DA87方向导数与梯度

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1、 第八章第八章 第七节第七节一、方向导数一、方向导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、梯度二、梯度 三、物理意义三、物理意义 方向导数与梯度方向导数与梯度l),(zyxP一、方向导数一、方向导数定义定义: 若函数若函数),(zyxff0lim则称则称lflf,)()()(222zyx,cosx,cosycosz为函数在点为函数在点 P 处沿方向处沿方向 l 的的方向导数方向导数.),(),(lim0zyxfzzyyxxf在点在点 ),(zyxP处处沿方向沿方向 l (方向角为方向角为, ) 存在下列极限存在下列极限: 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 P记作记

2、作 xz y0 l y x zzlzPlim0 P Pz = f (x,y) x y )()(lim y,xfyy,xxfQPfPf)()(lim0 M 是曲面在是曲面在点点P处沿处沿方向方向l 的变化率，的变化率，即半切线即半切线Plz MN方向导数方向导数.方向导数几何意义方向导数几何意义的斜率的斜率N,),(),(处可微在点若函数zyxPzyxf),(zyxPl定理定理:则函数在该点沿任意方向沿任意方向 l 的方向导数存在 ,flf0limcoscoscoszfyfxflf.,的方向角为其中l证明证明: 由函数),(zyxf)(ozzfyyfxxff coscoscoszfyfxf且有)

3、(o在点 P 可微 , 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 P故coscoscoszfyfxf机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 对于二元函数对于二元函数, ),(yxf为为 , ) 的方向导数为的方向导数为方处沿方向在点(),(lyxP),(),(lim0yxfyyxxflfcos),(cos),(yxfyxfyx,)()(22yx)cos.,cosyxPlxyoxflf特别特别: : 当当 l 与与 x 轴同向轴同向有时,2,0 当当 l 与与 x 轴反向轴反向有时,2,xflfl向角向角例例1. 求函数求函数 在点在点 P(1, 1, 1) 沿向量沿向量zyxu

4、2, 1,2(l3) 的方向导数的方向导数 .,142cosPlu) 1, 1, 1 (146,141cos143cos1422zyx1412zx1432yx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解: 向量向量 l 的方向余弦为的方向余弦为例例2. 求函数求函数 在点在点P(2, 3)沿曲线沿曲线223yyxz12 xy朝朝 x 增大方向的方向导数增大方向的方向导数.解解:将已知曲线用参数方程表示为将已知曲线用参数方程表示为2)2, 1 (xxPlz它在点它在点 P 的的切向量为切向量为,171cos1760 xoy2P1 2xyxx1716xy174)23(2yx)3

5、,2()4, 1 (174cos1机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例3. 设是曲面n在点 P(1, 1, 1 )处指向外侧的法向量,解解: 方向余弦为,142cos,143cos141cos而Pxu,148Pyu14PzuPnu同理得) 1,3,2(2632222zyx方向的方向导数.Pzyx)2,6,4(1467111143826141Pyxzx22866zyxu2286在点P 处沿求函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 nn二、梯度二、梯度 方向导数公式方向导数公式coscoscoszfyfxflf令向量令向量这说明这说明方向：方向：f 变化率最大的方向变化

6、率最大的方向模模 : f 的最大变化率之值的最大变化率之值方向导数取最大值：方向导数取最大值：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 zfyfxfG,)cos,cos,(cos0l),cos(0lGG)1(0l0lGlf,0方向一致时与当Gl:GGlfmax1. 定义定义, fadrg即即fadrg同样可定义二元函数同样可定义二元函数),(yxf),(yxPyfxfjyfixff,grad称为函数称为函数 f (P) 在点在点 P 处的处的梯度梯度zfyfxf,kzfjyfixf记作记作(gradient),在点在点处的梯度处的梯度 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页

7、返回返回 结束结束 G说明说明: 函数的函数的方向导数方向导数为梯度在该方向上的投影为梯度在该方向上的投影.向量向量2. 梯度的几何意义梯度的几何意义函数在一点的梯度垂直于该点等值面函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线或等值线) ,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 面上的投在曲线xoyCzyxfz),(CyxfL),(:*影称为函数称为函数 f 的的等值线等值线 . ,不同时为零设yxff则则L*上点上点P 处的法向量为处的法向量为 Pyxff),(Pfgradoyx1cf 2cf 3cf )(321ccc设P同样同样, 对应函数对应函数, ),(zyxfu 有

