线性代数1.5学习教案

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1、会计学1第一页，共32页。,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa例如例如(lr) 3223332211aaaaa 3321312312aaaaa 3122322113aaaaa 222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa一、余子式与代数一、余子式与代数(dish)(dish)余子式余子式2223212321221 11 21 3111213323331333132( 1)( 1)( 1)aaaaaaaaaaaaaaa 第

2、1页/共31页第二页，共32页。在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作nijaij1 nija.Mij ，记记ijjiijMA 1叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式ija例如例如(lr)44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231MA .23M 定 义第2页/共31页第三页，共32页。引理引理 一个一个 阶行列式，如果其

3、中第阶行列式，如果其中第 行所有元素除行所有元素除 外都为零，那么这行列式等于外都为零，那么这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即与它的代数余子式的乘积，即 ijijAaD niijaija44434241332423222114131211000aaaaaaaaaaaaaD .14442412422211412113333aaaaaaaaaa 第3页/共31页第四页，共32页。222111211nnnpppnpppa aa证证当当 位于第一行第一列时位于第一行第一列时,ijannnnnaaaaaaaD21222211100 即有.1111MaD 1 111111AM 又因为从而(cng r

4、)11111111.Da Ma A2221121nnnpppnpppaaa第4页/共31页第五页，共32页。nnnjnijnjaaaaaaaD1111100 ,1,2,1行行对对调调第第行行第第行行行行依依次次与与第第的的第第把把 iiiD得得 nnnjnnijiiijiaaaaaaaD1, 1, 11 , 11001 再证一般再证一般(ybn)情形情形,此时此时(c sh)第5页/共31页第六页，共32页。 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa1, 11, 1, 12001 ,1,2,1对对调调列列第第列列第第列列列列依依次次与与第第的的第第再再把把 jjjD得得 nnjnnjni

5、jijiijjiaaaaaaaD1, 11, 1, 1110011 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa1, 11, 1, 1001 第6页/共31页第七页，共32页。nnnjnijnjaaaaaaaD1111100 中的余子式中的余子式.ijM在在余余子子式式仍仍然然是是中中的的在在行行列列式式元元素素ijnnjnnjnijijiijijaaaaaaaaa1,11,1,100 ijaija第7页/共31页第八页，共32页。 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD1, 11, 1, 1001 .1ijijjiMa 于是有于是有nnjnnjnijijiijaaaaaaa1,

6、11, 1, 100 ,ijijMa ijaija.ijija A第8页/共31页第九页，共32页。定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素行列式等于它的任一行（列）的各元素(yun s)(yun s)与其对应的代数余子式乘积之和，即与其对应的代数余子式乘积之和，即11221=niiiiininikikkDa Aa Aa Aa A ni, 2 , 1 证证nnnniniinaaaaaaaaaD212111211000000 二、行列式按行（列）展开二、行列式按行（列）展开(zhn ki)法则法则(Laplace 定理定理)第9页/共31页第十页，共32页。nnnninaaaaaaa2111

7、121100 nnnninaaaaaaa2121121100 nnnninnaaaaaaa211121100 ininiiiiAaAaAa 2211 ni, 2 , 1 第10页/共31页第十一页，共32页。例例13351110243152113 D03550100131111115 312 cc 34cc 0551111115) 1(33 5526)1(31 5028 .40 055026115 12rr 目的(md)：降阶目的(md)：降阶第11页/共31页第十二页，共32页。 证证用数学用数学(shxu)归纳法归纳法21211xxD 12xx , )(12 jijixx）式式成成立立时时

8、（当当12 n例例2证明证明(zhngmng)范德蒙德范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式 1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD)1(第12页/共31页第十三页，共32页。，阶范德蒙德行列式成立阶范德蒙德行列式成立）对于）对于假设（假设（11 n)()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn 就就有有提提出出，因因子子列列展展开开，并并把把每每列列的的公公按按第第)(11xxi 11jjrrx从最后(zuhu)一行开始，目的(md)

9、：降阶第13页/共31页第十四页，共32页。)()()(211312jjininnxxxxxxxxD ).(1jjinixx 223223211312111)()( nnnnnnxxxxxxxxxxxx n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式弄清楚ix代表的具体数值1()ijn ijxx 的确切(quqi)含义211113019pp例如(lr)，若求 的值p数学归纳法数学归纳法第14页/共31页第十五页，共32页。推论推论(tuln) (tuln) 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和

10、等于零，即. ji,AaAaAajninjiji 02211,11111111nnnjnjininjnjnjjaaaaaaaaAaAa 证证行行展展开开，有有按按第第把把行行列列式式jaDij)det( 第15页/共31页第十六页，共32页。,11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaAaAa 可得可得换成换成把把), 1(nkaaikjk 行行第第 j行行第第 i,时时当当ji 11220.ijijinjna Aa Aa AD同理同理).(, 02211jiAaAaAanjnijiji 相同相同第16页/共31页第十七页，共32页。1,nikjkijka AD代数余子式

