第13讲逻辑推理与抽屉原理教师版

《第13讲逻辑推理与抽屉原理教师版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第13讲逻辑推理与抽屉原理教师版（17页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第十三讲：逻辑推理与抽屉原理教学目标1、比例的基本性质2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化；4、单位“1”变化的比例问题5、方程解比例应用题例题精讲模块一、逻辑推理【例 1】 甲、乙、丙三人，一个总说谎，一个从不说谎，一个有时说谎有一次谈到他们的职业甲说：“我是油漆匠，乙是钢琴师，丙是建筑师”乙说：“我是医生，丙是警察，你如果问甲，甲会说他是油漆匠”丙说：“乙是钢琴师，甲是建筑师，我是警察”你知道谁总说谎吗？【解析】 甲如果甲从不说谎，那么乙的最后一句、丙的第一句都对，没有总说谎的人，矛盾；同理，如果丙从不说谎，也将推出矛盾【巩固】 一个骗子和一

2、个老实人一路同行，骗子总是讲假话，老实人总是讲真话请提一个尽量简单的问题，使两人的回答相同这个问题可以是 .【解析】 这个问题可以是：你是老实人吗?如果问的问题是客观的，也就是说对于这两个人来说真正的答案是一样的话，那么他们的回答肯定不一样所以要问一个与他们自身相关的问题，例如你是老实人吗?或者问你是骗子吗?这样他们的回答才会一样【巩固】 甲说：“乙和丙都说谎。”乙说：“甲和丙都说谎。”丙说：“甲和乙都说谎。”根据三人所说，你判断一下，下面的结论哪一个正确：（1）三人都说谎；（2）三人都不说谎；（3）三人中只有一人说谎；（4）三人中只有一人不说谎。【解析】 （4）正确。【例 2】 传说有个说谎

3、国，这个国家的男人在星期四、五、六、日说真话，在星期一、二、三说假话；女人在星期一、二、三、日说真话，在星期四、五、六说假话有一天，一个人到说谎国去旅游，他在那里认识了一男一女男人说：“昨天我说的是假话”，女人说：“昨天也是我说假话的日子”这下，那个外来的游人可发愁了，到底今天星期几呢？请同学们根据他们说的话，判断一下今天是星期几呢？【解析】 假设男人今天说的是真话，那么今天是星期四、五、六、日其中的一天，而且今天的前一天男人说的是假话，所以，根据男人的话，确定今天是星期四，所以女人说的话是假话，昨天也就是星期三女人说的是真话，符合题意，所以，今天是星期四.【例 3】 某地质学院的学生对一种矿

4、石进行观察和鉴别。甲判断：不是铁，也不是铜。乙判断：不是铁，而是锡。丙判断：不是锡，而是铁。经化验证明：有一个人的判断完全正确，有一个人说对了一半，而另一个人完全说错了。你知道三人中谁是对的，谁是错的，谁是只对一半的吗？【解析】 丙全说对了，甲说对了一半，乙全说错了。先假设甲全对，推出矛盾后，再设乙全对，又推出矛盾，则说明丙全对，甲说对了一半，乙全说错了。【巩固】 三只小猴子聪聪、淘淘、皮皮见到一个水果，他们分别判断这是什么水果：聪聪判断：不是苹果，也不是梨淘淘判断：不是苹果，而是桃子皮皮判断：不是桃子，而是苹果老猴子告诉他们：有一只小猴子的判断完全正确，有一只小猴子说对了一半，而另一只小猴子

5、完全说错了你知道三只小猴中谁是对的，谁是错的，谁是只对一半的吗？【解析】 先设聪聪全对，不是苹果，也不是梨只能是桃子，那么淘淘两句也都说对了，推出矛盾；再设淘淘全对，不是苹果，而是桃子，推出这个水果是桃子，那么聪聪说的也都对了，又推出矛盾；则说明皮皮全对，那么这种水果是苹果，聪聪说对了一半，淘淘全说错了【例 4】 （年太原福布斯迎奥运数学展示活动）名运动员参加一项比赛，赛前，甲说：“我肯定是最后一名”乙说：“我不可能是第一名，也不可能是最后一名”丙说：“我绝对不会得最后一名”丁说：“我肯定得第一名”赛后，发现他们人的预测中只有一人是错误的请问谁的预测是错误的？【解析】 假设甲的预测是错的，那么

6、其他三人的预测都是对的，那么甲不是最后一名，乙和丙也不是最后一名，丁是第一名，这样的话没有人是最后一名，矛盾所以甲的预测是对的，甲是最后一名，那么丙的预测也是对的如果乙的预测是错的，那么乙是第一名，而丁的预测是对的，丁也是第一名，矛盾所以乙的预测是对的，丁的预测是错的【巩固】 （年第七届希望杯一试试题）百米决赛前，小芳对参赛的五名选手的名次作了预测，比赛的结果同她预测的名次全不相同由下图知小芳预测为第一名的选手的实际名次是第 名我预测的第二名、第三名、第四名中有1人高出3个名次，有1人高出1个名次，另一人低1个名次【解析】 假设小芳预测第一名、第二名、第三名、第四名、第五名对应的人分别是甲、乙

7、、丙、丁、戊，由小芳说的话知第四名丁就是实际名次的第一名, 预测的第二名乙就是实际名次的第三名, 预测的第三名丙就是实际名次的第二名,因此实际的第一名、第二名、第三名的人分别是丁、丙、乙，又知道比赛的结果同她预测的名次全不相同,所以小芳预测的第五名戊只能是实际的第四名了，这样实际名次的第五名只能是小芳预测的第一名甲了.（如下表所述）第一名第二名第三名第四名第五名小芳预测名次对应的人甲乙丙丁戊实际名次对应的人丁丙乙戊甲【巩固】 （年台湾第一届小学数学世界邀请赛）在期末考试前，学生、分别预测他们的成绩是、或，评分标准是比 好，比好，比好说：“我们的成绩都将不相同若我的成绩得，则将得”说：“若的成绩

