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1、最新资料最新资料最新资料最新资料最新资料课时训练6生活中的优化问题举例1.某公司生产某种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总收益R与年产量x个单位产品的关系是R(x)=则总利润最大时,每年生产的单位产品数是()A.100B.150C.200D.300解析:依题意可得:总利润为P=P=令P=0,当0x400时,得x=300时总利润最大为25 000元;当x400时,P0恒成立,易知当x=300时,总利润最大.答案:D2.做一个容积为256 cm3的方底无盖水箱,要使用料最省,水箱的底面边长为()A.5 cmB.6 cmC.7 cmD.8 cm解析:设水箱的底
2、面边长为x cm,容积为256 cm3,所以水箱的高为 cm,于是水箱表面积f(x)=x2+4x,即f(x)=x2+,f(x)=2x-,令f(x)=0得x=8,所以当底面边长为8 cm时用料最省.答案:D3.在内接于半径为R的半圆的矩形中,周长最大的矩形的边长为()A.RB.R和RC.R和RD.以上都不对解析:设矩形一边的长为x,则另一边长为2,则l=2x+4(0xR),l=2-,令l=0,解得x1=R,x2=-R(舍去).当0x0;当RxR时,l0.所以当x=R时,l取最大值,即周长最大的矩形的边长为R,R.答案:B4.要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20 cm,要使其体积为最大,则高为()
3、A. cmB. cmC. cmD. cm解析:设圆锥的高为x cm,则底面半径为 cm,其体积V=x(202-x2)(0x20),V=(400-3x2).令V=0,解得x1=,x2=-(舍去).当0x0;当x20时,V0),贷款的利率为4.8%,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为xx(0,0.048),则存款利率为时,银行可获得最大收益.()A.0.012B.0.024C.0.032D.0.036解析:由题意,存款量g(x)=kx(k0),银行应支付的利息h(x)=xg(x)=kx2,x(0,0.048).设银行可获得的收益为y,则y=0.048kx-kx2.于是y=0.048k-
4、2kx,令y=0,解得x=0.024,依题意知y在x=0.024处取得最大值.故当存款利率为0.024时,银行可获得最大收益.答案:B6.设底面为正三角形的直棱柱的体积为V,那么其表面积最小时,底面边长为()A.B.C.D.2解析:设底面边长为x,则底面面积为x2,设高为h,则x2h=V,于是h=,这时直棱柱的表面积S(x)=x22+3xh=x2+.S(x)=x-,令S(x)=0得x=,故当x=时表面积最小.答案:C7.周长为20 cm的矩形,绕一条边旋转成一个圆柱,则圆柱体积的最大值是.解析:设矩形的一边长为x cm,则另一边长为(10-x) cm,则V=x2(10-x)(0x0,V(x)单
5、调递增;当x时,V(x)0,V(x)单调递减.当x=时,V为极大值即最大值.此时V=(cm3).答案: cm38.已知矩形的两个顶点位于x轴上,另两个顶点位于抛物线y=4-x2在x轴上方的曲线上,则这个矩形面积最大时的边长分别为.解析:设矩形边长AD=2x(0x0),则矩形的面积S=2x(4-x2)(0x2),即S=8x-2x3,S=8-6x2.令S=0,解得x1=,x2=-(舍),当0x0;当x2时,S0,当x=时,S取得最大值,此时Smax=,即矩形边长为时,矩形面积最大.答案:9.某集团为了获得更大的收益,每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查,每年投入广告费t(百万元),可增加销售额
6、约为-t2+5t(百万元)(0t5),现该公司准备共投入300万元,分别用于广告促销和技术改造.经预测,每投入技术改造费x(百万元),可增加的销售额约为-x3+x2+3x(百万元).为使该公司由此获得的收益最大,求x的值.解:设用于技术改造的资金为x(百万元),则用于广告促销的资金为(3-x)(百万元),又设由此获得的收益是g(x),则有g(x)=+-(3-x)2+5(3-x)-3(0x3),即g(x)=-x3+4x+3(0x3),g(x)=-x2+4.令g(x)=0,得x=-2(舍去),或x=2.又当0x0;当2x3时,g(x)0,g(x)在0,2上是增函数,在(2,3上是减函数,当x=2时
7、,g(x)取最大值,即将2百万元用于技术改造,该公司收益最大.10.两县城A和B相距20 km,现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关,对城A和城B的总影响度为对城A与对城B的影响度之和.记C点到城A的距离为x km,建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y.统计调查表明:垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比,比例系数为4;对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比,比例系数为k.当垃圾处理厂建在的中点时,对城A和城B的总影响度为0.065.(1)将y表示成x的函数;(2)讨论(1)中函数的单
8、调性,并判断上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小?若存在,求出该点到城A的距离;若不存在,说明理由.解:(1)根据题意ACB=90,AC=x km,BC= km,且建在C处的垃圾处理厂对城A的影响度为,对城B的影响度为,因此,总影响度y=(0x20).又因为垃圾处理厂建在的中点时,对城A和城B的总影响度为0.065,则有=0.065,解得k=9,所以y=(0x20).(2)因为y=-,由y=0解得x=4,或x=-4(舍去),易知4(0,20).y,y随x的变化情况如下表:x(0,4)4(4,20)y-0+y单调递减单调递增由表可知,函数在(0,4)内单调递减,在(4,20)内单调递增,y最小值=.此时x=4,故在上存在C点,使得建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小,该点与城A的距离x=4 km.最新精品资料
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