本章主要介绍了单跨静定梁和多跨静定梁的内力分析计算实用教案

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1、本本 章章 内内 容容3.1 3.1 单跨静定单跨静定(jn dn)(jn dn)梁的内力计梁的内力计算；算；3.2 3.2 斜梁的内力计算；斜梁的内力计算；3.3 3.3 多跨静定多跨静定(jn dn)(jn dn)梁的内力计梁的内力计算。算。第1页/共38页第一页，共39页。 静定梁包括单跨静定梁（简支梁、悬臂梁、外伸梁） 和多跨静定梁，分别见图1(a)、(b)、(c)和(d)所示。 静定梁的受力分析是其它杆系结构受力分析的基础，因此掌握静定梁受力分析的基本方法，将有助于进一步结合(jih)几何组成分析去研究其它杆系结构的内力计算。3.1 3.1 单跨静定梁的内力单跨静定梁的内力(nil)

2、(nil)计算计算第2页/共38页第二页，共39页。3.1.1 3.1.1 粱内截面上的内力及正负号规定粱内截面上的内力及正负号规定由材料力学可知，在一般荷载由材料力学可知，在一般荷载(hzi)(hzi)作用下，梁内任作用下，梁内任一截面上通常有三种内力，即轴力一截面上通常有三种内力，即轴力N N、剪力、剪力Q Q和弯矩和弯矩M M。 内力的正负号规定：内力的正负号规定： 轴力轴力N N：以拉力为正；：以拉力为正； 剪力剪力Q Q：对隔离体顺时针旋转为正；：对隔离体顺时针旋转为正； 弯矩弯矩M M：使杆件下侧受拉为正。：使杆件下侧受拉为正。第3页/共38页第三页，共39页。3.1.2 3.1.

3、2 指定截面内力的计算指定截面内力的计算计算梁指定截面内力采用的基本方法是截面法，即计算梁指定截面内力采用的基本方法是截面法，即沿计算截面用一假想截面将构件切开，取任一侧为研究沿计算截面用一假想截面将构件切开，取任一侧为研究对象，在荷载对象，在荷载(hzi)(hzi)和支座反力等外力和截面上内力和支座反力等外力和截面上内力的作用下，隔离体处于平衡状态，利用静力平衡方程即的作用下，隔离体处于平衡状态，利用静力平衡方程即可求出三个内力。可求出三个内力。例例1 1 如图如图3.2a3.2a所示简支梁，试计算距所示简支梁，试计算距A A支座距离为支座距离为1m1m处处C C截面截面(jimin)(ji

4、min)上的内力。上的内力。第4页/共38页第四页，共39页。图2 解：（解：（1 1）求支座）求支座(zh zu)(zh zu)反力反力先假设反力方向如图所示，以整梁先假设反力方向如图所示，以整梁为研究对象：为研究对象：X=0:X=0:XA-P=0XA-P=0 XA=P=4kN XA=P=4kN MB=0: YA MB=0: YA* *l-ql-q* *l l* *0.50.5* *l=0l=0 YA=0.5ql YA=0.5ql =0.5 =0.53 34kN=6kN4kN=6kN Y=0: YA+YB=qlY=0: YA+YB=ql YB=ql-VA YB=ql-VA =(3 =(34-

5、6) kN=6kN4-6) kN=6kN第5页/共38页第五页，共39页。(2)(2)求指定截面求指定截面(jimin)(jimin)内力内力 从指定从指定c c截面截面(jimin)(jimin)截开梁，取左半为对象，截开梁，取左半为对象，受力如图示：受力如图示：由静力平衡条件得：由静力平衡条件得：X=0: NC+XA=0 NC=-XA=-4kNX=0: NC+XA=0 NC=-XA=-4kNY=0: -QC+YA-qY=0: -QC+YA-q* *l=0l=0 QC=YA-q QC=YA-q* *1=1=（6-36-3* *1 1）=3kN=3kN MC=0: YA MC=0: YA* *

