普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)理科数学试卷及答案汇编

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1、学习好资料绝密考试结束前普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5 页，选择题部分1 至 3 页，非选择题部分4 至 5 页。满分 150 分，考试时间120 分钟。请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。选择题部分（共50 分）注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。2. 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。参考公式如果事件 A, B 互斥 ，那么P( AB)P( A

2、)P(B)如果事件A, B 相互独立，那么P( AB)P( A)P( B)如果事件 A 在一次试验中发生的概率为P , 那么 n 次独立重复试验中事件A 恰好发生 k 次的概率Pn ( k) Cnk pk (1p)n k (k0,1,2,., n)台体的体积公式V1 h(S1S1S2 S2 )3其中 S1 , S2 分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高柱体体积公式V ShS表示柱体的底面积，h表示柱体的高其中锥体的体积公式球的表面积公式1V Sh 其中 S 表示锥体的底面积， h 表示锥体的高3S4 R2球的体积公式V4R3 其中 R 表示球的半径3更多精品文档学习好资料一、选择题：本大

3、题共 8 小题 , 每小题 5 分 , 共 40 分 , 在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。1.已知集合 P= x|x2 - 2x 0, Q= x|10, dS40B. a1 d0, dS40, dS40D. a1 d0俯视图4.命题“n N*, f (n)N *且 f(n) n” 的否定形式是 ()A.nN*, f ( n)N * 且 f(n)nB.nN*, f ( n)N * 或 f(n)nC.n0N *, f (n0 )N * 且 f( n0)n0D.n0N*, f ( n0 ) N * 或 f(n0)n05.如图 , 设抛物线 y2=4 x 的焦点为 F, 不经过焦点的

4、直线上有三个不同的点A, B, C, 其中点 A, B 在抛物线上 ,点 C 在 y 轴上 , 则 BCF 与 ACF 的面积之比是 ()|BF|1|BF |21yAA.B.|AF| 1|AF|21xFO|BF|1|BF |21C.1D.21|AF|AF|6.设 A, B 是有限集 , 定义 d(A, B)=card( A B)- card(A B), 其中 card(A)表示有限集 A 中的元素个数 ,BC命题：对任意有限集A, B, “ A B”是“ d(A, B)0 ”的充分必要条件；命题：对任意有限集A, B, C, d(A, C)d(A, B)+ d(B, C),则 ()A. 命题和

5、命题都成立B. 命题和命题都不成立C.命题成立 ,命题不成立D.命题不成立 , 命题成立7.存在函数 f(x)满足 ,对任意 x R 都有 ()A. f(sin2x)=sinxB. f( sin2x)=x2+xC.f(x2+1)=| x+1|D.f(x2+2x)=|x+1|8.如图 ,已知 ABC, D 是 AB 的中点 , 沿直线 CD 将 ACD 折成 ACD,所成二面角 ACD B 的平面角为, 则 ()A.ADBB. ADBC.ACBD.ACB二、填空题：本大题共7 小题 , 多空题每题6 分 ,单空题每题4 分 ,共 36分。9.双曲线x2y21的焦距是, 渐近线方程是2x23, x

6、110.已知函数 f(x)=x,f(x)的最小值是, 则 f(f(- 3)=lg( x21), x111.函数 f(x)=sinx+sin cos,单调递减区间是2xx+1 的最小正周期是12.若 a=log 43,则2a2 a =更多精品文档学习好资料13.如图 , 三棱锥 A- BCD 中, AB=AC=BD=CD=3, AD =BC =2,A点 M, N 分别是 AD, BC 的中点 , 则异面直线AN, CM 所成M的角的余弦值是BD22 1, 则|2x+y- 2|+|6- x- 3y|的最小值是14.若实数 x, y 满足 x +yNC15.已知 e , e 是空间单位向量 , e

7、e = 1 , 若空间向量 b 满足 b e =2,b e = 5, 且对于12121222任意 x, yR , | b ( xe y e) b (x ey e ) R ), 则 x, y0=,12| |0 10 2| =1 (x0, y00=| b |=三、解答题：本大题共5 小题 , 共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16.( 本题满分 14 分 )在 ABC 中 , 内角 A, B, C 所对的边分别为a, b, c,已知 A=, b2- a2 =1c242(I) 求 tanC 的值； (II) 若 ABC 的面积为 3,求 b 的值17.( 本题满分 15分 )如图 ,

