数学人教A版选修45训练：第三讲 柯西不等式与排序不等式 检测 Word版含解析

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1、第三讲检测(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知m2+n2=2,t2+s2=8,则|mt+ns|的最大值为()A.2B.4C.8D.16答案：B2设x1,x2,xn取不同的正整数,则m=x112+x222+xnn2的最小值是()A.1B.2C.1+12+13+1nD.1+122+132+1n2解析：根据排序不等式,有x112+x222+xnn2112+222+nn2=1+12+1n.答案：C3已知3x2+2y21,则3x+2y的取值范围是()A.0,5 B.-5,0C.-5,5 D.-5,5

2、解析：因为|3x+2y|3x2+2y2(3)2+(2)25,所以-53x+2y5.答案：C4已知x,y,z是正实数,且1x+2y+3z=1,则x+y2+z3的最小值是()A.5B.6C.8D.9解析：由题意知x+y2+z3=1x+2y+3zx+y2+z31xx+2yy2+3zz32=9,当且仅当1x=2y=3z=13,即x=3,y=6,z=9时,等号成立.答案：D5设a1,a2,a3,a4是1,2,3,4的一个排列,则a1+2a2+3a3+4a4的取值范围是()A.(0,30B.(20,30C.20,30D.20,30)解析：由排序原理,得a1+2a2+3a3+4a412+22+32+42=3

3、0,a1+2a2+3a3+4a414+23+32+41=20.故a1+2a2+3a3+4a420,30.答案：C6若x+y+z=6,则x2+y2+z2的最小值为()A.6B.12C.24D.36解析：x2+y2+z2=(12+12+12)(x2+y2+z2)13(x+y+z)213=3613=12,当且仅当x=y=z=2时,等号成立.答案：B7设a,b,c为正实数,a+b+4c=1,则a+b+2c的最大值是()A.5B.3C.23D.32解析：1=a+b+4c=(a)2+(b)2+(2c)2=13(a)2+(b)2+(2c)2(12+12+12)(a+b+2c)213.故(a+b+2c)23,

4、a+b+2c3,当且仅当a=13,b=13,c=112时,等号成立.答案：B8若x,y,z是非负实数,且9x2+12y2+5z2=9,则函数u=3x+6y+5z的最大值为()A.9B.10C.14D.15解析：u2=(3x+6y+5z)2(3x)2+(23y)2+(5z)212+(3)2+(5)2=99=81,当且仅当x=13,y=12,z=1时,等号成立.故所求的最大值为9.答案：A9若5x1+6x2-7x3+4x4=1,则3x12+2x22+5x32+x42的最小值是()A.78215B.15782C.3D.253答案：B10设c1,c2,cn是a1,a2,an的某一排列(a1,a2,an

5、均为正数),则a1c1+a2c2+ancn的最小值是()A.nB.1nC.nD.2n解析：不妨设0a1a2an,则1a11a21an,1c1,1c2,1cn是1a1,1a2,1an的一个排列,再利用排序不等式的反序和乱序和求解.所以a1c1+a2c2+ancna1a1+a2a2+anan=n,当且仅当a1=a2=an时,等号成立.答案：A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11函数y=1+1sin1+1cos(02)的最小值是.解析：由柯西不等式,得y=12+1sin212+1cos211+1sin1cos2=1+2sin22(1+2)2=3+22,当且仅

6、当1cos=1sin,即=4时,等号成立.答案：3+2212如图,矩形OPAQ中,a1a2,b1b2,则阴影部分的矩形的面积之和空白部分的矩形的面积之和.解析：由题图可知,阴影部分的面积=a1b1+a2b2,而空白部分的面积=a1b2+a2b1,根据顺序和逆序和可知,答案为.答案：13已知0x1,0yb0,则a+1(a-b)b的最小值为3.a2+b2+c2ab+bc+ca.解析：中,当a,b,c(0,1)时,loga b+logb c+logc a3也成立;中,a+1a2(a0),-2(a0)(a0),故正确;中的命题显然正确;由排序不等式可知,应为a2+b2+c2ab+bc+ca.答案：15

7、已知正实数x1,x2,xn满足x1+x2+xn=P,P为定值,则F=x12x2+x22x3+xn-12xn+xn2x1的最小值为.解析：不妨设00.且0x12x22xn2.1x2,1x3,1xn,1x1为序列1xn的一个排列,根据排序不等式,得F=x12x2+x22x3+xn-12xn+xn2x1x121x1+x221x2+xn21xn=x1+x2+xn=P(定值),即F=x12x2+x22x3+xn-12xn+xn2x1的最小值为P.答案：P三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)设x1,x2,xn都是正数,求证:1x1+1x2+1xnn2

8、x1+x2+xn.分析：根据一般柯西不等式的特点,构造两组数的积的形式,利用柯西不等式证明.证明：(x1+x2+xn)1x1+1x2+1xn=(x1)2+(x2)2+(xn)21x12+1x22+1xn2x11x1+x21x2+xn1xn2=n2,1x1+1x2+1xnn2x1+x2+xn.17(8分)设a,b,c是正实数,求证:a2b+c+b2c+a+c2a+ba+b+c2.证明：根据柯西不等式,得(b+c)+(c+a)+(a+b)a2b+c+b2c+a+c2a+b(a+b+c)2.故a2b+c+b2c+a+c2a+ba+b+c2,当且仅当a=b=c时,等号成立.18(9分)设c1,c2,c

9、n为正实数,且为数组a1,a2,an的某一排列,求证:a1c1+a2c2+ancnn.证明：不妨设01ab+1bc+1cd+1da.证明：由柯西不等式,有1a2+1b2+1c2+1d21b2+1c2+1d2+1a21ab+1bc+1cd+1da2,于是1a2+1b2+1c2+1d21ab+1bc+1cd+1da.等号成立1a1b=1b1c=1c1d=1d1aba=cb=dc=ada=b=c=d.因题设a,b,c,d不全相等,于是式中等号不成立,即1a2+1b2+1c2+1d21ab+1bc+1cd+1da.20(10分)设x0,求证:1+x+x2+x2n(2n+1)xn.分析：题中只给出了x0,但是对于x1,x1并不确定,因此,需要分类讨论.证明：(1)当x1时,1xx2xn,由排序不等式,知11+xx+x2x2+xnxnxn1+xn-1x+1xn,即1+x2+x4+x2n(n+1)xn.又x,x2,xn,1为1,x,x2,xn的一个排序,于是由排序不等式,得1x+xx2+xn-1xn+1xn1xn+xxn-1+xn-1x+xn1,即x+x3+x2n-1nxn.+,得1+x+x2+x2n(2n+1)xn.(2)当0xxx2xn,同理可得1+x+x2+x2n(2n+1)xn.综合(1)与(2),可知当x0时,1+x+x2+x2n(2n+1)xn.