非线性框架结构 SHCSU 系统的混沌动力【推荐论文】

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1、精品论文非线性框架结构 SH-CSU 系统的混沌动力特性林晨，邹祖军5（同济大学 结构工程与防灾研究所，上海 200092） 摘要：本文在分析单自由度以及多自由度非线性框架结构体系的动力方程后，以滑移滞后模 型（SH-CSU 模型）作为恢复力依据，借助于 Simulink 软件对系统进行动态模拟仿真和计算 处理，得出系统的时程曲线图、相平面图、Poincare 截面图和功率谱图，综合分析并直观表10明非线性框架系统在一定条件下所表现出混沌动力特性。关键词：结构工程；混沌振动；非线性框架； SH-CSU 模型；仿真模拟中图分类号：TU352.1Chaotic Dynamic Characteri

2、stics of Nonlinear Frame15Structure Based on SH-CSU modelLin Chen, Zou Zujun(Research Institute of Structural Engineering and Disaster Reduction, Tongji University, Shanghai 200092) Abstract: Based on the SH-CSU model, this paper introduced and analyzed single degree of freedom and multiple degrees

3、of freedom nonlinear frame structure system model. After dynamic20simulation and calculation process by Simulink, time history curve, phase plan, Poincare section and power spectrum diagram of the system were drawn out. The chaotic dynamic characteristics of the nonlinear frame structure system is a

4、nalyzed and described comprehensively.Key words: structural engineering; chaotic vibration; nonlinear frame structure; SH-CSU model；simulation250引言20 世纪 60 年代以来，由于计算机技术的应用以及振动理论的发展，确定性非线性动力学系统的一些突破性的力学现象已经被发现，例如类似不确定性的随机混沌动态反应。混沌 振动是存在于自然界中的一种普遍现象，是非线性系统特有的一种运动形式。混沌振动看似30毫无规律的往复非周期运动，产生于完全确定的系统，具有长期

5、预测的不可能性，但并非完 全不可预测1。近三十年，混沌与其他学科相互交融渗透，得到了迅猛的发展，使得混沌理 论进入到实际应用阶段。作为工程振动理论的新分支，混沌振动的研究已经成为振动力学中 一个蓬勃发展的新领域。随着混沌振动理论研究的深入，其工程应用也日益受到关注。结构的抗震设计已经从确定性的设计方法，如拟静力法、反应谱法、和直接输入地震波35的动力反应验算法，过渡到了概率设计的方法，如可靠度指标法、直接的可靠性法2 3。由 于大多数真实结构在地震作用并非完全都处于线性工作状态，且各种具体结构多自由度非线 性体系的随机振动的理论研究本身还不完善，现行的概率抗震设计大多数还是建立在概率反 应谱的

6、基础之上，非线性结构系统的混沌动力特性的研究将成为未来的发展趋势4。本文将以框架结构为研究对象，建立结构系统的动力反应方程，并采用数值分析和模拟40仿真的方法，对单自由度以及多自由度的非线性框架结构的混沌动力特性进行初探和研究， 为框架结构以及其他非线性类型结构的动力特性研究提供理论基础和研究参考。作者简介：林晨（1987-），女，硕士研究生，主要研究方向：工程结构抗震通信联系人：邹祖军（1963-），男，副教授，主要研究方向：工程结构抗震. E-mail: hmgdkjx- 9 -1非线性框架结构的计算模型1.1 滑移滞后模型（SH-CSU 模型）滑移滞后模型（SH 模型）是以静力非线性试验

7、为基础的非线性骨架曲线之一，对以剪45切变形为主的结构体系尤其是框架结构的层间恢复力非线性关系的模拟，具有良好的适用 性。参考拟静力的实验结果5，梁柱组合构件强柱弱梁、强梁弱柱的滞回曲线的变化过程是 从初始阶段的梭形曲线迅速过度为反 S 形曲线的。通过对框架结构非线性动力性能的分析及 变形机制的分析，选取了“滑移滞后”模型（SH 模型）作为非线性框架结构层间恢复力的 基本模型。50框架结构作为地震作用下的多层剪切滞后体系，结构的层间恢复力都可以用如图 1 所示 的“滑移滞后”模型来表示6。该模型能代表多种结构的层恢复力，多层钢筋混凝土框架、 填充框架和框-剪结构等的“层间剪力-相对层间位移”的