8、 在三棱柱 ABC- A1B1C1 中 ,BAC=90 ,AB=AC=2, A1A=4,A1 在底面 ABC 的射影为 BC 的中点 , D 为 B1C1 的中点 .(I) 证明 : A1D平面 A1BC; (II) 求二面角 A1- BD- B1 的平面角的余弦值C 1DA1B1CAB18.( 本题满分 15 分 )已知函数f( x)=x2+ax+b(a, bR ), 记 M (a, b)是 |f(x)|在区间 - 1,1 上的最大值(I) 证明 : 当 |a|2 时 , M(a, b) 2; (II) 当 a, b 满足 M(a, b) 2, 求 |a|+|b|的最大值更多精品文档学习好资

9、料x 22=1 上两个不同的点A, B 关于直线 y=mx+1对称19.( 本题满分 15 分 )已知椭圆y22(I) 求实数 m 的取值范围；(II) 求 AOB 面积的最大值 ( O 为坐标原点 )yOxBA20.( 本题满分15 分 )已知数列 an 满足 a1=1,且 an 1 = an - an2( n N*)(I) 证明： 1 an2 2 (n N*)an1设数列a2的前项和为n证明1 Sn 1(II)n(n N*)nS ,2(n2)n2( n1)更多精品文档学习好资料2015 年浙江省高考数学(理 )参考答案1.C2.C3.B4.D5.A6.A7.D8.B9. 23 , x2 y

10、=010. 0,2 2- 311., k3, k+7, k Z+8843714. 315. 1, 2,2212.313.816.解 : (I) a2=b2+c2- 2bccosA=b2+c2-2bc又 b2 - a2=1c22bc- c2=1c2 即 3c= 2 2 b22 3sinC=22 sinB=22sin(C+4)=2(sinC+cosC) sinC=2cosC,故 tanC=2(II) S ABC=12bc=3 bc=62222222故 b=3bcsinA=42 又 c=3bb =6 b =9,21113法二 : (I) b2- a2=c2, A= sin2 B=sin 2C 即 -

11、 cos2B=sin 2C2422 sin2C=- cos2(3C )=sin2C=2sinCcosC即 sinC=2cosC, 故 tanC=24112(II) 由 tanC=2, 0C,得 cosC=1tan2 C5, sinC=52 sin2B=1(1+sin 2C)=9 sinB=33223sinC, 从而 c=22b210102252312122又 SABC =bcsinA=bc=b = 3 b =9, 故 b=324317.解 : (I) 设 BC 的中点为 O, 则 A1O 平面 A1B1C1, 即 A1O 平面 ABC A1O A1D又 A1B1=A1C1, B1D=DC 1

12、A1D B1C1 A1D BC, BCA1O=O A1D 平面 A1BC(II) 建立如图所示的坐标系O- xyz,则 A1D =(-2,0,0),DB =(2 ,2 , -14 )C 1D设平面 A1BD 的法向量为 n =(x, y, z), 则 n A1 Dn DB =0A1zB 1x0,令 z=1,得 n =(0,7, 1)xy7 z0C设平面 BB1D 的法向量为 m =(u, v, w),则 m DB1m DB =0,Oxyv0A又 DB1 =(0, 2, 0),令 w=1,得 m =(7,0,1)Buv7w 0 cos=m n1| m | n |8又二面角 A1- BD - B1

13、 的平面角是钝角 ,故所求的平面角的余弦值为18法二 : 过 A1作 A1HBD 交 BD 于 H, 连结 B1H,由 BAC =90,AB=AC=2 AO=OB =2 A1O=A A2OA 214, 从而 A1B=2OB2=4=BB 11A1OC 1又 A1D=B1D =2 A1BD B1BD(此题数据设计的要点 , 非常规 , 不易发现 )A1D故由 A1H BD 得 B1H BDA1HB 1 是二面角A1- BD - B1 的平面角B 1由 B1C1 A1D , B1C1 A1O 得 B1C1 平面 A1DOH B1C1 OD 从而 B1C1 BB1CB1D B1B4A1H= B1H =

