释如下：（ 1 ）T1=maromb(inline(2./3*x.3.*exp(x.2),1,2,0.5e-008)b=exp(4)（2 ）T1=maromb(inline(2*x./(x.2-3),2,3,0.5e-008)b=log(6)五、实验结果(实验结果应包括试验的原始数据、中间结果及最终结果

14、，复杂的结果可以用表格或图形形式实现，较为简单的结果可以与实验结果分析合并出现。实验三)拉格朗日插值：作三次多项式拟合结果为：y1 =2.0000-0.0014-1.50070.0514因此三次拟合函数为：作五次多项式拟合结果为：y2 =0.01200.00481.9650-0.0130-1.48200.0545因此五次次拟合函数为：求平方误差，作出离散函数(xi , yi ) 和拟合函数的图形，结果如下：拟合函数图形：相关数据输出：p1 =-4.4507-0.44930.55140.0514-0.44930.54934.5472p2 =-4.4505-0.44870.54650.0545-0

15、.44350.54134.5496ans =0.0136ans =0.0069由此可知道：三次拟合离散函数为：（ -1.5， -4.4507 ），（ -1.0 ， -0.4493 ），（ -0.5， 0.5514），（ 0.0， 0.0514 ），（ 0.5 ， -0.4493 ），（ 1.0， 0.5493），（ 1.5 ， 4.5472 ）三次拟合离散函数为：（ -1.5， -4.4505 ），（ -1.0 ， -0.4487 ），（ -0.5， 0.5465），（ 0.0， 0.0545 ），（ 0.5 ， -0.4435 ），（ 1.0， 0.5413），（ 1.5 ， 4.5496

16、）实验四求积公式计算定积分相关的结果：利用复化梯形公式：（ 1）f2=4*x*exp(x2)+28/3*x3*exp(x2)+8/3*x5*exp(x2)a =9.1725e+003h =-2.5576e-006fun =Inline function:fun(x) = 2/3.*x.3*exp(x.2)T =54.5979b =54.5982(2)f2 =-12/(x2-3)2*x+16*x3/(x2-3)3a =104h =-2.4019e-005fun =Inline function:fun(x) = 2*x/(x2-3)T =1.6736b =1.7918用复化辛普公式相关的结果如下

17、：（ 1）f2 =80*x*exp(x2)+200*x3*exp(x2)+96*x5*exp(x2)+32/3*x7*exp(x2)a =2.5431e+012h =-4.8781e-005fun =Inline function:fun(x) = 2/3.*x.3*exp(x.2)T =54.5864b =54.5982（ 2）f2 =-960/(x2-3)4*x3+240/(x2-3)3*x+768*x5/(x2-3)5a =0.4039h =-3.8542e-004fun =Inline function:fun(x) = 2*x/(x2-3)T =1.7915b =1.7918用龙贝格

18、公式相关的结果如下：（ 1）T =146.5012000000083.924363.065300000062.613255.509555.00580000056.653554.666954.610854.6045000055.115454.602754.598454.598254.598200054.727754.598454.598254.598254.598254.59820054.630554.598254.598254.598254.598254.598254.5982054.606254.598254.598254.598254.598254.598254.598254.5982T1

19、 =54.5982b =54.5982（ 2）T =2.500000000002.01921.85900000001.85641.80221.7984000001.80881.79291.79221.792100001.79611.79181.79181.79181.79180001.79281.79181.79181.79181.79181.7918001.79201.79181.79181.79181.79181.79181.791801.79181.79181.79181.79181.79181.79181.79181.7918T1 =1.7918b =1.7918六、实验结果分析(对实验结果进行认真的分析，进一步明确实验所涉及的算法的优缺点和使用范围。要求实验结果应能在计算机上实现或演示，由实验者独立编程实现，程序清单以附录的形式给出。实验三)拉格朗日插值函数的图像经过拟合多项式实验：y=f （ x）图像，所以通过一批数据可求得相关的函数表达式。离散函数的图像和拟合函数的图像几乎重合，其中三次拟合的平方误差比五次的低，由此可推断多项式拟合在一定的范围里，拟合的次数越高，误差越低。实验四有实验的数据可知道复化梯形公式的精确度最低，龙贝格公式精确度最高。