8、非线性关系都近似具有这种滑移滞 后的特性。因此，采用“滑移滞后”模型（SH 模型）作为恢复力的代表模型来模拟研究非 线性框架结构的动力特性是具备试验和现实的依据的。55图 1 框架结构层间恢复力 SH-CSU 模型Fig.1 Frame structure layer restoring force on SH-CSU model如上图（3.12）所示，在考虑滞回面积相等的条件下，滑移滞后模型（SH 模型）可以 用等效的 Coulomb-set-up(CSU)模型来代替。故体系的层间恢复力模型用解析式表示为：s i 1 i 2 i 3 i60f i (q ) = Ai sgn q& + Ai

9、q + Ai sgn qi i 1 i i i式中 A1 = A3 = (1 - qi ) f y ， A2 = qi ki ；其中 ki 是初始刚度，q i 是第二刚度系数， f y2是层间屈服剪力值。1.2 单自由度非线性框架结构地震作用下的单自由度非线性混凝土框架结构体系，将该体系简化为一般单自由度模65型，如图 2 所示6。Xmc0Xg图 2 地震作用下单自由度框架结构及简化模型Fig.2 SDOF frame structure and simplified model under seismic action则体系的运动方程为70m&x& + c0 x& + fs ( x) = -

10、m&x&g式中 m 和 c0 是体系的质量和粘滞阻尼系数， xg 为地面运动的位移， x 是横梁相对于地 面的位移， f s ( x) 是体系的恢复力，以 SH-CSU 模型为依据，则在简谐振动外激励作用下的动力方程为：0 1 2 3 0m&x& + c x& + Ai sgn x& + Ai x + Ai sgn x = P cos wt75该方程可以用于检测单自由度非线性框架结构的混沌现象的检测与研究。1.3 多单自由度非线性框架结构对于以剪切变形为主，且高度较低、质量和刚度沿高度分布比较均匀的多自由度非线性 框架结构，结构的模型可简化为离散化的剪切型多自由度模型，如图 3 所示6。 X

11、nmNNN cNmN-1miN XicNmmN-1mi ciimi-1ciimi-1X1m1 m1 c1 c11 1 Xg80图 3 地震作用下多自由度体系及简化模型Fig3 MDOF frame structure and the simplified model under seismic action则体系的运动方程为：0 s gMX& + C X& + F ( X ) = -M I &x&式中 M 和 C0 分别表示体系的质量矩阵和粘滞阻尼矩阵；TX = x1 , x2 ,L, xn 为结构各层85相对于地面的位移矢量；I 是单位列向量；Fs ( X ) 是结构体系的恢复力矢量，根据剪

12、切型 结构的特点，此恢复力矢量用结构的层恢复力矢量表示为1Fs ( X ) = IFs (Q)1式中I 是恢复力关系矩阵，表示为 1-1 0 L 0 01-1 L 0 1I= L L L LL 00L 1 -1 0 0 0 L 1式中 1 2n TT90Fs (Q) =fs (q1 ), fs (q2 ),L, fs (qn )是结构的层恢复力矢量；Q = q1 , q2 ,L, qn 为结构的相对层间位移矢量，其中 qi = xi - xi -1 为层间相对位移，则与层位移矢量的关系可 以表示为1X = IT Q与单自由度框架体系类似，同样以 SH-CSU 模型为依据，由上文单自由度的分析可

13、知，多自95由度非线性框架结构在简谐振动外激励作用下的方程为：0 1 2 3 0MX& + C X& + Ai sgn X& + Ai X + Ai sgn X = P cos wt100同单自由度系统相似，采用上述方程作为多自由度非线性框架结构的混沌现象的检测与 研究。2数值计算和仿真模拟非线性框架结构动力反应的时间序列数据主要是通过 Matlab 工具箱 Simulink 求解动力微分方程得到7。在 Simulink 界面中，插入各种状态模块，建立状态矢量符合动力方程的模 型，通过给定实验因子以及状态初始值，对输出结果进行进一步研究和分析8。利用 Simulink 编制，以滑移滞后模型（S

14、H-CSU 模型）为恢复力特性的多自由度非线性框架结构计算模型 的流程图如下图所示：Sign-K -A3-K -To Workspace 3 f-K - A1A 2Sign 11Out 1Sine Wave8Gain3.5 m1 sIntegrator1 sIntegrator 1Scope102Out 2CxTo WorkspaceaaTo Workspace 4Scope 1yTo Workspace 1105ClocktTo Workspace 2110图 4 非线性框架结构系统采用 SH-CSU 算法的仿真结构模型图Fig. 4 model diagram of nonlinear f

