《2022届高三理科数学一轮总复习第四章平面向量(教师用书)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022届高三理科数学一轮总复习第四章平面向量(教师用书)（10页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、第四章平面向量高考导航考试要求重难点击命题展望1 .平面向量的实际背景及基本概念(1) 了解向量的实际背景；(2)理解平面向量的概念，理解两个向量相等的 含义；(3)理解向量的几何表示.(2) 量的线性运算(1)掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何 意义；(2)掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两 个向量共线的含义；(3) 了解向量线性运算的性质及其几何意义.3.平向向里的基本7E理及其坐标表小(1) 了解平面向量的基本定埋及其意义；(2)掌握平面向量的止交分解及其坐标表示；(3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘 运算；(4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件.4.平向向量的数量积(
2、1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义；(2) 了解平面向量的数量积与向量投影的关系；(3)掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量 数量积的运算；(4)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数 量积判断两个平面向量的垂直关系.5.向量的应用(1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问 题；(2)会用向量方法解决某些简单的力学问题及其本早重点：1 .向量的各种运 算；2 .向量的坐标运 算及数形结合的思 想；3 .向量的数量积 在证明有关向量相 等、两向重垂直、投 影、夹角等问题中的 应用.本章难点：1 .向量的直角坐 标运算在证明向量垂 直和平行问题中的应 用；2 .向量的夹角公 式和距离公式在
3、求解 平面上两条直线的夹 角和两点间距离中的 应用.向量是近代数学中重要和 基本的数学概念之一，它是沟 通代数、几何与三角函数的一 种工具，有着极其丰富的实际 背景，同时又是数形结合思想 运用的典范，正是由于向量既 具有几何形式又具有代数形式 的“双重身份”，所以它成为 中学数学知识的一个交汇点.在 局考中，不仅注重考查向量本 身的基础知识和方法，而且常 与解析几何、三角函数、数列 等一起进行综合考查.在考试要求的层次上更加突出 向量的实际背景、几何意义、 运算功能和应用价值.他一些实际问题知识网络零向段单位向吊向最的概念共线向星，相等向量平面向量向量的表示加法，减法*实数与向量的积数量积4.
4、1平面向量的概念及线性运算典例精析题型一向量的有关概念例1下列命题：向量AB的长度与BA的长度相等；向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；向量AB与向量CD是共线向量，则 A、B、C、D必在同一直线上.其中真命题的序号是.【解析】对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故错；显然错；aB与cD是共线向量，则A、B、C、D可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故错.故是真命题的只有【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个 反例即可.【变式训练1】下列各式： r|a|= Ja a ;d)
5、(a .b) cc= a (b c); OA OB = BA;在任意四边形 ABCD中，M为AD的中点，N为BC的中点，则 aB + DCa=(cos a, sin a), b= (cos 3, sin 3,且 a与 b不共线，则(a+ b)(ab). 其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.4;如下图所示,【解析】 选 D.| a|= Ja .a 正确;(a *b) .c 沟(b .c); OA - OB = BA HBMN =MD + DC +CN 且 MN =MA +AB + BN ,两式相加可得2MN = AB + DC,即命题正确；因为a, b不共线，且|a|=|b|=1,所以a+
