函数单调性题型分类与解析

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1、 函数的单调性 知识点 1、增函数定义、减函数的定义：（1）设函数的定义域为A，区间MA，如果取区间M中的任意两个值,当改变量时，都有，那么就称函数在区间M上是增函数，如图（1）当改变量时，都有，那么就称函数在区间M上是减函数，如图（2）注意：单调性定义中的x1、x2有什么特征：函数单调性定义中的x1,x2有三个特征,一是任意性，二是有大小，三是同属于一个单调区间1、 根据函数的单调性的定义思考：由f(x)是增(减)函数且f(x1)f(x2)能否推出x1x2)2、 我们来比较一下增函数与减函数定义中的符号规律，你有什么发现没有？3、 如果将增函数中的“当时，都有”改为当时，都有结论是否一样呢？

2、4、 定义的另一种表示方法如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2,若即，则函数y=f(x)是增函数，若即，则函数y=f(x)为减函数。判断题：已知因为，所以函数是增函数若函数满足则函数在区间上为增函数若函数在区间和上均为增函数，则函数在区间上为增函数因为函数在区间上都是减函数，所以在上是减函数.通过判断题，强调几点：单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)单调性是对定义域的某个区间上的整体性质，不能用特殊值说明问题。 函数

3、在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数（2）单调区间如果函数yf（x）在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数yf（x）在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做yf（x）的单调区间函数单调性的性质：（1）增函数：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值， 当时，都有， （2）减函数：如果对于属于定义域I内某个区间的任意两个自变量的值，当时， 都有， （3） 函数的单调性还有以下性质1函数yf（x）与函数yf（x）的单调性相反2当f（x）恒为正或恒为负时，函数y与yf（x）的单调性相反3在公共区间内，增函数增函数增函数，增函数减函数

4、增函数等4 .如果k0 函数k与函数具有相同的单调性。 如果kO，函数与函数具有相同的单调性。 若 0，函数与函数具有相同的单调性 7。.函数在R上具有单调性，则在R上具有相反的单调性。复合函数的单调性。如果函数 ，则称为x 的复合函数。解决复合函数的问题，关键是弄清复合的过程，即中间变量的定义域与值域的作用。复合函数的单调性的判断：同增异减。函数 单调状况内层函数增增减减外层函数增减增减复合函数增减减增 函数的单调性题型分类讲解题型一：.单调性讨论 1.讨论函数y=(k-2)x+3(a0)在区间R内的单调性. 2.讨论函数f(x) (a0)在区间(-1，1)内的单调性.解：设-1x1x2，则

5、f(x1)-f(x2)-x1，x2(-1，1)，且x1x，x1-x20，1+x1x20，(1-x21)(1-x22)0 于是，当a0时，f(x1)f(x2)；当a0时，f(x1)f(x2). 故当a0时，函数在(-1，1)上是增函数；当a0时，函数在(-1，1)上为减函数.题型二：单调性判断与证明1.下列函数中，在区间（0，1）上为增函数的是Ay|x21| B. Cy2x2x1 Dy|x|1题型三：求函数的单调区间及该区间上的单调性1.求下列函数的增区间与减区间(1)y|x22x3| 2.判断函数f(x)=x3+1在(,0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论；如果x（0，），函数f(x)是增

6、函数还是减函数？题型四：.已知简单函数的单调性求与其相关函数的单调性若函数yax,y在（0，）上都是减函数，则函数yax2bx在（0,）上是_（填单调性）设y=f(x)的单增区间是(2，6)，求函数y=f(2x)的单调区间上是单调递减的。），（在，由复合函数单调性可知是单减的，上在又），（），（而）上是增函数，（在则由已知得解：令04)()2()0,4(2)(04622)(62)(,2)(=-=-=-=xxtfxfxxxtxxxtttfxxt解：令t(x)=2-x,则由已知得，f(t)在区间是(2，6)，设函数yf（x）是定义在（1，1）上的增函数，则函数yf（x21）的单调递减区间是_已知函

7、数f(x)=82xx2，如果g(x)=f( 2x2 )，那么函数g(x)（ ） A在区间(1，0)上是减函数 B在区间(0，1)上是减函数 C在区间(2，0)上是增函数 D在区间(0，2)上是增函数设是上的减函数，则的单调递减区间为 .题型五：已知函数的单调性，求参数的取值范围。已知函数f(x)x2+2(a-1)x+2在区间(-，4上是减函数，则实数a的取值范围是 .已知函数yx22x1在区间3，a上是增函数，则a的取值范围是_函数f(x) = ax24(a1)x3在2，上递减，则a的取值范围是_ 函数在区间（-2，+）上是增函数，那么a的取值范围是（）A.B.C.a1D.a-2解：f(x)a

