山东省中考数学 一元二次方程课件

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1、一元二次方程一、一元二次方程的概念一、一元二次方程的概念1.1.定义：只含有定义：只含有_个未知数，并且未知数的最高次数是个未知数，并且未知数的最高次数是_的整的整式方程式方程. .2.2.一般形式：一般形式：_. .1 12 2axax2 2+bx+c=0(a+bx+c=0(a，b b，c c是已知数，是已知数，a0)a0)二、一元二次方程的解法二、一元二次方程的解法解法形式方程的根直接开平方法x2=p(p0) x= _(mx+n)2=p(p0，m0) x= _配方法(x-m)2=n(n0) x=_公式法ax2+bx+c=0(a0，b2-4ac0)b2-4ac0-4ac0方程方程_的实数根的

2、实数根. .2.b2.b2 2-4ac=0-4ac=0方程方程_的实数根的实数根. .3.b3.b2 2-4ac0-4ac0.-4ac0. ( )( )7.7.方程方程x x2 2+x+1=0+x+1=0的两个根之和是的两个根之和是-1-1，两根之积是，两根之积是1.1.( )( )8.8.某药品经过两次降价，每瓶零售由某药品经过两次降价，每瓶零售由100100元降到元降到8181元，已知两元，已知两次降价的百分率相同，则两次降价的百分率为次降价的百分率相同，则两次降价的百分率为10%.10%.( )( )热点考向一热点考向一 元二次方程的解元二次方程的解【例例1 1】一元二次方程一元二次方程

3、(a+1)x(a+1)x2 2-ax+a-ax+a2 2-1=0-1=0的一个根为的一个根为0 0，则，则a=a= . .【思路点拨思路点拨】把把x=0 x=0代入方程代入方程(a+1)x(a+1)x2 2-ax+a-ax+a2 2-1=0-1=0，得出关于，得出关于a a的的一元一次方程，解方程求出一元一次方程，解方程求出a a的值的值. .【自主解答自主解答】因为一元二次方程的一根为因为一元二次方程的一根为0 0，所以，所以a a2 2-1=0-1=0，所，所以以a=a=1 1，又，又a+10a+10，a-1.a-1.故故a=1.a=1.答案：答案：1 1【易错提醒易错提醒】求未知字母系数

4、应注意的问题求未知字母系数应注意的问题1.1.若题目中确定是一元二次方程，则必须保证二次项系数不为若题目中确定是一元二次方程，则必须保证二次项系数不为0.0.2.2.若没有指明是一元二次方程，则需分一元一次方程和一元二若没有指明是一元二次方程，则需分一元一次方程和一元二次方程两种情况分类讨论次方程两种情况分类讨论. .【规律方法规律方法】已知方程的根求未知系数已知方程的根求未知系数注意隐含条件：注意隐含条件：二次项系数不为二次项系数不为0.0.已知一根已知一根直接代入原方程，得到一个关于未知系数直接代入原方程，得到一个关于未知系数( (参参数数) )的方程，解方程求出未知系数的值的方程，解方程

5、求出未知系数的值已知两根已知两根把两个根直接代入原方程，列出关于未知系把两个根直接代入原方程，列出关于未知系数的方程组，解方程组，求出未知系数数的方程组，解方程组，求出未知系数利用根与系数的关系求解利用根与系数的关系求解【针对演练针对演练】1.1.若若x=-2x=-2是关于是关于x x的一元二次方程的一元二次方程 的一个根，的一个根， 则则a a的值为的值为 ( () )A.1A.1或或4 4B.-1B.-1或或-4-4C.-1C.-1或或4 4D.1D.1或或-4-4【解析解析】选选B.B.把把x=-2x=-2代入一元二次方程得代入一元二次方程得(-2)(-2)2 2- a- a(-2)+a

6、(-2)+a2 2=0=0，即，即a a2 2+5a+4=0+5a+4=0，(a+1)(a+4)=0(a+1)(a+4)=0，解得，解得a a1 1=-1=-1，a a2 2=-4.=-4.故选故选B.B.225xaxa02522.2.已知关于已知关于x x的一元二次方程的一元二次方程x x2 2+ax+b=0+ax+b=0有一个非零根有一个非零根-b-b，则，则a-ba-b的值为的值为 ( () )A.1A.1B.-1B.-1C.0C.0D.-2D.-2【解析解析】选选A.A.关于关于x x的一元二次方程的一元二次方程x x2 2+ax+b=0+ax+b=0有一个非零根有一个非零根-b-b，

