小学数学典型应用题问题与答案

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1、第一章 行程问题1、相遇问题 2、追及问题 3 行船问题 4 列车问题 5 时钟问题第二章 分数问题1 工程问题 2 百分数问题 3 存款利率问题 4 溶液浓度问题 5 商品利润问题第三章 比例问题1、归一问题 2、归总问题 3 正反比例问题 4 按比例分配问题 5、盈亏问题第四章 和差倍比问题1 和差问题 2和倍问题 3. 差倍问题 4 倍比问题 5 年龄问题第五章 植树与方阵问题1 植树问题 2 方阵问题第六章 鸡兔同笼问题第七章 条件最值问题1 公约公倍问题 2 最值问题第八章还原问题 第九章 列方程问题第十章“牛吃草”问题 第十一章 数学游戏1 构图布数问题 2 幻方问题 3 抽屉原则

2、问题第一章 行程问题1、相遇问题【含义】 两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。【数量关系】 相遇时间总路程（甲速乙速） 总路程（甲速乙速）相遇时间【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。例1 南京到上海的水路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行28千米，从上海开出的船每小时行21千米，经过几小时两船相遇？例2 甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行13千米，两人在距中点3千米处相遇，求两地的距离。 解 “两人在距中点3千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。从题中

3、可知甲骑得快，乙骑得慢，甲过了中点3千米，乙距中点3千米，就是说甲比乙多走的路程是（32）千米，因此， 相遇时间（32）（1513）3（小时） 两地距离（1513）384（千米） 答：两地距离是84千米。2、追及问题【含义】 两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。【数量关系】 追及时间追及路程（快速慢速）追及路程（快速慢速）追及时间【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。例1 好马每天

4、走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马？例2 甲、乙二人练习跑步，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒钟可追上乙；若甲让乙先跑2秒钟，则甲跑4秒钟就能追上乙.问：甲、乙二人的速度各是多少？分析 若甲让乙先跑10米，则10米就是甲、乙二人的路程差，5秒就是追及时间，据此可求出他们的速度差为105=2（米/秒）；若甲让乙先跑2秒，则甲跑4秒可追上乙，在这个过程中，追及时间为4秒，因此路程差就等于24=8（米），也即乙在2秒内跑了8米，所以可求出乙的速度，也可求出甲的速度.综合列式计算如下：解： 乙的速度为：10542=4（米/秒）甲的速度为：105+4=6（米/秒）答：甲的

5、速度为6米/秒，乙的速度为4米/秒.例3 幸福村小学有一条200米长的环形跑道，冬冬和晶晶同时从起跑线起跑，冬冬每秒钟跑6米，晶晶每秒钟跑4米，问冬冬第一次追上晶晶时两人各跑了多少米，第2次追上晶晶时两人各跑了多少圈？分析 这是一道封闭路线上的追及问题，冬冬与晶晶两人同时同地起跑，方向一致.因此，当冬冬第一次追上晶晶时，他比晶晶多跑的路程恰是环形跑道的一个周长（200米），又知道了冬冬和晶晶的速度，于是，根据追及问题的基本关系就可求出追及时间以及他们各自所走的路程.解： 冬冬第一次追上晶晶所需要的时间：200（6-4）=100（秒）冬冬第一次追上晶晶时他所跑的路程应为：6100=600（米）晶

6、晶第一次被追上时所跑的路程：4100=400（米）冬冬第二次追上晶晶时所跑的圈数：（6002）200=6（圈）晶晶第2次被追上时所跑的圈数：（4002）200=4（圈）答：略.解答封闭路线上的追及问题，关键是要掌握从并行到下次追及的路程差恰是一圈的长度.3 行船问题【含义】 行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和；船只逆水航行的速度是船速与水速之差。 顺水速度=船速+水速，逆水速度=船速-水速.【数量关系】 （顺水速度逆水速度）2船速 （顺水速度逆水速度）2水速顺