8、得，则将得的成绩将比好”说：“若的成绩不是得到，则将得若我的成绩得到，则的成绩将不是”说：“若的成绩得到，则我将得到若的成绩不是得到，则我也将不会得到”当期末考试的成绩公布，每位学生所得到的成绩都完全符合他们的预测请问这四位学生的成绩分别是什么？【解析】 由于每位学生所得到的成绩都完全符合他们的预测，所以说：“的成绩将比好”是正确的，这样将不可能得，不可能得这样不可能得（否则得）如果得，那么将得由于的成绩不是得到，那么将得，这与得矛盾所以不得如果得，那么将得到但这样的成绩将不可能比好，矛盾所以不得由于、均不得，那么只有得如果得，那么的成绩将不是这样的成绩将是，的成绩将是，矛盾所以不得由于不得、

9、，所以得由于的成绩比好，所以剩下的和只能是得，得所以、的成绩分别是、【巩固】 (年第十二届香港保良局小学数学世界邀请赛个人赛)三位女孩、进行百米赛跑，裁判、在赛前猜测她们之间的名次。说：“我猜是第一名。”说：“我猜不会是最后一名。”说：“我猜不会是第一名。”成绩揭晓后已知恰只有一位裁判的猜测是正确的，请问哪位女孩得第一名？【解析】 假设是第一名，那么猜测正确，猜测正确，出现矛盾。假设是第一名，那么与猜测错误，而当为第二名时，猜测正确。假设为第一名，那么、猜测正确，出现矛盾，所以第一名是。【巩固】 小强、小明、小勇三人参加数学竞赛，他们分别来自甲、乙、丙三个学校，并分别获得一、二、三等奖已知：小

10、强不是甲校选手；小明不是乙校选手；甲校的选手不是一等奖；乙校的选手得二等奖；小明不是三等奖根据上述情况，可判断出小勇是校的选手，他得的是等奖【解析】 甲校；三等奖由、小明得的不是二等奖，由知小明得的不是三等奖，所以小明得的是-等奖，由、知小明是丙校的，由知小强是乙校的，所以小勇是甲校的，他得的是三等奖【巩固】 甲、乙、丙、丁四人同时参加全国小学数学夏令营。赛前甲、乙、丙分别做了预测。甲说：“丙第名，我第名。”乙说：“我第名，丁第名。”丙说：“丁第名，我第 名。”成绩揭晓后，发现他们每人只说对了一半，你能说出他们的名次吗？【解析】 我们以“他们每人只说对了一半”作为前提，进行逻辑推理。 假设甲说

11、的第一句话“丙第名”是对的，第二句话“我第名”是错的。由此推知乙说的“我第名”是错的，“丁第名”是对的；丙说的“丁第名”是错的，“丙第名”是对的。这与假设“丙第名是对的”矛盾，所以假设不成立。 再假设甲的第二句话“我第名”是对的，那么丙说的第二句“我第名”是错的，从而丙说的第一句话“丁第名”是对的；由此推出乙说的“丁第名”是错的，“我第名”是对的。至此可以排出名次顺序：乙第名、丁第名、甲第名、丙第名。【例 5】 四个小朋友宝宝、星星、强强和乐乐在院子里踢足球，一阵响声，惊动了正在读书的陆老师，陆老师跑出来查看，发现一块窗户玻璃被打破了。陆老师问：“是谁打破了玻璃？”宝宝说：“是星星无意打破的。

12、”星星说：“是乐乐打破的。”乐乐说：“星星说谎。”强强说：“反正不是我打破的。”如果只有一个孩子说了实话，那么这个孩子是谁？是谁打破了玻璃？【解析】 因为星星和乐乐说的正好相反，所以必是一对一错，我们可以逐一假设检验。 假设星星说得对，即玻璃窗是乐乐打破的，那么强强也说对了，这与“只有一个孩子说了实话”矛盾，所以星星说错了。 假设乐乐说对了，按题意其他孩子就都说错了。由强强说错了，推知玻璃是强强打破的。宝宝、星星确实都说错了。符合题意。 所以是强强打破了玻璃。【巩固】 （年春武汉明心奥数挑战赛）名谋杀案的嫌疑人，在犯罪现场被警察询问，其中有一名是凶手下面个人的供述中，只有 句是对的：说：是杀人

13、犯；说：我是无辜的；说：不是杀人犯；说：在说谎；说：说的是实话在这个人中， 是凶手【解析】 与判断相同，要么都对，要么都错假设与都错，即凶手是，那么也错，就出现了句错的，与“有句是对的”矛盾所以与都是对的余下的人中还有人判断是对的，由于与互相矛盾，所以这两个人中必有一个是对的，一个是错的，由于只有句是对的，那么必定是错的，所以是凶手【巩固】 甲，乙，丙，丁四个同学中有两个同学在假日为街道做好事，班主任把这四人找来了解情况，四人分别回答如下甲：“丙、丁两人中有人做了好事”乙：“丙做了好事，我没做”丙：“甲、丁中只有一人做了好事”丁：“乙说的是事实”最后通过仔细分析调查，发现四人中有两人说的是事实

14、，另两人说的与事实有出入到底是谁做了好事？【解析】 我们用假设法来解决题目说四人中有两人说的是事实，另两人说的与事实有出入注意，此处的“与事实有出入”表示不完全与事实相符，比如，当乙、丙都做了好事，或乙、丙都没做好事，或乙做了好事而丙没做好事时，乙说的话都与事实有出入 因为乙与丁说的是一样的，所以只有两种可能，要么乙与丁正确，甲与丙错；要么乙与丁错，甲与丙正确假设乙与丁说的话正确这时丙做了好事，甲说丙、丁两人中有人做了好事，甲说的话也正确，这与题目条件只有“两人说的是事实”相矛盾所以假设错误 假设甲与丙说的话正确那么做好事的是甲与丙，或乙与丁，或丙与丁若做好事的是甲与丙，或丙与丁，则乙说的话也

15、正确，与题意不符；若做好事的是乙与丁，则乙说的话与事实不符，符合题意 综上所述，做好事的是乙与丁【例 6】 从A，B，C，D，E，F六种产品中挑选出部分产品去参加博览会。根据挑选规则，参展产品满足下列要求：（1）A，B两种产品中至少选一种；（2）A，D两种产品不能同时入选；（3）A，E，F三种产品中要选两种；（4）B，C两种产品都入选或都不能入选；（5）C，D两种产品中选一种；（6）若D种产品不入选，则E种也不能入选。问：哪几种产品被选中参展？【解析】 用假设法。从条件（1）开始，有三种情况：假设选A不B选，由（2）知D不能入选，再由（5）知C入选，再由（4）推知C，B同时入选，与前面假设不选