7、b b2 2-ab+b=0-ab+b=0，-b0-b0，b0b0，方程两边同时除以，方程两边同时除以b b，得得b-a+1=0b-a+1=0，a-b=1.a-b=1.故选故选A.A.3.3.若若x=1x=1是关于是关于x x的一元二次方程的一元二次方程x x2 2+3mx+n=0+3mx+n=0的解，则的解，则6m+2n=6m+2n= . .【解析解析】将将x=1x=1代入关于代入关于x x的方程的方程x x2 2+3mx+n=0+3mx+n=0，得，得3m+n=-13m+n=-1，则则6m+2n=2(3m+n)=-2.6m+2n=2(3m+n)=-2.答案：答案：-2-24.4.已知已知x=

8、1x=1是一元二次方程是一元二次方程x x2 2+ax+b=0+ax+b=0的一个根，则代数式的一个根，则代数式a a2 2+b+b2 2+2ab+2ab的值是的值是. .【解析解析】x=1x=1是一元二次方程是一元二次方程x x2 2+ax+b=0+ax+b=0的一个根，的一个根，a+ba+b=-1=-1，a a2 2+b+b2 2+2ab=(a+b)+2ab=(a+b)2 2=(-1)=(-1)2 2=1.=1.答案：答案：1 1热点考向二热点考向二 一元二次方程的解法一元二次方程的解法【例例2 2】(5(5分分) )解方程：解方程：x x2 2-3x-1=0.-3x-1=0.【规范解答规

9、范解答】【规律方法规律方法】一元二次方程的解法选择一元二次方程的解法选择1.1.直接开平方法适用情况直接开平方法适用情况(1)(1)当方程缺少一次项时，即方程当方程缺少一次项时，即方程axax2 2+c=0(a0+c=0(a0，ac0).ac0).(2)(2)形如形如(x+m)(x+m)2 2=n(n0)=n(n0)的方程的方程. .2.2.因式分解法适用情况因式分解法适用情况(1)(1)缺少常数项，即方程缺少常数项，即方程axax2 2+bx=0(a0).+bx=0(a0).(2)(2)一元二次方程的一边为一元二次方程的一边为0 0，而另一边易于分解成两个一次因，而另一边易于分解成两个一次因

10、式的乘积式的乘积. .3.3.配方法适用情况配方法适用情况(1)(1)二次项系数化为二次项系数化为1 1后，一次项系数是偶数的一元二次方程后，一次项系数是偶数的一元二次方程. .(2)(2)各项的系数比较小且便于配方的情况各项的系数比较小且便于配方的情况. .4.4.公式法适用情况：形如公式法适用情况：形如axax2 2+bx+c=0(a0+bx+c=0(a0，b b2 2+4ac0)+4ac0)的方程的方程. .【针对演练针对演练】1.1.方程方程(x-2)(x+3)=0(x-2)(x+3)=0的解是的解是 ( () )A.x=2A.x=2B.x=-3B.x=-3C.xC.x1 1=-2=-

11、2，x x2 2=3=3D.xD.x1 1=2=2，x x2 2=-3=-3【解析解析】(x-2)(x+3)=0(x-2)(x+3)=0，x-2=0 x-2=0或或x+3=0 x+3=0，解得，解得x x1 1=2=2，x x2 2=-=-3 3，故选，故选D.D.【方法技巧方法技巧】一元二次方程的解法选择口诀一元二次方程的解法选择口诀方程没有一次项，直接开方最理想；方程没有一次项，直接开方最理想；如果缺少常数项，因式分解没商量；如果缺少常数项，因式分解没商量；b b，c c相等都为零，等根是零不要忘；相等都为零，等根是零不要忘；b b，c c同时不为零，因式分解或配方；同时不为零，因式分解或

12、配方；也可直接套公式，因题而异择良方也可直接套公式，因题而异择良方. . 2.2.用配方法解方程用配方法解方程x x2 2-2x-1=0-2x-1=0时，配方后所得的方程为时，配方后所得的方程为( () )A.(x+1)A.(x+1)2 2=0=0B.(x-1)B.(x-1)2 2=0=0C.(x+1)C.(x+1)2 2=2=2D.(x-1)D.(x-1)2 2=2=2【解析解析】x x2 2-2x-1=0-2x-1=0，x x2 2-2x=1-2x=1，x x2 2-2x+1=2-2x+1=2，(x-1)(x-1)2 2=2=2，故选，故选D.D.【知识归纳知识归纳】用配方法解一元二次方程