7、水速船速2逆水速逆水速水速2 逆水速船速2顺水速顺水速水速2船速 水速 顺水速度 逆水速度，其中三个的关系【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。例1某船在静水中的速度是每小时15千米，它从上游甲地开往下游乙地共花去了8小时，水速每小时3千米，问从乙地返回甲地需要多少时间？例2 .已知一条小船，顺水航行60千米需5小时，逆水航行72千米需9小时。现在小船从上游甲城到下游乙城，已知两城间的水路距离是96千米，开船时，船夫扔了一块木板到水里，当船到乙城时，木板离乙城还有多远？ 顺水航行60千米需5小时 顺水速度：605=12 逆水航行72千米需9小时 逆水速度：729=8 水流速

8、度：（12-8）2=2 现在小船从上游甲城到下游乙城，已知两城间的水路距离是96千米，开船时，船夫扔了一块木板到水里，当船到乙城时，木板离乙城还有多远？ 96-2（9612）=80 小船从上游甲城到下游乙城：（9612） 木板行的距离2（9612） 例3.一摩托车顶风行40千米用了2小时，风速为每小时2千米，则这辆摩托车行驶时每小时行多少千米？4 列车问题【含义】 这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。【数量关系】 火车过桥：过桥时间（车长桥长）车速 火车追及： 追及时间（甲车长乙车长距离）（甲车速乙车速） 火车相遇： 相遇时间（甲车长乙车长距离）（甲车速乙车速）【解题思路

9、和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。将列车简缩为一个点例1 一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。这列火车长多少米？解 火车3分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。 （1）火车3分钟行多少米？ 90032700（米） （2）这列火车长多少米？ 27002400300（米） 列成综合算式 90032400300（米） 答：这列火车长300米。例2 一列火车穿越一条长2000米的隧道用了88秒，以同样的速度通过一条长1250米的大桥用了58秒。求这列火车的车速和车身长度各是多少？解 车速和车长都没有变，但通过隧道和大桥

10、所用的时间不同，是因为隧道比大桥长。可知火车在（8858）秒的时间内行驶了（20001250）米的路程，因此，火车的车速为每秒 （20001250）（8858）25（米） 进而可知，车长和桥长的和为（2558）米， 因此，车长为 25581250200（米） 答：这列火车的车速是每秒25米，车身长200米。例3 一列快车长184米，一列慢车长168米，两车相向而行，从相遇到离开需4秒钟，如果同向而行，从快车追及慢车到离开，需16秒种，问快车和慢车速度各是多少？解、由于两车两车相向而行，从相遇到离开所行的距离为两车的长度和184+168=352米，用时4秒，则两车的速度和为3524=88米/秒；

11、如果同向而行，从快车追用慢车到离开的追及距离同为两车的长度为352米，用时16秒，则两车的速度差为35216=22米/秒根据和差问题公式可知，快车的速度为：（88+22）2=55米/秒慢车为55-22=33米/秒例4 一列长225米的慢车 以每秒17米的速度行驶，一列长140米的快车以每秒22米的速度在后面追赶，求快车从追上到追过慢车需要多长时间？解 从追上到追过，快车比慢车要多行（225140）米，而快车比慢车每秒多行（2217）米，因此，所求的时间为 （225140）（2217）73（秒） 答：需要73秒。5 时钟问题【含义】 就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针

12、成一线、两针夹角为60度等。时钟问题可与追及问题相类比。【数量关系】 分针的速度是时针的12倍， 二者的速度差为11/12。 通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。钟面的一周分为60格，分针每分钟走一格，分针的速度是1；时针每小时走5格，每分钟走5/601/12格。速度是【解题思路和方法】 变通为“追及问题”后可以直接利用公式。例1. 从时针指向4点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合？解 钟面的一周分为60格，分针每分钟走一格，每小时走60格；时针每小时走5格，每分钟走5/601/12格。每分钟分针比时针多走（11/12）11/12格。4点整，时针在前，分针在后，两针相距20格。所

