一种稳健的最小二乘恒模算法

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1、精品论文大集合一种稳健的最小二乘恒模算法辛爽，李蔚 北京邮电大学电磁场与微波技术系，北京 (100876) E-mail: bigbear1111摘要：最小二乘恒模算法（LS-CMA）是自适应波束形成中广泛使用的一种能全局收敛且稳定性强的算法，但是在低采样数或高信噪比情况下它的自适应波束性能会下降。经过多次Matlab 仿真，我在采样矩阵对角线加载数值的基础上进行权值迭代，提出了一种基于对角 加载理论的预处理最小二乘恒模算法，并采用了新的方法确定加载值的最优范围。经仿真证 明，该算法能有效地降低自适应波束副瓣高度，而且不会对干扰零陷产生影响。 关键词：智能天线；盲波束形成；最小二乘恒模;中图分

2、类号：TN9111.前言智能天线是利用自适应信号处理来实现波束的形成。波束形成一般需要参考信号，参 考信号的获得则需要占用一定的带宽。尤其是在移动通信和卫星通信中，为每个接收端发射 独立的训练序列，要花费昂贵的代价。这在频谱资源日益紧张的今天，无疑是不合时宜的1。 而盲波束形成方法则可以有效地解决这一问题，它不需要参考信号，而是利用用户信号本身 的结构特征实现波束形成，这些结构特征包括非高斯性、循环平稳性、恒模性等。所谓非高 斯性是指数字调制信号的分布为非高斯分布，利用这一性质，可以利用高阶统计量估计非最 小相位系统2，但是这种方法的运算量较大。循环平稳性是许多通信信号具有的一种统计特 征，利

3、用信号的这一特性，发展出了 SCORE 算法等3。利用信号的恒模特性，人们发展出 了恒模算法(CMA) 4。它利用期待（用户）信号的恒包络特性作为先验信息，通过梯度下降 法恢复用户信号，抑制干扰和噪声。这种算法的问题在于收敛速度比较慢4，这在很大程度 上制约了它在移动通信中的发展。而在此基础上发展起来的最小二乘恒模算法（LS-CMA） 4则是基于最小均方误差准则，收敛比较迅速。然而，LS-CMA 算法在高信噪比或低采样数的情况下也会存在自适应波束性能下降， 如波束副瓣过高及干扰零陷不理想的缺点。在通信环境比较恶劣的情况下，算法的稳定性和 收敛性严重失调，并产生干扰捕获（Noise captur

4、e）。而且在现代通信中，往往对设备的及 时性有一定的需求，这往往需要较少的采样数，而在采样数较少的情况下，LS-CMA 算法的 收敛性以及干扰抑制能力也会变得不理想。为此，在原 LS-CMA 算法的基础上，我们提出 了一种使用对角加载理论进行预处理的 LS-CMA 算法。该算法只需较少采样数，收敛比较 迅速。2.信号模型和最小二乘恒模算法已知一个具有 M 个阵元的自适应 CM 阵波束形成器。在 k 时刻经 m 次采样形成的接收 数据矩阵为 X = x(1), x(2), , x(m) ，其中，12Mx(l ) = x (l), x (l ), , x (l)T , (1 l m) 。- 5 -

5、12MX 与由恒模算法控制的权复向量W (k ) = w (k ), w (k ), , w (k )T加权后求和形成的k 时刻的输出向量Y = W H (k ) X向量:。其中， ()T 表示转置， ()H 表示共轭转置,Y 为输出数据Y = y(1), y(2), , y(m)T = W H (k ) x(1),W H (k ) x(2), ,W H (k ) x(m)，设kkkr(k ) = yk (1) ,yk (1)yk (2) , ,yk (2)yk (m) T 。yk (m)最小二乘恒模算法采用如下的误差信号el (w) =y(l) 1 = W (k ) x(l ) 1 ， l

6、= 1, , m 。取误差的累计平方和为代价函数m2 2(w) = el (w)l=1= e(w)式中，e(w) = Y1 = W H X 1 。算法的优化问题为使代价函数最小化。由泰勒级数展开知： (w + d ) 2e(w) + J H (w)d其中 d 是偏差向量， J (w) 是 e(w) 的雅可比（Jacobian）行列式。wJ(w) = *e(w)令 d (w + d ) = 0 ,可以得到权向量的更新公式：W (k +1) = W (k ) J (W (k ) J H (W (k )1 J (W (k )e(W (k ) , 将上述方法应用于恒模 算法的优化代价函数 CMA12