8、等值面有等值面(等量面等量面),),(Czyxf当各偏导数不同时为零时当各偏导数不同时为零时, 其上其上 点点P处的法向量为处的法向量为.gradPf, ),(yxfz 对函数指向函数增大的方向指向函数增大的方向.3. 梯度的基本运算公式梯度的基本运算公式0grad(1)CuCuCgrad)(grad(2)vuvugradgrad)(grad(3)uvvuvugradgrad)(grad(4)uufufgrad)()(grad(5)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.,)(可导设rf),(222zyxPzyxr为点其中证证:xrf)()(rf yrf)()( gradrf)(1)(kz

9、jyixrrfrrrf1)( rzrfzrf)()(0)(rrfjyrf)(kzrf)(xrrf)(222zyxxPxozy,)(ryrf ixrf)(试证rxrf)( 机动 目录 上页 下页 返回 结束 .)()(radg0rrfrf处矢径 r 的模 ,r三、物理意义三、物理意义函数函数(物理量的分布物理量的分布)数量场数量场 (数性函数数性函数)场场向量场向量场(矢性函数矢性函数)可微函数可微函数)(Pf梯度场梯度场)(gradPf( 势势 )如如: 温度场温度场, 电位场等电位场等如如: 力场力场,速度场等速度场等(向量场向量场) 注意注意: 任意一个向量场不一定是梯度场任意一个向量场不

10、一定是梯度场.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 内容小结内容小结1. 方向导数方向导数 三元函数三元函数 ),(zyxf在点在点),(zyxP沿方向沿方向 l (方向角方向角),为的方向导数为的方向导数为coscoscoszfyfxflf 二元函数二元函数 ),(yxf在点在点),(yxP),的方向导数为的方向导数为coscosyfxflf沿方向沿方向 l (方向角为方向角为yfxfcossin机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2. 梯度梯度 三元函数三元函数 ),(zyxf在点在点),(zyxP处的梯度为处的梯度为zfyfxff,grad

11、二元函数二元函数 ),(yxf在点在点),(yxP处的梯度为处的梯度为),(, ),(gradyxfyxffyx3. 关系关系方向导数存在方向导数存在偏导数存在偏导数存在 可微可微机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 0gradlflf梯度在方向梯度在方向 l 上的投影上的投影.思考与练习思考与练习1. 设函数zyxzyxf2),(1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线 12 32tztytx在该点切线方向的方向导数;(2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度梯度与(1)中切线方向切线方向 的夹角 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,),(2

12、zyxzyxf曲线 12 32tztytx1. (1)在点)3,4, 1 (1dd,dd,ddttztytx)1 , 1 , 1(coscoscoszyxMffflf266解答提示解答提示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数沿 l 的方向导数lM (1,1,1) 处切线的方向向量)0,1,2(grad)2(MfMMflfgrad13061306arccosMfgrad机动 目录 上页 下页 返回 结束 l cosMfgradl备用题备用题 1. 函数函数)ln(222zyxu在点在点)2,2, 1 (M处的梯度处的梯度Mugrad)2, 2, 1 (,gradzuyuxuuM解解:,22

13、2zyxr令则则xu21rx2注意注意 x , y , z 具有轮换对称性具有轮换对称性)2, 2, 1 (2222,2,2rzryrx)2,2, 1 (92)2,2, 1 (92(92考研考研)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 指向指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向导数是方向的方向导数是 .在点在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点处沿点Axd d2. 函数函数)ln(22zyxu提示提示:31,32,32则则cos,cos,cosAxu) 1ln( x1x,21yd dAyu) 11ln(2y0y,0(96考研考研)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 , ) 1 ,2,2(AB0ABl 2121Azucoscoscoszuyuxulu21将二元函数将二元函数z = f(x , y)在点在点(x , y)的以下七个命题填入框图：的以下七个命题填入框图： （1 1）有定义）有定义 （2 2）有极限）有极限 （3 3）连续）连续 （4 4）偏导存在）偏导存在 （5 5）方向导数存在）方向导数存在 （6 6）偏导连续）偏导连续 （7 7）可微）可微（6）（7）（3）（4）（5）（1）（2）问题：箭头是否可逆？问题：箭头是否可逆？ 不可逆的试举出反例。不可逆的试举出反例。