理论力学－第9章 刚体的平面运动分析

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1、返回返回 刚体平面运动的力学模型刚体平面运动的力学模型 刚体平面运动的运动方程刚体平面运动的运动方程 平面运动分解为平移和转动平面运动分解为平移和转动 刚体平面运动的力学模型刚体平面运动的力学模型 刚体平面运动的力学模型 这些平面上的对应的点具有相这些平面上的对应的点具有相同运动轨迹、速度和加速度。同运动轨迹、速度和加速度。 刚体上平行于固定平面的刚体上平行于固定平面的所有平面具有相同的运动规律；所有平面具有相同的运动规律； 刚体的平面运动刚体的平面运动 刚体上处于同一平面内各点到某一刚体上处于同一平面内各点到某一固定平面的距离保持不变。固定平面的距离保持不变。 刚体平面运动的力学模型在刚体上

2、作平行于在刚体上作平行于固定平面的平面，这样的平面与固定平面的平面，这样的平面与刚体轮廓的交线所构成的图形。刚体轮廓的交线所构成的图形。 平面图形上的任意直线这一平面图形上的任意直线这一直线的运动可以代表平面图形的直线的运动可以代表平面图形的运动，也就是刚体的平面运动。运动，也就是刚体的平面运动。 刚体平面运动的运动方程刚体平面运动的运动方程 刚体平面运动的自由度、 广义座标与运动方程 确定直线确定直线AB或平面图形在或平面图形在Oxy参考系中的位置，需要参考系中的位置，需要3个独立变量个独立变量(xA , yA , )。其中其中xA , yA确定点确定点A在平在平面内的位置；面内的位置； 确

3、定直线确定直线AB在平面在平面内的方位；因此，内的方位；因此， xA 、yA 、 便确便确定了直线定了直线AB在参考系中的位置，从在参考系中的位置，从而也确定了平面图形在参考系中的而也确定了平面图形在参考系中的位置。位置。 刚体平面运动的自由度、 广义座标与运动方程确定物体在参确定物体在参考系中位置的独立变量：考系中位置的独立变量：q=(xA,yA, ) 刚体平面运动的自由度、 广义座标与运动方程N3确定物体在参考系中位置确定物体在参考系中位置所需要的广义座标数：所需要的广义座标数：N确定物体在参考系中位置确定物体在参考系中位置的独立变量：的独立变量：q=(xA,yA, ) 刚体平面运动的自由

4、度、 广义座标与运动方程)()()(321tftfytfxAA3 3个独立变量随时间变化的函个独立变量随时间变化的函数，即为刚体平面运动方程：数，即为刚体平面运动方程： 刚体平面运动的自由度、 广义座标与运动方程 刚体平面运动的自由度、 广义座标与运动方程 已知：已知：曲柄滑块机构中曲柄滑块机构中OA=r , AB=l;曲柄曲柄OA以等以等角速度角速度 绕绕O轴轴转动转动。 求：求： 1. 连杆的平面运动方程；连杆的平面运动方程； 2. 连杆上连杆上P点点(AP=l1)的运动轨迹、的运动轨迹、速度与加速度。速度与加速度。 刚体平面运动的自由度、 广义座标与运动方程sinsin,sinsin,l

5、rrttl 首先确定首先确定与与之间的关之间的关系，为此需要建立参考系系，为此需要建立参考系Oxy。由图中的几何关系，有由图中的几何关系，有xy 刚体平面运动的自由度、 广义座标与运动方程cossin,arcsin (sin)AArxrtyrttl,对于对于A点，点，sinsin,sinsinlrrttl,xyxysinsin,sinsinlrrttl,11coscos( - )sinPPxrtlyl l, xPyP 刚体平面运动的自由度、 广义座标与运动方程211cos1(sin)( - )sinPPrxrtltlr l lytl, 考察连杆考察连杆AB上上P点的座标点的座标与与和和 的关系

6、的关系，进而建立进而建立P点的座标与点的座标与时间之间的关系时间之间的关系。 刚体平面运动的自由度、 广义座标与运动方程211cos1(sin)( - )sinPPrxrtltlr l lytl,tlrtlrlrlxPcos2)(41cos)(41121211( - )sinPr l lytl 刚体平面运动的自由度、 广义座标与运动方程xyxPyP 刚体平面运动的自由度、 广义座标与运动方程 平面运动分解为平移和转动平面运动分解为平移和转动 平面运动分解为平移和转动 由刚体的平面运动方程可以看由刚体的平面运动方程可以看到，如果图形中的到，如果图形中的A点固定不动，点固定不动，则刚体将作定轴转动