15、rame structure system under SH-CSU algorithm simulation在该模型中，Simulink 的仿真模拟得到的数值输出结果为系统结构的速度和位移，通过其与时间序列直接输入 Matlab 的工作空间中进行处理和计算，绘出所需各类时程图、相位 图形，即可对系统的混沌动力特性进行下一步判别和研究。由于目前混沌现象还未有明确的定义，从而也缺乏准确的判定方法，通常采用时程曲线115120125130135图、相平面图和 Poincare 映射、频谱分析、Lyapunov 指数等作为识别混沌现象的判别准则及描述依据3 9。1系统的相位图相轨迹图是系统的解曲线在

16、相空间的几何表示。其中，x 为位移，y 为速度，两者组成 相平面。方程的解所表现在相平面上的曲线为即相轨迹。若相位轨迹图的具有明显的不规则 性，形状不断交割变化，但系统显示轨迹有界，总体吸引，局部排斥，则具备非周期的混沌 特征。对于速度、位移的时程曲线在各循环过程中无明显的周期现象，且样式各不相同，在 某一有界数值范围内作不规则往复振动。2庞加莱截面映射 庞加莱截面法能较好的刻画混沌振动的往复非周期特性。对于某非线性振动系统，在相平面内，每隔一个周期只取一个点，得到按周期采样的相位点图，称之为庞加莱截面映射。 若庞加莱截面图上的映射点有且只有一个或者少数离散点时，为周期运动；当截面上是一些 无

17、穷多离散点成片聚集或形成闭曲线，且具有精细的分形结构时，便是混沌振动。3. 功率谱方法 功率谱密度是通过傅立叶变化与自相关函数建立关系，即能量随频率的分布。谱分析是识别混沌的一个重要手段。根据傅立叶分析，任何一个非周期的运动，不能展开为傅氏级数， 只能展开为傅氏积分，即非周期运动的功率谱是连续的。本文采用相平面图、时程曲线图、Poincare 截面图和频谱图进行综合分析，辨别区分系 统的混沌运动状态。3 模型算例及结果分析本文主要研究非线性框架结构的混沌动力特性，采用简谐波对结构进行激励，方便研究。由上述分析可知，非线性框架结构系统基于 SH-CSU 模型的动力方程为0 1 2 3 0m&x&

18、 + c x& + Ai sgn x& + Ai x + Ai sgn x = P cos wt根据该方程对系统进行仿真模拟。考虑某单层框架结构，设其恢复力可以用滑移滞后模 型表示，结构参数如表 1 所示。表 1 结构参数表Tab. 1 Structural Parameters on SH-SCU Model屈服 层质量初始刚度阻尼第二刚剪力i i 1 (1 ) i i(ts2/m)号(t/m)(ts/m)(t)度系数A1 = A3 = - qi f y2A2 = qi ki13.52020106.00.152.55303.0140分别取 P0=3.0 以及 4.5，利用数值模拟仿真，求得非

19、线性框架结构系统的混沌特性的数值输出结果，利用程序所绘出的相轨迹图、位移时程图、速度时程图、Poincare 截面图以及 功率谱图对比分析如下所示。-34 x 100.0150.0120.005速度速度00-0.005-2-0.01-4-2-1012-0.015-6 -4 -2 0 2 4 6145位移-4位移x 10图 5 P0= 3.0 & 4.5 时的相轨迹图Fig5 P0= 3.0 & 4.5 Phase trajectories diagram-4x 10-34 x 100.0150.0120.005速度位移00-2-4505152535455时间-0.005-0.01-0.0155

20、0 51 52 53 54 55时间-42 x 10图 6 P0= 3.0 & 4.5 时的速度时程曲线图Fig.6 P0= 3.0 & 4.5 Speed path diagram-46 x 10412位移位移00-1-2505560657075时间-2-4-650 55 60 65 70 75时间150-3x 1021速度0图 7 P0= 3.0 & 4.5 时的位移时程曲线图Fig.7 P0= 3.0 & 4.5 Displacement time history curve-33.5 x 1032.5速度21.51-10.5-1-0.500.51-4-3-2-10位移-5x 10位移x

