导数讲义练习

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1、导数及其应用一 . 【知识梳理】1. 概念 ：函数 y=f(x),如果自变量x 在 x 0 处有增量x ，那么函数y 相应地有增量y =f（ x 0 +x ） f （ x 0 ），比值y 叫 做 函 数 y=f（ x ） 在 x 0到 x0 +x 之 间 的 平 均 变 化 率 ， 即xy=f (x0x)f ( x0 )如果当 x0xx时，y 有极限，我们就说函数y=f(x) 在点 x 0 处可导，并把这个极限叫做f （ x）x在点 x 0 处的导数，记作f （ x 0 ）或 y |x x0 即 f （ x 0） = lim0y = limf ( x0x)f ( x0 ) xxx0x2. 几何

2、意义： 函数 y=f （ x）在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线y=f （ x）在点 p（ x 0 ， f（x 0 ）处的切线的斜率3. 导数的运算：常见基本初等函数的导数公式：C0 ( C 为常数 )； ( xn )nxn 1； (sin x)cos x ； (cos x)sin x；x)ex；x)axln a（ a 0 且 a 1) ；1；1（ a 0(e(a(ln x)(log a x)log a exx且 a 1) 常用导数运算公式：法则 1 ： u( x)v(x)u ( x) v (x) 法则 2 ： u( x)v( x)u (x) v(x) u(x) v ( x) 法则 3 ：

3、 u( x)u ( x) v( x) u(x) v (x)(v(x) 0) v( x)v2 ( x)4. 导数的应用：导数与切线的关系；导数与函数的单调性的关系；用导数求极大值、极小值；用导数求最大值、最小值 .题型 1：定义例 1.已知曲线 y1 x2 和这条曲线上的一点P (1,1) ，点 Q 是曲线上的点P 附近的一点，则44点Q的坐标是 ()A. (1x,(x) 2 )B. ( x,1( x)2 )C.(1 x,1(1x)2 )D.44( x,1(1x) 2 )4例 2.设函数 f (x) 在点 x0处附近有定义，且f (x0x)f ( x0 )a xb(x) 2（ ab 为常数），则

4、()A.f ( x)af (x0 )bB.f (x)bC.f ( x0 )aD.例 3. 设 f ( x) 在点 x0 处可导，且 f ( x0 )A ，求下列各值。（1） limf ( x0x) f ( x0 )（ 2） limf (x0 4 x) f (x0 5 x)xxx 0x 0练习 1. 设 f (x) 在点 x0处可导，且 f (x0 )A ，求下列各值。（1） limf ( x0 m x)f ( x0 )（ 2） limf (x0 x) f ( x0 3 x)2 xxx 0x 0练习 2.设函数 f ( x) 在 xx0 处可导，且 limf (x0 3x)f (x0 )1,则

5、f (x0 ) =x 0x练习 3.已知函数 y f ( x) 在 x a 处可导，且f (a)A .试求 lim f (2 x a)f (2a x) =xaxa练习 4.设函数 f ( x) 在 xa 处可导，且 f (a)A ，则 limf ( ah2 ) f (a) =h 0h题型 2：导数的运算1. 求下列函数的导数：（ 1 ） yx3sin x（ 2） y2x33x 25x4（ 3） y x2 cos x（ 4）sin xyx题型 2：导数与切线的关系利用导数求曲线的切线方程的步骤：求出 yfx 在 x0 处的导数 fx0 ；利用直线方程的点斜式得切线方程为yy0fx0 xx01 函

6、数 f( x)在 R 上可导，且 f (0) 2.?x， y R，若函数f(x y) f(x)f(y)成立，则f(0) _.题型 3：导数与单调性的关系利用导数确定函数的单调性的步骤：(1) 确定函数 f(x)的定义域；(2) 求出函数的导数；(3) 解不等式 f (x) 0，得函数的单调递增区间； 解不等式 f (x)0，得函数的单调递减区间注：若 f (x) 0，则函数单调递增；若f (x) 0，则函数单调递减.若函数单调递增，则 f ( x)0 ；若函数单调递减，则f ( x) 0 .1. 函数 f ( x)x( a b 1),则 ()exA f ( a) f (b)B. f (a) f