13、以分针追上时针的时间为 20（11/12） 22（分） 答：再经过22分钟时针正好与分针重合。例2 四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角？解 钟面上有60格，它的1/4是15格，因而两针成直角的时候相差15格（包括分针在时针的前或后15格两种情况）。四点整的时候，分针在时针后（54）格，如果分针在时针后与它成直角，那么分针就要比时针多走 （5415）格，如果分针在时针前与它成直角，那么分针就要比时针多走（5415）格。再根据1分钟分针比时针多走（11/12）格就可以求出二针成直角的时间。 （5415）（11/12） 6（分） （5415）（11/12） 38（分） 答：4点06分及4点3

14、8分时两针成直角。例3 六点与七点之间什么时候时针与分针重合？解 六点整的时候，分针在时针后（56）格，分针要与时针重合，就得追上时针。这实际上是一个追及问题。（56）（11/12） 33（分） 答：6点33分的时候分针与时针重合例4 一只钟的时针与分针均指在4与6之间，且钟面上的“5”字恰好在时针与分针的正中央，问这时是什么时刻？分析 由于现在可以是4点多，也可以是5点多，所以分两种情况进行讨论：先设此时是4点多：4点整时，时针指4，分针指12.从4点整到现在“5在时针与分针的正中央”，分针走的格数多于25，少于30，时针走不足5格.由于5到分针的格数等于5到时针的格数，所以时针与分针在这段

15、时间内共走30格.时针和分针的路程和是30，除以速度和，可得时间。再设此时是5点多： 5点整时，时针指5，分针指12.从5点整到现在“5在时针与分针的正中央”，分针走的格数多于20格少于25格，时针走的格数不足5格，由于5到分针的格数等于5到时针的格数，所以时针与分针在这段时间内共走25格.因此，时针和分针的路程和是25，除以速度和，可得时间。第二章 分数问题1 工程问题【含义】 工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。【数

16、量关系】 解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。工作量工作效率工作时间工作时间工作量工作效率工作时间总工作量（甲工作效率乙工作效率）【解题思路和方法】 变通后可以利用上述数量关系的公式例1 一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10小时完成，丙独做15小时完成。现在甲先做2小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成？解 必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示，就会给计算带来方便，因此，我们设总工作量为12、10、和15的某一公倍数，例

17、如最小公倍数60，则甲乙丙三人的工作效率分别是 60125 60106 60154因此余下的工作量由乙丙合做还需要 （6052）（64）5（小时） 答：还需要5小时才能完成。例2 一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。现在两人合做，完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个？解 设总工作量为1，则甲每小时完成1/6，乙每小时完成1/8，甲比乙每小时多完成（1/61/8），二人合做时每小时完成（1/61/8）。因为二人合做需要1（1/61/8）小时，这个时间内，甲比乙多做24个零件，所以（1）每小时甲比乙多做多少零件？ 241（1/61/8）7（个）（2）这批零件共有多少个？ 7（

18、1/61/8）168（个） 答：这批零件共有168个。解二 上面这道题还可以用另一种方法计算：两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为 1/61/843由此可知，甲比乙多完成总工作量的1/7所以，这批零件共有 241/7168（个）例3 一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开4个进水管时，需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池；现在要用2小时将水池注满，至少要打开多少个进水管？解 注（排）水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相当于一项工程，水的流量就是工作量，单位时间内水的流量就是工作效率。要2小时内将水池注满，即要

19、使2小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量（一池水）。只要设某一个量为单位1，其余两个量便可由条件推出。我们设每个同样的进水管每小时注水量为1，则4个进水管5小时注水量为（145），2个进水管15小时注水量为（1215），从而可知每小时的排水量为 （1215145）（155）1即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知一池水的总工作量为 1451515又因为在2小时内，每个进水管的注水量为 12，所以，2小时内注满一池水至少需要多少个进水管？ （1512）（12） 8.59（个）答：至少需要9个进水管。2 百分数问题【含义】 百分数是表示一