11、的性质代数余子式的性质(xngzh)小结小结:1,0,;nkikjkDija Aij当当1,0,;nikjkkDija Aij当当1,0,.ijijij当，其中当1nikjkijka AD第17页/共31页第十八页，共32页。习题(xt)一 10（5）求1111111111111111xxyy11111 0 1111 01111 0111xxyy解： 原式=11111111 1110 1111111011111110111xxxyyyy1111111000111000111000 xxxyyyy降阶第18页/共31页第十九页，共32页。0000000ababaa习题(xt) 13 （1）00

12、000 00 0 00 00na ba bDa bba100000( 1)000nbabbb 1( 1)nnnab 第19页/共31页第二十页，共32页。12111111111nnaaDa习题(xt) 13 （2）121111 0 111 011naaa21111 11111naa1211011011naaa21110000naa231111111111naaaa1n 阶第20页/共31页第二十一页，共32页。2iina 11na DnD同理1223nini nDaa D 12223()niinininDaaaa D 1112212iiininnaaa a Daa 111121123(1)ii

13、ii ni ni nnnaaaa aaaaaa 1111 2112iiii ni ni nnnnaaaaaa aaaa 递推归纳(gun)第21页/共31页第二十二页，共32页。122222222232222nDn习题(xt) 13 （3）2 1 2 222 0 2 222 0 2 322 0 2 2n222222222232222n1 2220222+ 0232022n012220222003200002n2(2)!n 第22页/共31页第二十三页，共32页。0112111100100100nnaaDaa习题(xt) 14 （1）0121111100100100nnaaaaa121+1110

14、0100( 1)1001000nnaaa nna D121+1110000( 1)( 1)00nnnaaa 1.2n 时成立，112101()nnniiaa aaaa121na aa1 2101()nnniia aaaaa利用归纳(gun)假设第23页/共31页第二十四页，共32页。15.1234422221234444412341111aaaaDaaaaaaaa1234222221234533333312444444312411111aaaayaaaayDaaaayaaaay记123414()()()()()ijj iy x y xy x y xxx 34 54( 1)yD3123414()

15、()ijj iyxxxxxx 4+1阶，加边升阶(shn ji)比较(bjio)系数第24页/共31页第二十五页，共32页。4 54123414( 1)()()ijj iDxxxxxx 从而，由两边(lingbin)系数相等得即4123414()()ijj iDxxxxxx 第25页/共31页第二十六页，共32页。分块行列式分块行列式:1112212211121112212221220000aaaaccbbccbbAOCBAB证明(zhngmng)：左边(zu bian)=221112111222212200aacbbcbb211 21211111221212200( 1)aacbbcbb 1

16、11211 222122bba abb111212 212122bba abb1112111221222122aabbaabbAB第26页/共31页第二十七页，共32页。例例111111111111kkkkknnnknnnaaOaaDccbbccbb设11111,kkkkaaDaa11121,nnnnbbDbb.21DDD 证明证明(zhngmng)记第27页/共31页第二十八页，共32页。证明证明(zhngmng);0111111kkkkkpppppD 设设为为化为下三角形行列式化为下三角形行列式，把，把作运算作运算对对11DkrrDji 化化为为下下三三角角形形行行列列式式把把作作运运算算

17、对对22,DkccDji .0111112nnnknqqpqqD 设设为为第28页/共31页第二十九页，共32页。,01111111111nnnnknkkkkqqqccccpppD 化化为为下下三三角角形形行行列列式式把把算算列列作作运运，再再对对后后行行作作运运算算的的前前对对DkccnkrrkDjiji, 111112kknnDppqqD D故第29页/共31页第三十页，共32页。行列式求解(qi ji)：jikrr 把行列式化为上、下三角形行列式等特殊把行列式化为上、下三角形行列式等特殊(tsh)形式；形式；2. 利用运算性质，利用运算性质，特别是性质特别是性质6：3. 利用利用Lapl

18、ace展开定理，进行降阶处理：展开定理，进行降阶处理：1. 利用定义本身：适用于低阶的或者稀疏的； 包括对角线法则包括递推归纳等。第30页/共31页第三十一页，共32页。NoImage内容(nirng)总结会计学。1.5 行列式按行（列）展开。1.5 行列式按行（列）展开。一、余子式与代数余子式。叫做(jiozu)元素 的代数余子式。定 义。当 位于第一行第一列时,。定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即。求 的值。推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即。习题一 10（5）求。习题 14 （1）第三十二页，共32页。