6、1-MC-q1-MC-q* *1 1* *0.5=00.5=0 Mc=YA Mc=YA* *1-q1-q* *0.50.5* *1=(6-31=(6-30.5) 0.5) =4.5kNm =4.5kNm 第6页/共38页第六页，共39页。由上述例题可知：由上述例题可知：梁内某截面上的轴力梁内某截面上的轴力N N等于该截面任一侧所有外力沿梁等于该截面任一侧所有外力沿梁轴切线方向所作投影的代数和；轴切线方向所作投影的代数和；( (其中：背离截面投影为正，反之为负。其中：背离截面投影为正，反之为负。) ) 梁内某截面上的剪力梁内某截面上的剪力Q Q等于该截面任一侧所有外力沿梁等于该截面任一侧所有外力

7、沿梁轴法线方向所作投影的代数和；轴法线方向所作投影的代数和；( (其中：绕截面顺转投影为正，反之为负。其中：绕截面顺转投影为正，反之为负。) ) 梁内某截面的弯矩梁内某截面的弯矩M M等于该截面任一侧所有外力对该截等于该截面任一侧所有外力对该截面形心的力矩面形心的力矩(l j)(l j)的代数和。的代数和。( (其中：下拉为正，反之为负。其中：下拉为正，反之为负。) ) 根据上述结论，可以不画隔离体受力图，不列平衡方程根据上述结论，可以不画隔离体受力图，不列平衡方程而直接计算截面内力，亦称而直接计算截面内力，亦称“直接外力法直接外力法”第7页/共38页第七页，共39页。22()()d Qqxd

8、 xd MQd xdMd Qqxd xd x 3.1.3 3.1.3 内力图的绘制内力图的绘制（1 1）根据微分关系）根据微分关系(gun x)(gun x)作图作图 荷载集度荷载集度q(x)q(x)、剪力、剪力Q Q和弯矩和弯矩M M之间的微分关系之间的微分关系(gun (gun x)x)：第8页/共38页第八页，共39页。例例2 2 绘制例绘制例1 1简支梁的内力图。简支梁的内力图。解解: : 在例在例.1.1中已求出该简支梁的支座中已求出该简支梁的支座(zh zu)(zh zu)反力，下面反力，下面确定控制截面上的内力，该梁的控制截面包括支座确定控制截面上的内力，该梁的控制截面包括支座(

9、zh (zh zu)Azu)A、支座、支座(zh zu)B(zh zu)B和梁的中点。和梁的中点。 支座支座(zh zu)A(zh zu)A：根据静力平衡条件可求得其剪力：根据静力平衡条件可求得其剪力 QA=VA=6kN QA=VA=6kN； 该支座该支座(zh zu)(zh zu)为铰支座为铰支座(zh zu)(zh zu)且该支座且该支座(zh zu)(zh zu)处无外力偶作用，处无外力偶作用， 故其弯矩为零。故其弯矩为零。 支座支座(zh zu)B(zh zu)B：同样可求得该处剪力：同样可求得该处剪力QB=VB=-6kNQB=VB=-6kN；MB=0MB=0。 跨跨 中：取跨中截面右

10、侧为隔离体如图中：取跨中截面右侧为隔离体如图3 3，内力方向，内力方向 如图中所示。如图中所示。 第9页/共38页第九页，共39页。图.3 第10页/共38页第十页，共39页。根据根据(gnj)(gnj)静力平衡条件：静力平衡条件：X=0: NX-P=0X=0: NX-P=0 NX=P=4kN NX=P=4kN，方向与原假设相同，方向与原假设相同Y=0: QX+VB-qY=0: QX+VB-ql/2=0l/2=0 QX=3 QX=32-6=02-6=0MX=0: MX+qMX=0: MX+q(l/2)(l/2)(l/4)-VB(l/4)-VB(l/2)=0(l/2)=0 MX=(6MX=(64