7、可以得到最小二乘恒模算法(LS-CMA)的权向量迭代公式如下：W(k +1) =Rxx1 Xr(k) =XXT 1 Xr(k)(1)xx其中 ()1 表示求逆， () 表示复共轭。 R 为采样协方差矩阵。文献4给出了两种 LS-CMA 算法：静态 LS-CMA 算法和动态 LS-CMA 算法。静态 LS-CMA 算法是指在整个迭代过程中只需一个接收数据矩阵，而动态 LS-CMA 算法则每次迭代便需 产生一个全新的数据矩阵 X，并用它产生一个新的权向量。3.预处理最小二乘恒模算法公式(1)中的 LS-CMA 算法的权向量迭代公式采用的是采样矩阵求逆(SMI)的方法。首 先，在采样的过程中，采样数

8、不能小于阵元数，因为如果采样数小于阵元数，会使采样协方 差矩阵成为奇异矩阵，无法使用采样矩阵求逆的方法。其次，为了使用采样矩阵求逆算法， Reed 等研究得出结论是采样数应大于等于阵元数的 2 倍4。Hudson 指出，当只出现强干扰 源，且干扰源数远少于阵元数时，采样数取两倍干扰源数，即可有效实现干扰为零4。可见 在许多应用中只需要较少的采样数。然而在通信环境恶劣的情况下，较少的采样数显然是不 够的。SMI 算法生成的最佳波束可看做由静态波束减去特征波束得到的，特征波束是指以 Rxx 的特征向量为权得到的波束，在强不相关平面波干扰情况下，特征波束表现为指向干扰 方向的波束。将其减去，则可以在

9、干扰方向形成一定深度的零点。当采样数较少时，由于对 噪声估计不充分，会出现大的特征值散布，相应产生随机形状的噪声特征波束。SMI 算法将 这些随机波束从静态波束中减去，就使自适应波束出现了畸变。随着采样数的增多，特征值逐渐收敛于噪声的期望值，特征值分散减小，自适应波束的形状也有所改进。若能实现特征值分散的最小化，则可减小随机形状噪声特征波束的影响，使自适应波束接近理想形状4。 而对角加载理论就可以实现这一目标。RL = Rxx +IL(2)式中 Rxx 、 RL 分别为对角加载前后的协方差矩阵估计， I 为单位矩阵， L 为实对角加 载常数。通过对 Rxx 矩阵对角线元素增加常数 L ，使加载

10、后矩阵 RL 的相应特征值也增加了 L 。特征值的改变，也导致了特征值分散特性的改变。大干扰特征值受到的影响最小，而远 小于加载值的特征值时则被增大至接近加载值，相应的特征值分散则被减小，适当地选择加 载值可以实现良好的旁瓣抑制。将公式(2)中的 RL 替换公式(1)中的 Rxx 可以得到新的权值迭代公式如下：W(k +1) =XXT +IL1 Xr(k)(3)4.计算机仿真在这部分中，对预处理后的新的 LS-CMA 算法与原 LS-CMA 算法在不同情况下进行了 仿真，加以比较。而我们采用的都是动态 LS-CMA 算法。关于加载值的选取，经过多次仿 真，证实在采样矩阵对角线数值的平均值大概

11、3 倍处附近取加载值，效果比较理想。1)不同采样数的情况下，两种算法的比较采用 8 元直线阵，单元间距 d=k/2，k 为载波波长。共有四个恒模 BPSK 调制信号作为 入射信号，方向角分别为 0,30,45,60 度。其中 45 度的信号视为期望信号，其他 3 个视为干 扰信号。信噪比为 10dB,对角加载值取为经验值 10dB。仿真图如下。图 1 8 次采样图 2 16 次采样图 3 64 次采样图 4 256 次采样在上面 4 个波束图中可以看出，采样数越少，经过对角加载预处理后的 LS-CMA 算法的效果越好，对波束图形状的改进越大，对干扰抑制的能力改进越大。在采样数为 8 时，预 处

12、理后的 LS-CMA 算法的效果最为明显，此时的原算法由于采样数太少，对采样矩阵的估 计很不充分，因此对干扰的抑制能力很差，甚至发生了干扰捕获的情况，而预处理后的 LS-CMA 算法成功地抑制了干扰信号，恢复期望信号，弥补了干扰捕获的缺陷。在采样数为16 时，由于满足了采样数等于 2 倍阵元数的经验公式，此时在干扰方向上已经形成了一定 程度的抑制，但是原算法的旁瓣特性很不理想，符合前面的分析。而新算法在干扰方向抑制 增强的同时，旁瓣特性也有了较好的改善。随着采样数的不断增加，对采样协方差矩阵的估 计越来越充分，原算法在干扰抑制深度进一步加大的同时，旁瓣特性也逐步得到改善，预处 理后的 LS-C