14、OB1D 2B1 B23AB更多精品文档学习好资料 cosA1HB 1=2BH2A B211112B1 H28因此 , 二面角 A1- BD - B1 的平面角的余弦值是1818.解 : (I) |a|2 | a | 1,故 f(x)在 - 1, 1 上为单调函数2 M(a, b)=max| f(- 1)|, |f(1)|=max|1+ b- a|, |1+b+a| =|1+b|+|a| 2 (最佳表达式 , 重复应用 )(II) 由 (I) 知 |a| 2, |a | 1 M(a, b)=max| f(- 1)|, |f(1)|, f( a )22 |b|- 1+|a| |1+b|+|a|=

15、max| f(- 1)|, |f(1)| M (a, b) 2 |a|+|b| 3, 当 a= - 2, b= - 1 时 , M(a, b)=2, |a|+|b|=3(每一点的知识都不难, 串起来才难 )因此 , |a|+|b|的最大值为3法二 : (I) 由已知得 |f(- 1)|M (a, b), |f(1)| M(a, b)又 f(- 1)=1- a+b, f(1)=1+ a+b 2a=f(1) - f(- 1)(隐含着通过函数值反求系数, 常法 ) 4 2|a| |f(1)|+|f(- 1)| 2M(a, b) M(a, b) 2(II) 由 (I) 知 a+b=f(1) - 1,

16、a- b=1- f(- 1) |a|+|b|=max| a+b|, |a- b|=max| f(1) - 1|, |1- f(- 1)| M (a, b)+13当 a= - 2, b= - 1 时 , f(x)=x2- 2x- 1=(x- 1)2- 2 - 2, 2, |x| 1, 此时 M(a, b)=2, |a|+|b|=3 因此 , |a|+|b|的最大值为 319.解 : (I) 设 A(x1 , y1), B(x2, y2), AB 的中点 M(x0, y0),则 2x0=x1+x2, 2y0=y1+y2显然 m 0,故可设直线 AB 的斜率 k= y1y2=1x1 x2m由 x22

17、 y 22,x22 y22,相减得(x1- x212)+2( y1- y212即x0201122)(x +x)( y +y )=0my =0又点 M(x0 , y0)在直线 y=mx+1 上, y0=mx0+1,故得 x0=1, y0 =122m2又点 M 在椭圆 x 2y21的内部 , 故得11222m243因此 , m6或 m0 整理得 m +2- m b 0mbm2且 x0=12bm, y0=1+b=(x1+x2)=2x022m2mm2m2又点 M(x0, y0) 在直线 y=mx+1上 , y0=mx0+1, 整理得 bm=2222m2(m22) 22222代入 (*) 式得 m+24

18、m20 即 4m- (m +2)0,解得 m 3因此 , m6或 m6(其中也可得 x0=1, y0 =1)33m2(II) 由 k=1, 则 0k23. 由 (I) 可得直线 AB: y+1=k(x- k)即 kx- y- k21=0m222更多精品文档学习好资料k21原点 O 到直线 AB 的距离 d=21k2由ykxk 212122=0(利用 |x1- x2|=)2 得 x - 2kx+(2k +1)2x22 y2222k1 |AB|= 1k 2|x1- x2|= 1k 24k 22( 2k 21)811k 26 4k22k 22k21故 SAOB=1|AB|d=1(2k 21)(64k

19、 2 )18(k 21) 28 2, 且 0k23244222因此 ,当 k2= 1 即 m=2 时 ,AOB 的面积 S AOB 有最大值22220.解 : (I) an- an+1= an2 0 an+1 an an a1= 12由n(1an 1)an 1得 n(1an 1)(1an 2)(1a ) a0,故0 an 1a =a =1 12从而 anan1 1, 2即 1 an 2an 1an (1 an ) 1 anan 1法二 :在 0 an 1 基础上证 a 2a可用分析法2nn +1要使n 2an+1,只要an 2(an- a22a2 n0 an 1,故n 2an+1 成立an)n

20、a2a(II) an2 =an- an+1 Sn=a1- a2+a2- a3+ +an- an+1 =a1- an+1= 1 - an+12由 an+1 =an(1 - an)111 1111, 2, 00 ”的充分必要条件；命题：对任意有限集A, B, C, d(A, C)d(A, B)+ d(B, C),则 ()A. 命题和命题都成立B. 命题和命题都不成立C.命题成立 , 命题不成立D.命题不成立 ,命题成立解 : 命题的逆否命题：对任意有限集A, B, “A=B”是“ d(A, B)=0”的充分必要条件若 A=B 得 d(A, B)=0;反之 , 若 d(A, B)=0, 则 AB=A