6、 b, ab为菱形的两条对角线，即得(a+b)(a- b).所以命题正确.题型二 与向量线性运算有关的问题【例2】如图，ABCD是平行四边形，AC、BD交于点O,点M在线段DO, 一 , 11 , 上，且DM = DO ,点N在线段OC上，且ON = OC,设AB=a, AD =b,试用 33a、b 表示 AM , AN , MN .【解析】在？ABCD中，AC, BD交于点O,111所以 DO =2 DB =2( AB - AD )=2(a- b),11_1AO= OC =-AC =2(AB + AD) = 2(a+b).又而=156, ON=1OC, 33所以 AM = AD + DM =
7、 b+3 dO1115= b+3 (a-b) = 6a + 6 b,AN= Ao + On = Oc +1OC344 12= 3C =32(a+b) = 3( a+b).所以 MN = AN - AM_21 , 5-、 1 L3(a+ b) (6a + 6b)= 2a 6b.【点拨】向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形【变式训练2。是平面a上一点，A、B、C是平面a上不共线的三点，平面a内的动点P满足OP =1OA + * AB + AC ),若 4万时，则PA ( PB + P
8、C )的值为.【解析】 由已知得OP - OA= X AB+ AC),11 即 AP= XAB+ AC),当 上万时，得 AP=2(AB+ AC),所以 2AP = AB + AC ,即 AP - AB = AC - AP,所以BP = PC ,所以 pB + PC = pB + bP = 0,所以 pA ( pB + pc)= pA *o = o,故填 o.题型三向量共线问题【例3】 设两个非零向量a与b不共线.(1)若 AB = a+ b, BC = 2a + 8b, CD =3(a b),求证：A, B, D三点共线；(2)试确定实数k,使ka+ b和a + kb共线.【解析】(1)证明
9、：因为 AB = a+b, BC =2a+8b, CD =3(a-b),所以 BD = BC + CD = 2a+8b+ 3(a-b)= 5(a+b)= 5 AB ,所以aB , BD共线.又因为它们有公共点 B,所以A, B, D三点共线.(2)因为ka+b和a + kb共线，所以存在实数 力使ka+b= Xa+kb),所以(k )a =(入 b1)b.因为a与b是不共线的两个非零向量，所以k入=入b1 = 0,所以k21 = 0,所以k=【点拨】(1)向量共线的充要条件中，要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想(2)证明三点共线问
10、题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.,【变式训练3】已知O是正三角形BAC内部一点，OA+2OB+3OC=0,则4 /OAC的面积与 OAB的面积之比是(A 32A. 5B.q231C.2D.a3【解析】 如图，在三角形 ABC中， 0A + 20B+3OC =0,整理可得 oA+ oC+2(oB+oC)=0.1令三角形ABC中AC边的中点为 E, BC边的中点为F,则点O在点F与点E连线的f处，即OE = 2OF.31h h 1设二角形 ABC 中 AB 边上的图为 h,则 Sqac= Saoae+Ssec = 5 OE
11、 (2+2) =2OE - h,C 111Saqab = 2AB *2h = 4AB h,由于 AB = 2EF, OE = 2EF,所以 AB=3OE, 31 -所以勺二Saoab产地22 =6故选B.-AB .h 41 .向量共线也称向量平行，它与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合）的情形，而向量平行则包括共线（即重合）的情形.2 .判断两非零向量是否平行，实际上就是找出一个实数，使这个实数能够和其中一个向量把另外一个 向量表示出来.3 .当向量a与b共线同向时，|a+ b|= R|+ |b|;当向量a与b共线反向时,|a+b|=同一|b|;当向量a与b不共线时，|a+ b|2Va
12、b? ab75,即 05/3,所以 a + b+ O 10+53,当且仅当a=b = 5时，等号成立.故选B.总结提高1 .向量的坐标表示，实际是向量的代数表示，在引入向量的坐标表示后，即可使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来.向量方法是几何方法与代数方法的结合体，很多几何问题可转化为熟知的向量运 算.2 .向量的运算中要特别注意方程思想的运用.3 .向量的运算分为向量形式与坐标形式.向量形式即平行四边形法则与三角形法则，坐标形式即代入向 量的直角坐标.4.3平面向量的数量积及向量的应用典例精析题型一利用平面向量数量积解决模、夹角问题【例1】 已知a, b夹角为120,且|a|= 4,