20、个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分，而百分数则无需；分数既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分数只能表示“率”；分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数；百分数有一个专门的记号“%”。在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是1%，两个百分点就是2%。【数量关系】 掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系： 百分数比较量标准量 标准量比较量百分数【解题思路和方法】 一般有三种基本类型： （1） 求一个数是另一个数的百分之几； （2） 已知一个数，求它的百分之几是多少； （3） 已知一个数的百分之几是多少，求这个数

21、。例1.红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，男职工人数比女职工少百分之几？女职工比男职工人数多百分之几？男、女职工各占全厂职工总数的百分之几？例2 一桶水，用去70%后，又向桶里倒入10千克的水，这是桶内的水正好是原来整桶水的一半，原来一桶水有多少千克？ 例3.果品公司储存一批苹果，售出这批苹果的30后，又运来160箱，这时比原来储存的苹果多1/10 ，这时有苹果多少箱？3 存款利率问题【含义】 把钱存入银行是有一定利息的，利息的多少，与本金、利率、存期这三个因素有关。利率一般有年利率和月利率两种。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分数；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分数。

22、【数量关系】 年（月）利率利息本金存款年（月）数100% 利息本金存款年（月）数年（月）利率 本利和本金利息本金1年（月）利率存款年（月）数【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。例1 李大强存入银行1200元，月利率0.8%，到期后连本带利共取出1488元，求存款期多长。解 因为存款期内的总利息是（14881200）元，所以总利率为 （14881200）1200 又因为已知月利率，所以存款月数为 （14881200）12000.8%30（月） 答：李大强的存款期是30月即两年半。例2 银行定期整存整取的年利率是：二年期7.92%，三年期8.28%，五年期9%

23、。如果甲乙二人同时各存入1万元，甲先存二年期，到期后连本带利改存三年期；乙直存五年期。五年后二人同时取出，那么，谁的收益多？多多少元？解 甲的总利息100007.92%210000（17.92%2）8.28%31584115848.28%34461.47（元）乙的总利息 100009%54500（元）45004461.4738.53（元） 答：乙的收益较多，乙比甲多38.53元。4 溶液浓度问题【含义】 在生产和生活中，我们经常会遇到溶液浓度问题。这类问题研究的主要是溶剂（水或其它液体）、溶质、溶液、浓度这几个量的关系。例如，水是一种溶剂，被溶解的东西叫溶质，溶解后的混合物叫溶液。溶质的量在溶

24、液的量中所占的百分数叫浓度，也叫百分比浓度。【数量关系】 溶液溶剂溶质 浓度溶质溶液100%【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。例1 爷爷有16%的糖水50克，（1）要把它稀释成10%的糖水，需加水多少克？（2）若要把它变成30%的糖水，需加糖多少克？ 解 （1）需要加水多少克？ 5016%10%5030（克） （2）需要加糖多少克？ 50（116%）（130%）50 10（克） 答：（1）需要加水30克，（2）需要加糖10克。例2 要把30%的糖水与15%的糖水混合，配成25%的糖水600克，需要30%和15%的糖水各多少克？ 解 假设全用30%的糖水溶

25、液，那么含糖量就会多出 600（30%25%）30（克）这是因为30%的糖水多用了。于是，我们设想在保证总重量600克不变的情况下，用15%的溶液来“换掉”一部分30%的溶液。这样，每“换掉”100克，就会减少糖 100（30%15%）15（克） 所以需要“换掉”30%的溶液（即“换上”15%的溶液） 100（3015）200（克）由此可知，需要15%的溶液200克。需要30%的溶液 600200400（克） 答：需要15%的糖水溶液200克，需要30%的糖水400克。例3 甲容器有浓度为12%的盐水500克，乙容器有500克水。把甲中盐水的一半倒入乙中，混合后再把乙中现有盐水的一半倒入甲中，

