数学人教A版选修45训练：4.2 用数学归纳法证明不等式举例 Word版含解析

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1、二用数学归纳法证明不等式举例基础巩固1用数学归纳法证明：3nn3(n3,nN+),第一步应验证 ()A.n=1B.n=2C.n=3D.n=4答案：C2用数学归纳法证明：2nn2(n5,nN+)成立时第二步归纳假设的正确写法是()A.假设n=k时命题正确B.假设n=k(kN+)时命题正确C.假设n=k(k5)时命题正确D.假设n=k(k5)时命题正确答案：C3用数学归纳法证明：1+12+13+12n-11)时,第一步应证下述哪个不等式成立()A.12B.1+122C.1+12+132D.1+13n2+1对于nn0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取()A.2B.3C.5D.6答案：

2、C6利用数学归纳法证明：“1+131+151+12n-12n+12”时,n的最小取值n0为.解析：左边为(n-1)项的乘积,故n0=2.答案：27观察下列不等式:112;1+12+131;1+12+13+1732;1+12+13+1152;1+12+13+13152;由此猜测第n个不等式为.答案：1+12+13+12n-1n28用数学归纳法证明：“2n+1n2+n+2(nN+)”时,第一步的验证为.解析：当n=1时,21+112+1+2,即44成立.答案：21+112+1+29试证明：1+12+13+1n2n(nN+).证明：(1)当n=1时,不等式成立.(2)假设当n=k(k1)时,不等式成

3、立,即1+12+13+1k2k.则当n=k+1时,1+12+13+1k+1k+12k+1k+1=2k(k+1)+1k+1k+(k+1)+1k+1=2k+1.这就是说,当n=k+1时,不等式也成立.根据(1)(2)可知不等式对nN+都成立.能力提升1用数学归纳法证明不等式1n+1+1n+2+12n1314(n2,nN+)的过程中,由n=k递推到n=k+1时不等式左边()A.增加了一项12(k+1)B.增加了两项12k+1,12k+2C.增加了两项12k+1,12k+2,但减少了一项1k+1D.以上各种情况均不正确解析：当n=k时,不等式为1k+1+1k+2+12kan,且(an+1-an)2-2

4、(an+1+an)+1=0,先计算a2,a3,再猜想an等于()A.nB.n2C.n3D.n+3-n答案：B3某同学回答“用数学归纳法证明：n2+nn+1(nN+)”的过程如下:证明：(1)当n=1时,显然命题是正确的;(2)假设当n=k(k1)时有k(k+1)k+1,那么当n=k+1时,(k+1)2+(k+1)=k2+3k+2k2+4k+4=(k+1)+1,所以当n=k+1时命题是正确的.由(1)(2)可知对于nN+,命题都是正确的.以上证法是错误的,错误在于()A.从k到k+1的推理过程没有使用归纳假设B.归纳假设的写法不正确C.从k到k+1的推理不严密D.当n=1时,验证过程不具体解析：

5、证明(k+1)2+(k+1)(k+1)+1时进行了一般意义的放大,而没有使用归纳假设k(k+1)1+nx(x-1,且x0,n1,nN+),知当n1时,令x=ba,则1+ban1+nba,所以a+ban1+nba,即(a+b)nan+nan-1b.当n=1时,M=N.故MN.答案：MN5在ABC中,不等式1A+1B+1C9成立;在四边形ABCD中,不等式1A+1B+1C+1D162成立;在五边形ABCDE中,不等式1A+1B+1C+1D+1E253成立.猜想在n边形A1A2An中,其不等式为.答案：1A1+1A2+1A3+1Ann2(n-2)6设数列an满足a1=0,an+1=can3+1-c,

6、nN+,其中c为实数.(1)证明：an0,1对任意nN+成立的充分必要条件是c0,1;(2)设0c13,证明：an1-(3c)n-1,nN+.证明：(1)必要性:a1=0,a2=1-c.a20,1,01-c1,即c0,1.充分性:设c0,1,对nN+用数学归纳法证明an0,1.当n=1时,a1=00,1.假设ak0,1(kN+,k1),则ak+1=cak3+1-cc+1-c=1,且ak+1=cak3+1-c1-c0,故ak+10,1.由数学归纳法,知an0,1对所有的nN+成立.综上可得,an0,1对任意nN+成立的充分必要条件是c0,1.(2)设0c13,当n=1时,a1=0,结论成立.当n

7、2时,an=can-13+1-c,1-an=c(1-an-13)=c(1-an-1)(1+an-1+an-12).0c0,且b1,b,r均为常数)的图象上.(1)求r的值;(2)当b=2时,记bn=2(log2an+1)(nN+),证明：对任意的nN+,不等式b1+1b1b2+1b2bn+1bnn+1成立.解: (1)因为对任意的nN+,点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b0,且b1,b,r均为常数)的图象上,所以Sn=bn+r.当n=1时,a1=S1=b+r.当n2时,an=Sn-Sn-1=bn+r-(bn-1+r)=bn-bn-1=(b-1)bn-1.又因为an为等比数列,所以r=-1,

8、公比为b,an=(b-1)bn-1(nN+).(2)证明：当b=2时,an=(b-1)bn-1=2n-1,bn=2(log2an+1)=2(log22n-1+1)=2n,则bn+1bn=2n+12n,所以b1+1b1b2+1b2bn+1bn=3254762n+12n.下面用数学归纳法证明不等式b1+1b1b2+1b2bn+1bn=3254762n+12nn+1成立.当n=1时,左边=32,右边=2,因为322,所以不等式成立.假设当n=k(kN+,k1)时不等式成立,即b1+1b1b2+1b2bk+1bk=3254762k+12kk+1成立,则当n=k+1时,左边=b1+1b1b2+1b2bk+1bkbk+1+1bk+1=3254762k+12k2k+32k+2k+12k+32k+2=(2k+3)24(k+1)=4(k+1)2+4(k+1)+14(k+1)=(k+1)+1+14(k+1)(k+1)+1.所以当n=k+1时,不等式也成立.由可得所证不等式恒成立.