16、B矛盾。假设不成立。假设选B不选A，由（3）知选E，F，由（6）知D入选，再由（5）知C不入选，再由（4）推知B，C都不入选，与假设选B矛盾。假设不成立。假设A，B都入选，由（2）知D不入选，由（6）知E也不入选，再由（3）知F入选，由（4）知C入选。符合题意。因此，A，B，C，F选中参展。【例 7】 三年级一班新转来三名学生，班主任问他们三人的年龄刘强说：“我12岁，比陈红小2岁，比李丽大1岁”陈红说：“我不是年龄最小的，李丽和我差3岁，李丽是15岁”李丽说：“我比刘强年岁小，刘强13岁，陈红比刘强大3岁”这三位学生在他们每人说的三句话中，都有一句是错的请你帮助班主任分析出他们三人各是多少岁

17、？【解析】 经过审题，仔细分析这九句话，不难发现有两句话是相互矛盾的一句话是刘强说的第一句话：“我12岁”，另一句话是李丽说的第二句话：“刘强13岁”这两句话不能都真，必有一句是假的为了确定这两句话的真假性可以先假设某一句为真，如果推不出矛盾，本题就获得了解决；如果推出矛盾，就说明这句话是假的，从而也就找到了突破口先假设刘强说的第一句话“我12岁”为真，那么李丽说的第二句话“刘强13岁”就为假，因此李丽的另外两句话就应该是真话，从“陈红比刘强大3岁”就推出陈红是15岁；又从“我比刘强年岁小”推出李丽小于12岁可是这样一来，陈红说的三句话中，“李丽和我差3岁”和“李丽15岁”这两句话都不能成立，

18、这与本题中的要求(“每人说的三句话中，都有一句是错的”，即三句话中有两句话是真的)相矛盾因此，刘强说的“我12岁”这句话是假的由于刘强说的第一句话是假的，所以后两句话就是真的因此，李丽说的第三句话“陈红比刘强大3岁”就是假的，所以，李丽说的第二句话“刘强13岁”就是真的于是就可以推出：李丽12岁，陈红15岁，刘强13岁【例 8】 (2008年日本小学算术奥林匹克大赛决赛)甲和乙做猜数的游戏。首先，甲在纸上写个各位数字都不同的四位数，写好后将纸翻过来。不让乙看到，然后让乙猜这个四位数的各位数字。如果数字和位数都猜对了就是，如果数字对而位数不对就是。例如：甲写的是，乙猜的是，那么就是个，个。请阅读

19、以下对话并回答问题： 乙：“我猜”，甲：“个，个。”乙：“？”，甲：“也是个，个。”乙：“？”，甲：“也是个，个。”乙：“呢？”，甲：“个。”乙：“哇，猜不着呀，呢？”甲：“也是个。”（1）：请从以上的对话中答出甲最可能写的个四位数。后来，甲发现自己刚才的回答中对四位数的判断有误。甲：“对不起，刚才有搞错的。”乙：“啊！那么”甲“只是个数字搞错了，在刚才说到的数字中，只是对的判断有误，正确的回答应该是个，个。”乙“稍等一会儿，啊！我知道啦！甲写的四位数是 吗”？甲：“对啦！你真棒！”(2)：请问甲写的这个四位数是什么？【解析】 如下表：由1、4次猜测结果知，2到9中包含了正确数字中的全部四位数

20、字，也即甲写的数字各位都不是0或1；由2、3次猜测结果，同理知甲写的数字各位都不是1或4；再考察第3、4次猜测结果，由于其中的0和4一定是错的，而且两次各猜对了正确数字四位数中的两位，可以先假设甲写的数字各位上没有3，那么甲写的数字各位就是2、5、7、8，那么第5次猜测的结果就应该是（0，1）或者（1，0）而非（0，2）。因此甲写的数字一定有一位是3；再由第5次猜测结果，甲所写的数字各位有且只有6、8、9中的一个；于是由第1次猜测结果，甲所写的数字中一定有一位是5再综合第3、5次猜测结果，知甲所写的数字各位上没有8，而一定有且只有6、9其一根据第2次的猜测结果，甲所写的数字应该有一位是2、7其

21、一。假定第1、3次猜测中位数对的数字是5，那么根据第3、5次的猜测结果可以判断出3在甲所写的数字的个位上于是由第2次猜测结果，2或7一定是数字对而位数不对的，那么6或9一定是数字对且位数对的，于是甲可能写的数字是：6253、2953或7953假定第1、3次猜测中位数对的数字不是5，那么第3次猜测中位数对的数字一定是3，第1次猜测中位数对的数字只能是6而不能是9，于是只能第百位是5，十位是7，这时甲可能写的数字只有3576综上所述，甲可能写的四位数是6253、2953、7953或3576（2）由上述前半部分推理，仍然能判断出甲写的数字各位上一定有3和5，且仍然6、9中有其一，而2、7中有其一。仍

22、然先假设第3次猜测中数字对且位数对的是3，那么第1次猜测中数字对且位数对的只能是6，而不能是5或9。那么由于第1次猜测中5是数字对而位数不对的，则5只能放在百位，又由于第2次猜测中有一位数字对且位数对，所以只能是十位上为7，这时这个四位数是3576，但这时第4次猜测将没有数字对且位数对的数，与甲的叙述不附，因此最开始的假设不成立。那么第3次猜测中数字对且位数对的数只能是5，由第3、5次猜测结果可以推知，3不在千位也不在百位，那么3只能在个位。考虑到第四次猜测中要有一位数字对且位数对，只能是百位上的7，再由第1次猜测的结果推出千位上不能是9而只能是6，于是这个四位数是6753，经过检验可知，这个