7、；如果线段则刚体将作定轴转动；如果线段AB的方位不变（即的方位不变（即=常数），则常数），则刚体将作平移。刚体将作平移。 可见，平面图形的运动可以看可见，平面图形的运动可以看成是平移和转动的合成运动。成是平移和转动的合成运动。 )()()(321tftfytfxAA 平面运动分解为平移和转动 平面运动分解为平移和转动 平面运动分解为平移和转动 设在时间间隔设在时间间隔t内，平面图形由位置内，平面图形由位置I运动到位置运动到位置，相应地，相应地，图形内任取的线段从图形内任取的线段从AB运动到运动到A B 。 在在A点处假想地安放一个平移坐标系，当图形运动时，令平移点处假想地安放一个平移坐标系，当

8、图形运动时，令平移坐标系的坐标系的Ax 和和Ay 轴始终分别平行于定坐标轴轴始终分别平行于定坐标轴Ox和和Oy，通常将，通常将这一平移的动系的原点这一平移的动系的原点A称为基点（称为基点（base point）。）。 平面运动分解为平移和转动 于是，平面图形的平面运动分解为随同基点于是，平面图形的平面运动分解为随同基点A的平移的平移（牵连运动）和绕基点（牵连运动）和绕基点A的转动（相对运动）。的转动（相对运动）。 平面运动分解为平移和转动 平移的轨迹、速平移的轨迹、速度与加速度都与基点度与加速度都与基点的位置有关。的位置有关。 平面运动分解为平移和转动1200limlim tttt和和a分别称

9、为称为平面分别称为称为平面图形的角速度和角加速图形的角速度和角加速度。度。 0dlimdttt 22ddta 平面运动分解为平移和转动 凡涉及到平面运动图形相对凡涉及到平面运动图形相对转动的角速度和角加速度时，不转动的角速度和角加速度时，不必指明基点，只需说明平面图形必指明基点，只需说明平面图形的角速度和角加速度。的角速度和角加速度。 因为平移系因为平移系(动系动系)相对于定相对于定参考系没有方位的变化，平面图参考系没有方位的变化，平面图形的角速度既是平面图形相对于形的角速度既是平面图形相对于平移系的相对角速度，也是平面平移系的相对角速度，也是平面图形相对于定参考系的绝对角速图形相对于定参考系

10、的绝对角速度。度。返回返回 基点法基点法 速度投影定理法速度投影定理法 瞬时速度中心法瞬时速度中心法 基点法基点法 基点法 在作平面运动的刚体上任选基在作平面运动的刚体上任选基点，建立平移动系，动系上的点，建立平移动系，动系上的A点点随平面图形随平面图形S上的上的A点一起运动。在点一起运动。在平移动系上观察平面图形平移动系上观察平面图形S的运动的运动为定轴转动，动系自身又作平移，为定轴转动，动系自身又作平移，因此，平面图形因此，平面图形S的运动可视为平的运动可视为平移和转动的合成。移和转动的合成。 基点法yxABvAvAvBAvBvAvBAyxOvAvA定系定系Oxy基点基点A平移系平移系Ax

11、y平面图形平面图形S平面图形的角速度平面图形的角速度 S基点速度基点速度 vA B点的相对速度点的相对速度 vBAB点的绝对速度点的绝对速度 vByxvBvAvBAyxOS 基点法r B定轴转动时的速度公式定轴转动时的速度公式v r ,在平移系中为在平移系中为：vB= vA+ vBAvBA rB 平面图形上任意点的速度，等于基点的速度，与这一平面图形上任意点的速度，等于基点的速度，与这一点对于以基点为原点的平移系的相对速度的矢量和。点对于以基点为原点的平移系的相对速度的矢量和。 速度投影定理法速度投影定理法SvAvAvBAvB 速度投影定理法rABSrABvBB 应用速度合成定理应用速度合成定

