三维设计高考数学一轮复习教学案 任意角和弧度制及任意角的三角函数(含解析)

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1、第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数知识能否忆起1任意角(1)角的分类：按旋转方向不同分为正角、负角、零角按终边位置不同分为象限角和轴线角(2)终边相同的角：终边与角相同的角可写成k360(kZ)(3)弧度制：1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|，l是以角作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制比值与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关弧度与角度的换算：3602弧度；180弧度弧长公式：l|r，扇形面积公式：S扇形lr|r2.2任意角的三角函数(1)任意角的三角函数定义：

2、设是一个任意角，角的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么角的正弦、余弦、正切分别是：sin y，cos x，tan ，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦3三角函数线设角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M.由三角函数的定义知，点P的坐标为(cos_，sin_)，即P(cos_，sin_)，其中cos OM，sin MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与的终边或其反向延长线相交于点T，则tan AT.我们把有向线段OM、MP、

3、AT叫做的余弦线、正弦线、正切线.三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线小题能否全取1870的终边在第几象限()A一B二C三 D四解析：选C因8702360150.150是第三象限角2已知角的终边经过点(，1)，则角的最小正值是()A. B.C. D.解析：选Bsin ，且的终边在第四象限，.3(教材习题改编)若sin 0，则是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角解析：选C由sin 0，知在第一或第三象限，因此在第三象限4若点P在角的终边上，且P的坐标为(1，y)，则y等于_解析：因tany，y.答案：5弧长为3，圆心角为135的扇形半径为_

4、，面积为_解析：弧长l3，圆心角，由弧长公式lr得r4，面积Slr6.答案：461.对任意角的理解 (1)“小于90的角”不等同于“锐角”“090的角”不等同于“第一象限的角”其实锐角的集合是|090，第一象限角的集合为|k360k36090，kZ (2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等 2三角函数定义的理解 三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sin y，cos x，tan ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r，则sin ，cos ，tan .角的集合表示及象限角的判定典题导入例1已知角45，(1)在7200范围内找出所有与角终边相同

5、的角；(2)设集合M，N，判断两集合的关系自主解答(1)所有与角有相同终边的角可表示为：45k360(kZ)，则令72045k3600，得765k36045，解得k，从而k2或k1，代入得675或315.(2)因为Mx|x(2k1)45，kZ表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合Nx|x(k1)45，kZ表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：MN.由题悟法1利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角2已知角的终边位置，确定形如k，等形式的角终边的方法：先表示角的范围，再写出k、

6、等形式的角范围，然后就k的可能取值讨论所求角的终边位置以题试法1(1)给出下列四个命题：是第二象限角；是第三象限角；400是第四角限角；315是第一象限角其中正确的命题有()A1个B2个C3个 D4个(2)如果角是第二象限角，则角的终边在第_象限解析：(1)是第三象限角，故错误.，从而是第三象限角正确40036040，从而正确31536045，从而正确(2)由已知2k2k(kZ)，则2k2k(kZ)，即2k2k(kZ)，故2k0)，则tan 的最小值为()A1B2C. D.(2)(2012大庆模拟)已知角的终边上一点P的坐标为，则角的最小正值为()A. B.C. D.自主解答(1)根据已知条件

7、得tan t2，当且仅当t1时，tan 取得最小值2.(2)由题意知点P在第四象限，根据三角函数的定义得cos sin ，故2k(kZ)，所以的最小正值为.答案(1)B(2)D由题悟法定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求解(2)已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的三角函数值以题试法2(1)(2012东莞调研)已知角的终边与单位圆的交点P，则tan ()A. BC. D(2)(2012潍坊质检)已知角的

8、终边经过点P(m，3)，且cos ，则m等于()A B.C4 D4解析：(1)选B由|OP|2x21，得x，tan .(2)选C由题意可知，cos ，又m0，解得m4.扇形的弧长及面积公式典题导入例3(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？自主解答(1)设圆心角是，半径是r，则(舍)，故扇形圆心角为.(2)设圆心角是，半径是r，则2rr40.Sr2r(402r)r(20r)(r10)2100100，当且仅当r10时，Smax100.所以当r10，2时，扇形面积最大若本例(1)中条件变为：圆弧长度等于该圆内接正方形

9、的边长，则其圆心角的弧度数是_解析：设圆半径为R，则圆内接正方形的对角线长为2R，正方形边长为R，圆心角的弧度数是.答案：由题悟法1在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷2记住下列公式：lR；SlR；SR2.其中R是扇形的半径，l是弧长，(00；cos(2 200)cos(40)cos 400；tan(10)tan(310)0，tan0.6已知sin cos 1，则角的终边在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选B由已知得(sin cos )21,12sin cos 1，sin cos cos ，因此sin 0cos ，所以角的终边在第二象限7在直角坐标系中

10、，O是原点，A(，1)，将点A绕O逆时针旋转90到B点，则B点坐标为_解析：依题意知OAOB2，AOx30，BOx120，设点B坐标为(x，y)，所以x2cos 1201，y2sin 120，即B(1，)答案：(1，)8若的终边所在直线经过点P，则sin _，tan _.解析：因为的终边所在直线经过点P，所以的终边所在直线为yx，则在第二或第四象限所以sin 或，tan 1.答案：或19.如图，角的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1)交于第二象限的点A，则cos sin _.解析：由题图知sin ，又点A在第二象限，故cos .cos sin .答案：10一个扇形OAB的面积是1 cm2，它的

11、周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.解：设圆的半径为r cm，弧长为l cm，则解得圆心角2.如图，过O作OHAB于H.则AOH1弧度AH1sin 1sin 1(cm)，AB2sin 1(cm)11.如图所示，A，B是单位圆O上的点，且B在第二象限，C是圆与x轴正半轴的交点，A点的坐标为，AOB为正三角形(1)求sinCOA；(2)求cosCOB.解：(1)根据三角函数定义可知sinCOA.(2)AOB为正三角形，AOB60，又sinCOA，cosCOA，cosCOBcos(COA60)cosCOAcos 60sinCOAsin 60.12(1)设90180，角的终边上一点为P(x，)

12、，且cos x，求sin 与tan 的值；(2)已知角的终边上有一点P(x，1)(x0)，且tan x，求sin ，cos .解：(1)r，cos ，从而x，解得x0或x.90180，x90，即A90B，则sin Asin (90B)cos B，sin Acos B0，同理cos Asin C0，所以点P在第四象限，1111.2(2012山东高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为_解析：设A(2,0)，B(2,1)，由题意知劣弧P长为2，ABP2.设P(x，y)，

13、则x21cos2sin 2，y11sin1cos 2，的坐标为(2sin 2,1cos 2)答案：(2sin 2,1cos 2)3(1)确定的符号；(2)已知(0，)，且sin cos m(0m0，tan 50，cos 80，原式大于0.(2)若0OP1.若，则sin cos 1.由已知0m0.1已知点P(sin cos ，tan )在第一象限，则在0,2内，的取值范围是()A.B.C. D.解析：选B由已知sin cos 0，tan 0故.2已知角的终边在直线3x4y0上，求sin ，cos ，tan 的值解：角的终边在直线3x4y0上，在角的终边上任取一点P(4t，3t)(t0)，则x4t，y3t，r5|t|，当t0时，r5t，sin ，cos ，tan ；当t0时，r5t，sin ，cos ，tan .综上可知，sin ，cos ，tan ；或sin ，cos ，tan .3已知01；(2)sin OP，cos sin 1.(2)连接PA，则SOPAS扇形OPASOTA，即OAMPOAOAAT，即sin tan .