8、.任取x1，x2(2，)，且x1x2，则f(x1)f(x2).函数f(x)在区间(2，)上为增函数，f(x1)f(x2)0，x120，x220，12a. 即实数a的取值范围是.题型六：函数单调性的应用11已知f(x)在区间(，)上是增函数，a、bR且ab0，则下列不等式中正确的是（ ）Af(a)f(b)f(a)f(b)Bf(a)f(b)f(a)f(b)Cf(a)f(b)f(a)f(b)Df(a)f(b)f(a)f(b)12定义在R上的函数y=f(x)在(，2)上是增函数，且y=f(x2)图象的对称轴是x=0，则（ ）Af(1)f(3)Bf (0)f(3) Cf (1)=f (3) Df(2)f

9、(3)已知函数f(x)在区间a，b上单调，且f(a)f(b)0，则方程f(x)=0在区间a，b内（ ）A至少有一实根 B至多有一实根 C没有实根 D必有唯一的实根题型七：已知函数的单调性，解含函数符号的不等式。7已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式 |f(x1)|1的解集的补集是（ ） A(1，2) B(1，4) C(，1)4，） D(，1)2，） 已知：f(x)是定义在1，1上的增函数，且f(x1)f(a)，则实数a的取值范围是()A(，1)(2，) B(1,2) C(2,1) D(，2)(1，)解析：f(x)由f(x)的图象可知f(x)在(

10、，)上是单调递增函数，由f(2a2)f(a)得2a2a，即a2a20，解得2a1.故选C.8.已知f(x)在其定义域R+上为增函数，f(2)=1，f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式f(x)+f(x2) 3题型八：已知函数的单调性求最值已知x0，1，则函数 的最大值为_最小值为_ 函数y=x22的值域为_ _题型九：综合题型已知定义在区间（0，+）上的函数f(x)满足f(=f(x1)-f(x2)，且当x1时，f(x)0.（1）求f(1)的值；（2）判断f(x）的单调性；（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)-2.（1）f(1) = f(1/1) = f(1) - f(1) = 0。（

11、2）当0 x 1，所以f(y) - f(x) = f(y/x) 9 x9或x-9.函数f(x)对任意的a、bR,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x0时，f(x)1.（1）求证：f(x)是R上的增函数；（2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)3.（1）设x1,x2R，且x1x2, 则x2-x10,f(x2-x1)1. f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1)-f(x1) =f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1) =f(x2-x1)-10. f（x2）f(x1).即f(x)是R上的增函数. （2）f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，f（2）=

12、3，原不等式可化为f(3m2-m-2)f(2),f(x)是R上的增函数，3m2-m-22, 解得-1m ,故解集为 . 设f（x）的定义域为（0，+），且在（0，+）是递增的，（1）求证：f（1）=0，f（xy）=f（x）+f（y）；（2）设f（2）=1，解不等式。（1）证明：，令x=y=1，则有：f（1）=f（1）-f（1）=0，。（2）解：，2=21=2f（2）=f（2）+f（2）=f（4），等价于：，且x0，x-30由f（x）定义域为（0，+）可得，40，又f（x）在（0，+）上为增函数，。又x3，原不等式解集为：x|30，则f(x)的定义域是_；(2)若f(x)在区间(0,1上是减函数

13、，则实数a的取值范围是_解析：(1)当a0且a1时，由3ax0得x，即此时函数f(x)的定义域是；(2)当a10，即a1时，要使f(x)在(0,1上是减函数，则需3a10，此时1a3.当a10，即a0，此时a0时，f(x)x2，则x1x20，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)又x0时，f(x)0，f(x1x2)0，即f(x1)x2，则f(x1)f(x2)f(x1x2x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2)又x0时，f(x)0，f(x1x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在R上为减函数(2)f(x)在R上是减函数，f(x)在3,3上也是减函数，f

14、(x)在3,3上的最大值和最小值分别为f(3)与f(3)而f(3)3f(1)2，f(3)f(3)2.f(x)在3,3上的最大值为2，最小值为2.17.F(x)是定义在( 0，)上的增函数，且f() = f(x)f(y) （1）求f(1)的值 （2）若f(6)= 1，解不等式 f( x3 )f() 2 解析：在等式中，则f(1)=0在等式中令x=36，y=6则 故原不等式为：即fx(x3)f(36)，又f(x)在(0，)上为增函数，故不等式等价于：22已知函数f(x)=，x1，（1）当a=时，求函数f(x)的最小值；（2）若对任意x1，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围解析： (1)当a=时，f(x)=x2，x1，)设x2x11，则f(x2)f(x1)=x2=(x2x1)=(x2x1)(1)x2x11，x2x10，10，则f(x2)f(x1)可知f(x)在1，)上是增函数f(x)在区间1，上的最小值为f(1)=(2)在区间1，上，f(x)=0恒成立x22xa0恒成立设y=x22xa，x1，)，由y=(x1)2a1可知其在1，)上是增函数，当x=1时，ymin=3a，于是当且仅当ymin=3a0时函数f(x)0恒成立故a3