13、的四个步骤用配方法解一元二次方程的四个步骤1.1.二次项系数化为二次项系数化为1 1：即在方程的两边同时除以二次项系数：即在方程的两边同时除以二次项系数. .2.2.移项：使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项移项：使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项. .3.3.配方：在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，把原配方：在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，把原方程化成方程化成(x+m)(x+m)2 2=n=n的形式的形式. .4.4.开方：若开方：若n0n0，则两边直接开平方求解；若，则两边直接开平方求解；若n0n0-4ac=4+8=120，所以所以 答案：答案： 21222

14、 3x13.22 12x31x31，【知识归纳知识归纳】用公式法解方程的三个步骤用公式法解方程的三个步骤1.1.把一元二次方程化为一般形式把一元二次方程化为一般形式axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)，确定，确定a a，b b，c c的值的值. .2.2.求出求出b b2 2-4ac-4ac的值的值. .3.3.分类讨论：若分类讨论：若b b2 2-4ac0-4ac0，则利用求根公式求出方程的根，则利用求根公式求出方程的根，若若b b2 2-4ac0-4ac01=10， ，即，即x x1 1=1=1，x x2 2= . = . 答案：答案：x x1 1=1=1，x x2

15、2= = 2bb4ac313 1x2a2 24 12127.7.解方程：解方程：2x2x2 2-4x-1=0.-4x-1=0.解：解：a=2a=2，b=-4b=-4，c=-1c=-1， 2bb4ac4246x12a42 ，1266x1x1.22，【知识拓展知识拓展】十字相乘法解一元二次方程十字相乘法解一元二次方程1.1.二次三项式二次三项式axax2 2+bx+c+bx+c分解因式：分解因式：a a1 1a a2 2x x2 2+a+a1 1c c2 2x+ ax+ a2 2c c1 1x +cx +c1 1c c2 2=(a=(a1 1x+cx+c1 1)(a)(a2 2x+cx+c2 2)

16、 )，其中二次三项式的系数其中二次三项式的系数a a分解成分解成a a1 1，a a2 2，常数项，常数项c c分解成分解成c c1 1，c c2 2，并且把并且把a a1 1，a a2 2，c c1 1，c c2 2排列如下：排列如下：这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a a1 1c c2 2+ a+ a2 2c c1 1，如果它们，如果它们正好等于正好等于axax2 2+bx+c+bx+c的一次项系数的一次项系数b b，那么，那么axax2 2+bx+c+bx+c就可以分解成就可以分解成(a(a1 1x+cx+c1 1)(a)(a2 2x+cx+c2 2)

17、 )，其中，其中a a1 1，c c1 1位于第一行，位于第一行，a a2 2，c c2 2位于下一行位于下一行. .像这种借助画十字交叉分解系数，从而帮助我们把二次三项式像这种借助画十字交叉分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法分解因式的方法，叫做十字相乘法. .2.2.十字相乘法解一元二次方程十字相乘法解一元二次方程【例例】解方程：解方程：2x2x2 2-7x+3=0.-7x+3=0.解：原方程可化为：解：原方程可化为：(x-3)(2x-1)=0(x-3)(2x-1)=0，所以所以x-3=0 x-3=0，2x-1=0.2x-1=0.解得解得x x1 1=3=3，x

18、 x2 2= .= .12热点考向三热点考向三 根的判别式及其应用根的判别式及其应用【例例3 3】已知关于已知关于x x的方程的方程x x2 2+ax+a-2=0.+ax+a-2=0.(1)(1)若该方程的一个根为若该方程的一个根为1 1，求，求a a的值及该方程的另一根的值及该方程的另一根. .(2)(2)求证：不论求证：不论a a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根取何实数，该方程都有两个不相等的实数根. .【思路点拨思路点拨】(1)(1)由题意可将由题意可将x=1x=1代入方程求得代入方程求得a a值，确定一元值，确定一元二次方程的一般形式，再利用根与系数关系求得另一根二次方程的一般形

19、式，再利用根与系数关系求得另一根. .(2)(2)先求得根的判别式，再确定先求得根的判别式，再确定a a的取值的取值. .【自主解答自主解答】解：解：(1)(1)将将x=1x=1代入方程代入方程x x2 2+ax+a-2=0+ax+a-2=0得，得，1+a+a-1+a+a-2=02=0，解得，解得a= a= ；方程为方程为 ，即，即2x2x2 2+x-3=0+x-3=0，设另一根为，设另一根为x x1 1，则，则1 1x x1 1= = ，x x1 1= .= .(2)=a(2)=a2 2-4(a-2)=a-4(a-2)=a2 2-4a+8=a-4a+8=a2 2-4a+4+4=(a-2)-4

