数学人教A版选修45训练：1.1.3 三个正数的算术几何平均不等式 Word版含解析

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1、3.三个正数的算术-几何平均不等式基础巩固1已知a,b,c均为正数,且abc=27,则a+b+c的最小值为()A.3B.6C.9D.27解析：a,b,c均为正数,a+b+c33abc=3327=9(当且仅当a=b=c=3时,等号成立).a+b+c的最小值为9.故选C.答案：C2函数f(x)=1x2+2x(x0)的最小值为()A.3B.4C.5D.6解析：x0,f(x)=1x2+x+x331x2xx=3,当且仅当1x2=x=x,即x=1时,等号成立.故选A.答案：A3设x,y,z0且x+y+z=6,则lg x+lg y+lg z的取值范围是()A.(-,lg 6B.(-,3lg 2C.lg 6,

2、+)D.3lg 2,+)解析：lg x+lg y+lg z=lg(xyz),而xyzx+y+z33=23,lg x+lg y+lg zlg 23=3lg 2,当且仅当x=y=z=2时,等号成立.答案：B4函数y=x2(1-5x)0x15的最大值为()A.4675B.2657C.4645D.2675答案：A5若ab0,则a+1b(a-b)的最小值为()A.0B.1C.2D.3解析：a+1b(a-b)=(a-b)+b+1b(a-b)33(a-b)b1b(a-b)=3,当且仅当a=2,b=1时,等号成立,a+1b(a-b)的最小值为3.答案：D6若正数x,y满足xy2=4,则x+2y的最小值为.解析

3、：xy2=4,x0,y0,x=4y2.x+2y=4y2+2y=4y2+y+y334y2yy=334,当且仅当4y2=y,即x=y=34时,等号成立,此时x+2y的最小值为334.答案：3347函数y=4sin2xcos x的最大值为,最小值为.解析：y2=16sin2xsin2xcos2x=8(sin2xsin2x2cos2x)8sin2x+sin2x+2cos2x33=8827=6427,y26427,当且仅当sin2x=2cos2x,即tan x=2时,等号成立.ymax=893,ymin=-893.答案：893-8938设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V,当其表面积最小时,底面边长为多

4、少?解:设底面边长为x,高为h,则34x2h=V,所以h=43V3x2.又S表=234x2+3xh=32x2+3x43V3x2=32x2+43Vx=32x2+8Vx=32x2+4Vx+4Vx323316V2=3332V2,当且仅当x2=4Vx,即x=34V时,等号成立.故所求底面边长为34V.9设a,b,c0,求证:1a3+1b3+1c3+abc23.证明：因为a,b,c0,由算术-几何平均不等式可得1a3+1b3+1c3331a31b31c3,即1a3+1b3+1c33abc(当且仅当a=b=c时,等号成立).所以1a3+1b3+1c3+abc3abc+abc.又因为3abc+abc23ab

5、cabc=23(当且仅当a2b2c2=3时,等号成立),所以1a3+1b3+1c3+abc23(当且仅当a=b=c=63时,等号成立).能力提升1已知圆柱的轴截面周长为6,体积为V,则下列不等式正确的是()A.VB.VC.V18D.V18解析：如图,设圆柱半径为R,高为h,则4R+2h=6,即2R+h=3.V=Sh=R2h=RRhR+R+h33=,当且仅当R=h=1时,等号成立.答案：B2若实数x,y满足xy0,且x2y=2,则xy+x2的最小值是()A.1B.2C.3D.4解析：xy+x2=12xy+12xy+x23312xy12xyx2=3314(x2y)2=3344=3,当且仅当12xy

6、=x2,即x=1,y=2时,等号成立.答案：C3已知x+2y+3z=6,则2x+4y+8z的最小值为()A.336B.22C.12D.1235解析：2x0,4y0,8z0,2x+4y+8z=2x+22y+23z332x22y23z=332x+2y+3z=34=12,当且仅当2x=22y=23z,即x=2,y=1,z=23时,等号成立.答案：C4已知a0,b0,c0,且a+b+c=1,对于下列不等式:abc127;1abc27;a2+b2+c213;ab+bc+ca13.其中正确不等式的序号是.解析：a,b,c(0,+),1=a+b+c33abc,0abc133=127,1abc27.故正确,也

7、正确.1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2caa2+b2+c2+(a2+b2)+(b2+c2)+(c2+a2)=3(a2+b2+c2),a2+b2+c213,故正确.2=2(a+b+c)2=(a2+b2)+(b2+c2)+(c2+a2)+4ab+4bc+4ca2ab+2bc+2ca+4ab+4bc+4ca=6(ab+bc+ca),00),高为h,由右图可得2h+3x=3,则h=32(1-x),V=S底h=634x2h=332x232(1-x)=9x2x2(1-x)9x2+x2+1-x33=13,9x2+x2+1-x33=13,当且仅当x2=x2=1-x,即x=23时,等号

8、成立.所以当底面边长为23时,正六棱柱容器的容积最大,为13.6已知a,b,c均为正数,证明：a2+b2+c2+1a+1b+1c263,并确定a,b,c为何值时,等号成立.证明：因为a,b,c均为正数,由算术-几何平均不等式,得a2+b2+c23(abc)23,1a+1b+1c3(abc)-13,所以1a+1b+1c29(abc)-23.故a2+b2+c2+1a+1b+1c23(abc)23+9(abc)-23.又3(abc)23+9(abc)-23227=63,当且仅当a=b=c时,式和式等号成立.当且仅当3(abc)23=9(abc)-23时,式等号成立.即当且仅当a=b=c=314时,原式等号成立.所以原不等式成立.7设00(0),y取最大值当且仅当y2取最大值.y2=4sin22cos42=4sin22cos22cos22=22sin22cos22cos2222sin22+cos22+cos2233=2233=1627,当且仅当2sin22=cos22时,等号成立,此时tan22=12,tan 2=22.则ymax2=1627,故ymax=493.