《解读定积分与微积分基本定理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《解读定积分与微积分基本定理（3页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、精品字里行间解读定积分与微积分基本定理一、知识点精析知识点 1曲边梯形的面积曲边梯形是曲线yf (x) 与平行于y 轴的直线 xa ， xb 和 x 轴所围成的图形，通常称为曲边梯形，求曲边梯形面积可分为四个步骤：（1）分割：将曲边梯形分割成有限个很细的小曲边梯形从区间 a， b 上看，用 n1个分点将区间 a， b 分成 n 个小区间（不一定相等） （ 2）近似代替： 在每个小区间 xi 1，xi ( i 1， ，2，n) 内任取一点( i 1 i i 1) ，以 f ( i ) 为高， xi xixi 1 为底的小矩形面积为 f ( i )xi ，用它作为相应的小曲边梯形面积的近似值n 个
2、矩形面积加起来，其和为n（ 3）求和：将分割成的f ( i )xi ，它是所求曲边梯i 1形的面积的近似值n（ 4）取极限：将曲边梯形无限的细分（即分点越多），上面的近似值f ( ixi ) 就越i 1n接近于曲边梯形的面积，当xi 中的最大值maxxi0 时，f ( i ) xi的极限i1nlimf ( i )xi 存在，则这个极限值就是曲边梯形的面积i 0i 1知识点 2定积分设函数 yf ( x) 定义在区间 a， b 上，用分点 ax0x1 x2xn 1xnb ，把区间 a， b 分成n个小区间，其长度依次为，记为这些xixi 1 xi (i 01 2n 1)小区间长度的最大值，当趋近
3、于0 时，所有的小区间的长度都趋近于0 ，在每个小区间内n 10任取一点i ，作和式 I ni 0f ( i )xi 当时，如果和式的极限存在，我们把和式 I n的 极 限 叫 做 函 数 f ( x)在 区 间 a， b 上 的 定 积 分 ， 记 作bf( )， 即ax dxbn1f (x)ab其中，叫做被积函数，叫积分下限，叫积分上限，f (x dx)l i m fi(xi)a0 i0f ( x)dx 叫做被积式，此时称函数f ( x) 在区间 a， b 上可积放心做自己想做的精品字里行间理解说明：bf ( x)dx 是“和式” 的极限值， 它的值取决于被积函数f (x) 和积分上限、（
4、 1）定积分abbbf (t)dt（称下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即f (x)dxf (u)duaaa为积分形式的不变性） ba b ，而当 ab 及 ab 时，不难验（ 2）在定积分f ( x)dx 的定义中，总是假设aaba证f ( x)dx 0 ，f ( x)dxf (x)dx 这就是说当定积分的上限和下限相同时，定bab积分的值为零；当交换定积分的上限和下限时，定积分的绝对值相同，只相差一个负号（ 3）在区间 a， b 上求连续函数f ( x) 的定积分，可归结为：分割、近似代替、求和、取极限四步，因此用定义求定积分的一般步骤： 分 割 ： 将 区 间 a， b 等 分 成
5、n 个 小 区 间 ； 近 似 代 替 ： 取 点n1i xi，xi 1 ( i01，2，3， ， n 1) ； 求 和 ：f ( i ) b a ； 取 极 限 ：i0nbn 1) ba f ( x)dxlimf ( ia0i 0n知识点 3 定积分的几何意义bx 轴、曲线y f ( x) 以及直线一般情况下，定积分f (x) dx 的几何意义是表示由axa， xb 所围成的曲边梯形的面积的代数和在区间 a， b 上，当函数 f ( x) 0 时，曲边梯形位于x 轴的上方， 定积分bf ( x)dx 的a几何意义是由x 轴、曲线 yf ( x) 以及直线 xa， xb 所围成的曲边梯形的面积
6、S ，即Sbf ( x)dx a当函数 f ( x) 0 时，曲边梯形位于 x 轴的下方， 在blimf ( i )xif ( x) dx右端的和ai 0xi0 ， f (i ) 0 ，所以有 f ( i) xi 0 ，从而定积分b式中，由于f (x)dx 的值为负a值，此时由x 轴、曲线 yf ( x) 以及直线 xa ， xb 所围成的曲边梯形的面积S 应是Sbbf ( x)dx f (x)dx 或 Saa因此在用定积分求平面图形的面积时， 首先要确定被积函数、 积分变量、积分上限下限，其一般步骤为：画出图形，将其适当分割成若干个曲边梯形；对每一个曲边梯形确定其被积函数与积分上下限，用定积
7、分表示其面积；放心做自己想做的精品字里行间计算各个定积分，求出所求的面积知识点 4微积分基本定理如果 F ( x)f ( x) ，且 f ( x) 在 a， b 上可积，则b( )( )( )f，这个结x dxF bF aa论 叫 微 积 分 基 本 定 理 ， 其 中 F ( x) 叫 做f ( x) 的 一 个 原 函 数 也 常 记 为bbaF (b)F (a) f (x)dx F (x)a理解说明：（ 1）由于 F ( x)C f (x) ，所以 F ( x)C 也是函数 f ( x) 的原函数，其中 C 为常数bf ( x) 的一个原函（ 2）利用微积分基本定理求定积分f ( x)d
8、x 的关键是找出被积函数a数 F (x) ，通常我们运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，从反方向上求出F ( x) ，因此可见求导运算与求原函数运算是互为逆运算二、应注意的几点1根据定积分定义求定积分，往往比较困难， 利用微积分基本定理求定积分比较方便2利用定积分求所围成的平面图形的面积，要用数形结合的方法确定被积函数和积分上下限bf (x)dx ，bb3f ( x) dx 与f (x)dx 有不同的几何意义，绝不能等同看待，由于aaa被积函数 f ( x) 在闭区间 a， b 上可正可负，因而它的图象可都在x 轴的上方，也可都在 xx 轴的上下两侧，所以bf ( x) 以及直线轴的下方，还可以在f ( x)dx 表示 x 轴、曲线 yax a，xb 所围成图形的面积的代数和；f (x) 是非负的， 所以b而被积函数f ( x) dx 表a示在区间 a， b 上以 f ( x) 为曲边的曲边梯形的面积，而bf ( x)dx 则是baf ( x)dx 的绝a对值，三者的值一般是不相同的放心做自己想做的
解读定积分与微积分基本定理