26、混合后又把甲中的一部分盐水倒入乙中，使甲乙两容器中的盐水同样多。求最后乙中盐水的百分比浓度。解 由条件知，倒了三次后，甲乙两容器中溶液重量相等，各为500克，因此，只要算出乙容器中最后的含盐量，便会知所求的浓度。下面列表推算： 甲容器乙容器原 有盐水500盐50012%60水500第一次把甲中一半倒入乙中后盐水5002250盐60230盐水500250750盐30第而次把乙中一半倒入甲中后盐水250375625盐301545盐水7502375盐30215第三次使甲乙中盐水同样多 盐水500 盐45936 盐水500 盐45361524 由以上推算可知， 乙容器中最后盐水的百分比浓度为 2450

27、04.8% 答：乙容器中最后的百分比浓度是4.8%。5 商品利润问题【含义】 这是一种在生产经营中经常遇到的问题，包括成本、利润、利润率和亏损、亏损率等方面的问题。【数量关系】 利润售价进货价利润率（售价进货价）进货价100% 售价进货价（1利润率） 亏损进货价售价 亏损率（进货价售价）进货价100%【解题思路和方法】 简单的题目可以直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。例1 某服装店因搬迁，店内商品八折销售。苗苗买了一件衣服用去52元，已知衣服原来按期望盈利30%定价，那么该店是亏本还是盈利？亏（盈）率是多少？解 要知亏还是盈，得知实际售价52元比成本少多少或多多少元，进而需知成本。因为5

28、2元是原价的80%，所以原价为（5280%）元；又因为原价是按期望盈利30%定的，所以成本为 5280%（130%）50（元）可以看出该店是盈利的，盈利率为 （5250）504% 答：该店是盈利的，盈利率是4%。例2 成本0.25元的作业本1200册，按期望获得40%的利润定价出售，当销售出80%后，剩下的作业本打折扣，结果获得的利润是预定的86%。问剩下的作业本出售时按定价打了多少折扣？解 问题是要计算剩下的作业本每册实际售价是原定价的百分之几。从题意可知，每册的原定价是0.25（140%），所以关键是求出剩下的每册的实际售价，为此要知道剩下的每册盈利多少元。剩下的作业本售出后的盈利额等于实

29、际总盈利与先售出的80%的盈利额之差，即 0.25120040%86%0.25120040%80%7.20（元）剩下的作业本每册盈利 7.201200（180%）0.03（元）又可知 （0.250.03）0.25（140%）80% 答：剩下的作业本是按原定价的八折出售的。例3 某种商品，甲店的进货价比乙店的进货价便宜10%，甲店按30%的利润定价，乙店按20%的利润定价，结果乙店的定价比甲店的定价贵6元，求乙店的定价。解 设乙店的进货价为1，则甲店的进货价为 110%0.9 甲店定价为 0.9（130%）1.17 乙店定价为 1（120%）1.20 由此可得 乙店进货价为 6（1.201.17

30、）200（元） 乙店定价为 2001.2240（元） 答：乙店的定价是240元。第三章 比例问题1、归一问题【含义】 在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。【数量关系】 总量份数1份数量 1份数量所占份数所求几份的数量 另一总量（总量份数）所求份数【解题思路和方法】 先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。例1 一个粮食加工厂要磨面粉20000千克，3小时磨了6000千克.照这样计算，磨完剩下的面粉还要几小时？例2 某车间要加工一批零件，原计划由18人，每天工作8小时，7.5天完成任务.由于缩短工期，要求4天完成任务，可是

31、又要增加6人.求每天加班工作几小时？例3 学校买来一些足球和篮球.已知买3个足球和5个篮球共花了281元；买3个足球和7个篮球共花了355元.现在要买5个足球、4个篮球共花多少元？2、归总问题【含义】 解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。【数量关系】 1份数量份数总量 总量1份数量份数 总量另一份数另一每份数量【解题思路和方法】 先求出总数量，再根据题意得出所求的数量例1 小华每天读24页书，12天读完了红岩一书。小明每天读36页书，几天可以读完红岩？例2 食

