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1、 一般有以下四种类型：一是由于一般三角形的形状不确定而进行的分类；二是由于等腰三角形的腰与底不确定而进行的分类；三是由于直角三角形的斜边不确定而进行的分类；四是由于相似三角形的对应角(或边)不确定而进行的分类。 1、三角形的形状不定需要分类讨论 例4、 在ABC中，B25，AD是BC上的高，并且，则BCA的度数为_。 解析：因未指明三角形的形状，故需分类讨论。 如图1，当ABC的高在形内时，由， 得ABDCAD，进而可以证明ABC为直角三角形。由 B25。可知BAD65。所以BCABAD65。 如图2，当高AD在形外时，此时ABC为钝角三角形。 由，得ABDCAD 所以BCAD25 BCACA
2、DADC2590115 2、等腰三角形的分类讨论： a、在等腰三角形中求边：等腰三角形中，对给出的边可能是腰，也可能是底边，所以我们要进行分类讨论。例5、已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_。练习若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。简析：已知条件并没有指明哪一部分是9cm，哪一部分是12cm，因此，应有两种情形。若设这个等腰三角形的腰长是cm，底边长为cm，可得或解得或即当腰长是6cm时，底边长是9cm；当腰长是8cm时，底边长是5cm。 b、在等腰三角形中求角：等腰三角形的一个角可能指底角，也可能指顶角，所以必须分情况讨
3、论。例6、已知等腰三角形的一个内角为75则其顶角为（ ）A. 30B. 75C. 105D. 30或75练习1、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45，求这个等腰三角形的顶角的度数。简析：依题意可画出图1和图2两种情形。图1中顶角为45，图2中顶角为135。2、在ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50，则底角B=_。 3、直角三角形中，直角边和斜边不明确时需要分类讨论 例7、 已知x，y为直角三角形两边的长，满足，则第三边的长为_。 解析：由，可得且 分别解这两个方程，可得满足条件的解，或 由于x，y是直角边长还是斜边长没有明确，因此需要分类讨论。 当两直角
4、边长分别为2，2时，斜边长为； 当直角边长为2，斜边长为3时，另一直角边的长为； 当一直角边长为2，另一直角边长为3时，斜边长为。 综上，第三边的长为或或。 4、相似三角形的对应角(或边)不确定而进行的分类。例8、如图所示，在中，是的中点，过点的直线交于点，若以为顶点的三角形和以为顶点的三角形相似，则的长为（ ）(A)3 (B)3或 (C)3或 (D)析解：由于以为顶点的三角形和以为顶点的三角形有一个公共角（），因此依据相似三角形的判定方法，过点的直线应有两种作法：一是过点作，这样根据相似三角形的性质可得，即，解得；二是过点作，交边于点，这时，于是有，即，解得. 所以的长为3或，故应选(B)。
三角形分类讨论思想的应用