11、)/2-(34)/2-(34)/24)/24/4=6kNm4/4=6kNm 由于该梁上承受均布荷载和一固定轴力，因此该梁各由于该梁上承受均布荷载和一固定轴力，因此该梁各截面上的轴力为一常数，轴力图为一水平直线，剪力图截面上的轴力为一常数，轴力图为一水平直线，剪力图为一倾斜直线，弯矩图为一抛物线，且在跨中处为最大为一倾斜直线，弯矩图为一抛物线，且在跨中处为最大值，如图值，如图4 4所示。所示。第11页/共38页第十一页，共39页。图.4 第12页/共38页第十二页，共39页。（2 2）用叠加法作内力图）用叠加法作内力图 当荷载种类不同或荷载数量不止一个当荷载种类不同或荷载数量不止一个(y )(y

12、 )时，时，常常采用叠加法绘制结构的内力图。常常采用叠加法绘制结构的内力图。 叠加法的基本原理是：结构上全部荷载产生的内力叠加法的基本原理是：结构上全部荷载产生的内力与每一荷载单独作用所产生的内力的代数和相等。与每一荷载单独作用所产生的内力的代数和相等。第13页/共38页第十三页，共39页。（1）集中荷载(hzi)作用下（2）集中(jzhng)力偶作用下（3）叠加得弯矩图3m3m4kN4kNm6kNm4kNm4kNm4kNm例例3 3 叠加法作图示简支梁弯叠加法作图示简支梁弯矩图。矩图。第14页/共38页第十四页，共39页。例例4 4 叠加法作图示外伸梁弯叠加法作图示外伸梁弯矩图。矩图。4kN

13、m2kNm4kNm4kNm（1 1）悬臂段分布）悬臂段分布(fnb)(fnb)荷载作荷载作用下用下（2 2）跨中集中力偶）跨中集中力偶(l u)(l u)作作用下用下（3 3）叠加得弯矩图）叠加得弯矩图6kNm4kNm2kNm3m3m8kNm2kN/m2m第15页/共38页第十五页，共39页。例例5 5 图示外伸梁，承受图示外伸梁，承受(chngshu)(chngshu)集中荷载集中荷载P=4kNP=4kN，均布，均布荷载荷载q=3kN/mq=3kN/m，叠加法绘制其内力图。，叠加法绘制其内力图。第16页/共38页第十六页，共39页。第17页/共38页第十七页，共39页。第18页/共38页第十

14、八页，共39页。第19页/共38页第十九页，共39页。（3 3） 绘制弯矩图的步骤绘制弯矩图的步骤 求支座反力求支座反力 求控制截面的弯矩值，控制截面包括杆的两端、集中求控制截面的弯矩值，控制截面包括杆的两端、集中力作用处（求剪力时要取两侧各一个截面）、力偶作用处力作用处（求剪力时要取两侧各一个截面）、力偶作用处两侧、均布荷载的起点两侧、均布荷载的起点(qdin)(qdin)、终点和中点等；、终点和中点等； 若二控制截面间无外力作用，则连以直线。若有外力若二控制截面间无外力作用，则连以直线。若有外力作用，则连直线（基线）后叠加上简支梁的弯矩图。作用，则连直线（基线）后叠加上简支梁的弯矩图。第2

15、0页/共38页第二十页，共39页。3.2 3.2 斜梁的内力斜梁的内力(nil)(nil)计算计算工程实际中楼梯等结构常简化为斜梁。工程实际中楼梯等结构常简化为斜梁。楼梯斜梁承受的荷载主要有两种，一种是沿斜梁水平投影楼梯斜梁承受的荷载主要有两种，一种是沿斜梁水平投影(tuyng)(tuyng)长度分布的荷载，如楼梯上人群的重量等；另一种是长度分布的荷载，如楼梯上人群的重量等；另一种是沿倾斜的梁轴方向分布的竖向荷载，如梁的自重等。沿倾斜的梁轴方向分布的竖向荷载，如梁的自重等。一般在计算时，为计算简便可将沿梁轴方向分布的竖向荷一般在计算时，为计算简便可将沿梁轴方向分布的竖向荷载按等值转换为沿水平方