32、堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50千克，30天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见，每天比原计划多吃10千克，这批蔬菜可以吃多少天？3 正反比例问题【含义】 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。【数量关系】 判断正比例或反比例关系是

33、解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。【解题思路和方法】 解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。例1 下列各题中的两种量是否成比例？成什么比例？速度一定，路程与时间路程一定，速度与时间路程一定，已走的路程与未走的路程总时间一定，要制造的零件总数和制造每个零件所用的时间总产量一定，亩产量和播种面积整除情况下被除数一定，除数和商同时同地，竿高和影长半径一定，圆心角的度数和扇形面积两个齿轮啮合转动时转速和齿数圆的半径和面积(11)长方体体积一定，底面积和高(12)正方形的边长

34、和它的面积(13)乘公共汽车的站数和票价(14)房间面积一定，每块地板砖的面积与用砖的块数(15)汽车行驶时每公里的耗油量一定，所行驶的距离和耗油总量分析 以上每题都是两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，那么怎样来确定这两种量成哪种比例或不成比例呢？关键是能否把两个两种形式，或只能写出加减法关系，那么这两种量就不成比例例如零件数总时间，总时间一定，制造每个零件用的时间与要制造的零件总数成反比例路程一定，已走的路程和未走的路程是加减法关系，不成比例解：成正比例的有：、(15)成反比例的有：、(11)、(14)不成比例的有：、(12)、(13)例2 一条路全长60千米，分成上坡、平路、

35、下坡三段，各段路程长的比依次是1：2：3，某人走各段路程所用时间之比依次是456，已知他上坡的速度是每小时3千米，问此人走完全程用了多少时间？分析 要求此人走完全程用了多少时间，必须根据已知条件先求出此人走上坡路用了多少时间，必须知道走上坡路的速度（题中每小时行3千米）和上坡路的路程，已知全程60千米，又知道上坡、平路、下坡三段路程比是123，就可以求出上坡路的路程例3 修一条公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的变成未修的1/2，求这条公路总长是多少米？解 由条件知，公路总长不变。 原已修长度总长度1（13）14312 现已修长度总长度1（12）13412比较以上两式可知，把总长

36、度当作12份，则300米相当于（43）份，从而知公路总长为 300（43）123600（米） 答： 这条公路总长3600米例4 一个大矩形被分成六个小矩形，其中四个小矩形的面积如图所示，求大矩形的面积。A252036B16解 由面积宽长可知，当长一定时，面积与宽成正比，所以每一上下两个小矩形面积之比就等于它们的宽的正比。又因为第一行三个小矩形的宽相等，第二行三个小矩形的宽也相等。因此， A362016 25B2016 解这两个比例，得 A45 B20 所以，大矩形面积为 453625202016162答：大矩形的面积是1624 按比例分配问题【含义】 所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分

37、成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。【数量关系】 从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看，求几个部分量各是多少。 总份数比的前后项之和【解题思路和方法】 先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作分子），再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。例1 学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三个班各植树多少棵？解 总份数为 474845140 一班植树

38、 56047/140188（棵） 二班植树 56048/140192（棵） 三班植树 56045/140180（棵） 答：一、二、三班分别植树188棵、192棵、180棵例2 从前有个牧民，临死前留下遗言，要把17只羊分给三个儿子，大儿子分总数的1/2，二儿子分总数的1/3，三儿子分总数的1/9，并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。解 如果用总数乘以分率的方法解答，显然得不到符合题意的整数解。如果用按比例分配的方法解，则很容易得到 1/21/31/9962 96217 179/179176/176 172/172 答：大儿子分得9只羊，二儿子分得6只羊，三儿子分得2只羊。5、盈亏问题