23、四位数满足所有五个条件，因此甲写的四位数就是6753。【巩固】 一只皮箱的密码是一个三位数。小光说：“它是954。”小明说：“它是358。”小亮说：“它是214。”小强说：“你们每人都只猜对了位置不同的一个数字。”这只皮箱的密码是 。【解析】 每个人只猜了位置不同的一个数字，也就是说一样的数字必然不对，“5、4”第一位肯定是9，第三位是8，第二位是1，密码就是918。【例 9】 、五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘到现在为止，已经赛盘，赛盘，赛盘，赛盘问：此时同学赛了几盘？【解析】 画个点表示五位同学，两点之间连一条线段表示赛一场，建议教师让学生动手按要求画一画根据题意，已经赛盘，说明与

24、、各赛一盘，应与、点相连赛盘，是与点相连的赛盘，是与、点相连的赛盘，是与、点相连的从图上点的连线条数可知，同学赛了盘【巩固】 八一队、北京队、江苏队、山东队、广东队五队进行象棋友谊赛，每两个队都要赛一场，一个月过后，八一队赛了场，北京队赛了场，江苏队赛了场，山东队赛了场那么广东队赛了几场？【解析】 八一队赛了场，说明八一队和其它四队都赛过了山东队赛了场，说明只和八一队赛过北京队赛了场，说明与八一队、江苏队、广东队赛过江苏队赛了场，说明与八一队、北京队赛过由此可知，广东队只和八一队、北京队赛过，赛了场【巩固】 A、B、C、D、E、F六人赛棋，采用单循环制。现在知道：A、B、C、D、E五人已经分别

25、赛过54、3、2、l盘。问：这时F已赛过 盘。【解析】 3盘。【例 10】 趣味滑冰锦标赛最后进行的是花样滑冰双人滑的表演，规定男女双方都不能和自己的原搭档在一起表演男士用、表示，女士用甲、乙、丙表示已知前面表演过程中和甲一起滑过，和丙一起滑过，和甲一起滑过，和乙一起滑过，的新搭档不可能是丙，那么乙的新搭档是谁？【解析】 根据题意可列出以下表格，“”表示二者不可能是新搭档甲乙丙由上图可以发现甲的新搭档是，的新搭档不可能是丙，所以丙的新搭档是，乙的新搭档是【例 11】 东东、西西、南南、北北四人进行乒乓球单循环赛，结果有三人获胜的场数相同问另一个人胜了几场？【解析】 东东、西西、南南、北北四人进

26、行单循环赛，则每人都赛场，共赛(场)如果其中有三人都胜场，则至少进行场比赛，这是不可能的；如果其中有三人都胜场，那么场比赛中的获胜者都在这三个人中，每人胜了场，另一个人胜场；如果其中有三人都胜场，那么场比赛中的场这三人各胜场，另外场的胜者必是第四个人，故另一个人胜场；三个人都胜场也是不可能的因此，如果有人获胜的场数相同，那么另一个人可能胜场，也可能胜场【巩固】 东东、西西、北北三人进行乒乓球单循环赛，结果人获胜的场数各不相同问第一名胜了几场？【解析】 三人进行单循环赛，即每两人都要赛一场，共进行（场）比赛每场比赛都有一人获胜，每人都赛场由题意知三人获胜的场数各不相同，所以三人获胜的场数分别为、

27、显然，第一名是胜了场【例 12】 五个足球队进行循环比赛，即每两个队之间都要赛一场每场比赛胜者得分、负者得分、打平两队各得分比赛结果各队得分互不相同已知：第名的队没有平过；第名的队没有负过；第名的队没有胜过问全部比赛共打平了 场【解析】 支球队进行循环赛，共需要打场，产生总分分由、知第名负于第名，那么第名最多得分由于各队得分互不相同，而且，所以支球队得分依次为分、分、分、分、分第一名没有平过，又只得到了6分，因此负过一场，而第二名的队没有负过，因此第一名应该负于第二名，胜3，4，5名第二名得了5分，其中胜第一名得了2分，又没有负过，因此和3，4，5名皆为平局第四名得了3分，其中输给了第一名，平

28、了第二名，没有胜过，因此和第3，5名都是平局第三名得了4分，输给了第一名，平了2，4名得2分，因此胜了第5名得2分第五名显然只和第2，4名平了，其余皆负综上，所有比赛平了5场，分别是2-3，2-4，2-5，3-4，4-5【巩固】 一次象棋比赛共有10名选手参加，他们分别来自甲、乙、丙三个队，每个选手都与其余9名选手各赛1盘，每盘棋的胜者得1分，负者得0分，平局双方各得0.5分结果，甲队选手平均得4.5分，乙队选手平均得3.6分，丙队选手平均得9分那么，甲、乙、丙三队参加比赛的选手人数各多少？【解析】 由题意可知，这次比赛共需比(盘)因为每盘比赛双方得分的和都是1分或)，所以10名选手的总得分为

29、(分)每个队的得分不是整数，就是“&.5”这样的小数由于乙队选手平均得3.6分，3.6的整数倍不可能是“&.5”这样的小数所以，乙队的总得分是18或36但，而三个队一共才10名选手(矛盾)所以乙队的总分是18分，有选手(名)甲、丙两队共有5名选手由于丙队的平均分是9分，这个队总分只可能是9分，18分(不可能是27分)因为，甲队选手总得分为0分)，丙队选手人数相应为1名、2名，甲队选手人数相应为4名，3名，经过试验，甲队4名选手，丙队1名选手【巩固】 四名同学参加区里围棋比赛，每两名选手都要比赛一局，规则规定胜一局得分，平一局得分，负一局得分如果每个人最后得的总分都不相同，且第一名不是全胜，那么

30、最多有几局平局？【解析】 四人共赛局，总分为（分），因为总分各不相同，分配得：或平局最多的应该是、的情况总分是奇数的必有一局平局，当得分是分、分的同学分别与得分是分、分的同学打平后，得分是分、分的同学就还剩下分、分，互相打平就正好所以平局最多是局【例 13】 、五人参加乒乓球比赛，每两个人都要赛一盘，并且只赛一盘，规定胜者得分，负者不得分，已知比赛结果如下：与并列第一名是第三名和并列第四名求得多少分？【解析】 先计算一下有多少场比赛？总分是多少？再确定第一名的得分共五名选手参加比赛，每人都要赛场，每场比赛不是得分就是得分，所以每名选手的总分一定是、五数之一四场都负得分，四场都胜得分，因此，的得

