排列组合种模型解析

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1、巧解排列组合的21 种模型排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握. 实践证明，掌握题型和识别模式， 并熟练运用， 是解决排列组合的有效途径 . 下面就系统地介绍巧解排列组合的 21 种模型 .1. 相邻问题捆绑法 : 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例 1. 五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，那么不同的排法种数有A、60种B、48 种C、36种D、24 种解析：把视为一人，且固定在的右边，则本题相当于4 人的全排列，种，答案：.2. 相离问题插空排 : 元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把

2、规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端 .例 2. 七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是A、1440种B、3600 种C、4820 种D、4800 种解析：除甲乙外，其余5 个排列数为种，再用甲乙去插6 个空位有种，不同的排法种数是种，选 .3. 定序问题缩倍法 : 在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法 .例 3. 五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻）那么不同的排法种数是A、24种B、60 种C、90种D、120 种解析：在的右边与在的左边排法数相同， 所以题设的排法只是5 个元素全排列数的一半，即种，选 .4. 标

3、号排位问题分步法 : 把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例 4. 将数字 1， 2， 3， 4 填入标号为 1， 2，3，4 的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A、6种B、9种C、11种D、23种解析：先把 1 填入方格中，符合条件的有3 种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有331=9 种填法，选 .5. 有序分配问题逐分法 : 有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例 5. （1）有甲乙丙三项任务，甲需2

4、人承担，乙丙各需一人承担，从10 人中选出 4人承担这三项任务，不同的选法种数是A、 1260 种B、 2025 种C、2520 种D、5040 种解析：先从10 人中选出2 人承担甲项任务，再从剩下的8 人中选1 人承担乙项任务，第三步从另外的7 人中选1 人承担丙项任务，不同的选法共有种，选.（2）12 名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4 人，则不同的分配方案有A、种B、种C、种D、种答案： .6. 全员分配问题分组法 :例 6. （1） 4 名优秀学生全部保送到 3 所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成 3 组有种方法，再把三组

5、学生分配到三所学校有种，故共有种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（法二）分两步从每个学校至少有一名学生，每人进一所学校，共有再将剩余的一名学生送到三所学校中的一所学校，有3种值得注意的是两名学生是不考虑进入的前后顺序的因此，共有 N=1/2*A(3,4)*3=36(A（3,4 ）种；而后，同在一所学校的种)（2）5 本不同的书，全部分给4 个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为A、480 种B、240 种C、120 种D、96 种答案： .7. 名额分配问题隔板法 :例 7.10 个三好学生名额分到7 个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方

6、案？解析： 10 个名额分到 7 个班级，就是把 10 个名额看成 10 个相同的小球分成 7 堆，每堆至少一个，可以在 10 个小球的 9 个空位中插入 6 块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为种 .8. 限制条件的分配问题分类法 :例 8. 某高校从某系的 10 名优秀毕业生中选 4 人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：若甲乙都不参加，则有派遣方案种；若甲参加而乙不参加，先安排甲有3 种方法，然后安排其余学生有方法， 所以共有； 若乙

7、参加而甲不参加同理也有种；若甲乙都参加，则先安排甲乙，有3+2*2=7 种方法，然后再安排其余8 人到另外两个城市有种，共有方法.所以共有不同的派遣方法总数为种.9. 多元问题分类法 ：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计 .例 9. （1）由数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有A、 210 种B、300 种C、464 种D、600 种解析：按题意，个位数字只可能是0、 1、2、3 和 4 共 5 种情况，分别有、和个，合并总计 300 个 , 选 .（2）从 1，2，3 ，100 这 100 个数中，任

8、取两个数，使它们的乘积能被7 整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被 7 整除时，他们的乘积就能被 7 整除，将这 100 个数组成的集合视为全集 I, 能被 7 整除的数的集合记做共有 14 个元素 , 不能被 7 整除的数组成的集合记做共有 86 个元素；由此可知，从中任取 2 个元素的取法有，从中任取一个，又从中任取一个共有，两种情形共符合要求的取法有种 .（3）从 1，2，3， ， 100 这 100 个数中任取两个数，使其和能被4 整除的取法（不计顺序）有多少种？解析：将分成四个不相交的子集，能被4 整除的数集；能被4 除余 1 的数集，能被

9、4 除余 2 的数集，能被 4 除余 3 的数集，易见这四个集合中每一个有25 个元素；从中任取两个数符合要；从中各取一个数也符合要求；从中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有种 .10. 交叉问题集合法 ：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式.例 10. 从 6 名运动员中选出 4 人参加 4 100 米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集 =6 人中任取 4 人参赛的排列， A=甲跑第一棒的排列，B=乙跑第四棒的排列，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：种.11. 定位问题优先法 ：某个或

10、几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。例 11.1 名老师和 4 名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？解析：老师在中间三个位置上选一个有种， 4 名同学在其余 4 个位置上有种方法；所以共有种 .12. 多排问题单排法 : 把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理.例 12. （1）6 个不同的元素排成前后两排，每排3 个元素，那么不同的排法种数是A、36 种B、120 种C、720 种D、 1440 种解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6 个不同的元素排成一排，共种，选 .（2）8 个不同的元素排成前后两排，每排4 个