21、B,A=B. 故命题成立对于命题 ,此题似乎暗含高等数学度量空间的度量的性质的背景作出文氏图 ,易得 d(A, B)+d(B,C)- d(A,C)=card( BCU(AC)+card( AC)CU B) 07.存在函数 f(x)满足 , 对任意 x R 都有 ()A. f(sin2x)=sinxB. f( sin2x)=x2+xC.f(x2+1)=| x+1|D.f(x2+2x)=|x+1|解: (排除法 ,利用函数的单值性 )在 A 选项中 , 令 x=0,可得 f(0)=0或 1,排除 A2+2B选项中,令 x=0, 可得 f(0)=0 或,排除BC选项中,令 x=1, - 1 得 f(

22、2)=0 或 2, 排除 C事实上 , 在 D 选项中 , 令 x2+2 x=t,则 (x+1) 2=t+1f(t)=t1 即存在 f(x)=x 18.如图 , 已知 ABC, D 是 AB 的中点 , 沿直线 CD 将 ACD 折成 ACD,所成二面角 A CDB 的平面角为, 则 ()A.ADBB.ADBC.ACBD.ACB解: 过 B 作 BHCD 交于 H, 过 A 作 AE/CD 交 BH 的延长线于 E, 点 E 折后对应点 E设 AD =BD =x, BH =HE=d, AE= A E =2y=2DH , 则 xd, 且 x2- d2=y2, E HB =易知 AE EBAB2E

23、 B2A E 2 = 2d22d 2 cos 4 y 22x2A B22(x 2d 2 )2d2 cos4 y 2 cos A DB =2x22x22d 2 c o s 2y2 2d 2 coscos ,故得ADB2x22x2A13.如图 , 三棱锥 A- BCD 中, AB=AC=BD=CD=3, AD =BC =2,点 M, N 分别是 AD, BC 的中点 , 则异面直线 AN, CM 所成的角的余弦值是解 : 取 DN 的中点 E, 则 ME/AN, CME 是 AN, CM 所成的角MBDENC易得 CM=22,ME=2 ,CE=3,更多精品文档学习好资料故 cosCME = CM

24、2ME 2CE 27 为所求2CMME814.若实数 x, y 满足 x2+y2 1,则|2x+y- 2|+|6- x- 3y|的最小值是22x2y4, 2xy2解 : 由 x+y 1,得 S=|2x+y- 2|+|6- x- 3y|=|2x+y- 2|+6- x- 3y=3x4 y, 2xy28画出x2y 21 的可行域 , 这是单位圆位于直线2x+y=2 的上方部分 (含边界 ),2xy2目标函数 S=x- 2y+4 在交点 A(3 , 4)处取最小值 Smin=3.y5 52 x+ y=23x+4 y =53422A(, )再画出x y1 的可行域 ,这是单位圆位于直线2x+y=2 的5

25、52xy2下方部分 (含边界 ), 注意 , 过点 A 的圆的切线方程为3x+4y- 5=0,Ox故知此时目标函数S=8- 3x- 4y 仍在交点 A( 3,4)处取最小值 Smin=355(此题是分段的目标函数, 再加上是非线性规划问题, 考生不易对付吧 )15.已知 e1, e2是空间单位向量 ,e11, 若空间向量 b 满足 b e1 =2,b e25且对于e2 = ,22任意 x, yR , |b(xe1y e2) R ), 则 x, y0=,| |b (x0 e1 y0 e2 ) | =1 (x0, y00=| b |=解 : 把 e1 ,e2 平移到共起点O 后所确定的平面建立空间直角坐标系O- xyz,可设 e1 =(1, 0, 0), e2 =(13= OB =( u, v, w),由 b e1 =2,b e2 =5,2, 0), 设 b22得 u=2,1u+v3=5 v=3 b =(2, 3 , w). 设 B 在平面上的投影为 M (2,3,0).222由 |b(xe1y e2)| b( x0 e1y0 e2 )| =1知b=(2,3, 1),|b |=22|x0y022且 OM =x0 e1 + y0 e2 ,解得 x0=1, y0=23 y03