21、 1 -40-20图 8 P0= 3.0 & 4.5 时的 Poincare 截面映射图Fig8 P0= 3.0 & 4.5 Poincare section diagram400040003000300020002000功率10001000155000.060.040102030400 10203040频率频率功率图 9 P0= 3.0 & 4.5 时的功率谱图Fig.9 P0= 3.0 & 4.5 Power spectrum0 . 10.02速度0 . 0 5速度0-0.02-0.04-0.06-4-20240- 0 . 0 5- 0 . 1位移- 0 . 0 1 - 0 . 0 0 5

22、 0 0 . 0 0 5 0 . 0 11600.05位移-3x 10图 10 P0= 6.0 & 8.0 时的相轨迹图Fig10 P0= 6.0 & 8.0 Phase trajectories diagram0.20.1速度速度0 0-0.1-0.0550 51 52 53 54 55时间-0.2505152535455时间-34 x 102速度0-2图 11 P0= 6.0 & 8.0 时的速度时程曲线图Fig.11 P0= 6.0 & 8.0 Speed path diagram位移0.0150.010.0050-0.005-0.01-450 55 60 65 70 75位移-0.01

23、550 55 60 65 70 75时间165图 12 P0= 6.0 & 8.0 时的位移时程曲线图Fig.12 P0= 6.0 & 8.0 Displacement time history curve0.010.060.008速度0.0060.0040.05速度0.040.0020.030-4-3-2-100.02-9 -8 -7 -6 -53000位移-3x 10图 13 P0= 6.0 & 8.0 时的 Poincare 截面映射图Fig.13 P0= 6.0 & 8.0 Poincare section diagram4000-3位移x 10250020003000功率150020

24、001000500功率10001701751801851900 0010203040010203040频率频率图 14 P0= 6.0 & 8.0 时的功率谱图Fig.14 P0= 6.0 & 8.0 Power spectrum由上图分析可知，而当取 P0= 3.0 和 P0= 4.5 时，其轨迹线自身交割不断，变化显示为总体有界吸引，为非周期的混沌特征；位移及速度时程曲线在各个循环过程中样式各不相同， 在两个平衡位置中间反复无常的作无规则震荡；Poincare 截面图表现为分布在一定区域上的 无穷多密集点，且具有一定的分型特性，表现出混沌的状态；功率谱图是连续的，系统是混 沌振动。而当 P

25、0= 6.0 和 P0= 8.0 时，系统相位图以及速度、位移时程曲线的变化由杂乱无章 逐渐趋于稳定；且 Poincare 截面图表现为少数离散点，功率谱图为非连续性，系统的周期性 特性十分明显；综上所述，通过对比分析可知，非线性框架结构系统在一定条件下表现出混 沌振动特性。4 结语本文通过对非线性框架结构系统进行动态仿真模拟和数值分析，对该结构系统的混沌动力特性进行初探。选择了滑移滞后模型作为恢复力的代表模型，证实了在一定条件下框架结 构会出现混沌振动现象，为混沌振动及控制理论在实际工程中的运用提供了参考依据。本文 所选取研究对象为非线性框架结构的简化模型，是依据于滑移滞后 SH-CSU 模

26、型基础之上， 在后续工作中有待进一步深化研究。参考文献 (References)1 王光瑞, 于熙玲, 等. 混沌的控制、同步与利用M.北京:国防工业出版社，2001.2 徐军, 郑颖人. 工程结构可靠度指标计算的混沌搜索方法J. 工程力学. Vol.19, No.3, June, 2001 3 姜万录, 张淑清, 千益群. 混沌运动特征的数值试验分析JVol.36, No.10, Oct, 20004 陈体军，董达善工程中的混沌问题与应用研究现状综述J上海海事大学学报Vol.25, No.3, Sep, 2004 5 李杰,李国强.地震工程学导论M.北京：地震出版社，1992.1956 王光远, 欧进萍. 抗震结构的模糊随机振动M. 哈尔滨:哈尔滨建筑工程学院, 1987. 7 陈俊，邹祖军. 混沌振动的数值模拟 J.低温建筑技术.2011,Vol.33(2):62-648 李颖. Simulink 动态系统建模与仿真M.西安:西安电子科技大学出版社,2009.9 何四祥, 邹祖军. 混沌运动在一类非线性结构振动中的数值模拟研究J. 结构工程师, 2007,23(1):42-44.