12、理等号两侧同点乘以等号两侧同点乘以 rAB因为因为vAB垂直于垂直于rABcos cos AABBvv 平面图形上任意两点的速度在这平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。两点连线上的投影相等。 速度投影定理法SvAvBvA 这个定理的含义也可以从另一角度理解：平面图形是从这个定理的含义也可以从另一角度理解：平面图形是从刚体上截取的，图形上刚体上截取的，图形上A、B两点的距离应保持不变。所以这两点的距离应保持不变。所以这两点的速度在两点的速度在AB方向的分量必须相等。否则两点距离必将伸方向的分量必须相等。否则两点距离必将伸长或缩短。因此，速度投影定理对所有的刚体运动形式都是长或缩短。

13、因此，速度投影定理对所有的刚体运动形式都是适用的。适用的。 应用速度投影定理分析平面图形上点的速度的方法称为应用速度投影定理分析平面图形上点的速度的方法称为速度投影定理法。速度投影定理法。 cos cos AABBvv 平面图形上任意两点的速度在这两平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。点连线上的投影相等。 瞬时速度中心法瞬时速度中心法 瞬时速度中心法0 xySPvAvA 瞬时速度中心法A 平面图形平面图形S上的基点上的基点A，基点，基点速度速度vA ,平面图形角速度平面图形角速度0 。 过过A点作点作vA的垂直线的垂直线PA，PA上各点的速度由两部分组成：上各点的速度由两部分组成

14、： 跟随基点平移的速度跟随基点平移的速度vA 牵连速度，各点相同；牵连速度，各点相同； 相对于平移系的速度相对于平移系的速度vPA相对速度相对速度 ，自，自A点起线性分布。点起线性分布。 瞬时速度中心法0ASPvAvAxyvC AC 在直线在直线PA上存在一点上存在一点C ，这一点的相对速度这一点的相对速度v C A与牵连与牵连速度速度vA矢量大小相等、方向相矢量大小相等、方向相反。反。 因此，因此，C 点的绝对速度点的绝对速度v C 0。 C 点称为瞬时速点称为瞬时速度中心，简称为速度瞬心。度中心，简称为速度瞬心。 瞬时速度中心法0ASPvAvAxyvC AC 1. 瞬时性瞬时性不同的瞬时，

15、不同的瞬时，有不同的速度瞬心；有不同的速度瞬心； 2. 惟一性惟一性某一瞬时只某一瞬时只有一个速度瞬心；有一个速度瞬心； 3. 瞬时转动特性瞬时转动特性平面图平面图形在某一瞬时的运动都可以视形在某一瞬时的运动都可以视为绕这一瞬时的速度瞬心作瞬为绕这一瞬时的速度瞬心作瞬时转动时转动. 瞬时速度中心法SCACBvBvAvCBCrACrCCr 当平面图形在t瞬时的速度瞬心C 以及瞬时角速度均为已知时，可以以C 为基点，建立平移系，进而分析平面图形上各点的运动。 速度瞬心C 到图形上的任意点(例如A、B、C)位矢上各点的牵连速度等于零；绝对速度等于相对速度，垂直于位矢，并沿位矢方向线性分布。rC A

16、，rC*B ， rC*C 瞬时速度中心法SCACBvBvAvCBCrACrCCr 这时，根据速度合成定理，平这时，根据速度合成定理，平面图形上任意点面图形上任意点(例如例如B点点)的速度为的速度为vB= vA+ vBA其中其中 vA v C 0， vBA vB C vB vB C r C*B 应用瞬时速度中心以及平面图形在应用瞬时速度中心以及平面图形在某一瞬时绕速度瞬心作瞬时转动的概某一瞬时绕速度瞬心作瞬时转动的概念，确定平面图形上各点在这一瞬时念，确定平面图形上各点在这一瞬时速度的方法，称为速度瞬心法。速度的方法，称为速度瞬心法。AB90o90oC 瞬时速度中心法 瞬时速度中心法AB90o9

17、0oC 已知平面图形上两点的速度已知平面图形上两点的速度矢量的大小与方向，而且二矢量矢量的大小与方向，而且二矢量互相平行，并且都垂直于两点的互相平行，并且都垂直于两点的连线。连线。 矢量矢量vA和和vB矢端连线与矢端连线与A、B两点连线的交点，两两点连线的交点，两条直线的交点即为速度瞬心。条直线的交点即为速度瞬心。 瞬时速度中心法AB90o90o 瞬时速度中心法AB90o90oBA0O0 xy BA0O0vAvAvBAvB xyBA0O0vAvAvBAvBvA=r 0 ， A 0，B0 BA0O0vAvAvBAvB0BO0A ， xy BO0AvAvBvA BO0AvAvBxyvA0AB BO