13、MA 算法对原算法的改进逐渐变小。当采样数为 256 时，此时对采样矩阵的估 计已经比较充分了，所以预处理后的 LS-CMA 算法与原算法的波束图已经几乎一样了,新算 法对原算法的改进效果很小。在收敛性能方面，从上图可以看出，在同样采样数尤其是低采样数的情况下，新算法 的收敛速度更快。2)不同信噪比的情况下，两种算法的比较采用 8 元直线阵，单元间距 d=k/2，k 为载波波长。共有四个恒模 BPSK 调制信号作为 入射信号，方向角分别为 0,30,45,60 度。其中 45 度的信号视为期望信号，其他 3 个视为干 扰信号。此时基于一般性，采样数取适当的 32 次。此处对角加载值取为经验值

14、10dB。仿真 图如下。图 5 信噪比 50dB图 6 信噪比 30dB图 7 信噪比 10dB图 8 信噪比 0dB在上面 4 个波束图中可以看出，信噪比越高，经过对角加载预处理后的 LS-CMA 算法的效果越好，对波束图形状的改进越大，对干扰抑制的能力改进越大。在信噪比较高的 50dB和 30dB 时，原算法的波束图形状尤其是干扰方向的抑制及旁瓣特性不理想，此时预处理后的新算法效果最明显，在降低了自适应波束副瓣高度的基础上，没有对干扰零陷产生影响。 随着信噪比的降低，协方差矩阵的小噪声扰动变小，对协方差矩阵的估计越来越充分，原算 法的波束图形状逐渐改进，干扰抑制深度进一步加大的同时，旁瓣特

15、性也逐渐得到改善，而 新算法对原算法的改进也逐渐减弱。当信噪比为 10dB 时，新算法在旁瓣特性方面相比原算 法还有明显的改进。而当信噪比为 0dB 时，此时对采样协方差矩阵的估计已经比较充分了， 新算法与原算法的波束图几乎一样了，新算法对原算法的改进效果很小。在收敛性能方面，从波束图中可以看出，在信噪比相同尤其是高信噪比的情况下，新算 法的收敛速度更快。综合以上两部分仿真结果可以看出，基于对角加载的预处理 LS-CMA 算法在低采样数 或高信噪比的情况下相对于原算法在干扰抑制能力及收敛性能方面的改进最明显，而在采样 数较大及信噪比较低时收效不大。5.结论本文将最小二乘恒模算法与对角加载理论相

16、结合，提出了一种新的预处理 LS-CMA 算 法。通过采样协方差矩阵对角线加载的方法，实现特征值分散的最小化，减小随机形状噪声 特征波束的影响，使自适应波束接近理想形状。经仿真得知，在高信噪比或低采样数的情况 下，新的预处理 LS-CMA 算法在收敛性能以及干扰抑制方面都要强于原算法，在降低了自 适应波束副瓣高度的基础上，没有对干扰零陷产生影响，特别是可以解决干扰捕获的问题。 从运算量上来看，新算法比原算法多了一次采样协方差矩阵对角线加载数值的运算，只比原 算法增加了很少的复杂程度。而且新算法不但可以减少采样数以满足及时性的需求，并可以 在较高信噪比的情况下达到更快的收敛速度。相比较算法收敛性

17、能提升所节省的时间，算法 增加的复杂度所导致的运算时间增加是很少的。新算法为盲波束形成算法提供了一个有意义 的思路。参考文献1 郭艳,方大纲,梁昌洪. 恒模算法在盲波束形成中的应用J.西安电子科技大学学报,2002,29(5):598-602. 2 Dongan M C , Mendel J M. Cumulant-based Blind Optimum BeamformingJ . IEEE Trans on AES, 1994,30(3):722-740.3刘宏伟, 张守宏, 廖桂生. 一种基于信号谱自相关特性的盲波束形成方法J. 西安电子科技大学学1997,24(1):58 - 65.4

18、 龚耀寰. 自适应滤波（第二版）时域自适应滤波和智能天线M.电子工业出版社,2003.A Robust Least Squar Constant Modulus AlgorithmXin Shuang, Li WeiBeijing University of Posts and Telecommunications (100876)AbstractThe LS-CMA is a constringent and steady algorithm in adaptive beamforming. But the capability ofadaptive beamforming would be

19、 decline obviously when the sample number was low or the SNR was high. In this article, we set out the formula of weights iterative base on the loading diagonal of sample matrix with numerical value and proposed the pretreatment LS-CMA algorithm base on the Diagonal load theory. And determine the optimal range of loading diagonal with a new idea. The algorithm can suppress the side lobe efficaciously, with no influence on nulls of interference.Keywords: smart antenna; blind beamforming; LS-CMA.