31、分比分多，比分少（他不是第一，也不是第四），只可能是、三数之一还不要忘记两个并列第一，两个并列第四这两个重要条件因为五个人一共比赛（场），所以场球一共得分：（分）有两个并列第一，两个并列第四，决定了没有全胜的，也没有全败的，也就是没有得分的，也没有得分的，得分情况只有、分三种所以，并列第一的一共得：（分），并列第四的一共得：分，第三名得（分），所以，得分【巩固】 班上四名同学进行跳棋比赛，每两名同学都要赛一局每局胜者得分，平者各得分，负者得分已知甲、乙、丙三名同学得分分别为分、分、分，且丙同学无平局，甲同学有胜局，乙同学有平局，那么丁同学得分是多少？【解析】 个同学共赛（局），结合条件“丙同学

32、无平局，甲同学有胜局，乙同学有平局”，分解三名同学分数配比：甲：（一胜一平一负）乙：（一胜二平）或（二胜一负）丙：（二胜一负）观察可知有四胜二负，所以丁同学负了二场，又因为有三平，所以丁同学平了一场则丁同学得：（分）【巩固】 （走进美妙数学花园少年数学邀请赛）甲、乙、丙、丁四人进行象棋比赛，每两个都比赛一场，规定胜者得分，平局各得分，输者得分结果甲第一，乙、丙并列第二，丁最后一名，那么乙得几分？ 【解析】 共四人参加比赛，每人都要赛场，每场无论分出胜负还是打平，两人的得分和一定是分，四个人循环比赛总共比赛（场），因此最终四个人的得分加起来一定是（分）每名选手的总分一定是七个数之一又由题意，“甲

33、第一，乙、丙并列第二，丁最后一名”，可知甲得分时，乙、丙只能各得分，丁得分如果乙、丙得分大于分时，根据四个人的总得分是分，可得甲得分小于等于分，这种情况不可能；如果乙、丙得分小于分时，根据四个人的总得分是分，可得甲得分大于等于分，这种情况也不可能；所以乙得分【例 14】 （2001年第八届华杯赛决赛二试）10个队进行循环赛，胜队得2分，负队得1分，无平局其中有两队并列第一，两队并列第三，有两个队并列第五，以后无并列情况请计算出各队的得分【解析】 为简单起见，假定胜队得1分，负队不得分，其它条件不变，此种情况得到的答案，各队都加上9分就是原题答案因为共赛45场，每队赛9场，所以共产生45分由两队

34、并列第一，推知并列第一的队至少各输一场假设并列第一的队各输1场，各得8分如果并列第三的两个队各输两场，各得7分，那么前四名的队共输6场，而它们之间恰好赛了6场，所以前四名的队胜了后面的所有队由此推知，并列第五的队至少各输5场，最多各得4分，那么后四名的队共得分，而后四名的得分只能是3、2、1、0，其和不等于7.所以并列第三的两个队不能各输两场，而是各输三场，各得6分此时，后6名的得分只能是5、5、4、2、1、0，10个队的得分依次为：8、8、6、6、5、5、4、2、1、0.假设并列第一的队各输2场，各得7分，那么并列第三的队只能各输3场，各得6分（如果各输4场，后八名的队的得分只能是5、5、4

35、、4、3、2、1、0，总分不到45分），后六名的得分只能是5、5、4、3、2、0.此时10个队的得分依次为：7、7、6、6、5、5、4、3、2、0.假设并列第一的队至少各输3场，则10个队的总分之多为分，不合题意综上所述，各队得分为：17、17、15、15、14、14、13、11、10、9；或：16、16、15、15、14、14、13、12、11、9【巩固】 四个同学参加网上棋类比赛，每两个人都要赛一场规定如下：胜者得分，负者不得分，平局得分比赛结果如下：两名同学并列第一名，两名同学并列第三名已知比赛中有平局，那么第一名同学得多少分？【解析】 四个同学共赛（场），总分是（分）每名选手的总分一定

36、是七个数之一，因为有两名同学并列第一名，所以第一名的同学不可能都是全胜得分，而且第一名的分数要大于分下面进行枚举如果第一名的同学得分，那么第三名的同学得（分），也就是第一名胜两场，平一场，第三名平一场，负两场，各得分；如果第一名的同学得分，那么第三名的同学得（分），也就是第一名胜一场，平两场，第三名负一场，平两场，各得分；所以第一名同学得分为分或分【例 15】 （全国小学数学奥林匹克）四名棋手两名选手都要比赛一局，规则规定胜一局得分，平一局得分，负一局得分比赛结果，没有人全胜，并且各人的总分都不相同，那么至少有几局平局？【解析】 （法一）四人共赛局，总分为（分），因为没有人全胜，所以得分最高的

37、选手最多是两胜一平得分，因此在另外的局比赛中：1. 如果全部是平局，则个人的分数只能分别为，就会出现分数相同的情况，如图（图中箭头表示有胜负，箭头指向输者，虚线表示平局）2. 如果有局是平局，则可以出现满足条件的情况：人分数分别为，如图所以至少有局是平局（法二）四人共赛局，如果局都是平局，那么四人总分相同，不合题意如果有局平局，那么除有胜负的两人外，另两人总分相同，不合题意如果有局平局，那么可分为三种情况：一个人胜两局，输的两个人总分相同；一个人输两局，胜的两个人总分相同；四个人中两人胜两人负，两个胜的人总分相同，两个负的人总分相同，都不合题意局平局是可能的，如下图所示，连线表示平局，箭头指向

38、的一方为负方，图中数字为各人总分【例 16】 （2009年迎春杯中年级组决赛）、六个足球队进行单循环比赛，每两个队之间都要赛一场，且只赛一场胜者得3分，负者得0分，平局每队各得1分比赛结果，各队得分由高到低恰好为一个等差数列，获得第3名的队得了8分，那么这次比赛中共有 场平局【解析】 六个足球队进行单循环比赛，总共有(场)比赛平局的两队总分为(分)，非平局总分为(分)，因此，如果全是非平局总分有(分)，否则多一场平局总分减少1分由于第3名得了8分，最后一名至少0分，所以各队得分的构成的等差数列的公差不超过分，只可能为1分或2分如果各队得分的构成的等差数列公差为1，则这六个队的总分为(分)，则有