13、 |b|=2,求：|a+b|;(2)( a+ 2b) (a+b);(3总与(a+b)的夹角0.【解析】(1)( a+ b)2= a2 + b2 + 2a b“c c 1=16 + 4-2X4X2 2= 12,所以 |a+b|=2 3.(2)( a+ 2b)(a+b) = a2+3 a b+2b21=16-3X4X2 +2X4= 12. 2(3)a - (a+ b)= a2+ a - b=1642X1=12.所以cos 0= a a+b) =喙,所以卜：|a|a+b| 4X2 寸326【点拨】利用向量数量积的定义、性质、运算律可以解决向量的模、夹角等问题 【变式训练1】已知向量a, b, c满足
14、：|a|= 1, |b|= 2, c= a+b,且c,a,则a与b的夹角大小是 【解析】 由 ca? c a= 0? a2 + a b= 0, 1所以cos 0= 1,所以仁120.题型二利用数量积来解决垂直与平行的问题【例2】 在4ABC中，AB = (2, 3), AC = (1 , k),且 ABC的一个内角为直角，求 k的值.【解析】当/ A=90时，有AB AC = 0,2所以 2X1 + 3 k=0,所以 k= 2;当/ B=90时，有 AB - BC =0,又 BC= AC- aB = (1-2, k- 3)=(-1, k-3), 所以 2X( 1)+3X(k 3)=0? k=1
15、1;3当/ c=90时，有 AC BC = 0,所以一1 + k (k3)=0,所以 k23k1=0? k= 3-13.所以k的取值为一2,；或3熠.332【点拨】因为哪个角是直角尚未确定，故必须分类讨论.在三角形中计算两向量的数量积，应注意方向及两向量的夹角.【变式训练 2】4ABC中，AB = 4, BC=5, AC =6,求 AB BC + BC - CA + CA - AB.【解析】 因为 2 AB BC + 2 BC CA + 2CA AB=(Ab - Bc + Ca - Ab)+(CA - Ab + Bc - CA)+(bc - CA + bc 丽)=Ab - (bc + Ca)+
16、 Ca -(Ab + Bc)+ bc (CA + AB)=Ab - BA+ Ca - Ac + bc - Cb=-42-62-52=- 77.77所以 AB BC + BC - CA + CA AB = 77.题型三平面向量的数量积的综合问题 、 ，.一.1T ，、 ” 一一,一 ，.一4, 一 .一，._.，【例3】数轴Ox, Oy交于点O,且/ xOy=-,构成一个平面斜坐标系，劭，出分别是与Ox, Oy同向3的单位向量，设 P为坐标平面内一点，且 Op=xei+ye2,则点P的坐标为(x, y),已知Q(-1, 2).求|OQ|的值及OQ与Ox的夹角；(2)过点Q的直线lOQ,求l的直线
17、方程(在斜坐标系中).1【解析】(1)依题意知，ei - e2 = 2，且 OQ = e1 + 2e2,所以 OQ2=(-ei+2e2)2=1 + 4-4劭佥=3.所以 |OQ |= .3.又 OQ e = (_ e+ 2e2) , 8 = e1+ 2e.e2= 0.所以OQei,即OQ与Ox成90。角.(2)设 l 上动点 P(x, v),即 OP=x& + ye2,又OQ故OQ，QP,即(x+ 1)e + (y 2陶(一 e+2 %)=0.所以一(x+ 1)+ (x+ 1)-(y-2) 1+2(y-2) = 0,所以y= 2,即为所求直线l的方程.【点拨】综合利用向量线性运算与数量积的运算
18、，并且与不等式、函数、方程、三角函数、数列、解析几何等相交汇体现以能力立意的命题原则是近年来高考的命题趋势【变式训练3】在平面直角坐标系xOy中，点A(5, 0).对于某个正实数 k,存在函数f(x)=ax2(a0),使得oP=入(-OA-+-OQ-)(入为常数)，其中点p,|OA|OQ|Q的坐标分别为(1, f(1), (k,f(k),则k的取值范围为A.(2 , + 8)B.(3+ ooC.(4, + oo)D.(8+ oo【解析】如图所示,-OA = oM|OA|OQIOQ|=ON , OM+ON = OG,则 OP=入OG.因为 p(i ,a), Q(k, ak2), OM = (10
19、) ON=(谑k+ a2k4ak2 k .Vk2 + a2k4) 0G =(52+a2k4，OG的方程为y =ak2k+4k2 + a2k泌，又OP =入OG ,所以P(1, a)在直线OG上，所以a=ak2,k2+ a2kak2力，则直线k+，k2 + a2k4= 1-2 k.因为|OP|= 产西21,所以120,所以k2.故选A. k总结提高1 .本节是平面向量这一章的重要内容，要准确理解两个一向量数量积的定义及几何意义，熟练掌握向量数量积的性质及运算律；数量积不满足结合律，即 (a b) ca (b c);数量积不满足消去律，即 a b =a - c推不出 b = c.2 .通过向量的数量积，可以计算向量的长度，平面内两点间的距离，两个向量的夹角，判断两直线是 否垂直.3 .向量的线性运算、数量积运算是平面向量的最基本知识，在解决向量与不等式、函数、方程、数列、 三角函数、解析几何等综合性问题时，往往要找到其内在的联系以获得正确的解题途径
2022届高三理科数学一轮总复习第四章平面向量(教师用书)