39、【含义】 根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。【数量关系】 一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有： 参加分配总人数（盈亏）分配差如果两次都盈或都亏，则有： 参加分配总人数（大盈小盈）分配差参加分配总人数（大亏小亏）分配差【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。例1.一筐苹果分给一些学生吃，如果每人吃4个，要多出48个苹果；如果每人吃6个，则又（多）少8个苹果.那么有多少人，多少苹果？例2 少先队员去植树.如果每人种5棵，还有3棵没人种；如果其中2人各种4棵

40、，其余的人各种6棵，这些树苗正好种完.问有多少少先队员参加植树，一共种多少树苗？分析 这是一道较难的盈亏问题，主要难在对第二个已知条件的理解上：如果其中2人各种4棵，其余的人各种6棵，就恰好种完.这组条件中包含着两种种树的情况2人各种4棵，其余的人各种6棵。如果我们把它统一成一种情况，让每人都种6棵，那么，就可以多种树（6-4）24（棵）.因此，原问题就转化为：如果每人各种5棵树苗，还有3棵没人种；如果每人种6棵树苗，还缺4棵.问有多少少先队员，一共种多少树苗？解：3+（6-4）2（6-5）7（人）57+338（棵）或67-438（棵）答：有7个少先队员，一共种38棵树。例3 参加美术小组的同

41、学，每个人分的相同的支数的色笔，如果小组10人，则多25支，如果小组有12人，色笔多余5支。求每人分得几支？共有多少支色铅笔？ 分析：每个同学分到的色笔相等。这个活动小组有12人，比10人多2人，而色笔多出了（25-5）=20支，2个人多出20支，一个人分得10支。列式为（25-5）（12-10）=10（支）1012+5=125（支）。第四章 和差倍比问题1 和差问题【含义】 已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。【数量关系】 大数（和差） 2 小数（和差） 2【解题思路和方法】 简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。例1 小明期末考试时语文和数学的

42、平均分数是94分，数学比语文多8分，问语文和数学各得了几分？例2. 有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32千克，乙丙两袋共重30千克，甲丙两袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。例3. 甲乙两车原来共装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，两车原来各装苹果多少筐？2 和倍问题【含义】 已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。【数量关系】 将两个数的关系转换成比，按照比的关系来解决。 总和 （几倍1）较小的数 总和 较小的数 较大的数 较小的数 几倍 较大的数【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂

43、的题目变通后利用公式。例1 甲站原有车52辆，乙站原有车32辆，若每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，几天后乙站车辆数是甲站的2倍？例2 甲乙丙三数之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三数各是多少？例3 一个长方形，周长是30厘米，宽是长的，求这个长方形的面积。3 差倍问题【含义】 已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。【数量关系】将两个数的关系转换成比，按照比的关系来解决。两个数的差（几倍1）较小的数 较小的数几倍较大的数【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。例1

44、1班的图书角里故事书的本书是文艺书的4倍，故事书比文艺书多48本，两种书各有多少本？例2有两根同样长的绳子，第一根截去12米，第二根接上14米，这时第二根长度是第一根长的3倍（第一根长度是第二根长的），两根绳子原来各长多少米？例3 商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元，又知本月盈利比上月盈利多30万元，求这两个月盈利各是多少万元？例4 粮库有94吨小麦和138吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是9吨，问几天后剩下的玉米是小麦的3倍？ 解 由于每天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的数量差等于原来的数量差（13894）。把几天后剩下的小麦看作1倍量，则几天后剩下的玉米就是

45、3倍量，那么，（13894）就相当于（31）倍，因此 剩下的小麦数量（13894）（31）22（吨） 运出的小麦数量942272（吨） 运粮的天数7298（天）答：8天以后剩下的玉米是小麦的3倍 4 倍比问题【含义】 有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。【数量关系】 总量一个数量倍数 另一个数量倍数另一总量【解题思路和方法】 先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。例1 今年植树节这天，某小学300名师生共植树400棵，照这样计算，全县48000名师生共植树多少棵？解 （1）48000名是300名的多少倍？