7、 (b)C f (a) f (b)D. f (a), f (b) 大小关系不能确定2 设函数 y f(x)在 (a， b)上可导，则A 必要不充分条件C充分必要条件f(x)在 (a， b)上为增函数是f (x)0 的 (B充分不必要条件D既不充分也不必要条件)题型 4：导数与极大（小）值一般地，当函数 f(x)在点 x0 处连续时，判别 f( x0 )是极大（小）值的方法是：如果在 x0 附近的左侧 f (x) 0，右侧 f (x) 0，那么 f(x0)是极大值；如果在 x0 附近的左侧 f (x) 0，右侧 f (x) 0，那么 f(x0)是极小值；注意：导数为 0 的点不一定是极值点1.

8、函数 yf ( x) 在一点的导数值为0 是函数 yf (x) 在这点取极值的（）A充分条件B必要条件C充要条件D必要非充分条件2. 函数 f xax 3x1有极值的充要条件是.3. 已知函数 yx33xc 的图像与 x 轴恰有两个公共点，则c （）A 2或2B 9或3C 1或1D 3或14求函数y = x3 - 3x2 - 9x (- 2 x 2)的极值 .5 若函数 f(x) ax3 bx 4，当 x 2 时，函数 f(x)有极值 43.(1) 求函数的解析式(2) 若方程 f(x) k 有 3 个不同的根，求实数k 的取值范围题型5：导数与最大（小）值1. 求函数yx44x3 在区间2,

9、3上的最大值和最小值.导数解答题综合题(前两问多为以上题型,最后一问综合)1已知函数f (x)1 x2 1 x ln( x a) ，其中常数 a 0.4 a（ I ）若 f (x)在x 1处取得极值，求 a 的值；（ II ）求 f ( x) 的单调递增区间；2 (2013 福建， 17)( 本小题满分13 分 ) 已知函数f ( x) x alnx( a R) (1) 当 a 2 时，求曲线 y f ( x) 在点 A(1 ， f (1) 处的切线方程；(2) 求函数 f ( x) 的极值3.已知函数ax2处的切线方程为 y = 2.f (x)的图象在点 (2,f(2)2 xb( I ) 求

10、 a,b 的值及f(x) 的单调区间；(II) 是否存在平行于直线 y = 1 x 且与曲线 y=f(x) 没有公共点的直线？证明你的结论；24 已知函数 f(x) x3 ax2 bx c 在 x 1 与 x 2 处都取得极值(1) 求 a，b 的值及函数 f(x)的单调区间；32 恒成立，求 c 的取值范围(2) 若对 x 2,3 ，不等式 f( x) cg (x)，令 F(x) f(x) g(x) ，则 F(x)在a，b上的最大值为 _已知 f(x) x2 2xf(1) ，则 f (0) 等于 _4 (12 分 )设函数 f(x) 2x33(a1)x 26ax(a R )(1)当 a 1

11、时，求证： f(x)为 R 上的单调递增函数；(2)当 x 1,3 时，若 f(x)的最小值为4，求实数a 的值a32 cx d(a0) ，且方程 f (x) 9x0 的两根分别为 1,4.5设函数 f(x)x bx3(1)当 a 3，且曲线 y f(x)过原点时，求f(x) 的解析式；(2)若 f(x)在 (， )内无极值点，求a 的取值范围6(12 分 )已知函数f( x) ax3 bx2 的图像经过点M(1,4)，曲线在点M 处的切线恰好与直线x9y 0 垂直(1)求实数 a，b 的值；(2)若函数 f(x)在区间 m， m 1上单调递增，求m 的取值范围7 易错题函数 f（ x）=x 32a2 在 x=1 处有极值+ax +bx10，求 a，b8 已知函数 f(x) x3 ax2 bx c 在 x 1 与 x 2 处都取得极值(1) 求 a，b 的值及函数 f(x)的单调区间；3(2) 若对 x 2,3 ，不等式f( x) 2c f ( x) 恒成立， 且常数 a，b 满足 ab，求证： a f (a) b