16、向分布的竖向荷载，如图载按等值转换为沿水平方向分布的竖向荷载，如图 (a) (a)所示，所示，梁斜长为梁斜长为ll，水平投影，水平投影(tuyng)(tuyng)长度为长度为l l，沿梁轴线方向分布，沿梁轴线方向分布的荷载为的荷载为qq，转换为沿水平方向分布的荷载为，转换为沿水平方向分布的荷载为q q，则由于是等，则由于是等值转换，所以有：值转换，所以有： 第21页/共38页第二十一页，共39页。第22页/共38页第二十二页，共39页。 ql=ql即: q=ql/l=q/cos下面以承受沿水平向分布的均布荷载的斜梁为例进行内力分析，如图(b)所示。根据(gnj)平衡条件，可以求出支座反力为：

17、XA=0, YA=YB=1/2ql第23页/共38页第二十三页，共39页。则距则距A A支座距离为支座距离为x x的截面上的内力可由取隔离体求出。的截面上的内力可由取隔离体求出。如图如图(c)(c)所示，荷载所示，荷载qxqx、YAYA，在梁轴方向，在梁轴方向(fngxing)(fngxing)（t t方向方向(fngxing)(fngxing)）的分力分别为）的分力分别为qxsinqxsin、YAsinYAsin；在梁法线方向在梁法线方向(fngxing)(fngxing)（n n方向方向(fngxing)(fngxing)）的分）的分力分别为：力分别为：qxcosqxcos、YAcosYA

18、cos。则由平衡条件得：。则由平衡条件得：T=0T=0： YAsin-qxsin+NX=0 YAsin-qxsin+NX=0 NX=(qx-1/2ql)sin NX=(qx-1/2ql)sinN=0: YAcos-qxcos-QX=0N=0: YAcos-qxcos-QX=0 QX=(1/2ql-qx)cos QX=(1/2ql-qx)cosMX=0: YAx-qxx/2-MX=0MX=0: YAx-qxx/2-MX=0 MX=1/2qx(1-x) MX=1/2qx(1-x)第24页/共38页第二十四页，共39页。由此即可绘出其内力图如图 (d)所示。由上可知：弯矩图为抛物线形，跨中弯矩为1/

19、8ql2，它与承受相同荷载(hzi)的水平简支梁完全相同，Q图与同样条件的水平简支梁的Q图形状相同，但数值是水平简支梁的cos倍。 第25页/共38页第二十五页，共39页。3.3.1 3.3.1 多跨静定多跨静定(jn dn)(jn dn)梁几何组成梁几何组成 多跨静定多跨静定(jn dn)(jn dn)梁是由若干根伸臂梁和简支梁用铰梁是由若干根伸臂梁和简支梁用铰联结而成，并用来跨越几个相连跨度的静定联结而成，并用来跨越几个相连跨度的静定(jn dn)(jn dn)梁。梁。这种梁常被用于桥梁和房屋的檩条中，如图这种梁常被用于桥梁和房屋的檩条中，如图1010所示。其简图所示。其简图如图如图11(

20、a)11(a)所示。所示。 多跨静定多跨静定(jn dn)(jn dn)梁按其几何组成特点可有两种基本梁按其几何组成特点可有两种基本形式，第一种基本形式如图形式，第一种基本形式如图11(b)11(b)所示；第二种基本形式如图所示；第二种基本形式如图12(a)12(a)所示所示 ，其层次图如图，其层次图如图12(b)12(b)所示。所示。 3.3 3.3 多跨静定多跨静定(jn dn)(jn dn)梁的内力计算。梁的内力计算。第26页/共38页第二十六页，共39页。图图10 10 图图11 11 第27页/共38页第二十七页，共39页。图图1212 第28页/共38页第二十八页，共39页。3.3

21、.2 3.3.2 多跨静定梁的内力计算多跨静定梁的内力计算 由层次图可见，作用于基本部分由层次图可见，作用于基本部分(b fen)(b fen)上的荷载，上的荷载，并不影响附属部分并不影响附属部分(b fen)(b fen)，而作用于附属部分，而作用于附属部分(b fen)(b fen)上的荷载，会以支座反力的形式影响基本部分上的荷载，会以支座反力的形式影响基本部分(b fen)(b fen)，因此在多跨静定梁的内力计算时，应先计算高层次的附属因此在多跨静定梁的内力计算时，应先计算高层次的附属部分部分(b fen)(b fen)，后计算低层次的附属部分，后计算低层次的附属部分(b fen)(b