18、0AvAvBxyvAxyBO0AvAvBvA0 vOO vOO 返回返回SaASaAaBSaAaBxy ABABxy ABxy ABxy ABxyOvOaO OvOaOxy OvOaOxyOvOaOaAOA OvOaOBanBOatBOaO 返回返回 试求试求:图示瞬时图示瞬时（ OAB=60 ）B点的速度和点的速度和加速度。加速度。 A 平面机构中，曲柄平面机构中，曲柄OA以匀角速以匀角速度度 绕绕O轴转动，曲柄长轴转动，曲柄长OA=r，摆，摆杆杆AB可在套筒可在套筒C中滑动，摆杆长中滑动，摆杆长AB=4r，套筒套筒C绕定轴绕定轴C转动。转动。 由已知条件，由已知条件，OA杆和套筒杆和套筒C

19、均作定轴转动；均作定轴转动；AB杆作平面运动。现已知杆作平面运动。现已知AB杆上杆上A点的速度和加速度，点的速度和加速度，欲求欲求B点的速度和加速度，点的速度和加速度，需先求需先求AB杆的角速度和角杆的角速度和角加速度。加速度。 因为因为AB杆在套筒中滑动，所以杆在套筒中滑动，所以AB杆的角速度和角加速度杆的角速度和角加速度与套筒与套筒C的角速度和角加速度相同。所以：以的角速度和角加速度相同。所以：以A为动点，套筒为动点，套筒C为动系，则其绝对运动为以为动系，则其绝对运动为以O点为圆心，点为圆心，OA为半径的圆周运动；为半径的圆周运动；相对运动为沿套筒相对运动为沿套筒C轴线轴线AB的直线运动；

20、牵连运动为绕的直线运动；牵连运动为绕C轴的轴的定轴转动。定轴转动。 va= ve + vr rv a各矢量方向如图中所示各矢量方向如图中所示. .于是解得于是解得 rv23rrv21e4eeACvtnaeerCa = a + a + a + a2ara 22ene8rACa2reC432rva各矢量方向如图中所示，将矢量方程中各项向各矢量方向如图中所示，将矢量方程中各项向aC方向投影，得方向投影，得 到到otaeCcos30aaat2e34art2ee38aaAC tnaeerCa = a + a + a + a2ara 22ene8rACa2reC432rva 本例中确定速度时，也可取套筒本

21、例中确定速度时，也可取套筒C为动点，为动点，AB杆为动系，其绝杆为动系，其绝对运动为静止，相对运动为沿对运动为静止，相对运动为沿AB直线，牵连运动为平面运动。此直线，牵连运动为平面运动。此时可根据绝对速度为零，得相对速度和牵连速度等值、反向，从而时可根据绝对速度为零，得相对速度和牵连速度等值、反向，从而由由AB杆上与动点杆上与动点C重合点重合点C1（图中未示出）的速度方向和（图中未示出）的速度方向和A点的速点的速度方向及大小确定度方向及大小确定AB杆的速度瞬心和角速度；不过要确定其角加杆的速度瞬心和角速度；不过要确定其角加速度就不如上述方法简便。速度就不如上述方法简便。 曲柄连杆机构带动摇杆曲

22、柄连杆机构带动摇杆O1C绕绕O1轴摆动。在连杆轴摆动。在连杆AB上装有两个上装有两个滑块，滑块滑块，滑块B在水平槽内滑动，在水平槽内滑动，而滑块而滑块D则在摇杆则在摇杆O1C的槽内滑动。的槽内滑动。已知：曲柄长已知：曲柄长OA=50 mm，绕，绕O轴轴转动的匀角速度转动的匀角速度=10 rad/s。在图。在图示位置时，曲柄与水平线间成示位置时，曲柄与水平线间成90角，；摇杆角，；摇杆O1C与水平线间成与水平线间成60角，角，OAB=60。距离距离O1D=70mm。求：求：摇杆的角速度和角加速度。摇杆的角速度和角加速度。 由于由于vA平行于平行于vB，可以确定，可以确定AD杆作瞬时平移，所以有杆