20、a+4+4=(a-2)2 2+40+40，不论不论a a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根取何实数，该方程都有两个不相等的实数根. .12213xx0223232【规律方法规律方法】根的判别式的三个作用根的判别式的三个作用1.1.不解方程，直接判断一元二次方程根的情况不解方程，直接判断一元二次方程根的情况. .2.2.根据方程根的情况，确定某个未知系数的值根据方程根的情况，确定某个未知系数的值( (或范围或范围).).3.3.证明一个一元二次方程根的情况证明一个一元二次方程根的情况. .【针对演练针对演练】1.1.下列关于下列关于x x的方程有实数根的是的方程有实数根的是 ( () )A.

21、xA.x2 2-x+1=0-x+1=0B.xB.x2 2+x+1=0+x+1=0C.(x-1)(x+2)=0C.(x-1)(x+2)=0D.(x-1)D.(x-1)2 2+1=0+1=0【解析解析】因为因为(x-1)(x+2)=0(x-1)(x+2)=0，所以，所以x-1=0 x-1=0或或x+2=0 x+2=0，得，得x=1x=1或或x=x=-2-2，故选，故选C.C.2.2.一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)有两个不相等的实数根，下有两个不相等的实数根，下列选项中正确的是列选项中正确的是 ( () )A.bA.b2 2-4ac=0-4ac=0

22、B.bB.b2 2-4ac0-4ac0C.bC.b2 2-4ac0-4ac0D.bD.b2 2-4ac0-4ac0【解析解析】根据一元二次方程有实数根的判断方法，故选根据一元二次方程有实数根的判断方法，故选B.B.3.3.一元二次方程一元二次方程x x2 2-4x+5=0-4x+5=0的根的情况是的根的情况是 ( () )A.A.有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根B.B.有两个相等的实数根有两个相等的实数根C.C.只有一个实数根只有一个实数根D.D.没有实数根没有实数根【解析解析】b b2 2-4ac=(-4)-4ac=(-4)2 2-4-41 15=16-20=-405=16-20=-

23、400，不论不论a a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根取何实数，该方程都有两个不相等的实数根. .11x1a1 xa2 ，113ax22， 【变式训练变式训练】如果关于如果关于x x的一元二次方程的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么有两个不相等的实数根，那么k k的取值范围是的取值范围是 ( () )A.k A.k B.k B.k 且且k0k0C. kC. kD. k D. k00，即，即(2)(2)如何把如何把 转化为含转化为含x x1 1+x+x2 2，x x1 1x x2 2的等式？的等式？提示：提示：221212xxx x22 24m0.22212121212xxx xxx3

24、x x .【尝试解答尝试解答】( (1)1)由题意，得：由题意，得：00，即：，即：m2m00，则两根同号，则两根同号. .(1)(1)若若x x1 1+x+x2 200，则两根同为正数，则两根同为正数. .(2)(2)若若x x1 1+x+x2 200，则两根同为负数，则两根同为负数. .2.2.若若x x1 1x x2 2000，则正数的绝对值较大，则正数的绝对值较大. .(2)(2)若若x x1 1+x+x2 200，则负数的绝对值较大，则负数的绝对值较大. .【典例典例】解方程：解方程：2(x-3)=3x(x-3).2(x-3)=3x(x-3).【误区警示误区警示】错误错误分析分析 第

25、步错误第步错误因为不确定因为不确定(x-3)(x-3)是否为零，所以不能两边同除以是否为零，所以不能两边同除以(x-3)(x-3)正确正确解答解答 2(x-3)-3x(x-3)=02(x-3)-3x(x-3)=0，(x-3)(2-3x)=0(x-3)(2-3x)=0，x x1 1=3=3，x x2 2= = 23【规避策略规避策略】1.1.利用因式分解法解一元二次方程时，不要在方程两边除以可利用因式分解法解一元二次方程时，不要在方程两边除以可能为能为0 0的相同的因式的相同的因式. .2.2.利用因式分解法解一元二次方程时，先把方程右边化为利用因式分解法解一元二次方程时，先把方程右边化为0 0的的形式，再用因式分解把方程左边分解为两个一次因式的乘积的形式，再用因式分解把方程左边分解为两个一次因式的乘积的形式形式. .