39、0场平局，每场比赛每队都得0分或3分，则每支队的得分都应是3的倍数，与第3名得8分不符如果各队得分的构成的等差数列公差为2，则这六个队的总分为(分)，有(场)平局，符合题意所以这次比赛中共有3场平局【巩固】 （2008年武汉明心奥数挑战赛）五个运动队参加商业足球比赛原计划每两个队都要比赛一场，但由于经费不足，取消了其中一些比赛场次，最终发现各个队所得的积分各不相同，而且从积分表上看，没有一个队的积分为0.积分的计算办法是：每赢一场得3分，每输一场得0分，每平一场得1分试问，这次比赛最少可能有 场【解析】 要使比赛总场次越少，可以总分尽量少由于每队得分不同，且没有0分的，因此，各队得分至少为分，

40、即总分至少为15分当总分为15分时，各队得分分别为1、2、3、4、5分，可以看出其中有平局，所以不是每场比赛都产生3分，那么比赛的场次多于场，即至少为6场可以设计比赛情况如图：（表示平局；表示赢）上面的比赛情况满足题意，所以这次比赛最少可能有6场【巩固】 三（一）班的同学在周末举行象棋比赛，规定赢局得分，输局倒扣分，平局各得分小晴共参加了局比赛，结果胜了局，平了局，那么小晴的最后得分是多少？【解析】 胜局得到：（分），平局得到（分），输了局，扣了（分）最后得分是（分）【巩固】 （1997年“我爱数学”夏令营）、四个队举行足球循环赛（即每两个队都要赛一场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0

41、分已知：比赛结束后四个队的得分都是奇数；队总分第一；队恰有两场平局，并且其中一场是与队平局那么，队得 分【解析】 由于队得分为奇数，而平两局得2分，所以另外一场是胜局，即队两平一胜，得分为5分；队得分比队高，至少得7分，又队不能全胜（否则队胜队，队应该负一场），所以队恰得7分，即队两胜一平，平的那一场是与队的比赛，胜了、两队；队则胜了队；因为队平队、负队，得分又是奇数，所以队得1分，负给了队故队胜队，负、两队，所以队得3分【例 17】 5个足球队进行比赛，每个球队都与其他球队各比一场，胜方得3分，负方得0分，平局各得1分最后四个队分别得1分、2分、5分和7分，那么第五个队得 分【解析】 每支队

42、伍都打过四场比赛，显然，根据比赛规则，得1分的队伍只能是1平3负，得2分的队伍只能是2平2负，得5分的队伍只能是1胜2平1负，得7分的队伍只能是2胜1平1负，不难得到下表：队 别得 分胜负平11031220223511247211合计376从表中可以看出，这四个队共负了7场，胜了3队，由于每场比赛如果分出胜负那么就有一方负而另一方胜，所以5个队胜和负的总场次应该相等，所以第5队应该胜了4场，那么第5队得了12分【巩固】 甲、乙、丙、丁四个足球队进行单循环赛，就是每两个队之间都要比一场，胜者得3分，负者得0分，平者各得1分比赛结束后，甲队共得6分，乙队共得4分，丙队共得2分，那么丁队共得 分【解

43、析】 甲队得6分，只能是胜2场负1场；乙队得4分，只能是胜1场平1场负1场；丙队得2分，只能是平2场负1场因为甲没有平局，所以丙与乙、丁都是平局，负给甲如果甲胜乙负丁，那么乙必负丁；如果甲胜丁负乙，那么乙必胜丁所以丁与甲、乙的比赛必是一胜一负，得3分，再加上与丙是平局，得1分，所以丁共得4分【巩固】 四个足球队进行单循环比赛，规定胜一场得分，平一场得分，负一场得分，有一个队没输过，但却排名倒数第一，你觉得有可能吗？如果可能，请举出这种情况何时出现，如果不可能，请你说明理由【解析】 可能，四个队 ，胜，胜，胜，和，都打平这样的话，都是分，是分，虽然不败但却难逃垫底厄运【例 18】 德国队、意大利

44、队、荷兰队进行一次足球比赛，每队与另两支队各赛一场。已知：（1）意大利队总进球数是0，并且有一场打了平局；（2）荷兰队总进球数是1，总失球数是2，并且该队恰好胜了一场。按规则：胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分。问德国队得了_分。【解析】 由条件（2）知，荷兰队胜了一场，而不进球是不可能胜的，但它的总进球数只有1，说明这场比赛它以10取胜。又因为它总失球数2，所以另一场比赛以02输了。再由条件（1）知：以20赢荷兰队的不可能是意大利队（因为意大利队没有进球），只可能是德国队（记2分）。既然荷兰队输给德国队，那么它胜的一场一定是对意大利队，而且比分为10。德、意两队以00踢平（各记1分）。

45、所以，德国队得了3分。【例 19】 第四届东亚男足邀请赛共有四支足球队进行单循环赛，即每两队之间都要进行一场比赛，每场比赛胜者得分，负者得分，平局两队各得分比赛完成之后各队得分是四个连续的自然数，请计算出输给第一名的球队的得分是_分【解析】 由于每场比赛胜者得分，负者得分，平局两队各得分，所以每场比赛两队的得分之和为分或者分，四支球队进行单循环赛，共进行场比赛，所以比赛完成之后各队总得分至少为分，最多为分，又各队得分是四个连续的自然数，而，所以各队得分只可能为,或者, 如果四队得分为,，那么总得分为分，则每场比赛两队的得分之和都为分，即每一场比赛都不是平局，那么每一场比赛的两只队的得分都是的倍

46、数（分或分），那么每支队的总得分也都是的倍数，而不可能出现有球队得分或分的情况，矛盾，所以四队得分不能为,，只能为, 由于四队得分分别为,，所以第一名得分，只能是胜一队而平两队，则这场比赛中与第一名平局的两队各得分，输给第一名的队得分，由于这三支队共得分，所以三队彼此之间的场比赛共得分，而每场比赛共得分或分，所以只能为两场分，一场分，即这场比赛中有两场平局，只有一场分出了胜负 如果分出胜负的这场比赛发生在平了第一名的两支队之间，则它们与输给第一名的那支队之间都是平局，则其中一支队在分出胜负的那场比赛中得到分，在与输给第一名的那支队的比赛中又得到分，这样它总共得到分，矛盾，所以平了第一名的两支队