23、作瞬时平移，所以有 ,0DAADvvOA选选AD杆上的杆上的D点为动点，摇杆点为动点，摇杆O1D为动系，则绝对运动：平为动系，则绝对运动：平面曲线；相对运动：沿面曲线；相对运动：沿O1D槽作直线运动；牵连运动：绕槽作直线运动；牵连运动：绕O1轴定轴转动。轴定轴转动。 根据根据B处的约束，处的约束，vB必须沿必须沿着水平方向着水平方向 各速度如图中各速度如图中 所示，由所示，由 va= ve + vr Dvv aooracos60cos600 5m/s.vvOAooeasin60sin600 433m/s.vvOA19. 61e1DOv 为求为求a1，需要分析，需要分析D点的加速点的加速度，为此

24、先求出度，为此先求出AD杆的角加速度杆的角加速度 以以A为基点，为基点，B点加速度为点加速度为 tnaaaaBABABA各矢量的方向如图中所示，矢量的模：各矢量的方向如图中所示，矢量的模： 2 OAaA0nBAa 将矢量方程中的各项向矢量将矢量方程中的各项向矢量aA的作用线方向投影，解得的作用线方向投影，解得AD杆的角加速度杆的角加速度t23BAAaat23BAADaaAB选选D为动点，为动点，O1D杆为动系，分析杆为动系，分析D点加速度，有点加速度，有t23BAAaat23BAADaABatnaeerCaaaaaaD上式中上式中ate、 ar的大小未知；的大小未知； aa的大小及方向均未知，

25、故有四个的大小及方向均未知，故有四个未知量，所以需要寻找补充方程。未知量，所以需要寻找补充方程。 再以再以A为基点，分析为基点，分析D点加速度，有点加速度，有 tnaaaaDADADAtnaeerCaaaaaaDtnaaaaDADADAtnneerCaaaaaaaADADA 上式中只有上式中只有ate、 ar的大小两个未知量。式中其它量分别为的大小两个未知量。式中其它量分别为 2 OAaAtDAADaADa211neDOar1C2va0nDAa将矢量式中的各项向矢量将矢量式中的各项向矢量ate 上投影，有上投影，有tteCcos60cos30ADAaaaa2 OAaAtDAADaADa211n

26、eDOar1C2va0nDAaCrnetentaaaaaaaDADAA由此解得由此解得tt322eCADAaaaat21178 2rad/se.aO Da tteCcos60cos30ADAaaaa 本例已知本例已知OA杆的运动，欲求杆的运动，欲求O1D杆的运动，其关键是充分杆的运动，其关键是充分利用作瞬时平移的利用作瞬时平移的“中介杆中介杆”AD的已知条件。欲求的已知条件。欲求D点的速度点的速度和加速度，又要充分利用和加速度，又要充分利用B点的约束条件。点的约束条件。返回返回 两种运动分析方法的选用两种运动分析方法的选用 平面图形上点的加速度分布也能看平面图形上点的加速度分布也能看成绕速度瞬

27、心旋转么？成绕速度瞬心旋转么？ 刚体复合运动概述刚体复合运动概述 两种运动分析方法的选用两种运动分析方法的选用 两种运动分析方法的选用 两种运动分析方法的选用 刚体复合运动简介刚体复合运动简介 刚体复合运动简介 平面图形上点的加速度分布平面图形上点的加速度分布也能看成绕速度瞬心的转动吗？也能看成绕速度瞬心的转动吗？ 平面图形上点的加速度分布也能看成绕速度瞬心的转动吗？ 半径各为半径各为r 和和R的圆柱体相互固结。的圆柱体相互固结。小圆柱体在水平地面上作纯滚动，小圆柱体在水平地面上作纯滚动，其角速度为其角速度为 ，角加速度为，角加速度为a。关于。关于大圆柱体上大圆柱体上A点的绝对速度、绝对切点的绝对速度、绝对切向加速度和绝对法向加速度大小有向加速度和绝对法向加速度大小有如下答案：如下答案：试判断这一答案是否正确？试判断这一答案是否正确？)(rRvAt()AaRran2()AaRr返回返回返回返回