11、元素，其中某 2 个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？解析：看成一排，某 2 个元素在前半段四个位置中选排 2 个，有种，某 1 个元素排在后半段的四个位置中选一个有种，其余 5 个元素任排 5 个位置上有种，故共有种排法 .13. “至少”“至多”问题用间接排除法或分类法 : 抽取两类混合元素不能分步抽 .例 13. 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取 3 台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有A、140种B、80 种C、70种D、35 种解析 1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有种, 选.解析

12、 2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型 1 台乙型 2 台；甲型 2 台乙型 1 台；故不同的取法有台 , 选.14. 选排问题先取后排 : 从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法 .例 14. （1）四个不同球放入编号为 1， 2， 3， 4 的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？解析：“先取”四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有种，“再排”在四个盒中每次排 3 个有种，故共有种 .（2）9 名乒乓球运动员，其中男5 名，女 4 名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？解析：先取男女运动员各2 名，有种，这四名运动员混和

13、双打练习有中排法，故共有种 .15. 部分合条件问题排除法 : 在选取的总数中， 只有一部分合条件， 可以从总数中减去不符合条件数，即为所求 .例 15. （1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有A、70 种B、64 种C、58 种D、52 种解析：正方体8 个顶点从中每次取四点，理论上可构成四面体，但6 个表面和6 个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有个.（2）四面体的顶点和各棱中点共10 点，在其中取 4 个不共面的点，不同的取法共有A、150 种B、147 种C、144 种D、141 种解析： 10 个点中任取 4 个点共有种，其中四点共面的有三种情况：在四面体的四个

14、面上，每面内四点共面的情况为，四个面共有个；过空间四边形各边中点的平行四边形共3 个；过棱上三点与对棱中点的三角形共6 个. 所以四点不共面的情况的种数是种.16. 圆排问题线排法 : 把个不同元素放在圆周个无编号位置上的排列， 顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列个普通排列：在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，个元素的圆排列数有种 . 因此可将某个元素固定展成线排，其它的元素全排列 .例 16.5 对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？解析：首先可

15、让 5 位姐姐站成一圈，属圆排列有种，然后在让插入其间，每位均可插入其姐姐的左边和右边，有 2 种方式，故不同的安排方式种不同站法 .说明：从个不同元素中取出个元素作圆形排列共有种不同排法.17. 可重复的排列求幂法 : 允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象， 元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地个不同元素排在个不同位置的排列数有种方法.例 17. 把 6 名实习生分配到7 个车间实习共有多少种不同方法？解析：完成此事共分6 步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7 种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7 种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有种不同方案 .18

16、. 复杂排列组合问题构造模型法 :例 18. 马路上有编号为 1， 2， 3 ， 9 九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？解析：把此问题当作一个排对模型， 在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 盏不亮的灯种方法 ,所以满足条件的关灯方案有10 种.说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决.19. 元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:例 19. 设有编号为 1，2，3，4，5 的五个球和编号为 1， 2， 3， 4， 5 的盒子现将这 5 个球投入 5 个

17、盒子要求每个盒子放一个球， 并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同， 问有多少种不同的方法？解析：从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有种，还剩下 3 个球与 3 个盒子序号不能对应，利用枚举法分析，如果剩下 3，4，5 号球与 3，4，5 号盒子时， 3 号球不能装入 3 号盒子，当 3 号球装入 4 号盒子时， 4， 5 号球只有 1 种装法， 3 号球装入 5 号盒子时， 4，5 号球也只有 1 种装法，所以剩下三球只有 2 种装法，因此总共装法数为种 .20. 复杂的排列组合问题也可用分解与合成法 : 例 20. （1）30030 能被多少个不同偶数整除？解析：先把 30030 分解成质

18、因数的形式： 30030=235711 13；依题意偶因数 2必取， 3，5，7， 11，13 这 5 个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为个.（2）正方体 8 个顶点可连成多少队异面直线？解析：因为四面体中仅有 3 对异面直线， 可将问题分解成正方体的 8 个顶点可构成多少个不同的四面体， 从正方体 8 个顶点中任取四个顶点构成的四面体有个， 所以 8 个顶点可连成的异面直线有 358=174 对.21. 利用对应思想转化法 : 对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法， 它可以将复杂的问题转化为简单问题处理 .例 21. （1）圆周上有 10 点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点最

19、多有多少个？解析：因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点， 一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的10 个点可以确定多少个不同的四边形，显然有个，所以圆周上有10 点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有个.（2）某城市的街区有 12 个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从到的最短路径有多少种？向北解析：可将图中矩形的一边叫一小段，从到最短路线必须走 3 段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要确定向东走过7 小段，其中：向东4 段，4 段的走法，便能确定路径，因此不同走法有种.制度说明制度是以 执行力为保障的。 “制度”之所以可以对个人行为起到约束的作用，是以有效的执行力为前提的，即有强制力保证其执行和实施，否则制度的约束力将无从实现，对人们的行为也将起不到任何的规范作用。只有通过执行的过程制度才成为现实的制度，就像是一把标尺，如果没有被用来划线、测量，它将无异于普通的木条或钢板，只能是可能性的标尺，而不是现实的标尺。制度亦并非单纯的规则条文，规则条文是死板的，静态的，而制度是对人们的行为发生作用的，动态的，而且是操作灵活，时常变化的。是执行力将规则条文由静态转变为了动态，赋予了其能动性，使其在执行中得以实现其约束作用，证明了自己的规范、调节能力，从而得以被人们遵守，才真正成为了制度。