47、之间的比赛也是平局，输给第一名的那支队与这两支队的比赛一胜一平，它的得分为：，即输给第一名的球队的得分是分【例 20】 （2006年实验中学考题）1994年“世界杯”足球赛中，甲、乙、丙、丁4支队分在同一小组在小组赛中，这4支队中的每支队都要与另3支队比赛一场根据规定：每场比赛获胜的队可得3分；失败的队得0分；如果双方踢平，两队各得1分已知：这4支队三场比赛的总得分为4个连续奇数；乙队总得分排在第一；丁队恰有两场同对方踢平，其中有一场是与丙队踢平的根据以上条件可以推断：总得分排在第四的是 队【解析】 由于每场比赛的两支队伍的得分之和不是3分就是2分，而4支队伍共要打6场比赛，所以最后4支队伍的

48、得分总和在12到18之间根据题意，这4支队伍的得分是4个连续奇数，只可能是1，3，5，7(因为3，5，7，9的和已超过18)，也就是说4支队伍的得分分别为1分，3分，5分，7分它们的总得分为16分，比18分少了2分，说明全部比赛中有2场平局，其他场次都分出了胜负由于丁队恰有两场同对方踢平，说明甲、乙、丙三支队之间的比赛没有平局根据题意可知乙得了7分，只能是两胜一平，所以乙胜了甲、丙，平了丁；那么丁平了乙、丙，则丁与甲的比赛丁胜了，丁共得5分(丁如果负了则得2分，分数与前面的分析不符)；所以最后剩下的一场比赛只能是甲胜了丙，甲共得3分，丙共得1分，所以总得分排在第四的是丙队【例 21】 （200

49、4年走美）12个队参加一次足球比赛，每两个队都比赛一场，每场比赛中，胜队得3分，负队得0分，平局则各得1分比赛完毕后，获得第3名和第4名的两个队的得分最多可以相差 分【解析】 要使第3名和第4名的分差最大，则第3名得分应尽量多，第4名得分应尽量少首先前3名的3个队与后9名的球队之间的比赛应当都获胜，而前3名之间有3场比赛，最多产生9分，所以第3名在这3场比赛中最多得3分，所以第3名最多得分；后9名之间共有36场比赛，每场比赛至少产生2分，共产生72分，在这些比赛中，第4名至少得8分，所以第4名的得分至少是8分那么第3名和第4名的两个队的得分最多可以相差分【例 22】 （2003年迎春杯）世界杯

50、足球赛，每个小组有4支球队，每两支球队之间各赛一场，胜一场得3分，负一场得0分，平局各得1分每个小组总分最多的两支球队出线如果在第一小组比赛中出现了一场平局，问：在第一小组中一支球队至少得多少分，一定能够出线？【解析】 考察两支队之间进行比赛所获得的分数，如果产生胜负关系，那么两队总得分为3分，如果平局，则总得分为2分四支队伍相互间进行了6场比赛，如果不出现平局，应当得分总和为18分，但是出现了一场平局，因此总得分为分一支队伍要确保出线，必须保证不可能出现两支比自己得分高的球队因此其得分应大于总得分的，因此这支球队至少要得分，即至少得6分很容易说明得6分一定出线，因为如果存在另外两支队伍出线，

51、那么他们的得分应不小于6分，因此总得分将不小于18分，矛盾另外，如果得分不到6分，那么这支球队最多只能得4分（因为得5分意味着两场平局，题目中告诉我们只有一场平局），这时候其他三支球队总得分为13分，如果分别为6分，6分，1分，那么4分的球队就不能出线了【巩固】 在世界杯小组赛上，每四个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得分，负队得分，平局则两队各得分小组赛结束后，总积分高的两队出线，进入下一轮比赛，如果总积分相同，还要按进一步的规则排序那么一个队至少要积几分才能保证本队必然出线？若有一个队总积分是分，则这个队可能出线吗？【解析】 个队单单循环赛要赛场，每场比赛最多产生分，则场比赛最多产生分如果某

52、队积分，则剩下分，可能另两个队也各得分，这样就要按进一步规则排序，因此该队有可能不出线如果某队积分，则剩下分，这样另外三个队中不可能再有两个队积分等于或超过分，这样该队必然出线因此一个队为了晋级下一轮，至少要积分才能保证必然出线若有一个队总积分是分，则其它三个队共积（分），这个队可能排名前两名，所以有可能出线【例 23】 （2003年小学生数学报数学邀请赛）在一次“分制”的女子排球比赛中，中国队以战胜俄罗斯队中国队局的总分为分，俄罗斯队局的总分为分，且每一局的比分差不超过分则局的比分分别是、(不考虑这3局比分之间的顺序)【解析】 在25分制的比赛中，如果一个队得到25分而另一个队的得分少于24

53、分，则得25分的队获胜；如果一个队得到25分时另一个队得了24分，此时双方还要继续进行比赛，直到双方得分的差变成2分，得分多的那支队才获胜本题中，由于，所以中国队三场比赛的得分可能为26分，26分，25分或27分，25分，25分如果是26分，26分，25分，有两场超过了25分，说明俄罗斯有两场得分是分，另一场的得分是分，则有一局的比分为，比分差大于分，不满足条件从而中国队三场的得分分别为27分，25分，25分，俄罗斯有一场得分为分，另两场得分和为分，又另两场每场得分均不少于分，则另两场的得分应分别为分和分因此局的比分分别是，【例 24】 由，三个班中各出3名学生比赛长跑规定第一名得9分，第二名

54、得8分，第三名得7分，第八名得2分，第九名得1分比赛结果是三个班总分相等，而且九名学生没有名次并列的，也没有同一个班的学生获得相连名次的如果第一名是班的，第二名是班的那么最后一名是哪个班的？【解析】 九名学生的总分为：由于三个班的总分相等，即每个班均为15分，将19这9个自然数，三个数一组分为3组，使每组之和都是15，只有以下两种情况： 一组得分为：9，5，1；二组得分为：7，6，2；三组得分为：8，4，3 一组得分为：8，6，1； 二组得分为：9，4，2； 三组得分为：7，5，3在第一种情况中，二组、三组都有相连的数，即相连的名次，这不合题意，所以只能取第(2)组的数字那么班有第一名，得分是