22、 fen)，然，然后将附属部分后将附属部分(b fen)(b fen)的支座反力反向作用于基本部分的支座反力反向作用于基本部分(b fen)(b fen)，计算其内力，最后将各单跨梁的内力图联成一，计算其内力，最后将各单跨梁的内力图联成一体，即为多跨静定梁的内力图。体，即为多跨静定梁的内力图。 第29页/共38页第二十九页，共39页。例例6 6 试作出如图试作出如图13(a)13(a)所示的四跨静定梁的弯矩图和剪所示的四跨静定梁的弯矩图和剪力图。力图。解：（解：（1 1） 绘制层次图，如图绘制层次图，如图13(b)13(b)所示。所示。 （2 2） 计算支座反力，先从高层次的附属计算支座反力，

23、先从高层次的附属(fsh)(fsh)部分部分开开始，逐层向下计算：始，逐层向下计算： EF EF段：由静力平衡条件得段：由静力平衡条件得 ME=0: ME=0: YF YF4-104-102=02=0 YF=5kNYF=5kN Y=0: Y=0: YE=20+10-YF=25kN YE=20+10-YF=25kN 第30页/共38页第三十页，共39页。图13 第31页/共38页第三十一页，共39页。 CE CE段：将段：将YEYE反向反向(fn xin)(fn xin)作用于作用于E E点，并与点，并与q q共同作用共同作用可得：可得： MD=0: MD=0: YCYC4-44-44 42+2

24、52+251=01=0 YC=1.75kN YC=1.75kN Y=0: Y=0: YC+YD-4 YC+YD-44-25=04-25=0 YD=39.25kN YD=39.25kN FH FH段：将段：将YFYF反向反向(fn xin)(fn xin)作用于作用于F F点，并与点，并与q=3kN/mq=3kN/m共共同作用可得：同作用可得： MG=0: MG=0: YHYH4+YF4+YF1-31-34 42=02=0 YH=4.75kNYH=4.75kN第32页/共38页第三十二页，共39页。Y=0: Y=0: YG+YH-YF-3 YG+YH-YF-34=04=0 YG=12.25kN

25、YG=12.25kN AC AC段：将段：将YCYC反向作用反向作用(zuyng)(zuyng)于于C C点，并与点，并与q=4kN/mq=4kN/m共同作用共同作用(zuyng)(zuyng)可得：可得：MB=0: MB=0: YAYA4+YC4+YC1+41+41 10.5-40.5-44 42=02=0 YA=7kNYA=7kN Y=0: Y=0: YB+YA-4 YB+YA-45-YC=05-YC=0YB=14.7kNYB=14.7kN第33页/共38页第三十三页，共39页。 (3) 计算内力并绘制内力图 各段支座(zh zu)反力求出后不难由静力平衡条件求出各截面内力，然后绘制各段内

26、力图，最后将它们联成一体，得到多跨静定梁的M、Q图，如图14所示。第34页/共38页第三十四页，共39页。图14 第35页/共38页第三十五页，共39页。再见第36页/共38页第三十六页，共39页。第37页/共38页第三十七页，共39页。谢谢您的观看(gunkn)！第38页/共38页第三十八页，共39页。NoImage内容(nirng)总结本 章 内 容。例2 绘制例1简支梁的内力图。跨 中：取跨中截面右侧为隔离体如图3，内力方向。当荷载种类不同或荷载数量不止(bzh)一个时，常常采用叠加法绘制结构的内力图。三种情况弯矩图叠加，则最后弯矩如图所示：。根据平衡条件，可以求出支座反力为：。MX=1/2qx(1-x)。多跨静定梁按其几何组成特点可有两种基本形式，第一种基本形式如图11(b)所示。 EF段：由静力平衡条件得。谢谢您的观看第三十九页，共39页。