46、48000300160（倍） （2）共植树多少棵？40016064000（棵） 列成综合算式 400（48000300）64000（棵）例2 凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家4亩果园收入11111元，照这样计算，全乡800亩果园共收入多少元？全县16000亩果园共收入多少元？解 （1）800亩是4亩的几倍？ 8004200（倍） （2）800亩收入多少元？ 111112002222200（元） （3）16000亩是800亩的几倍？ 1600080020（倍） （4）16000亩收入多少元？ 22222002044444000（元）5 年龄问题【含义】 这类问题是根据题目的内容而得名，它的主

47、要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。【解题思路和方法】 可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。例1 父亲现年50岁，女儿现年14岁.问：几年前父亲年龄是女儿的5倍？例2 在一个家庭里，现在所有成员的年龄加在一起是73岁.家庭成员中有父亲、母亲、一个女儿和一个儿子.父亲比母亲大3岁，女儿比儿子大2岁.四年前家庭里所有的人的年龄总和是58岁.现在家里的每个成员各是多少岁？分析 根据四年前家庭里所有的人的年龄总和是58岁，可以求出

48、到现在每个人长4岁以后的实际年龄和是58+44=74（岁）。但现在实际的年龄总和只有73岁，可见家庭成员中最小的一个儿子今年只有3岁.女儿比儿子大2岁，女儿是3+2=5（岁）.现在父母的年龄和是73-3-5=65（岁）.又知父母年龄差是3岁，可以求出父母现在的年龄。解：从四年前到现在全家人的年龄和应为：58+44=74（岁）儿子现在几岁？ 4-（74-73）=3（岁）女儿现在几岁？3+2=5（岁）父亲现在年龄：（73-3-5+3）2=34（岁）母亲现在年龄： 34-3=31（岁）答：父亲现在34岁，母亲31岁，女儿5岁，儿子3岁。例3 甲对乙说：“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才4岁”。乙

49、对甲说：“当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将61岁”。求甲乙现在的岁数各是多少？解 这里涉及到三个年份：过去某一年、今年、将来某一年。列表分析：过去某一年今 年将来某一年 甲 岁岁 61岁 乙 4岁岁 岁表中两个“”表示同一个数，两个“”表示同一个数。因为两个人的年龄差总相等：461，也就是4，61成等差数列，所以，61应该比4大3个年龄差， 因此二人年龄差为（614）319（岁） 甲今年的岁数为611942（岁） 乙今年的岁数为 421923（岁） 答：甲今年的岁数是42岁，乙今年的岁数是23岁。第五章 植树与方阵问题1 植树问题【含义】 按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，

50、已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。【数量关系】 线形植树 棵数=段数+1距离棵距1 环形植树 棵数=段数距离棵距 面积植树 棵数面积（棵距行距）【解题思路和方法】 先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。例1 有一条公路长900米，在公路的一侧从头到尾每隔10米栽一根电线杆，可栽多少根电线杆？例2.一个圆形池塘，它的周长是150米，每隔3米栽种一棵树.问：共需树苗多少株？例3. 马路的一边每相隔9米栽有一棵柳树.张军乘汽车5分钟共看到501棵树.问汽车每小时走多少千米？例4. 时钟三时敲三下，4秒钟敲完；5时敲5下，几秒敲完？分析，敲三下，中间有2个间隔，敲5下，中间有

51、4个间隔。2 方阵问题【含义】 将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。【数量关系】方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同.每向里一层，每边上的人数就少2。（1）方阵每边人数与四周人数的关系： 四周人数（每边人数1）4 每边人数四周人数41 （2）方阵总人数的求法： 实心方阵：总人数每边人数每边人数 空心方阵：总人数（外边人数）（内边人数） 内边人数外边人数层数2 （3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则： 总人数（每边人数层数）层数4【解题思路和方法】 方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。例1 某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人.问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？分析 根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。解：方阵最外层每边人数：6041=16（人）整个方阵共有学生人数：1616=256（人）答：方阵最外层每边有16人，此方阵中共有256人。例2 晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？分析 方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个