55、9，4，2；班有第二名，得分是8，6，1；则班得分为7，5，3可见最后一名是班的学生【例 25】 （2008年南京市第四届青少年“科学小博士”思维训练系列活动）甲、乙、丙三人用擂台赛形式进行乒乓球训练，每局2人进行比赛，另1人当裁判每一局的输方去当下一局的裁判，而由原来的裁判向胜者挑战半天训练结束时，发现甲共打了15局，乙共打了21局，而丙共当裁判5局那么整个训练中的第3局当裁判的是 【解析】 本题是一道逻辑推理要求较高的试题首先应该确定比赛是在甲乙、乙丙、甲丙之间进行的那么可以根据题目中三人打的总局数求出甲乙、乙丙、甲丙之间的比赛进行的局数丙当了5局裁判，则甲乙进行了5局；甲一共打了15局，

56、则甲丙之间进行了局；乙一共打了21局，则乙丙之间进行了局；所以一共打的比赛是局此时根据已知条件无法求得第三局的裁判但是，由于每局都有胜负，所以任意连续两局之间不可能是同样的对手搭配，就是说不可能出现上一局是甲乙，接下来的一局还是甲乙的情况，必然被别的对阵隔开而总共31局比赛中，乙丙就进行了16局，剩下的甲乙、甲丙共进行了15局，所以类似于植树问题，一定是开始和结尾的两局都是乙丙，中间被甲乙、甲丙隔开所以可以知道第奇数局(第1、3、5、局)的比赛是在乙丙之间进行的那么，第三局的裁判应该是甲【巩固】 （走进美妙数学花园少年数学邀请赛）三人打乒乓球，每场两人，输者退下换另一人，这样继续下去，在甲打了

57、场，乙打了场时，丙最多打几场？ 【解析】 乙都只与丙打，丙可打（场），但甲比乙多打（场），不算最后一场输赢，甲应赢丙（场），这样总场数为（场），丙打了（场）【例 26】 三名学生进行了若干科目的考试，以考得的名次进行记分.考得第一名得分最多，其次是第二名，第三名得分最少。各科都是如此记分.已知甲最后得分，乙最后得分，丙也是得分.并且已知乙英语考试得了第一名，问数学第二是谁？【解析】 由乙英语第一，至少乙得3分，且总分为9分所以科目不会多于7科，且每科第一名至多得8分。又由甲总分为22分，所以考试科目不少于3科。因为三人共得40分，而每科分配得分情况相同，故考试科目数应是40的约数，而3，6，7

58、都不是40的约数，所以只可能是4科或5科。若4科，每科共为10分按名次分配应有4种：(7，2，1)，(6，3，1)，(5，4，1)，(5，3，2)。由甲共得22分，且至多有3科第一(英语不是第一)，则后三种情况不成立，因为即便是3科第一，1科第二，总分也达到不了22分。又由乙得9分，且英语第一。如果按(7，2，1)分配，即便其他三科都是最后一名，得1分，总分也超过9分。所以，以上几种情况不能成立。若是5科，每科共为8分，按名次分配只有两种：(5，2，1)；(4，3，1)而后一种也不能成立，原因仍然是不能与甲22分吻合。所以只有(5，2，1)符合题意。按照这种分配方案：乙的得分情况是5，1，1，

59、1，1。甲的得分情况是5，5，5，5，2，且得2分的科目只能是英语，所以数学第二只能是丙。注：这是一道比较复杂的推理题，运用了约数等数学知识作为载体。模块二、抽屉原理【例 27】 （2008年第六届“走进美妙的数学花园”中国青年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛决赛） “走美”主试委员会为三八年级准备决赛试题每个年级道题，并且至少有道题与其他各年级都不同如果每道题出现在不同年级，最多只能出现次本届活动至少要准备 道决赛试题【解析】 每个年级都有自己道题目，然后可以三至五年级共用道题目，六到八年级共用道题目，总共有（道）题目【例 28】 有一个布袋中有40个相同的小球，其中编上号码1、2、3、4的

60、各有10个，问：一次至少要取出多少个小球，才能保证其中至少有3个小球的号码相同？【解析】 将1、2、3、4四种号码看作4个抽屉，要保证一个抽屉中至少有3个苹果，最“坏”的情况是每个抽屉里有2个“苹果”，共有：(个)，再取1个就能满足要求，所以一次至少要取出9个小球，才能保证其中至少有3个小球的号码相同【巩固】 有一个布袋中有5种不同颜色的球，每种都有20个，问：一次至少要取出多少个小球，才能保证其中至少有3个小球的颜色相同？【解析】 5种颜色看作5个抽屉，要保证一个抽屉中至少有3个苹果，最“坏”的情况是每个抽屉里有2 个“苹果”，共有：个，再取1个就能满足要求，所以一次至少要取出11个小球，才

61、能保证其中至少有3个小球的颜色相同【巩固】 一个口袋中装有500粒珠子，共有5种颜色，每种颜色各100粒。如果你闭上眼睛，至少取出多少粒珠子才能保证其中有5粒颜色相同？【解析】 至少要取（粒）【巩固】 黑色、白色、黄色的筷子各有8根，混杂地放在一起，黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子。问至少要取多少根才能保证达到要求？【解析】 根据最不利原则，至少取根筷子就能保证有一双颜色不同，我们把颜色不同那双筷子取出，再补只筷子，就能又保证一双颜色不同筷子，所以取出根筷子就得到颜色不同的两双筷子【例 29】 有红、黄、蓝、白4色的小球各10个，混合放在一个布袋里一次摸出小球8个，其中至少有几个小球的颜色是相同的？【解析】 从最不利的情况考虑，摸出的8个小球中有4个小球的颜色各不相同，那么余下的4个小球无论各是什么颜色，都必与之前的4个小球中的某一个颜色相同即这8个小球中至少有2个小球的颜色是相同的【例 30】 两个布袋各有12个大小一样的小球，且都是红、白、蓝各